CC BY
12© БгинНо Z.
РОЗВИТОК У МАЙБУТН1Х ВИКЛАДАЧ1В МАТЕМАТИКИ УМ1НЬ РОЗВ'ЯЗУВАННЯ Р1ВНЯНЬ I НЕР1ВНОСТЕЙ ФУНКЦ1ОНАЛЬНИМ МЕТОДОМ
З.О.Брусило, ст. викладач, Донецький нащональний утверситет, м. Донецьк, УКРА1НА
Розроблена система задач для розвитку умтъ майбутшх викчадачгв математики викорис-товувати функцюначъний метод розе 'язання ргвнянъ г нергвностей Описано етапи спецгачъног методичног тдготовки майбутшх викладачгв математики до використання функцюнального методу. Розглянута методика базуетъся на об'еднант часткових та узагачънених прийомгв розе 'язання ргвнянъ г нергвностей функцюначъним методом.
Ключое'1 слова: тдготовка майбутнъого викчадача, функцюначъний метод розв'язання ргвнянъ г нергвностей
Постановка проблеми. Формування в УкраМ нових соцiально-економiчних умов потребують ново! якосп тдготовки випускника школи. Система освгти на су-часному етат передбачае iнтеграцiю педа-гопчно! науки i практики, iнтенсифiкацiю навчального процесу, впровадження твор-чих, дослщницьких форм навчання, орiен-тащю на особистгсно-дшльтстний i сис-темно-цiлiсний тдхщ до навчання. Освiта переорiентовуеться у бж демократизаций i гумашзацп, спрямовуеться на виховання особистостi функционально грамотно! i методологiчно компетентно!, яка володое iнформацiйними технологтями, здатна адаптуватися до навколишнього середо-вища, до аналiзу i самоаналiзу, до свщомо-го вибору професй. Створено навчальн1 заклади нового типу, профiльнi школи i класи, внесено змiни до навчальних про-грам i навчальних платв, але реалiзацiя повноцшних технологiй навчання, профшь-но1 диференщацп навчання математики у школi потребуе вщповщно!' тдготовки вчителя математики. Проблема професш-но-педагопчно!" пiдготовки вчителя зага-лом i математики зокрема, розглядалася у роботах провiдних вiтчизняних i зарубiж-них психологiв, педагогiв i методистiв. Значний внесок у розв'язання ще! проблеми зробили: А.М.Алексюк, Г.О.Атанов, Г.П.Бевз, М.1.Бурда, Б.В.Гнеденко, О.С.Ду-бинчук, МХЖалдак, П.Я.Касярум, Л.Д.Кудрявцев, Г.Л.Луканкiн, М.В.Метельський,
А.Г.Мордкович, 1.О.Новик, А.М.Потоць-кий, В.О.Сластьонш, З.1.Слепкань, А.А.Сто-ляр, Р.С.Черкасов, МХШкшь та iншi [1, 53].
Проте залишаеться актуальною необ-хщтсть переосмислення методичних ас-пектiв вивчення традицшних тем шкшьно-го курсу. Сучасний шкiльний курс математики будуеться на основi змгстово-методичних лiнiй. Одтею з основних е функцюнальна змiстова лiнiя. «Поняття функцл пронизуе весь шкiльний курс математики. На властивостях функцiй засно-вано перетворення алгебрашних i транс-цендентних виразiв, розв'язування р1в-нянь, нерiвностей та к систем. Вивчення функцш в основнiй школi з поглибленим вивченням математики передбачае не тiльки оволодння учнями знаннями, умiннями та навичками, а й вишу яюсть к сформованостi. Саме на це необидно спрямувати методичну систему навчання у класах з поглибленим вивченням математики» [2, 45].
