Полуматроиды, порожденные G-отображениями бинарных матроидов Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 510

ПОЛУМАТРОИДЫ, ПОРОЖДЕННЫЕ G-ОТОБРАЖЕНИЯМИ БИНАРНЫХ МАТРОИДОВ

© 2011 С. А. Гизунов1, В. Н. Лямин

2

докт. техн. наук, профессор e-mail: [email protected] 2канд. техн. наук e-mail: n. lyamin. dex@gmail. com

i

Курский НИИ Министерства обороны РФ

Вводится новый для теории матроидов класс элементарных отображений, сохраняющих бинарность и получивших название G-отображений. Исследуются свойства полуматроидов, порожденных G-отображениями как частного случая псевдоматроидов. Доказывается, что полуматроиды, в отличие от псевдоматроидов, могут рассматриваться как аксиоматически заданные алгебраические объекты, функционально связанные с категорией бинарных матроидов и их отображений.

Ключевые слова: полуматроид, цикл, флата, база, бинарный матроид.

Обозначим через N (S) ^ M (S) совокупность бинарных матроидов, определенных на множестве S.

Пусть для любого подмножества A С S обозначение A — min означает, что не существует строгого подмножества в с A с такими же свойствами, как и множество A. Симметрическую разность любых подмножеств Dj, D2 ^ S будем обозначать как их двоичную сумму DjVD2 = d © D2.

Для бинарного матроида M ^ N (S) и множества Dq 0 F м определим семейства подмножеств Fм (А) и r „ (А) следующим образом.

Если C П Do = 0 для любого цикла C 0 R м, то

и

В противном случае семейству все множества вида

кроме множества Dq принадлежат

D = D0 ®УС,,

iEI

(1)

удовлетворяющие условиям C п А *0 и D — min для любого непустого множества индексов I, и

(2)

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ

В дальнейшем, если количество циклов в (1) несущественно, будет использоваться запись D = Do ® £C.

Ряд свойств семейства Fм (DQ ) объединяет следующая теорема.

Теорема 1. Для любого бинарного матроида M 0 N (S) и подмножества DQ 0 Fм семейство подмножеств Fм(Dq) удовлетворяет следующим свойствам:

1) если D0FM(Д), то Dе Fм и VM(D) = FM(D0);

2) для любой базы B 0 B м существует единственное подмножество D 0 B, такое, что D ^ FM (Dc);

3) для любых баз Bl5В2 0B м существует единственная пара подмножеств D} 0 B} и D2 0 B2 , таких, что Fм (A) = Fm (А);

4) для различных подмножеств D1, D2 0 B любой базы B 0 B M справедливо FM(Д) * FM(D2).

Доказательство

1) По определению Д 0 F м. Пусть D0FM(Д) и D = D0 ©^Ci. Предположим, что существует цикл C 0 R M такой, что C 0 D. Из того, что D ® ^ Ci = Do е F M и из аксиомы циклов для бинарных матроидов [1] C © ^ ^ Cj ^ F M следует, что C ^ D. Таким образом, C 0 D, а значит,

и D © C 0 D.

Так как цикл C ^ Dq , то C П Ct — D0) ^ 0. Отсюда следует, что в

сумме 2 с;=С ®2 С, всегда найдутся циклы Cv, такие, что Do п с; *0. Следовательно, D0 © ^ Cv 0 D © C и D0 © ^ Cv 0 FM (D0 ), что с учетом

включения D © C 0 D противоречит условию D — ШШ . Таким образом, предположение о зависимости множества D неверно.

Так как D0 = D © ^ Ci, то D0 0 Fm (D) и FM (D0) 0 FM (D). Обратное включение доказывается аналогично, если поменять множества D и Dq местами.

