Неизоморфные бинарные матроиды Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 510

НЕИЗОМОРФНЫЕ БИНАРНЫЕ МАТРОИДЫ

© 2011 С. А. Гизунов

докт. техн.. наук, профессор, e-mail: [email protected]

Курский НИИ Министерства обороны РФ

На основе результатов исследования свойств некоторых алгебраических структур, порожденных морфизмами в категории матроидов и их отображений, предложен алгоритм построения всех неизоморфных бинарных матроидов заданных на конечном множестве. Ключевые слова: матроид, изоморфизм, цикловая структура, лифт.

Изоморфизм матроидов одинакового ранга Mj, M2 Е M (S) с точки зрения их цикловых структур означает, что на множестве S существует взаимно однозначное соответствие П , такое, что для любого цикла C = (CjCk ) Е R м матроида M р

множество Jt(C) = (п(Ci),...,n(ck)) будет циклом матроида M2. Понятно, что,

говоря об изоморфизме матроидов М^ и автоматически здесь и далее будем

предполагать, что Гм (S) = Тм (S) = Г(S). Семейство циклов R м произвольного

матроида M Е M (S) , как и любое семейство подмножеств заданного множества S, однозначно описывается матрицей инцидентности, или двудольным графом Г (S, R M), вершинами которого являются элементы множества S и циклы из

семейства R м, и элемент a Е S инцидентен, или соединен в графе Г (S, R M)

ребром, с циклом C £ R ,,, если a £ C. Таким образом, матроиды

Mv M2 е M (S) изоморфны тогда и только тогда, когда изоморфны

соответствующие графы Г(S, R м ) и Г (S, R м ) . Отсюда следует, что в

изоморфных матроидах совпадает не только общее количество циклов и количество циклов заданной длины, но и количество циклов, инцидентных любому элементу а Е S. В то же время это условие для изоморфизма матроидов необходимое, но не достаточное.

Для любого матроида M Е M (S) введем обозначение R M (Г, A) = {C E R M A E с и | C | = r}, 1 < r < rM (S) + 1. Тогда очевидно, что множество всех циклов длины Г в R м (обозначим его через R м (r)) совпадает

с множеством U R M (a).

aES

Для любого подмножества A E S построим целочисленный вектор вида

QM(A) = {| R M(1, A) |, | R M(2, A) | R M(rM(S) +1, A) |}. (1)

Понятно, что вектор (A) может быть нулевым, например, для подмножеств

A, таких, что \А\> ги (5) +1.

Для любого Т,\< Г ^ VM (S) + 1, количество циклов длины Г в семействе

1 M (S)+1

R M равно I R M (r)l = - УI R M (r>a)l, а У I R м (r a)l есть общее

гОЫ 7=1

количество циклов, инцидентных вершине a Е S в графе Г(S, R M ) .

Как уже отмечалось, если взаимно однозначное отображение П на множестве S порождает изоморфизм матроидов , M2 Е M (S), то

I R M, (г) I = I R м2 (г) І для всех допустимых значений Г и

r(S)+1 r(S)+1

J I R M,( ra )l = J I R M 2 (r,n(a ))l для всех элементов a E S, однако

r=1 r=1

одних этих условий для изоморфизма матроидов М^ и M2 недостаточно. В частности, должно совпадать и общее количество различных элементов а Е S, принадлежащих циклам из семейств R M, (Г) и R м2 (Г) , то есть

\{a Е Sa EC иСЕ R (r)}\ = |{^E S bEDu DE R м(г)}|, для всех значений Г, 1 < Г < r( S) +1.

Утверждение 1. Матроиды , M2 Е M (S) изоморфны тогда и только

тогда, когда на множестве S существует взаимно однозначное отображение П, такое, что (A) = £2м (п( A)) для любого подмножества A Е S.

Доказательство. Для изоморфных матроидов , M2 Е M (S) равенство векторов(1)очевидно.

Пусть цикл C Е R M (Г) для некоторого Г,1 < Г < rM (S) + 1. Так как циклы не могут содержаться друг в друге как подмножества, то из равенства (C) = Qm2 )) следует, что | R C) I = I R m2 (r,n(C)) I = 1.

