ФУНКЦИИ ЗАДАЧ НА ДОКАЗАТЕЛЬСТВО В ШКОЛЬНОМ КУРСЕ МАТЕМАТИКИ Текст научной статьи по специальности «Науки об образовании»

© К^а] N.

ФУНКЦП ЗАДАЧ НА ДОВЕДЕННЯ У ШК1ЛЬНОМУ КУРС1 МАТЕМАТИКИ

Н.В. Кугай, канд. педагог. наук,

Глухiвський нащональний педумверситет т. О. Довженка,

м. Глухiв, УКРА1НА

У статт1 розглянуто задачг на доведения та гх подгл на алгоритмгчт, натвалго-ритмгчш та евристичт. Видшено основы групи задач курсу «Алгебра I початки анал1-зу», як1 сприяють розвитку вмшня тдведення об 'ект1в тд поняття, наведено приклади таких задач.

Ключов1 слова. Задачг на доведення, алгебра I початки анал1зу, алгоритм1чт, натв-алгоритмгчт, евристичт задач1, структура ди доведення.

Постановка проблеми. Доведення ма-тематичних тверджень - один iз важливих засобiв, що сприяе розвитку мислення уч-нГв, особливо творчого та лопчного. Дово-дячи твердження, учт свщомо i мГцно за-своюють систему математичних знань, на-вичок i вмшь, набувають навичок самостийно! роботи, умiнь рацiонально i творчо застосовувати математичнi знання.

Для успiшного формування вмiння ви-конувати ту чи шшу дiю найперше необидно проаналГзувати структуру ди, чiтко видшити тГ операцГ!, з яких дана дгя склада-еться. У зв'язку з цим виникае необхiднiсть анашу структури дiяльностi з доведення математичних тверджень i видiлення основ-них розумових дiй, якi складають цю дГяль-нГсть.

До структури дiяльносгi з доведення математичних тверджень входять як загаль-нi, так i специфiчнi розумовi ди. Методистами та психологами видiлено чотири компонента, якг входять до складу вмшня до-водити геометричнi твердження: тдведення об'екав пГд поняття; знання необхщних г достатнiх ознак понять, про якг йдеться у висновку; вибГр ознак понять, що вщповь дають даним умови; дГя розгортання умови.

АналГз формулювань тверджень курсу алгебри Г початкГв анашзу Г !х доведень по-казуе, що ц компоненти входять Г до складу вмшня доводити твердження курсу ал-

гебри Г початкГв анашзу. На думку З. Слеп-кань [8], Г це пгдтверджують нашГ дослщ-ження, основним Гз цих чотирьох компонента е пГдведення пГд поняття. Для встанов-лення факту належносп об'екта до поняття треба перевГрити наявтсть у об'екта сукуп-ностГ необхГдних Г достатнГх ознак. Якщо при цьому з'ясовуеться, що об'ект не мае хоча б одте! необхщно! ознаки, то вГн до даного поняття не належить. ПерелГк опе-рацГй, якГ входять до складу ди пГдведення пГд поняття, можна задати у виглядГ прави-ла-орГентира [8, с. 76].

ДГя пГдведення пГд поняття лежить в основГ доведення бГльшостГ тверджень курсу алгебри Г початкГв анашзу: в основГ доведення теорем про зв'язок тослГдовносп, яка мае границю, Г нескГнченно мало! послГдовностГ лежить дГя пГдведення пГд по-няття нескГнченно мало! послГдовностГ; про арифметичш властивосп границь функцГ! в точц - дГя пГдведення пГд поняття границ функцГ! в точцГ тощо. А тому необхГдно сприяти формуванню та розвитку у стар-шокласникГв цього компонента вмшня доводити. Як показали нашГ досшдження, по-тужним Г дГевим засобом розв'язання поставлено! проблеми е саме задачГ на дове-дення.

Анал1з дослщжень. Питання про функ-цГ! задач у навчальному процесГ висвГтлю-валось у багатьох роботах психолопв, пе-

(77)

дагопв 1 методиспв ([8], [9], [7], [8], [4], [6]).

