Псевдоматроиды, порожденные отображениями матроидов Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 510

ПСЕВДОМАТРОИДЫ, ПОРОЖДЕННЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯМИ

МАТРОИДОВ

© 2011 С. А. Гизунов1, В. Н. Лямин2

1докт. техн. наук, профессор e-mail: [email protected] 2канд. техн. наук e-mail: [email protected]

Курский НИИ Министерства обороны РФ

В статье вводятся новые в теории матроидов алгебраические объекты -псевдоматроиды, порожденные элементарными отображениями матроидов. Псевдоматроиды однозначно описывают породившие их элементарные отображения матроидов и сами, в свою очередь, однозначно определяются некоторыми сечениями их семейств циклов. Изучение свойств псевдоматроидов позволило получить ряд новых результатов для элементарных отображений матроидов. В частности, в явном виде описана цикловая структура лифтов Хиггса матроида при каноническом отображении.

Ключевые слова: матроид, отображение, операция замыкания, псевдоматроид, база, факторизация, лифт Хиггса.

Произвольный матроид M ^ M (S) однозначно определяется (см. [1])

O'

семейством своих замкнутых множеств , порожденных оператором замыкания со свойством обмена. Если ^5^

С , то матроиды M, H G M (S) связаны строгим отображением (ps : M ^ H, а матроид H называется фактором матроида M. Поскольку для свободного матроида B(S) ^ M (S) по определению (s) = 2, то

— ^в(S) для любого матроида M ^ M (S), а соответствующее строгое

отображение называется каноническим. Каноническое отображение, как и любое строгое отображение, факторизуется на элементарные отображения - строгие отображения, понижающие ранг матроида на единицу и описывающиеся минимальными элементами, которые однозначно определяют их модулярные фильтры (см. [1]).

В [1] показано, что модулярный фильтр любого элементарного отображения

м а н имеет вид Ф = ф(R H - R M) и, следовательно, порождается

циклами из подсемейства R н - R M. Если R H ^ R M = 0, то Фм Ф(^ H)

и минимальные элементы модулярного фильтра совпадают с семейством циклов

матроида H, а сам модулярный фильтр Фм - с семейством всех его зависимых

множеств. Если же R н П R м ^ 0, то циклы из подсемейства R н - R M не

будут семейством циклов какого-либо матроида из множества M (S). Далее мы покажем, что обе эти ситуации можно объединить, если ввести более общие

алгебраические объекты матроидного типа - псевдоматроиды, порожденные элементарными отображениями матроидов.

Псевдоматроиды и их базы

Пусть A - произвольный набор подмножеств множества S, такой, что A g B для всех подмножеств A, B 0 A . Для любого подмножества A С S

определим операцию замыкания A ^ A следующим образом:

A = {a 0 S a 0 A или a G C 0 A U a, где C G A }. (1)

Покажем, что операция замыкания (1) удовлетворяет свойству обмена. Пусть элементы a, b 0 S такие, что a ^ A и a 0 A U b. Тогда, согласно (1), найдется подмножество C e a , для которого a 0 C 0 (A U b) U a и при этом C ^ A U a. Таким образом, a, b 0 C и b 0 C 0 ^ U $ U b, откуда следует, что

& E A U a.

Сказанное означает, что если операция замыкания (1) будет удовлетворять

свойству идемпотентности, то есть если A = A для всех подмножеств A С S, то она будет удовлетворять аксиоме замыкания для некоторого матроида из множества

M (S).

Можно показать (см. [3]), что верно и обратное утверждение.

Утверждение 1. Операция замыкания A ^ A для всех подмножеств A 0 S

вида

A = {a £ S a £ A или a G C 0 A U a, где C G A }

удовлетворяет свойству идемпотентности тогда и только тогда, когда семейство A является семейством циклов некоторого матроида из множества

M (S).

Пусть M----------^ H элементарное отображение, порожденное модулярным

фильтром Фм, A = R н — R м и, соответственно, Фм = Ф( A) . Если

R H ^ R M = 0 , то A = R H и, учитывая утверждение 1, операция замыкания (1)

удовлетворяет свойству идемпотентности. Если R H ^ R M ^ 0, то A не будет

семейством циклов матроида из множества M (S). Однако, если подмножества из

семейства A назвать A -циклами, то, так же как и в случае с матроидами, с помощью удовлетворяющей свойству обмена операции замыкания (1) можно определить псевдоматроид A (M, H). Любое подмножество A 0 S будет A -независимым в

псевдоматроиде A (M, H), если оно не содержит как подмножества A -циклы. В

противном случае, оно будет A -зависимым. Соответственно, A -базами псевдоматроида A ( M, H) будут максимальные A -независимые подмножества

B С S, такие, что B = S. в частности, если R н ^ R м = ^, то множество A -

О Л 7 7 Л/л О /7£Ч

циклов псевдоматроида А ( М, Н) совпадает с семейством циклов R ^, а множество

А -баз совпадает с семейством баз В н. В общем случае справедлив следующий результат.