Отсюда, с учетом определения множества R м (Г,п(С)), получаем, что

п(С) Є R M2(Г) . Изоморфизм матроидов одинакового ранга, таким образом, следует из того факта, что данное включение справедливо для любых циклов C Е R м (г) и значений параметра Г,1 < Г < rM (S) + 1. W

Для любого подмножества A Е S обозначим через A(m) = {B Е A | B | = т} совокупность всех его подмножеств мощности Ш,\ < m < | A |. С учетом этого обозначения пусть далее

> = {0И|(А)|Ае3(т)} и 0„2<-> = {П„2(В)|Ве£(-)}. Семейства

целочисленных векторов ^м (т т и будем называть эквивалентными и

обозначать йм (от ^ = йм (от ^, если они совпадают с точностью до перестановки

элементов множества $.

Условие эквивалентности, в свою очередь, означает выполнение двух следующих условий.

Во-первых, совокупность подмножеств $ (т) разбивается на классы эквивалентности вида

^(т) = ^(т) + ••• + ^(т) + ••• + $щ(т) (2)

так, что с точностью до нумерации 131 >( и)|-|^ 1 >( ш)\ для всех

1,\ < I < 1т, и равенство ^мг ( А) = ^м2 (В) выполняется тогда и только тогда, когда А £ (т) и В 0 З^) (т) для некоторого /,1 < / < 1т.

Во-вторых, существует взаимно однозначное соответствие Пт на множестве элементов $, такое, что, если А Е ^(т) , то Пт ( А) Е т) для всех

¡Л< I < Iт •

Утверждение 2. Матроиды М^, М2 Е М (3) одинакового ранга Гм ($) = Тм ($) = Г($) изоморфны тогда и только тогда, когда

йм (т т = йм (т ^ для всех Ш,\< т ^ Г(^), и соответствующие перестановки

Пт непротиворечивы как взаимно однозначные соответствия на множестве 8.

Доказательство. Достаточно показать, что на множестве элементов $ существует перестановка П, такая, что Цл, ( А) = °лл2 (п( А)) для всех

подмножеств А с £, | А | < Г(£). Однако в условиях утверждения этот факт

индукцией по Ш,\< т ^ Г(8), следует из непротиворечивости перестановок Пт,

определенных на всем множестве £. N

Из утверждения 2 как следствие можно предложить отличный от метода

перебора алгоритм проверки матроидов М^, М2 Е М ($) одинакового ранга на

изоморфизм.

Для Ж = 1, очевидно, $ (1) = $ и разбиение (2) имеет вид

V - V(1) + + V(?1) - V(1) + + V(?1) (3)

^ >^М1 + ••• + >^М1 *^М2 + ••• + *^М2 . (3)

Так как в разбиении (3) множества элементов, принадлежащих разным классам, не пересекаются, то графы Г (8, R м ) и Г (8, R м ) будут изоморфными только

тогда, когда изоморфны подграфы Г(, R м ) и Г(, R м) для всех 1,\ < I < /р Другими словами, любую перестановку Пр удовлетворяющую условиям

утверждения 2, можно представить следующим образом П = ?1)), где

П) . о() ^ с*() 4 _ Т7 П1 . см1 см2,4 1 ч.

Далее, для Ж = 2 перестановки , удовлетворяющие условиям утверждения

когда

1,1 < I < ^.

2,

будут

существовать

только

{О„, (Л) Л Є*£ (2)} ^ {Ом, (В) В Є ^ (2)} для

тогда,

всех

Соответствующие разбиения (2) имеют вид

<і)ґП\ _ е(іД)

З')(2) = ЗМ,;;)(2) +... + ^ «(2)

и .

ЗМ 2(2) = ЗМ 2'(2) +... + ЗМ )(2)

(4)

Очевидно, что должно совпадать не только количество биграмм в соответствующих классах разбиений (4), но и количество различных элементов в них.

Другими словами, перестановки П> должны быть такими, чтобы соответствия {а 0 А А 03^ 42)} ^ {Ь 0 В В 0 Зщ ^(2)} были взаимно однозначными для всех І,1 < І < /р и j,1 < У < ¿2. При этом перестановки П и

непротиворечивы только тогда, когда для любого І,1 < І < и элемента а 0 3^ выполняются равенства

| {А Є 5^'>(2) |а Є А} | = | {В Є ЗД'(2) < '(а) Є В} |, І = 1, /2.

Другими словами, элементы множеств 5^ и 3^ , I = 1, ^ , должны встречаться в классах разбиений (4) одинаковым образом. Отсюда следует, что перестановка П1 = (П1(1),...,П1(?1)) в общем случае разбивается на ^ перестановок, так, что

п2 = (п1(и),...,п1(и2),...,п1( ?1’1),...,П1( М2)).