Окрем тдходи до доведення задач курсу алгебри 1 початюв анашу розглядали авгори ищручниюв М. Шкшь, З. Слепкань, О. Дубинчук, [9, 10] Т. Колесник, Т. Хмара, С. Нелш [3], О.М. Афанасьева, Я.С. Бродсь-кий, О.Л. Павлов, А.К. Слшенко [1] га шш1

Мета даноУ статг1 - видшити у шкшь-ному кура «Алгебра 1 початки аналзу» групи задач на доведення, яю сприяють формуванню 1 розвитку дИ пщведення пщ понятгя, навести приклади таких задач.

Виклад основного матер1алу. Розгля-даючи задач1 на доведення як об'екти мис-лительно! даяльност учтв 1 враховуючи стввщношення мж вщтворювальною 1 творчою даяльшстю учтв при розв'язуван-т цих задач, варто подшити задач1 на доведення на алгортмчт, напiвадгоригмiчнi та евристичт. У ход проведеного досл> дження ця гiпотеза отримала експеримен-тальне пiдтвердження.

До адгоригмiчних задач на доведення ми вщносимо таю задачу якi доводяться за допомогою безпосереднього застосування означення, формули, доведено! теореми. До адгоригмiчних задач на доведення можна вiднесги найпроспш1 задачi на доведення парносгi (непарносп) функци, яю розв' язуються шляхом безпосереднього застосування означення парно! (непарно!) функци. Наприклад: "Довести, що функцiя у = х + 5 парна"; "Довести, що функщя у = х7 - 3х непарна". Практика показуе, що бшьш^ь учнiв успiшно справляються з такими задачами.

Бшьш складними е напiвадгоритмiчнi задачi на доведення, до яких ми вщносимо т задачi, правила розв'язування яких но-сять узагальнений характер i не можуть бути повнютю зведенi до об'еднання еле-ментарних кроюв, але зв'язки мiж елемен-тами цих задач учнi знаходять легко. Умш-ня розв'язувати натвалгоритмчт задачi на доведення включае в себе не тшьки мiцне знання теоретичного факту, на основi якого дана задача буде розв'язана, але i вмшня свiдомо та правильно застосувати необхщ-т ранiше вивчет твердження.

Важливу роль у виршенш проблеми

розвитку вмшь старшокласниюв доводити твердження курсу "Алгебра i початки ана-лiзу" вiдiграють евристичнi задачъ До ев-ристичних ми вщносимо таю задачу для розв'язання яких необидно або виявити окрем приховат зв'язки мiж елементами умови i вимоги, або знайти спосiб доведення, або i те, i друге. Евристична задача не може бути безпосередньо розв'язана за яким-небудь алгоритмом чи узагальненим правилом. Виникае необхщтсть пошуку розв'язання, що сприяе робот мислення i його розвитку.

До першо! групи задач можна вщнести тi задачi, яю стосуються основних власти-востей функци: парнiсть (непартсть) функци, перiодичнiсть, монотоннiсть, обмеже-нiсть, визначенiсть (невизначенiсть) на за-данiй множинi тощо (без застосування тео-ри границь та диференщювання).

Дослiдження психолопв i шюльна практика показують, що управлiння розу-мовою щяльтстю учнiв у процесi навчання методам чи способам доведення задач ефек-тивнiше здщснюеться в умовах алгоритмь заци навчання i широкого застосування моделювання в навчальному процесi.

Осюльки 6шьшАсть тверджень шюльно-го курсу алгебри i початкiв аналiзу дово-дяться певними методами i способами, то озброення учтв правилами-орiентирами доведення цими методами - найбiльш ефек-тивний шлях навчання доведенням. Вико-ристання алгоритмiчного тдходу вносить рацiональнiсть i економiчнiсть у мислення, допомагае не тшьки управлiнню, але i са-моуправлiнню мисленням в процесi доведення. Звичайно, за алгортмчного тдхо-ду не виключена можливють формалiзму, шаблону в знаниях i умшнях учтв. Цих негативних факторiв можна позбутися, як-що учн будуть не тшьки вивчати готовА алгоритми, правила-орiентири, а самi скла-датимуть 1'х пщ керiвництвом учителя.

Наведемо приклади основних правил-орiеитирiв, яю доцшьно скласти пщ час ви-вчення функцш.

