CC BY
55
УДК 510
G-ФАКТОРИЗАЦИЯ КАНОНИЧЕСКИХ ОТОБРАЖЕНИЙ
© 2011 С. А. Гизунов1, А. О. Гречкин2, В. Н. Лямин3
1докт. техн. наук, профессор, e-mail: [email protected] 2канд. техн. наук, e-mail: ОТТЫ[email protected] 3канд. техн. наук, e-mail: [email protected]
Курский НИИ Министерства обороны РФ
Статья посвящена вопросам факторизации канонических отображений бинарных матроидов на элементарные G-отображения. Доказывается, что любой бинарный матроид может быть построен с помощью G-факторизации канонических отображений. В работе используются терминология и результаты, полученные автором ранее.
Ключевые слова: свободный матроид, бинарный матроид, факторизация,
каноническое отображение.
В свободном матроиде B(S), определенном на множестве S, любое подмножество A С S замкнутое и независимое, так, что B B(S) = {S} и
R B (S) = 0. Обозначим через N (S) ^ M (S) совокупность бинарных матроидов,
определенных на множестве S.
Теорема 1. G -факторами свободного матроида B( S) являются все
матроиды в множестве N (S) ранга | S | -1.
Доказательство. Свободный матроид B(S) бинарен, так как в нем вообще нет
циклов. Любой матроид ранга | S | —1 также бинарен, поскольку семейство циклов
такого матроида состоит из одного подмножества D С S. Доказательство следует, таким образом, из свойства 4) теоремы 1 [3], то есть из того факта, что
FB(5)(Dl) * FB(5)(D2) для любых различных подмножеств D , D2 ^ S. W
На основании теоремы 1 мы получаем, что в семействе M (S) всех матроидов,
определенных на множестве S, существует ровно 2S1 — 1 матроидов ранга | S | — 1, причем все они бинарные.
Рассмотрим для бинарного матроида H ^ N (S) факторизацию на
элементарные отображения канонического отображения S) —— H вида
B(S) = И0——И,... — >Hk-, ——Hk = И. (1)
Определение 1. Назовем G -факторизацией такую факторизацию (1) канонического отображения В(S) —— Н, при которой матроиды Ні являются G -
факторами матроидов Ні _1 для всех І, І = 1, к.
Возникает вопрос: для всех ли бинарных матроидов Н 0 N ($) существует G -факторизация канонического отображения В(S) —— Н или нет?
В теореме 4 [2] для произвольных матроидов М, Н 0 М ($), связанных
элементарным отображением, была рассмотрена ситуация, когда R м П R н = 0.
Показано, что в этом случае элементарное отображение дуальных матроидов -отображение верхнего усечения. Известно (см. [1]), что отображение верхнего усечения может не сохранять бинарность матроида. Более того, возможна обратная ситуация, когда результат верхнего усечения небинарного матроида будет бинарным матроидом.
Особенно этот момент важен для матроидов рангов 1 и |$| — 1, которые сами
бинарные, но могут быть элементарными факторами небинарных матроидов или соответственно содержать как элементарные факторы небинарные матроиды.
Например. Пусть £ = П и М(П, к) 0 М (S)- однородный матроид ранга
к, семейство баз которого все к -элементные подмножества множества $. Для П ^ 4 и 2 < к < П — 2 однородные матроиды М(П, к) - небинарные. Верхнее усечение
небинарного матроида М(п,2) есть бинарный матроид М(п,1). В то же время небинарный дуальный матроид М (П, 2) = М(П, П — 2) является верхним усечением бинарного матроида М (П, 1) = М(П, П — 1). Понятно, что
К М(п,2) П К М(п,1)------К М(пп-2) П К м(п,п-1) = 0 и все выше перечисленные
матроиды удовлетворяют условиям теоремы 5 [2].
Естественно возникает вопрос: как в этом случае взаимосвязаны G -факторы и условие R м П R н = 0?
Обозначим через N к (£) = { М 0 N (£) | Гм (£) = к].
Теорема 2. Если М 0 N ^ _1(£), Н - G -фактор матроида М, R м = { С }
и ^ Н - ^ М = Рм(Ц) для некоторого подмножества 0 F м, то
^ М ^ ^ Н = 0 тогда и только тогда, когда ц, с с.