(5)

Следовательно, так же как и для Ж = 1, графы Г (8, R м ) и Г (8, R м ) изоморфны только тогда, когда изоморфны подграфы, определенные на подмножествах множества 8, соответствующих перестановкам П1 ’]^, где I = 1,у = 1,

Очевидно, что если графы изоморфны, то данный итерационный алгоритм непротиворечив для всех Ш,\< т ^ Г(8). В противном случае либо векторы

йм (тт и й^ (не эквивалентны, либо перестановки Пт_^ и Пт противоречивы для некоторого Ш.

Подчеркнем, что проверять на непротиворечивость перестановки П ^ и Пт имеет смысл только для тех значений параметра т, для которых существуют подмножества А 0 8(т) с ненулевыми значениями векторов йм (т т и й^ (в соответствующих классах разбиений (2). Например, если количество различных элементов в классах разбиений (4) не превышает двух и перестановки П и непротиворечивы, то проверка на изоморфизм заканчивается для значения Ж = 2, вне зависимости от величины г(8). Действительно, в этом случае на множестве 8

существуют перестановки вида (5), такие, что подграфы, определенные на

соответствующих подмножествах из семейств 8 (1) и 8 (2), изоморфны. Следовательно, чтобы установить изоморфизм матроидов М^, М2 Е М (8), достаточно проверить условие П2 (С) Е R м для всех циклов С Е R М и только

таких перестановок .

Пусть П - взаимно однозначное соответствие на множестве 8, тогда для любого матроида МЕМ (8) через п(М) будем обозначать матроид, изоморфный матроиду М. Предположим далее, что матроиды М, Н Е М (8) связаны

элементарным отображением М---------Ф—— Н, порожденным модулярным фильтром

Фм = ф(R н - К м). Покажем, что тогда и изоморфные матроиды п(М),п(Н) Е М (8) связаны элементарным отображением, порожденным модулярным фильтром Фп^м) = Ф(п(R н ) — м )). Действительно, ввиду

взаимной однозначности соответствия П, справедливо равенство ^ н ~ ^ м ) = ^ н ) —п( ^ м ), и, с учетом свойств изоморфных матроидов,

если цикл ОЕR н - R м, то цикл п(О)н)- п(R М). Поскольку для изоморфных матроидов каждой флате Аоднозначно соответствует флата п( А) м) , то из вышесказанного следует, что если фильтр - модулярный

фильтр матроида М, то фильтр Фп^м) также является модулярным фильтром

матроида п( М). Таким образом, мы получаем следующий результат.

Утверждение 3. Пусть матроиды М, Н Е М (8) и матроид Н-элементарный фактор матроида М. Тогда в любом изоморфном матроиду М матроиде п( М) всегда найдется элементарный фактор п( Н), изоморфный матроиду Н.

Таким образом, если для любого матроида М Е М (8) можно было бы

отличным от перебора методом построить цикловую структуру всех его элементарных факторов, то с помощью описанного выше алгоритма можно было бы построить, а значит, и перечислить все неизоморфные матроиды заданного ранга в множестве М ( 8). В работе [2] было отмечено, что такой процедуры в общем случае не

существует, как не существует и отличного от реализации метода перебора алгоритма построения всех лифтов произвольного матроида. Далее мы покажем, что конкретно для бинарных матроидов данная проблема разрешима как для лифтов, так и для элементарных факторов матроидов из множества N (8). Более того, с помощью С -

факторизации можно, используя описанный выше алгоритм, построить цикловую структуру всех бинарных матроидов и, следовательно, всех неизоморфных матроидов

из множества N (^).

Для любых бинарных матроидов М, Н Е N (8), если матроид н является

О -фактором матроида М (см. [3]), то матроид М будем называть G -лифтом матроида н.

Напомним, что любым матроиду N Е М (8) и базе В Е В ^ однозначно соответствует семейство фундаментальных циклов вида

С N (В) = {С (Ь , В) Є R

N

Ь ЄБ - В}.

(6)

Рассмотрим схему вида

м

ь

м*

Ф

І I

Т ґТ>*

Н

ь ,

Н *

(7)

где и матроиды М, Н Є N (8) и дуальные к ним матроиды М*, Н* Є N (8) - бинарные и связаны элементарными отображениями,

порожденными соответствующими модулярными фильтрами Фм и Фн*.