Так, наприклад, для доведення того, що задана функщя у = f(x) е парною (непарною), треба пщвести розглядуваний об'ект

(функцш у = f(x)) тд поняття "rnpHa (не-пapнa) функтя". Видiлимo oзнaки цього поняття:

1) oблacгь визнaчeння функци e шме-тpичнoю вiднocнo нуля;

2) для будь-якого х iз oблacгi визш-чeння функци викoнyeтьcя piвнicть f(-x) = f(x) (f(-x) = -f(x)).

Haзвaнi oзнaки зв'язaнi лопчним шо-лучником "i". Дaлi по^бно пepeвipити, чи викoнyютьcя для зaдaнoï функци у = f(x) oбидвi умови. Якщо тaк, то функтя пapнa, якщо mí, то функщя да e пapнoю. Роз-глянeмo кoнкpeтний пpиклaд poзв'язyвaння aлгopитмiчнoï зaдaчi Ha дoвeдeння.

Задача. Довести, що фyнкцiя f(x) = x4 - 3 rnpHa.

Доведення.

1. Знaйдeмo coMacra. визнaчeння функци: x e R.

2. Облacть визнaчeння e cимeтpичнoю вiднocнo нуля.

3. f (- x) = (- x)4 - 3 = x4 - 3 = f(x), x e R.

4. Отже, зa oзнaчeнням пapнoï функци фyнкцiя f(x) = x4 - 3 rnpHa.

Для дoвeдeння мoнaгoннocгi функци (з oпopoю Ha oзнaчeння) мoжнa зaпиcaти ysa-гaльнeнe пpaвилo:

1. B^parn бyдь-якi двa знaчeння x1 i x2 з множини А тaкi, що x2 > x1.

2. Склacти piзницю f(x2) - f(x1) i дoвecти, що вош дoдaтнa (вiд'eмнa) Ha мнoжинi А.

3. Зpoбити виcнoвoк, викopиcгoвyючи oзнaчeння чиcлoвoï нepiвнocтi i oзнaчeння зpocгaючoï (cпaднoï) функци.

Лoгiчнa ocнoвa цього пpaвилa-opieнтиpa - oзнaчeння мoнaгoннocгi функци. Aлe, як бaчимo, для дoвeдeння моно-тонноеп знaти тiльки oзнaчeння нeдocгaт-ньо. Дpyгий пункт нaвeдeнoгo пpaвилa пе-peдбaчae нaявнicть в yчнiв умшня доводити нepiвнocтi. Метод (cпociб) дoвeдeння нepiв-hoctí визнaчaeтьcя кожною кон^етною фyнкцieю. А тому тaкi зaдaчi вapтo вiднec-ти до нaпiвaлгopитмiчниx.

Пpaктичнo вci тeopeми мaтeмaтичнoгo aHamy тaк чи iнaкшe cтocyютьcя функци, a, отже, i ïï oблacтi визнaчeння. З метою зa-бeзпeчeння нacтyпнocгi у вивчeннi "вyзiвcь-кого" кypcy мaтeмaтичнoгo aнaлiзy i доета-

тнього piвня poзвиткy вмiнь cгapшoклac-никiв доводити твepджeння кypcy aлгeбpи i пoчaткiв aнaлiзy, дoцiльнo poзглянyти зa-дaчi Ha доведення, пoв'язaнi з oблacгю ви-знaчeння функци.

Сepeд зaдaч тaкoгo типу можш видши-ти двi ocнoвнi:

1) Довести, що точта x0 нaлeжить (не нaлeжить) oблacгi визнaчeння функци f(x).

2) Дoвecти, що функщя f(x) визнaчeнa (не визнaчeнa) Ha множит А.

