Оптимальные линейные коды и критическая проблема для матроидов Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 510

ОПТИМАЛЬНЫЕ ЛИНЕЙНЫЕ КОДЫ И КРИТИЧЕСКАЯ ПРОБЛЕМА ДЛЯ МАТРОИДОВ

© 2011 С. А. Гизунов

докт. техн. наук, профессор, gsa_sci@rambler. ги

Курский НИИ Министерства обороны РФ

Данной статьей завершается определенный этап в исследованиях, посвященных изучению свойств псевдоматроидов и полуматроидов, порожденных отображениями матроидов. На основе полученных результатов предлагается решение проблемы построения всех неизоморфных оптимальных линейных кодов для достаточно широкого диапазона значений параметров.

Ключевые слова: матроид, линейный код, оптимальный код, критическая проблема.

Обозначим через V пространство всех двоичных векторов длины П . Нетрудно показать, что линейная зависимость между векторами порождает на множестве V матроид М(V). Этот матроид в определенном смысле можно считать аналогом свободного матроида В( S), определенного на множестве $ ,|$ | = П. Аналогия состоит в том, что если в матроиде В(S) любое подмножество А С $ является флатой ранга Гв(^)(А) = | А | и 1 < | А | < П, то в матроиде М(V) флатами будут любые векторные подпространства размерности к,1 ^ к ^ П. В частности, коточки в матроиде М(V ), или гиперплоскости, это векторные подпространства размерности П — 1. Напомним, что отсюда следует (см. [6]) , что для любого векторного подпространства X С V размерности к всегда найдется П — к гиперплоскостей

Н15Н2,...,НП_к, таких, что X = Нх П Н2 П ... П НП_к.

Векторное подпространство X размерности к называется линейным (п, к) -

кодом с расстоянием й +1 , если ХМ ^ й +1 для всех векторов у£X, где

х(у) - вес Хемминга двоичного вектора У^Уп- Оптимальным называется такой

линейный код, для которого при заданных значениях параметров П и d значение параметра к максимальное. Такое значение параметра к для оптимального кода будем обозначать через 1^(П, d). Подчеркнем, что определение параметра 1^(П, d) является одной из основных проблем алгебраической теории кодирования.

Применительно к данному контексту для подмножества векторов

V (п, а) с г„ вида V(П, d) = (V 0 VП \х(У) — ^} критическая проблема (см. [6]) состоит в нахождении минимального количества Н(п, d) гиперплоскостей, имеющих

нулевое пересечение с множеством векторов V(П, d). Покажем, что критическая проблема в этом случае тесно связана с вышеупомянутой проблемой кодирования. Утверждение 1. Величины ty(n, d) и h(n, d) связаны соотношением

ty(n, d) + h( n, d) = n. (1)

Доказательство. Пусть Hl5 H2,..., Hh (nd) - минимальное множество

гиперплоскостей в Vn, таких, что H, n H2 п... n Hh^) П V(n,d) = 0. Тогда множество векторов X = Hx П H2 П... n Hh(n d) есть векторное подпространство размерности n — h(n, d), следовательно, по определению n — h(n, d) <ty(n, d), а значит, h(n, d) > П — d).

Обратно. Пусть Y векторное подпространство в Vn размерности ty(n, d), такое, что Y П V(П, d) = 0. Тогда найдется n -ty(n, d) гиперплоскостей

Н\,Н2,...,Нпd), для которых Y = Нх П Н2 П... П Нпd). Отсюда, и

опять же по определению, получаем неравенство h(n, d) < П -ty(n, d), что, с учетом вышесказанного, и доказывает равенство (1). W

Рассмотрим матроид M Е M (S). Для заданного целочисленного параметра

d, d ^ 1, подмножество ^ С S называется d -независимым в матроиде M, если

1) | A | > d;

2) из условий 5 С ^ и 151 = d следует, что B Е F м.

Предположим, что | S | = ^, и определим подсемейство подмножеств

S (n, d) С 2 S вида £(и,d) = (A с S || A | < d}. в этих обозначениях

справедливо следующее утверждение.

Утверждение 2. Проблема построения оптимальных линейных кодов тождественна проблеме нахождения бинарных матроидов M Е N (S)

максимального ранга Гм (S) = ty(n, d), таких, что множество S будет d -

независимым в соответствующих дуальных матроидах M Е N (S).