Теорема 1. В условиях схемы (7) для любых базы В0 £ В н, подмножества ВІ С В0- = 5 - Б0 є в н... такого, что модулярный фильтр

ф\=ф(р *(о:»,

Ґ

н* V~н■ х-'о ^ '—'-'о

соответствующее семейство фундаментальных циклов имеет вид

И’

С м (Во + <) = [С„ (Ь\ Во) Є R н Ь' Є В* - О'*} +

+{С„(Ь,Во)® СнВо) Ь' ЄБ -<}■

(8)

Доказательство. Рассмотрим семейство фундаментальных циклов

CH(Bo) = {С„(Ь\Bo)еR НЬ' еВо*} матроида H Е N (S) . Так как, по

предположению, в схеме (7) матроид M является G -фактором матроида H * и модулярный фильтр Фн* = Ф( Fн *( D0)), где подмножество D £ во, то

Сн (Ь , B0) П Dq = 1, если & 0 D0 , и Сн (Ь , ß0) П D = 0, если

Ь* Е *о* - D0. В условиях утверждения и согласно теореме 5[4] матроид

M Е N (S) является в схеме (7) G -лифтом матроида H Е N (8), и из теоремы

3[4] получаем, что CH (b , BQ) Е F м , если Ъ* еD*0, и Сн(Ь\50)Е R м П R H,

а значит, и CH (b , Во) Е R м, если ^ , что соответствует первому

слагаемому в (8).

Отсюда также следует, что CH (d0, BQ ) Е F м для любого элемента dQ Е DQ.

А так как dQ ^ ßQ, то и множество В о + d0 Е F m , а поскольку

ru (S) = rH (5) +1 , то множество B0 + d0 Е B M. Пусть элемент d * E D0* - d0*. Тогда в матроиде M существует единственный фундаментальный цикл см (dБ0+d0) для элемента d в базе B0 + d0. При этом обязательно

d0 Е CM (d , BQ + dQ), ибо в противном случае имеет место равенство

CM (dB0 + d0) = CH (d , Bo), что противоречит условию CH (d \ B0) e F

Так как циклы CH (d , B0), CH (d0, BQ) E C я (BQ), то либо двоичная сумма

CH (d0,ß0) ® CH(d ,ß0)E R H, либо Ся(d0,ß0) П Ся(d ,ß0) = 0 и

Ся(d0, Д0) ® CH(d , Д0) = Ch(d0,50) + Ch(d ,Д0). в любом случае

(Ся (^0,50) ® CH(d , 50)) П D0 = 2. Следовательно, в соответствии с теоремой 3 [4], учитывая единственность фундаментальных циклов, либо цикл

CM (d*>B0 + dо) = CH (d0>Bo) ® CH (d*>Bo) Е R M n R H, либо

CM (d*>3, + d0*) = CH (d*, 50) + Ся \50) E R M - R H П R M W

Из теоремы 1 и полученных в [4] результатов, таким образом, следует, что для бинарных матроидов, в отличие от общего случая, можно отличным от метода перебора конструктивным образом построить цикловую структуру всех G-лифтов бинарных матроидов из множества N (S).

Результаты подсчета количества неизоморфных матроидов, полученные методом перебора, известны для небольших значений параметра П, П = 10 (см., например, [5]).

Исходя из этих подсчетов, количество неизоморфных бинарных матроидов ранга

(( П

П — к можно оценить величиной О .

%%к)}

Теорема 2. Для построения всех неизоморфных бинарных матроидов из множества N (5) существует основанный на процедуре О -факторизации алгоритм

I |3 Ы

трудоемкостью О( Ы 3 ) арифметических операций.

Доказательство. Рассмотрим бинарный матроид М £ N ^_к (8) и О -факторизацию канонического отображения В(8^ М вида

8(8) = М0 ——>М, — >...Мк-, — >Мк = М. (9)

Пусть 8 = {1,2,...,П}. Для построения всех неизоморфных матроидов М^

ранга П — к с использованием процедуры О -факторизации вида (9) опишем алгоритм, состоящий из следующих этапов.

1) Для каждого матроида Мк_1 из массива неизоморфных матроидов ранга

П — к + 1 задается 2” —+1 — 1 подмножеств ^ Е В, где база В £ В ,, , и

к мк-і

строятся цикловые структуры матроидов М„, как О -факторов неизоморфных матроидов р порожденных модулярными фильтрами Ф( Fм ()).

2) По цикловой структуре О -фактора М^, в свою очередь, строится семейство

векторов {ЯЛ, (а) \аЄ5} и вычисляются значения параметров

^ мк (г) 1,1 * г * п - к +1

3) Полученные на этапе 2 значения параметров сравниваются с уже имеющимися соответствующими значениями параметров для ранее построенных

неизоморфных О -факторов М^. В случае их несовпадения цикловая структура, а также соответствующее семейство векторов {ЯЛ. (а) \а Є5} вместе с упомянутыми

выше значениями параметров добавляются в массив неизоморфных О -факторов М^.