2) Пусть B 0 B м. Предположим, что Dq ^ B. Тогда D0 - B *0 и для любого элемента d 0 D0 — B всегда найдется единственный цикл C(d, B) G R M, такой, что d 0 C(d, B) 0 B + d. Отсюда следует, что

Dq © ( ©C(d, ВУ) 0 B. Из аксиомы для циклов бинарного матроида полу-

d®Do — В

чаем, что

2 ©С (d, B) = ^ C'j , причем по построению в сумме C . всегда

d 0Dq — B

Уч

2011 № 2 (18)

Гизунов С. А., Лямин В. Н. Полуматроиды, порожденные G-отображениями

бинарных матроидов

будет присутствовать набор из | Dq — B | циклов Cd, содержащих все элементы d 0 D0 — B. Другими словами, всегда существует множество

D = Do ф ( ^ C)еFm(Do) , для которого справедливо включение D С B.

d ED0 — B

Предположим, что существуют различные множества D1?D2 0FM(Dq) такие, что Dj, D2 0 B для некоторой базы B 0 B м. Тогда, по определению семейства FM(D0), получаем, что Dl © D2 = ^^Ci, где Ct 0 R M и Dl ® D2 © B,

iEI

что невозможно.

3) Из свойства 2) следует, что для заданного множества Dq 0 Fм в любой базе B 0 B M содержится единственное подмножество D С B, такое, что

D е fm (Do). Доказательство свойства 3) следует, таким образом, из свойства 1), а именно: из справедливости равенства FM(D) = FM(Dq) для всех подмножеств

d е fm (D„).

4) Предположим, что множество Dq 0 Bq для некоторой базы Bq 0 B м. Выберем подмножество D ^ Dq и D с Во . Из доказанного выше свойства 2) следует, что D Ф F„ (Do), а из свойства 1), что F„(D) * Fm(D0). Доказательство свойства 4), таким образом, получается из того факта, что множество Dq может быть любым подмножеством из семейства F м и, значит, принадлежать любой базе из семейства B м W

Теорема 2. Для любых бинарного матроида M 0 M (S) и подмножества D0 е f м совокупность подмножеств R н 0 2S, удовлетворяющая равенствам

R H ■ R M = FM(Do) и R H О R m = Rm(Do), является семейством циклов бинарного матроида H 0 M (S), связанного с матроидом M элементарным

отображением M Ф—— H, порожденным модулярным фильтром

Фи = Ф( (А))-

Доказательство. Покажем, что определенное в утверждении семейство R ^ является семейством циклов бинарного матроида H 0 N (S) . Пусть Dj, D2 0 R н. Если D1?D2 0Fm(D0) = R H - R M, то Dl © D2 = ^Ct, где либо

Ct 0RM(Dq), либо Ct 0R M — RM(Dq). В последнем случае существует подмножество D,e f„ (Do) такое, что Dx 0 Cf. Тогда, если обозначить D = C, ® D1= C,- Dj, то имеет место включение D2 E Fm (Dq) и при этом

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ

C{ = Di+ D2. Таким образом, двоичная сумма Dх © D2 разбивается на сумму непересекающихся подмножеств из семейства R ^.

Аналогичный результат для подмножеств Dx, D2 G R н 0 R м = R M (D0) следует из аксиомы циклов для бинарного матроида M G N (S) и опять же из вида циклов из множества R м Rm(D0).

Если D G VM (D0) и D2 G Rm (Dq), то, поскольку цикл D2 0 R M и D2 ф R M — R H, либо Dx П D2 = 0, либо Dx П D2 ^ 0 и Dx П D2 ^ Dx. в первом случае Dx © D2 = Dx + D2, где Dx, D2 G R H, а во втором, по определению, Dx ©D2 = DGFM(Dx) и, следовательно, D G R ^. Суммируя, получаем, что двоичная сумма Dx © D2 разбивается на сумму непересекающихся подмножеств из семейства R ^. Таким образом, семейство подмножеств R ^ удовлетворяет аксиоме циклов для бинарного матроида из множества N (S).

Рассмотрим подмножество A G S и флату (A) в матроиде м е n (S). Из утверждения 1 [2] следует, что

Зм (A) = {a G S\a G А или а GС С A U а, где CG R M }.