У пpoцeci poзв'язyвaння пepшoï зaдaчi вapтo пiдвecги учтв до виcнoвкy, що icHye двa пpийoми доведення: 1) пiдcгaвити в aнaлiтичний виpaз, яким зaдaнa функтя, точку x0 i, якщо це можливо, oбчиcлити знaчeння фyнкцiï; 2) зшйги oблacгь визнa-чення функци i з'яcyвaти, чи нaлeжить зa-дaнa тoчкa oтpимaнiй мнoжинi. B^ip того чи iншoгo пpийoмy доведення зaлeжить вiд мети, пocгaвлeнoï вчителем Ha дaнoмy ypo-цi, вщ cклaднocтi aнaлiтичнoгo виpaзy, яким зaдaнa фyнкцiя, вiд piвня знaнь i умшь yчнiв тощо. Склaднicгь aHarnraHHora виpa-зу визнaчae тaкoж нaлeжнicгь зaдaчi до an-гopитмiчнoгo, нaпiвaлгopитмiчнoгo чи ев-pиcгичнoгo типiв. Для пiдтвepджeння того, що oбидвa cпocoби доведення poзглядyвa-hoï зaдaчi ефективт, дoцiльнo poзглянyти тaкi зaдaчi i зaпpoпoнyвaти учням знaйти paцioнaльний отоаб доведення:

Задача 4. Довеоги, що точта x0 =

л]7 --\/48 -3 не нaлeжить oблacгi визнa-

чення фyнкцiï f(x) = -Vx2 - 25 .

Задача S. Довести, що точта x0=3 не Ha-лежить oблacгi визшчення фyнкцiï

f(x) = Vx4 + x - 90 .

Як TO^ara peзyльтaти нaшиx eкcпe-pимeнтaльниx дocлiджeнь, poзв'язyвaння зaдaч Ha доатдження викликae в yчнiв бiль-ше тpyднoщiв, нiж poзв'язyвaння зaдaч Ha доведення. У той же чac, e pяд зaдaч Ha доатдження, що без пpoблeм poзв'язyютьcя бiльшicгю yчнiв, a пepeфopмyльoвaнi у зa-дaчi Ha доведення ^^ють нeдocгyпними для ник. Зoкpeмa, щейш cтopoнa poзв'язyвaння зaдaчi "Знaйти oблacгь ви-знaчeння фyнкцiï" (ми в^ш^мо цю зaдa-чу до зaдaч Ha дocлiджeння) зpoзyмiлa бiль-

79

mocri crapmoKnacHHKiB. A 3agana "AoBecrH, ^o ^yHKniH BH3HaneHa Ha MHo^HHi" 6e3 no-nepegHix noHcHeHb BHKnuKae b yHHiB HUMani TpygHO^i. BapTO BigMiTHTH, ^O BMiHHH po3B'H3yBaru caMe TaKy 3agany e Ba^nuBHM gnH nponegeBTHKH BHBHeHHH "By3iBCbKoro" Kypcy MaTeMaTHHHoro aHam3y, ocKinbKH 6inb-micrb TeopeM nboro Kypcy po3noHHHaeTbcH i3 cniB: "HexaM ^yHKniH BH3HaneHa Ha mho^h-

Hi...". I gnH 3acTocyBaHHH TaKHx TeopeM He-o6xigHo bmtth aoboahth, ^o KoHKpeTHa $y-HKniH BH3HaneHa Ha BKa3aHiM mho^hhl ToMy BapTo pa3oM 3 yHHHMH BcTaHoBHTH npocrnM anropHTM goBegeHHH TaKHx 3agan:

1. 3HaMTH o6nacrb BH3HaneHHH ^yHKnii.

2. noKa3aTH, ^o BKa3aHa MHo^HHa e nig-mho^hhow o6nacri BH3HaneHHH ^yHKnii.

nogin 3agaH "AoBecrH, ^o ^yHKniH y = f(x) BH3HaneHa (He BH3HaneHa) Ha mho-^HHi A" Ha Tunu (anropHTMinrn, HaniBa.ro-pHTMinHi, eBpucTHHHi) 3ane^HTb Big aHarnTH-HHoro BHpa3y, hkhm ^yHK^a 3agaHa. HaBe-geMo npuKnagu.

jAnzopumMmni rndam

1. flpBecm, ^o ^yHKniH f(x) = x2 + 4 bh-3HaneHa Ha Bigpi3Ky [4;5].

x

2. flpBecrH, ^o ^yHKniH f(x) =

x - 5

He

BH3HaneHa Ha Bigpi3Ky [4,2; 6]. HameanzopumMinni 3adam

1. flpBecm, ^o ^yHKniH f(x) = -Jx - 3 BH3HaneHa Ha Bigpi3Ky [3; 7].