Доказательство. Пусть для некоторого бинарного матроида M Е N (S) множество S будет d -независимым в соответствующем дуальном матроиде M * Е N ( S). Так как подмножество A Е F *, если | A | < d, то

v / M II’

S (n, d) П R M * = 0. Следовательно, для любого цикла D Е R * справедливо неравенство | D | > d + 1. Пусть циклы Д, D2 Е R M *. По аксиоме для циклов бинарных матроидов, Д © D2 = ^ D, где циклы D Е R м *. Поскольку в последней сумме циклы не пересекаются, то и | Di © Д> | ^ d + 1. Отсюда следует,

О Л 7 7 Л/л 1 /7 0

что выполняется равенство {у© Б\0 Є R м.} П 5 (п, й) = 0. Бинарный матроид М Є N (5) изоморфен векторному матроиду, порождаемому двоичной матрицей размера Гм ($) X П, ненулевые элементы строк которой являются циклами из множества К *. Таким образом, из последнего равенства следует, что построенный по этой матрице линейный код будет (п Гм (51)) -кодом с расстоянием

d + 1. Если ранг матроида ($) = ^(п, d) максимален, то и построенный код

будет оптимальным. М

В статье [5] предложен алгоритм построения всех неизоморфных бинарных матроидов из множества N (5). Отметим, что данный алгоритм позволяет строить

цикловую структуру не только всех неизоморфных бинарных матроидов, но и только таких неизоморфных бинарных матроидов, для которых заданы ограничения на длину циклов. Для этого достаточно на этапах 1 и 2 алгоритма ограничиться только

удовлетворяющими соответствующим ограничениям матроидами М - 1 и размерами

подмножеств, порождающих их G -факторы. Понятно, что такой подход за счет уменьшения общей трудоемкости позволяет строить специальные неизоморфные бинарные матроиды для множеств $ достаточно большой мощности и, учитывая утверждение 2, решить, таким образом, проблему построения всех неизоморфных оптимальных линейных кодов для широкого диапазона значений параметров П, к и d.

Ниже приведены результаты подсчета количества неизоморфных бинарных матроидов для различных значений П, П ^ 22, длина циклов дуальных матроидов которых не меньше d +1 , где з < а < 8.

а=з 6 7 8 9 10 11 12 13 14

2 1 3 7 13 21 31 44 59 77

3 4 12 33 74 150 275 471

4 5 24 92 311 902 2331

5 4 34 249 1429 6840

6 2 43 623 7342

7 2 47 1535

8 1 49

9 1

ё=4 8 9 10 11 12 13 14 15 16

2 1 4 9 16 26 38 53 71 92

3 2 11 36 91 195 373 654

4 1 14 92 424 1490 4328

5 15 282 2921 19669

6 11 1011 31010

7 6 4019

8 1

ё=5 9 10 11 12 13 14 15 16 17

2 1 3 7 14 23 35 50 68 89

3 1 7 24 67 156 320 592

4 1 7 47 248 1031 3484

5 6 98 1249 11859

6 5 185 8575

7 3 368

8 1

а=6 11 12 13 14 15 16 17 18 19

2 1 4 9 17 28 42 59 80 104

3 1 7 27 80 194 408 773

4 1 7 48 307 1497 5669

5 1 7 95 1901 26431

6 3 113 19043

7 2 84

8 1

а=7 12 13 14 15 16 17 18 19 20

2 1 3 7 14 24 37 54 74 98

3 1 4 16 50 133 301 611

4 1 5 23 131 688 3091

5 1 5 76 450 6907

6 2 30 1855

7 1 27

8 1

а=8 14 15 16 17 18 19 20 21 22

2 1 4 9 17 29 44 63 86 113

3 2 14 53 151 361 749

4 7 91 735 4070

5 3 183 7907

6 248

Суммируя результаты, полученные в этой и в предыдущих статьях [1-5], можно выделить следующие основные моменты.

В категории матроидов и их отображений каждый матроид М Е М ($) можно

рассматривать как результат канонического отображения В(S) —— М. Каноническое

отображение, как и любое строгое отображение, факторизуется на элементарные отображения. Элементарные отображения, в свою очередь, однозначно определяются некоторыми модулярными сечениями семейства флат или линейными сечениями

семейства коточек соответствующих факторов свободного матроида В( S). Гипотетически, таким образом, любой матроид из множества М ($) определяется как

некоторая последовательность модулярных сечений семейства флат свободного матроида. Напомним, что построить матроид - это значит описать его, например, цикловую структуру, семейство баз или коточек. Проблема состоит в том, что системы аксиом упомянутых выше однозначно описывающих матроид семейств подмножеств как раз для построения матроидов не пригодны. Другими словами, с их помощью можно только проверить, является ли заданный набор подмножеств множества $ семейством тех же циклов, баз или коточек некоторого матроида из множества М ( $) . То есть в собственно системах аксиом не содержится отличной от реализации

метода перебора процедуры построения таких наборов подмножеств.

Подчеркнем, что именно этот момент и делает трудноразрешимой задачу перечисления всех, в том числе и неизоморфных, матроидов в множестве М ($) даже

для множеств $ относительно небольшой мощности. Вместе с тем сам факт возможности описания матроидов через последовательность модулярных сечений или модулярных фильтров свободного матроида В(S) переводит проблему построения матроидов из множества М ( $) в область анализа свойств соответствующих

Ученые записки> электронный научный з,еурнал Курского государственного университета 2011 № 2 (18)

модулярных сечений или фильтров. При этом, очевидно, необходимо абстрагироваться от аксиоматизации модулярных сечений, как некоторого подмножества флат матроида, которое строится на основе общих систем аксиом.