Если цикл CGRм(Do) = R н П R м, то, очевидно, CGR н. Если цикл

СGR M-RM(D0), то С = Dx + D2, где Д,D2 GFm(Dq)----------------R H - R M,

то есть цикл C опять же есть прямая сумма циклов из R н. Другими словами, в любой ситуации мы получаем, что (A) G (A). С учетом свойства 2) утвержде-

ния 4 [1] отсюда следует, что существует строгое отображение M ^ H. Элементарность этого отображения, в свою очередь, следует из свойства 2) теоремы 1. Таким образом, между матроидами M и H существует элементарное отображение

M Ф—— H, которое, согласно теореме 2[1], порождается модулярным фильтром

ФМ = Ф(R H - R M ) = Ф(FM (D0)). W

Определение 1. Элементарное отображение M-----Ф—— H бинарных матроидов

М, H G N (S), порожденное модулярным фильтром Фм = Ф(FM (Dq)) для некоторого подмножества Dq G F ^, будем называть G -отображением, а бинарный матроид H , соответственно, G -фактором бинарного матроида M.

Заметим, что все петли бинарного матроида M G N (S) всегда принадлежат,

по определению, семейству циклов R м ( D0) для любого множества DoЕ F м и,

следовательно, любому его G -фактору H G N (S) .

Подчеркнем, что G -фактор бинарного матроида автоматически будет его элементарным фактором.

Уч

20 11 № 2 (18)

Гизунов С. А., Лямин В. Н. Полуматроиды, порожденные G-отображениями

бинарных матроидов

Определение 2. Для любых связанных G -отображением бинарных матроидов м, н е n ( s ) псевдоматроид A ( M, H) (см. [2]) будем называть полуматроидом.

Характерное свойство, принципиально отличающее полуматроид от псевдомат-роида, заключается в том, что в полуматроиде A ( M, H) двоичная сумма A -циклов не является A -циклом. Далее мы покажем принципиальную важность этого свойства.

Теорема 3. Для бинарных матроидов М, Н £ N (S) матроид Hявляется G -фактором матроида M тогда и только тогда, когда для любых циклов Д, D2 G R H - R M выполняется равенство Dx ® D2 = ^ Ct, где Ct £ R M и

для любого цикла C G R м — R н флата (C) в матроиде H - циклическая.

Доказательство. Если матроид H является G -фактором матроида M, то справедливость условий следует из теоремы 2. В частности, если цикл

CG R м — R н, то C = Д + Д, где циклы Д, D2 G R h — R m, и, следова-

тельно, флата (С) в матроиде H циклическая. Докажем достаточность.

Для любого цикла C G R M справедливо C G R M П R

н

CV

либо

C G R м — R н. Если C G R м — R н, то, по предположению, флата (С) в

H циклическая и, значит, C = ид , где циклы д е R н - R M, ибо в

матроиде

M’

противном случае существовали бы циклы из множества R м, содержащиеся в цикле C, что невозможно. Таким образом, цикл C есть объединение циклов из множества R н. Отсюда, так же как и при доказательстве теоремы 2 следует, что матроиды M и H связаны строгим отображением, поскольку для любого подмножества A G S справедливо включение (A) £ (A).

То, что отображение является элементарным, следует из того факта, что в любой базе в е в M не может содержаться более одного цикла из семейства R н — R м, так как если таких циклов несколько, то их двоичная сумма содержит цикл матроида M, что невозможно. А поскольку отображение строгое и (S) < rM (S) , то такой

цикл содержится в любой базе B £ B м и, значит, (B) = гм (B) -1.

По предположению, если циклы Dq, D £ R н — R м, то имеет место равенство D ® D = £ C, , где циклы Ci £ R M. Тогда для любых таких циклов Д выполнены оба условия Dq О Сх ^ 0 и D П C. *0, так как в противном случае либо Ct £ Dq , либо Ct £ D, что невозможно, поскольку D, Dq £ F м. Следовательно, D = D0 ® ^ Д £ FM (D0 ) для любого цикла D £ R н — R м. А так как, по определению, Dq £ Vм(Dq), то R н — R м £ Vм(Dq) для любого цикла D0 ^ R H - R M

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ

С другой стороны, так как бинарный матроид H G N (S) - элементарный фактор бинарного матроида M G N (S), то из теоремы 3 [1] следует, что с = д и d2 для любого цикла с е R M - R H, где циклы

D}, D2 G R h — R M. Поскольку D} ® D2 G C и, по предположению D © d2 = Y C , где циклы C G R M, то последнее включение возможно только тогда, когда с = d + d2 . Следовательно, для любого цикла С е R M - R H существует цикл Di G R н — R м, такой, что C П D1 ^ 0 и