Теорема 1. Если К м и К н семейства коточек матроидов М, Н £ М ($),

связанных элементарным отображением М----------------Ф——Н, то Кн есть

семейство А -баз псевдоматроида А (М, Н).

Доказательство. Предположим, что подмножество В £ 5 есть А -база псевдоматроида А (М, Н). С учетом равенства А = R н — R м получаем, что

(Б) = X и гн (В) = гн (5) = ги (5) -1. Отсюда следует, что в к, где

к є к н, и, так как отображение элементарное, найдется коточка К0 К^,

такая, что В С К. Поскольку коточка к $ Фи = Ф( А), то она А -независимое множество. С учетом максимальности А -баз получаем, что В = К.

Обратно, для любой коточки К £ К м выполняются равенства

гм (К) = гм С5") -1 = гн (5). Если к Є К м - К н, то

гн (К) = г, (К) = гн (Я), и, следовательно, коточка К является порождающим подмножеством множества $ в матроиде Н £ М ($). При этом К фФи = Ф(R н - R М ), так что множество К С £ будет А -независимым для

А = R н - R м.

Если а £ $ — К, то Гм (к и а) = гм (51) > гн (К и а) = гн (51).

Следовательно, К и а£Ф(А ), то есть А -зависимое множество. Таким образом, суммируя, получаем, что каждая коточка к є к м - к Н является максимальным А -независимым множеством, порождающим множество $ в матроиде Н £ М ($), то есть, является А -базой псевдоматроида А (М, Н) и других А -баз нет.

Для любого элементарного отображения М-----------------—> Н, порожденного

модулярным сечением Y м, принадлежащие ему коточки образуют линейное сечение

L м семейства коточек К м (см. [1]). Из теоремы 1, таким образом, следует, что А -

базами соответствующего псевдоматроида А (М, Н) являются коточки из

подсемейства к м - 1_ м и 1_ м = к м П к н.

Более того, с учетом сделанного ранее замечания как следствие теоремы 1 получаем следующий результат.

Теорема 2. Для произвольного матроида М £ М ($) существует

элементарный фактор Н £ М ($), такой что R н П R м = 0, тогда и только

тогда, когда К Кн = В н.

Заметим также, что теорема 1 дает описание семейств А -независимых и А -зависимых множеств псевдоматроида А ( М, Н) как элементов, соответственно, порядкового идеала, порожденного А -базами, и порядкового фильтра, порожденного А -циклами. Вместе с тем подчеркнем, что в условиях, когда R м ^ R н ^ ^, из утверждения 1 следует, что в псевдоматроиде А ( М, Н) всегда найдется

подмножество А С 5, такое, что А ^ А. При этом для любой базы В

псевдоматроида свойство идемпотентности выполняется, так как из равенства В = £

очевидно следует, что В = В. Другими словами, в общем случае для псевдоматроидов А ( М, Н) такие понятия, как ранг или замыкание произвольного подмножества

А С 5 , однозначно не определены.

Псевдоматроиды и факторизация строгих отображений

В теории матроидов системы аксиом, описывающие однозначно определяющие матроид семейства подмножеств, например семейство флат, не содержат алгоритмической составляющей, позволяющей строить такие семейства. Иными словами, с их помощью можно только проверить удовлетворяет ли заданный набор подмножеств системе аксиом матроида. В такой ситуации для построения матроидов может быть предложена только процедура, основанная на переборе наборов подмножеств множества $ и проверке каждого такого варианта на выполнение требуемых свойств и мало чем отличающаяся по сути от тотального опробования. В этой связи представляет интерес разработка алгоритма конструктивного построения матроидов, принципиально отличающегося от метода опробования и имеющего по сравнению с ним существенно меньшую вычислительную сложность.

Построение лифта (см. [1]) М £ М (£) для любого заданного матроида Н е М (5) заключается в добавлении к семейству флат подсемейства

— % подмножеств множества 5 , таких, что множество будет семейством

флат матроида М ранга гн (^) + 1.