Доказательство. Если R ^ = { С } и п0 с с, то из определения семейств ¥м (Ю и (Ю (см. [3]) следует, что рц ц = {Ц,,с - Ц} и ^ м ( А) = 0. Согласно теореме 2 [3], R м П R н = 0, поскольку,
^ М (А>) = ^ м ^ ^ н
Предположим обратное, что R м П R н = Rм (О0) = 0 и ^ С.
Тогда, вне зависимости от условий О С = 0 или О0 П С *0, цикл С по
определению принадлежит семейству R м (Д), что противоречит предположению. М Покажем далее, что в условиях теоремы 2 соответствующее верхнее усечение дуальных матроидов, также будет G -отображением.
Теорема 3. Если бинарный матроид Н 0 N ($) является О -фактором
матроида М 0 N ^ _1( £) и К м П R н = ^ то матроид М 0 N ($) будет
О -фактором матроида Я £ N ($).
Доказательство. Пусть М 0 N (£), Гм (£) = | £ | — 1, Гн (£) = | £ | —2 и
К Н - К М = Р0, С - В0], где R м = { С }, подмножество В0 Є Рм и
Д С С. Тогда дуальный матроид М 0 N ($) ранга 1 имеет семейство циклов
вида R м = {а0£ а0£ — С} + {(аЬ) 0 £|(аЬ) 0С} и, соответственно,
семейство баз вида В * = {а 00С}.
М у I ’
Поскольку, согласно теореме 4 [2], дуальные матроиды связаны элементарным
Т т * Ф л ,г *
отображением Н -------^ М , которое является верхним усечением, то
с. = Ф(В н.) и в условиях теоремы (см. [1]) не только К м * — К н * = В н* ,
❖
*,
* ;
но и R * = R * - В *. В свою очередь, для любой базы В Є В
ИМИ н
в
= 2,
справедливы условия IВ П Б0\ = 1 и | В П (С — ) | = 1, ибо в противном
случае либо В 0 и, значит, С - Б0 С £ - В *, либо В 0 С — Б0 и
£>0 с £ - в* , то есть множество В = £ - В* не будет базой матроида Н. Отсюда, суммируя, получаем, что
R я» = {а0£|а0£ - С} + {(аЬ) С £|(аЬ) С Д или (аЬ) С С - Д}.
* *
Таким образом, для любых баз В^, В2 0 В * справедливо равенство
в* © в* = ^ о* , где Б* Е R/ ^, так как, если В1 = (а1Ь1), В2 = (а2Ь2), где
а15@2 ^А и Ь15Ь 0С — Д, то либо Вх ® В2 = (а1а2), либо В* ® В2* = (Ь1Ь2), либо В* ® В2 = (а1а2) + (ЬХЬ2). Следовательно, так как ^ м * — ^ н * = В н *, то доказательство теоремы следует из теоремы 4 [3]. М
Теорема 3 означает, что в частном случае, когда бинарный матроид Н 0 N (£) ранга I ^ | -2 является G -фактором бинарного матроида М 0 N (£)
ранга | £ | —1 и R м П R н = 0, отображение верхнего усечения Н ^ М
также будет и G -отображением.
Рассмотрим теперь общую схему вида
м —— н
Ь Ь , (2)
м* -—— Н
где матроиды М, Н Є N (£) и дуальные к ним матроиды М*,Н* 0N (£) бинарные и связаны элементарными отображениями, порожденными
соответствующими модулярными фильтрами Фм и ф*«.
Теорема 4. Если в схеме (2) матроид Н £ N (£) является О -фактором матроида М £ N (£), то для любых циклов В £ R н - R м и В £ К * - К * справедливо равенство | В П В | = 2у + 1, где V > 0.
Доказательство. Рассмотрим полуматроид А (М, Н) (см. [3]). Из утверждений теорем 2 [1] и 1 [2] следует, что А -циклами полуматроида будут циклы из семейства ^ н ~ ^ м, а А -базами будут коточки из семейства К м ~ К н. Поскольку для
любой базы псевдоматроидов, а значит, и полуматроидов справедливо свойство
идемпотентности, то для любой коточки к є к м - к „ и элемента а £ £ — К
всегда найдется единственный А -цикл В( а, ^), такой, что,
а £ В(а, К) С К + а.