C ® D} = D2 G R h — R M. Пусть теперь цикл C G R H П R M и C П D * 0 для некоторого D G R H - R M. Тогда по аксиоме циклов для бинарных матроидов D © C = Y D' , где для каждого цикла в прямой сумме либо D G R н — R м, либо D E R H П R M. В первом случае D ® D G C, что по предположению допустимо только тогда, когда D ® C = D E R H - R м . Если цикл D E R H П R M, то наоборот D ® C С D и по аксиоме циклов для бинарных матроидов D ® C = Y C , где циклы C G R M, что невозможно, так как по свойству 1) теоремы 1 множество D G F м.

Таким образом, суммируя, получаем, что для любого цикла C G R м, такого, что C П D *0 , где D G R H - R M, существует цикл D = C ® D, и при

этом

D G R H - R M. Отсюда следует, что поскольку согласно (1) любое множество

M

К

D е fm (и,) имеет вид D = Do ©^ C, , где C, ПD0 *0 , то справедливы ра-

i= 1

венства

k k

D = И, ®У C, = = D ©Y C, =... = Dk- © Ck = Dk e R „ - R m •

f=l i=2

Следовательно, FM (D0) C R H - R M и, учитывая ранее сказанное,

R н - R m = Fm(Do).

Выше мы уже показали, что любой цикл C G R м — R н не принадлежит семейству R м ( Dq) , определенному соотношением (2), так как всегда найдется цикл D е F* (Do) , такой, что D G C. Этот факт завершает доказательство теоремы. W

Теорема 3 справедлива для любых бинарных матроидов M, H G N (S). Однако, если известно, что матроиды связаны между собой элементарным отображением, то соответствующие условия можно упростить.

Уч

КУ,

»,л

20 11 № 2 /18)

Гизунов С. А., Лямин В. Н. Полуматроиды, порожденные G-отображениями

бинарных матроидов

Теорема 4. Если бинарные матроиды M, H Е N (S) связаны элементарным

отображением M-------Ф—— H, то матроид H является G -фактором матроида

M тогда и только тогда, когда для любых циклов D1, D, Е R н — R м выполняется равенство D © d2 = V ci , где циклы Ct £ R м.

Доказательство. Поскольку для любого элементарного отображения

M Ф—— H соответствующий модулярный фильтр Фм = Ф( R H - R

м) и для

любого цикла с е R м - R H справедливо равенство С = D1 U D2, где циклы

D D2 Е R H - R M, то доказательство теоремы непосредственно следует из теоремы 3. W

Теоремы 3 и 4 позволяют ввести понятие полуматроида, как аксиоматически заданного алгебраического объекта, порожденного бинарным матроидом из множества N (S). Действительно, для любого бинарного матроида M Е N (S) можно определить полуматроид A ( M) , семейство A -циклов которого удовлетворяет аксиоме

циклов для бинарных матроидов за тем исключением, что двоичная сумма любых A -циклов разбивается на сумму непересекающихся циклов не самого полуматроида A ( M) , а матроида M. Таким образом, каждый бинарный матроид M Е N (S) порождает некоторую совокупность полуматроидов { A (M)}.

Любому полуматроиду из семейства { A( м)} соответствует, согласно теоремам 1 и 3, G -фактор H Е N (S) матроида M и, следовательно, полуматроид A (M, H). И наоборот, любой полуматроид из множества { A (M, H) } определяется G -фактором H Е N (S), то есть элементарным G -отображением, и, согласно теореме 4, принадлежит семейству { A (M)}.

Таким образом, введенное в работе понятие G -отображений бинарных матрои-дов позволяет построить совокупность полуматроидов, заданных на множестве S, как алгебраическую структуру, аксиоматически порожденную множеством бинарных мат-

роидов N (5).

Библиографический список

1. Гизунов С. А., Лямин В. Н. Сечения матроидов // Ученые записки: электронный журнал Курского государственного университета. 2010. № 2. URL: http://scientific-notes.ru/pdf/014-2.pdf (дата обращения: 13.03.2011).

2. Гизунов С. А., Лямин В. Н. Псевдоматроиды, порожденные отображениями матроидов.