Введенное нами понятие псевдоматроидов, порожденных элементарными отображениями матроидов [2], и является тем инструментом, который позволяет изучать свойства модулярных фильтров с иных, отличных от классических, позиций.

Семейство циклов псевдоматроида, порожденного элементарным отображением

М------——> Н матроидов М, Н Е М (£), совпадает с множеством минимальных

элементов модулярного фильтра , а семейство баз, соответственно, с множеством

коточек из семейства К м, не принадлежащих модулярному сечению Y м. Таким

образом, совокупность всех элементарных факторов любого матроида М Е М ($) однозначно описывается соответствующим семейством псевдоматроидов. В то же время необходимо отметить, что аксиоматически задать это семейство псевдоматроидов, как некоторую совокупность алгебраических объектов, порожденных матроидом М, в общем случае не удается. Например, при факторизации Хиггса семейства циклов и баз псевдоматроида совпадают соответственно с множествами

R н и В н матроида Н и не выражаются через аналогичные структуры матроида М. При верхнем усечении, наоборот, эти семейства совпадают с множествами В ^ и

К м матроида М и не определяют матроид н . Вместе с тем исследование свойств

псевдоматроидов как самостоятельных элементов категории матроидов и их отображений позволило получить ряд новых результатов общетеоретического плана. Например, при канонических отображениях В(S) —— М цикловая структура лифта

Хиггса матроида М Е М ($) выражена в явном виде через семейство циклов R м.

В работе [3] введено новое для теории матроидов понятие О -отображений -элементарных отображений определенного вида между бинарными матроидами из множества N (5). Рассматривается частный случай псевдоматроидов, а именно полуматроиды, порожденные О -отображениями бинарных матроидов из множества N (5). Характерным отличием полуматроидов от общего случая как раз и является

возможность аксиоматически однозначно задавать упомянутое ранее семейство псевдоматроидов, порожденных любым бинарным матроидом. Нами доказано, что для

любого бинарного матроида М Е N ($) всегда существует факторизация

канонического отображения В(S) —— М на О -отображения [4]. Иными словами, все бинарные матроиды могут быть построены, так же как и в общем случае, с помощью некоторой последовательности полуматроидов. Однако в показано, что в отличие от псевдоматроидов соответствующая процедура не только не является реализацией метода перебора, но и позволяет строить в явном виде цикловую структуру соответствующих G -факторов [5]. Более того, применение аппарата полуматроидов дало возможность предложить алгоритм построения всех

I |3 Ы

неизоморфных бинарных матроидов из множества N (5) трудоемкостью О(Ы 3м)

операций, что автоматически означает решение проблемы перечисления неизоморфных бинарных матроидов для множества $ достаточно большой мощности.

В настоящей статье данный алгоритм видоизменяется для построения только неизоморфных бинарных матроидов с заданными ограничениями на их цикловую структуру. Этот факт, с учетом соответствующего уменьшения общей трудоемкости алгоритма, позволяет реально построить все неизоморфные оптимальные линейные коды для достаточно широкого диапазона значений параметра | S | = П.

Наконец, доказано [3], что для любого бинарного матроида совокупность всех его аксиоматически определенных полуматроидов совпадает с множеством всех G -факторов, порожденных соответствующими G -отображениями. Это, в свою очередь, означает, что семейство всех аксиоматически заданных полуматроидов, порожденных бинарными матроидами из множества N (S), можно рассматривать как некоторую

самостоятельную алгебраическую структуру, функторно связанную с категорией бинарных матроидов и их отображений.

В качестве итога следует подчеркнуть, что введенный нами аппарат псевдоматроидов [2] и полуматроидов [3], может служить основой для дальнейшего изучения свойств категории матроидов и их отображений.

Библиографический список

1. Гизунов С. А., Лямин В. Н. Сечения матроидов // Ученые записки: электронный журнал Курского государственного университета. 2010. № 2. URL: http://scientific-notes.ru/pdf/014-2.pdf (дата обращения: 13.03.2011).

2. Гизунов С. А., Лямин В. Н. Псевдоматроиды, порожденные отображениями матроидов.

3. Гизунов С. А., Лямин В. Н. Полуматроиды, порожденные G -отображениями бинарных матроидов.

4. Гизунов С. А., Гречкин А. О., Лямин В. Н. G-факторизация канонических отображений.

5. Гизунов С. А. Неизоморфные бинарные матроиды.

6. Welsh D. J. A. Matroid Theory., London, Acad. Press., 1976, 433 p.

If,