Так же, как и для произвольных бинарных матроидов, для А -баз и А -циклов полуматроидов справедливо соотношение (1) из работы [1], из которого следует, что
для любого А -цикла В и А -базы К если В — К = }, то
В = В(а1, К) ®... ® В(а{, К).
Заметим, что ї > 1, так как А -циклы не могут содержаться в А -базах как подмножества. Если ї = 2у, то
В = (В(ах, К) ® В(а2, К)) ®... ® (В(а{ _х, К) ® В( а{, К)), и, согласно
теореме 4 [3], В = ^ , где циклы С Е к М, что противоречит предположению
ВЄR н - R М. Следовательно, Ї = 2у + 1, где V > 0.
С другой стороны, поскольку К £ К м ~ К н, то по свойству 3) утверждения
2 из [1] £ — К = В £R * - R *, (а,,...,а } £ В и, значит,
М Н 1 *
| В П В* | = | [а1,...а1} | = 2у +1, где V > 0. Доказательство теоремы, таким образом, следует из того факта, что последнее равенство выполняется для любых циклов В£Rн - R М и любых коточек к є к м - к Н, а значит, и для любых
циклов В = £ — К £ R * - R * М
м н
Теорема 5. Для любого бинарного матроида М Е N (£) факторизация канонического отображения вида
В(S) = м0 ^ мх ^... ^ мк = м
есть О -факторизация тогда и только тогда, когда О -факторизацией является факторизация соответствующих дуальных матроидов
М• = М* - МІ1 -... - М0 = Б'(5).
Доказательство. Рассмотрим схему (2) вида
М. Х — 1-Х Т
ь ь
$ Мм - М
для некоторого 1,1 < I < к, удовлетворяющую условиям теоремы 4.
Пусть циклы Д* Д* Е R - R , * и множество В* = В* ® В* . Тогда, с
М- мг 1 2
учетом теоремы 4, для любого цикла Б Е R м - R м справедливо равенство
| В ПВ* = | В ПВ** + | Б ПВ2*| -21 В ПД* ПВ2*| =
= (2у1 + 1) + (2г2 + 1) - 2у, где Уг,У2 > 0 и у = | В П ВХП В21 . По
аксиоме циклов для бинарных матроидов В = Bj, где либо
Д Е R * — R , *, либо В ■ Е R * О R , *. Из вышесказанного следует, что
] ы1—1 мг ] ы1-1
количество взаимно непересекающихся циклов
^ * В, Е R , * — R , * в множестве В
] м1—1 и,
должно быть четным.
Рассмотрим, в качестве примера, ситуацию, когда Д П В2 = 0 и
* * * * г ч В = В + Д . Тогда, очевидно, В Е Ф(R * — R * ) и, следовательно,
1 2 4 М— М,■ 7
ГыГ(В*) = Т^В) - 1. Так как, ^ *( В*) * В* - 2, то ^ *( В*) *
В
-1.
Другими словами, существует цикл С Е К ^* — К м* , такой, что С С В . Более
і-1
*
того, для любого элемента а Е В множество В — а также принадлежит
модулярному фильтру Ф(К м* — ^ м*) и Гм* (В — а) = Гм*(В — а) — 1.
Однако, поскольку * (В — а) = * (В ), то и * (£>’ -а) = гм,{И").
Т"Л *
Таким образом, множество и есть объединение непересекающихся циклов и при этом количество циклов матроида м* в нем на единицу меньше, чем количество
циклов матроида . Суммируя, получаем, что такая ситуация возможна только
тогда, когда В* = С * + V в*, где циклы В* Е R П R , *. Отсюда, в
] ] Мм мг
частности, следует, что если к м * п к Л = 0, то д + в2 = с для любых
В, , В0 Е R * — R * и С -отображение М л М будет также и
15 2 Мі—1 Мі 1-1 1
отображением верхнего усечения.