Из теоремы 1 следует, что для элементарного отображения максимальными элементами подсемейства флат будут А -базы соответствующего

псевдоматроида А ( М, Н). Учитывая этот факт, а также зная вид порождающих элементов любого модулярного фильтра Фм = Ф( R н - к м), на пр°цедуру

построения лифтов для заданного матроида Н можно взглянуть с иных, отличных от классических, позиций.

Действительно, с помощью процедуры лифтации, основанной на использовании свойств псевдоматроидов, можно в принципе конструктивным образом построить

семейство циклов R м некоторого матроида М через семейство циклов R н таким

образом, чтобы порядковый фильтр Фм = Ф( R н - к М) был модулярным

фильтром и, следовательно, М----------Ф—— Н было элементарным отображением.

Покажем, в частности, что именно таким образом в явном виде можно построить цикловую структуру лифта Хиггса при каноническом отображении В(S) —— Н.

О Л 7 7 Л/л 0/10

Замечание. Для любого подмножества А £ $ при описании его свойств будем

использовать обозначение А — ШШ, если не существует строгого подмножества В С А с такими же свойствами, как и множество А .

Теорема 3. При каноническом отображении В(S) ^ Н матроид

М £ М ($) есть лифт Хиггса матроида Н £ М ($) тогда и только тогда, когда

существует элементарное отображение М-Ф—— Н, такое, что семейство его

циклов

R м = (Д и В2\ Д,Б2 ЕR н и В1 и Б2 - шт}.

Доказательство. Предположим, что при каноническом отображении В(S) ^ Н матроид М есть лифт Хиггса матроида Н, так что

В(Х^ М ——Я. Если цикл С е р м П р н, то

С<Ф-ФМ = Ф(к н - к м ) и, следовательно, Гм (С) = Гн (С) = | С | - 1, что противоречит условию 2) утверждения 5[1], согласно которому любое подмножество С С 5 при факторизации Хиггса канонического отображения принадлежит

модулярному фильтру Фм, если | С | > (С). Отсюда следует, что

^ М ^ ^ Н = на основании теоремы 3 [1], получаем, что для любого цикла С £ R м = R м — R н найдутся циклы Д £ R н = R н — R м, такие, что

с=а и д.

Обратно. Для семейства подмножеств А = { Д и Д| Д, Д <= Rя и А и А - шт} введем операцию замыкания (1): для любого подмножества А С $,

А = {а 0 £ | а 0 А или а 0 С 0 А и а, где С 0 А }. Поскольку С = Д и Д

и Dl, 0 R н, то А С (А) для всех подмножеств А 0 $. Отсюда и из

свойства идемпотентности оператора замыкания для матроида н следует, что ^н (А) ^^н (^н (А)) = Зн (А). Так как (А) 0 (А), поскольку

А С А то, суммируя, получаем, что (А) = (А). Пусть операция замыкания

(1) не обладает свойством идемпотентности, то есть существуют подмножество

А С $ и элемент Ь £ 5, такие, что Ь ^ А и Ь £ А. Тогда найдется подмножество

С е А, для которого Ь<ЕС С А и Ь и С^А. Из условия Ь 0 С = Д и Д с А и Ь следует, что Ь 0^н (А) = %н (А), получаем

противоречие с предположением Ь ^ А (А). Следовательно, операция

замыкания (1) идемпотентна и семейство А , согласно утверждению 1, есть семейство циклов некоторого матроида М 0 М (£).

Заметим, что по построению R м ^ R н = Поскольку для любого подмножества А С 5 справедливо А ^ (А) , то из условия 2) утверждения 4 [1] следует, что существует строгое отображение Ср^ : М —— Н. Любой цикл В Є R н = R н - R М в матроиде М £ М (£) является независимым множеством и, таким образом, найдется база В £ В м, для которой В £ В. При этом для любой базы В є в М не существует циклов А, Д2 Є R Н, таких, что В^ и В2 ^ В, так как в противном случае найдется цикл С Є А , такой, что

С С В и С Є R М, что невозможно. Таким образом, матроиды М и н связаны не просто строгим, а элементарным строгим отображением.