2. AoBecra, ^o ^yHKniH

f(x) = w x - 3

He BH3HaneHa Ha mho^HH [-4; 5]. Eepucmunni 3adani

1. flpBecm, ^o ^yHKniH f(x) =

lx - x x + 1

BH3HaneHa Ha MHo^HHi (-ro; -1) i He BH3Hane-Ha Ha MHo^HHi (-ro; -2).

2. flpBecm, ^o ^yHKniH f(x) =

-Jx + 5 Ixl -4

BH3HaneHa Ha mho^hh (-5;- 4) i He BH3Hane-Ha Ha MHo^HHi (-4; +ro).

Apyra rpyna 3agaH crocyeTbcH o3HaneHHH HenepepBHocTi Ta noxigHoi ^yHKnii b Tonni. Ha Hamy gyMKy, goninbHo po3r.HHyTH gBa o3HaneHHH HenepepBHocTi ^yHKnii b ToHni:

Hepe3 piBHicTb rpaHuni ^yHKnii b Tonni 3Ha-neHHTO ^yHKnii b niM Tonni i Hepe3 npupicr ^yHKnii. nicnH BBegeHHH nepmoro o3HaneH-hh goninbHo pa3oM 3 yHHHMH cKnacrH npaBH-no-opieHTHp goBegeHHH HenepepBHocTi $yHK-nii y = f(x) b Tonni x0:

1) o6hhc.hth (hk^o BoHa icHye) rpaHH-nw ^yHKnii y = f(x) b Tonni xo;

2) o6hhc.hth (hk^o boho icHye) 3HaneH-hh y = f(x) b Tonni x0;

3) nopiBHHTH rpaHHnro ^yHKnii y = f(x) b Tonni x0 3 11 3HaneHHHM b niM Tonni. 3po6uTH bhchobok Ha ocHoBi c^opMynboBaHoro o3Ha-neHHH.

AoninbHo 3BepHyTH yBary yHHiB Ha Te, ^o Ko^Ha 3 yMoB e Heo6xigHow i TinbKH Bci Tpu yMoBH pa3oM e gocraTHiMH gnH HenepepBHocTi ^yHKnii b ToHni.

nicnH BBegeHHH noHHTTH noxigHoi $yHK-nii b Tonni hk rpaHHni BigHomeHHH npupocTy ^yHKnii go npupocry apryMeHTy, ko.h ocraHHiM npHMye go HynH (3BHHaMHo, hk^o TaKa rpaHHnH icHye) yHHi 3gaTHi caMocriMHo cKnacTH npaBHno-opieHTHp goBegeHHH gu^e-peHniMoBHocri ^yHKnii y=f(x) i 3Haxog^eH-

hh f (x0 ), HKe cKnagaeTbcH 3 n'HTH KpoKiB:

1. HagaTH 3HaneHHro x0 npupocTy Ax ¿0.

2. 06hhc.hth npupicr Af(x0) = f(x00+Ax) -f(xo).

3. CKnacTH BigHomeHHH

Df(xo) Dx

4. nepeBipHTH icHyBaHHH cKiHHeHoi rpa-Huni nboro BigHomeHHH npu Ax—O, to6to

Df(xo)

lim---'

Dx^o Dx

5. .Sk^o nH rpaHunH icHye, to ^yHKniH y=f(x) e gu^epeHniMoBHoro b Tonni x0 i

f (x0) gopiBHwe niM rpaHuni. B iHmoMy

pa3i ^yHKniH y=f(x) He e gu^epHniMoBHoro b

Tonni x0 i f'(x0) He icHye.

Ao TpeTboi rpynu 3agaH goninbHo BigHec-th 3agani «AoBecTH, ^o $yHKniH y=F(x) e nepBicHow ^yHKnii y=f(x) Ha MHo^HHi A^>. Uh 3agana nponoHyeTbcH yHHHM Ha erani ^opMyBaHHH noHHTTH "nepBicHa". OnupawHucb Ha o3HaneHHH nepBicHoi, Mo^Ha cKnacTH TaKe npaBHno-opieHTHp

(80>

доведення вказано! задачГ

1) знайти похГдну функцГ! Б(х) там, де вона Гснуе;

2) довести рГвтсть функцГй Б'(х) Г Д(х) на вказанГй множинГ А.