Таким образом, обобщая, из теоремы 4 [3] следует, что для любого І,1 < І < к,
если в рассматриваемой схеме матроид М является С -фактором матроида Мі_1, то
и матроид М- С -фактор матроида Ы( . М
Так как для любого бинарного матроида М Е N (£) дуальный матроид м * также бинарен и всегда можно построить G -факторизацию
М = Мк — Мк_х — ... — М0 = Б (5), то из теоремы 5 следует, что всегда
существует С -факторизация В( £) = М0 ^ М1 ^ ... ^ Ык = М
канонического отображения В(£) ^ М, порожденная G -факторизацией
отображения М ^ В (£). Следовательно, с помощью О -факторизации
перечисляются все бинарные матроиды из множества N (£).
Заметим, что поскольку дуальный к бинарному матроиду матроид также
бинарен, то N к (£) = N |£і_к (£) .
Утверждение 1. Количество бинарных матроидов ранга к в множестве всех бинарных матроидов N (£) удовлетворяет соотношению
, (2 и -1)(2и-1 -1)...(2 1 5 1 --+1 -1)
і^іа (5)| = ---------—2---------—г---------------. (3)
151-(22 - 1)...(2к -1)
Доказательство. Ранее, как следствие теоремы 1, мы показали, что ^|Х|_,( 5) | = | N ,(5 )| = 25 | — 1. Докажем формулу (3) по индукции.
Предположим, что в схеме (2) матроид М Е N ^|_к (£) и матроид
Н Е N ^|_к_1(£) будет его С -фактором . Из свойств 3) и 4) теоремы 1 [3] следует,
во-первых, что все 2^1 к — 1 различных не пустых подмножеств любой базы В Е В М порождают различные О -факторы, то есть различные матроиды
Н Є N „ _,(5X и, во-вторых, что различные базы дают одну и ту же совокупность
О -факторов. С другой стороны, для фиксированного матроида Н Е N ^|_к^(£) дуальный матроид Н Є N *+1( 5) аналогичным образом порождает 2+1 — 1 различных матроидов м' є N ,(5), а значит, и различных матроидов М Є N , (5), для которых данный матроид Н будет одним и тем же О -
2^1-* -1
фактором. Следовательно, | N ^ - *-1( £) | = | N ^ |-* (£) | —*+----, что и завершает
2 -1
доказательство. М
Замечание. Бинарные матроиды из множества N * (5) изоморфны векторным матроидам и представимы двоичными матрицами размера к X | £ | и ранга к . Каждой такой матрице соответствует векторное подпространство размерности к в векторном пространстве размерности | £ |. Таким образом, количество различных матроидов из
множества N * (5) совпадает с количеством таких различных векторных
подпространств, что и подтверждается формулой (3).
Полученные результаты дают возможность с помощью пошагового алгоритма
О -факторизации строить все различные матроиды из множества N * (5) для любых
к,1 ^ к ^ |$|, не прибегая к процедуре построения подпространств векторного
пространства. Подчеркнем, что таким образом строятся именно матроиды как соответствующие семейства циклов в явном виде, а не двоичные матрицы, с помощью которых можно построить векторные матроиды, но которые сами матроидами не являются.
Подчеркнем, что поскольку для любого бинарного матроида М Е N (£)
всегда существует факторизация канонического отображения В(£) ^ М на О -отображения, то все бинарные матроиды могут быть построены с помощью некоторой последовательности полуматроидов. Более того, показано, что в отличие от общего случая псевдоматроидов, соответствующая процедура не является реализацией метода перебора и позволяет конструктивно строить в явном виде цикловую структуру соответствующих О -факторов.
Библиографический список
1. Гизунов С. А., Лямин В. Н. Сечения матроидов // Ученые записки: электронный журнал Курского государственного университета. 2010. № 2. ЦКЬ: ИнрУ^аепйГю-notes.ru/pdf/014-2.pdf (дата обращения: 13.03.2011).
2. Гизунов С. А., Лямин В. Н. Псевдоматроиды, порожденные отображениями матроидов.
3. Гизунов С. А., Лямин В. Н. Полуматроиды порожденные О -отображениями бинарных матроидов.