4) Если на этапе 3 значения параметров совпадают, то используется описанный выше алгоритм проверки на изоморфизм для всех т, 2 < т < П — к + 1. Если на

каком-либо этапе алгоритма построений матроид М^ не считается изоморфным, то

процедура записи в массив неизоморфных О -факторов повторяется.

Согласно утверждениям 2 и 3, в результате работы такого алгоритма будут

построены все неизоморфные бинарные матроиды М^ ранга П — к.

Основная трудоемкость алгоритма сосредоточена на этапе 4, который связан со

сравнением (П — к + 1) чисел для проверки соответствующих векторов ^ на

эквивалентность. Ранее отмечалось, что чем больше т, тем меньше подмножеств

А £ $(т), принадлежащих соответствующим классам разбиений, для которых

вектора не нулевые. Поскольку для т = 2 количество проверок на этапе 4) не

■‘м

больше величины п +

то количество упомянутых сравнений можно

оценить величиной О ( П П ).

Таким образом, если предположить, что этап 4 выполняется для всех неизоморфных матроидов _р то общая трудоемкость при построении всех

неизоморфных бинарных матроидов ранга П — к, определенных на множестве $

мощности |$| = П, не превышает величины О

(

п 2(п - к +1)

/

&

п к -1

# #

- к+1

/

Соответственно, трудоемкость построения всех неизоморфных бинарных матроидов из

I |3 Ы

множества N (5) оценивается величиной О (£ 3м). м

Эта оценка позволяет сделать вывод о том, что с помощью основанного на процедуре С -факторизации канонических отображений алгоритма можно построить в явном виде цикловую структуру всех неизоморфных бинарных матроидов из множества N (5) для множества $ достаточно большой мощности. Подчеркнем, что проблема построения всех неизоморфных матроидов, в том числе и всех неизоморфных бинарных матроидов для значений параметра П > 10, считается, согласно дополнению к переизданной в 2006 году монографии Оксли [5], нерешенной. Известно только, что при П —— 00 количество неизоморфных бинарных матроидов стремится к

1 ,

величине

где

N * (^) - число бинарных матроидов ранга к,

П! *=о

подсчитанное по формуле (5) [4].

Ниже приведены результаты подсчета по описанному выше алгоритму количества всех неизоморфных бинарных матроидов из множества N ($) для

| £ | = П и П < 14.

к / п 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

2 1 3 6 10 16 23 32 43 56 71 89 109 132

3 1 4 10 22 43 77 131 213 333 507 751 1088

4 1 5 16 43 106 240 516 1060 2108 4064 7641

5 1 6 23 77 240 705 1988 5468 14724 39006

6 1 7 32 131 516 1988 7664 29765 117169

7 1 8 43 213 1060 5468 29765 173035

8 1 9 56 333 2108 14724 117169

9 1 10 71 507 4064 39006

10 1 11 89 751 7641

11 1 12 109 1088

12 1 13 132

13 1 14

14 1

Всего 2 4 8 16 32 68 148 342 848 2297 6928 24034 98854 503137

Заметим, что поскольку матроид дуальный к бинарному матроиду также бинарен, то количество в том числе и неизоморфных матроидов рангов к и П — к в множестве N (S) должно совпадать. Вместе с тем подчеркнем, что описанный выше

алгоритм последовательно строит неизоморфные матроиды ранга П — к по

построенным ранее неизоморфным матроидам _ ранга П — к +1,

безотносительно к их возможной дуальности к уже построенным матроидам. Другими словами, совпадение в приведенной таблице соответствующих значений является дополнительной проверкой корректности реализации данного алгоритма.

Библиографический список

1. Гизунов С. А., Лямин В. Н. Сечения матроидов // Ученые записки: электронный журнал Курского государственного университета. 2010. № 2. URL: http://scientific-notes.ru/pdf/014-2.pdf (дата обращения: 13.03.2011).

2. Гизунов С. А., Лямин В. Н. Псевдоматроиды, порожденные отображениями матроидов.

3. Гизунов С. А., Лямин В. Н. Полуматроиды, порожденные G -отображениями бинарных матроидов.

4. Гизунов С. А., Гречкин А. О., Лямин В. Н. G-факторизация канонических отображений.

5. Oxley J. G. Matroid Theory. N.Y.: Oxford Univ. Press, 1992. 532 p.