Задача. Довести, що функця ¥(х) = шт е первюною для функцГ!/(х) = $1т + хеохх на множинГ вах дГйсних чисел.

Висновки з даного дослщження 1 пер-спективи подальших розвщок. Таким чином, шкГльний курс алгебри Г початкГв аналГзу мГстить достатню кГлькГсть задач для розвитку вмшня пГдводити обекти пГд понятття. У класах фГзико-математичного профГлю можна розширити названГ групи задач, включивши до них задачГ на доведення того, що число е границею числово! послГдовностГ (функцГ! в точцГ) за означенням.

1. Алгебра 7 початки анал1зу. 10 клас: Пробный тдручник / О. Афанасьева, Я. Бродський, О. Павлов, А. апенко. - Тернотль: Навчальна книга - Богдан, 2003. -1 ч. -140 с; 2 ч. - 444 с.

2. Нак М.М Ствв1дношення алгоритм1чно-го та евристичного тдходв при розв 'язуванш алгебрагчних задач / М. Нак //М1жнар. зб. наук.. робт ««Дидактика математики: проблеми 7 дошдження». - 2005. - Вып. 24. - С. 212 - 217.

3. Нелт С.П. Алгебра 7 початки анал1зу:

Двор1вневий тдруч. для 10 кл. загальноосв. навч. заклад1в / С. Нелт - Х. : Свт дитинства, 2004. - 432 с.

4. Саранцев Г.И. Методика обучения математике в средней школе: учеб. пособие для студентов мат. спец. вузов и ун-тов./ Г. Саранцев. - М. : Просвещение, 2002. - 224 с.

5. Саранцев Г.И. Цели обучения математике в средней школе в современных условиях / Г. Саранцев // Математике в школе. - 1999. -№ 6 - С. 36- 41.

6. Скафа Е.И. Эвристическое обучение математике: теория, методика, технология. Монография / Е. Скафа- Донецк: Изд-во Донну, 2004. - 439 с.

7. Слепкань З.1. Методика навчання математики: Пдр. для студ. мат. спецальностей пед. навч. заклад1в / З. Слепкань. - К.: Зод1ак-ЕКО, 2000. - 512 с.

8. Слепкань З.И. Психолого-педагогические основы обучения математике: Метод. пособие /З. Слепкань - К.: Рад. школа, 1983. -192 с.

9. Алгебра 7 початки анал1зу: Шдр. для 10 кл. загальноосв. навч. заклад1в / М. Шюль, З. Слепкань, О. Дубинчук - К.: Зод1ак - ЕКО, 2002. - 272 с.

10. Алгебра 7 початки анал1зу: Шдр. для 11 кл. загальноосв. навч. заклад1в / М. Шкыь, З. Слепкань, О. Дубинчук - К.: Зод1ак - ЕКО, 2002. - 384 с.

Резюме. Кугай Н.В. ФУНКЦИИ ЗАДАЧ НА ДОКАЗАТЕЛЬСТВО В ШКОЛЬНОМ КУРСЕ МАТЕМАТИКИ. В статье рассмотрено разделение задач на доказательство на алгоритмические, полуалгоритмические и эвристические. Выделены основные группы задач курса «Алгебра и начала анализа», которые способствуют развитию умения подведения объектов под понятие, приведены примеры таких задач. Составлены правила-ориентиры решения некоторых задач на доказательство.

Ключевые слова: задачи на доказательство, алгебра и начала анализа, алгоритмические, полуалгоритмические, эвристические задачи, структура действия доказывания.

Abstract. Kugaj N. FUNCTIONS OF PROBLEMS FOR PROVING IN SCHOOL MATHEMATICS. The article deals with the classification of problems for proving into algorithmic, half-algoritmic and heuristic problems. The basic objectives of the course "Algebra and the beginning of analysis ", which contribute to the development of the skill to define objects as a notion. Examples of such problems have been given. The rules-guidelines for solving some problems proving have been designed.

Key words: problems for proving, algebra and beginning of analysis, algorithmic, half-algoritmic, heuristic problem, the structure of a proving action.

Стаття представлена професором M.I. Бурдою.

Надшшла доредакцп 2.10.2010р. -®