Так как R м ^ R н = ^, то соответствующий этому элементарному

отображению модулярный фильтр имеет вид Фм = Ф^ Н). Поскольку в

свободном матроиде В( S) все подмножества А С 5 независимы и замкнуты, то для

любой флаты А^) равенство Гв(^)(А) = | А | = Гн(А) означает, что не существует цикла В Є R н = R н - R М, такого, что В £ А. Следовательно,

А £фм и матроид м, согласно условию 3) утверждения 5 [1], является не просто

лифтом для матроида Н, а именно лифтом Хиггса. М Из теоремы 3 следуют два важных вывода:

1) Если при каноническом отображении В(S) —— Н матроид

М £ М (£) есть лифт Хиггса матроида Н £ М (£), то R м П R н = 0.

Соответственно, лифты матроида Н, для которых ^ М ^ ^ Н ^0’ не являются лифтами Хиггса.

2) Если матроид Н £ М (£) бинарный, то при каноническом

отображении его лифт Хиггса не обязательно бинарный матроид.

Напомним, что при отображении верхнего усечения сохранение бинарности соответствующих матроидов также не обязательно. Следующая теорема показывает, как могут быть связаны между собой лифты Хиггса элементарного отображения и отображения верхнего усечения.

Теорема 4. Если М------------Ф—— Н элементарное отображение, то

^ М ^ ^ Н = ^ тогда и только тогда, когда элементарное отображение дуальных

Т т* Ф* л ж*

матроидов Н --------------> М есть отображение верхнего усечения и

Ф = ф(в н•)•

Доказательство. Предположим, что R м ^ R н = ^ Тогда, согласно теореме

2, справедливо равенство К м — К н = В н. Отсюда и из свойства 3) утверждения 2

[1] получаем , что £ - С є в „ для любого цикла С 0 R * — R * .В свою

п М Н

очередь, это означает, что С є в г * и элементарное отображение Н ------------^ М

н

порождается модулярным фильтром Фн* = м* — ^ н*) = Ф(В *), а

матроид М * Е М (£) есть верхнее усечение матроида Н* Є М (£).

Обратно, пусть матроид М Е М ($) есть верхнее усечение матроида Н Е М ($). Тогда К * П К * = 0. Отсюда, так же как и выше, получаем, что для любых циклов С Е R м и В Е R н справедливо неравенство $ — С ^ $ — В, а значит, и неравенство С ^ В. Последнее означает, что R м п R н = 0. «

В работе [1] показано (теорема 5), что если матроид Н есть верхнее усечение матроида м, то ^ М ^ ^ Н = 0 тогда и только тогда, когда IС | = ГМ (5) +1

для всех циклов С Є R м . Отсюда получаем следующий результат.

Теорема 5. Элементарные отображения М---------------— Н и Н -----------> М -

отображения верхнего усечения тогда и только тогда, когда | С | = (я)+1 и

|Я> гн.(5) +1 для всех циклов С Е R м и В Е *.

С учетом следствия к теореме 3 и согласно теореме 4, если при каноническом отображении В(S) ^ Н матроид М Е М (£) есть лифт Хиггса матроида

Н £ М (£) , то, поскольку ^ м ^ ^ н = 0, матроид М * Е М (£) есть верхнее

усечение матроида Н * Є М (£) , или, в свою очередь, матроид н * является

нетривиальным наращением матроида М ([1]). Отсюда, в частности, следует справедливость следующего утверждения.

Теорема 6. Если матроид М Е М ($) для некоторого матроида

Н Е М ($) является лифтом Хиггса при каноническом отображении В($) ^ Н,

то дуальный матроид М Е М ($) эректабелен.

Резюмируя, следует подчеркнуть, что в этой статье мы ввели новое для теории матроидов, согласно монографиям [2] и [3], алгебраическое понятие - псевдоматроиды, порожденные элементарными отображениями матроидов. А -циклами псевдоматроидов являются минимальные элементы соответствующих модулярных фильтров и, следовательно, псевдоматроид однозначно описывает породившее его элементарное отображение. Изучение свойств псевдоматроидов позволяет получить ряд новых результатов для элементарных отображений матроидов из множества

М ( £). В частности, описана в явном виде цикловая структура лифтов Хиггса матроида при каноническом отображении.

Библиографический список

1. Гизунов С. А., Лямин В. Н. Сечения матроидов // Ученые записки: электронный журнал Курского государственного университета. 2010. № 2. URL: http://scientific-notes.ru/pdf/Q14-2.pdf (дата обращения: 1З.0З.2011).

2. Oxley J.G. Matroid Theory. N.Y.: Oxford Univ. Press, 1992. 5З2 p.

3. WelshD.J.A. Matroid Theory. London: Acad. Press., 197б. 4ЗЗ p.