Аналiз актуальних дослщжень. Проблема вивчення функционально! змгс-тово! лшл у шкiльному курсi широко об-говорюеться в науковш лiтературi. Рiзним и аспектам присвяченi роботи вщомих ма-тематиюв i методистiв Г.П.Бевза, М.1.Бурди, В.С.Володимирова,
Л.С.Понтрягiна, О.Я.Хiнчина,
Г.В.Дорофеева, С.С.Канша, Т.В.Колесник, Ю.М.Колягiна, О.1.Маркушевича,
А.Г.Мордковича, Ф.Ф.Нагибша,
Г.1.Саранцева, З.1.Слепкань, МХШкшя та шших. Дослщжено питання: вивчення в середнш школ функнюнальних понять (ГВ.Антоново!, Т.В.Колесник, О.Ля-шенко, Ю.М.Макаричева, С.П.Семенця та ш); взаемозв'язку поняття функцп з по-няттями лшп р1внянь 1 нер1вностей (Л.1.Токарево1, Л.ПАфоньюно!, Н.О.1ль1но1 та ш); штеграцл алгебрашних 1 граф1чних методов у навчання математики (М.1.Баш-макова, Л.С.Капкаево! та ш); застосування властивостей функцш при розв'язувант р1внянь 1 нер1вностей (М.Бейсеков, АБ.Ва-силевський, В.О.Гусев, М.1.Зельберг, М.К.Потапов); використання граф1чного метода (В .АКуштр, А.Г.Мордкович, Н.Л.Сте-фанова та ш) [5]. Ус1 роботи цих автор1в, без сумтву, мають теоретичне 1 практичне значення, але слщ щдкреслити, що питання розвитку у майбутн1х учител1в математики умшь розв'язування р1внянь 1 нер1в-ностей функнюнальним методом ще недо-статньо висвгтлене як в теоретичному, так 1 методичному аспектах. Актуальшсть нашого дослщження визначають проти-р1ччя м1ж необхщтстю удосконалення методики навчання учнiв загальноосвiтнiх шкш функцiональному методу розв'язування рiвнянь i нерiвностей та вiдсутнiстю методики шдготовки майбутнього вчителя математики розв'язуванню задач цим методом.
Мета статп - презентувати систему задач, що спрямоваш на розвиток умшь студентiв математичних спеuiальностей розв'язувати р1вняння i нерiвностi функцi-ональним методом.
Виклад основного матерiалу. Як за-значалося ратше, реалiзацiя повноцшних технологий навчання, профшьна диферен-щацп навчання математики у школi пот-ребуе вщповщно! щдготовки вчителя математики. Ця пщготовка мае здайснюва-тись як шляхом ступенево! тдготовки, так i за рахунок спецiалiзацil. Цьому питанню ми придшяемо достатньо уваги при ви-вченнi спецкурсу «Технологи профiльного навчання математики» на 4 кура матема-тичного факультету Донецького нацюналь-ного утверситету. Уже при вiдборi необидного мтмуму матерiалу враховуемо, що цей матерiал повинен забезпечити гли-
боке розумшня вчителем математики ос-новних фактiв шкшьного курсу математики i вшьне володдння ними. Кватфжова-ний учитель математики повинен знати Bci тонкощ шкшьного курсу математики, вмгти аналiзyвати подання мат^алу у pi3-них п1дручниках i посiбниках, обирати самий оптимальний, розробляти власну методику викладання математики, що вщ-повщала б сучасним вимогам науковосл подання матерiалy у поеднант з доступтс-тю для бшьшосл yчнiв.
Наш досвщ i результати доагностично! контрольно! роботи, що проводиться на початку вивчення спецкурсу, дозволяють стверджувати, що бшьшють стyдентiв четвертого курсу, на жаль, не можуть засто-совувати фyнкцiональний метод до розв'язування рiвнянь i нерiвностей, хоча всi необхiднi для цього математичнi знан-ня вони вже отримали на попередшх курсах. Усе це ще раз доводить необхщтсть спещально! роботи з розвитку у студенлв yмiнь застосовувати функцюнальний метод, а також володдння методикою навчання цьому методу учшв загальноосвгт-нх шшл. Ми передбачаемо, що така робота тдвищить мотиващю вивчення матерь алу, необхщного для подальшо! педаггопч-но! дшльносп, надасть можливостей зро-зумгти зв'язки роздшв елементарно! i ви-що! математики, буде спонукати до пошу-ково! дшльносп. Так, розглядаючи на спецкyрсi фyнкцiональнy змiстовy лшдо у профiльномy навчаннi, ми робимо наголос саме на розвиток математичного свгтогля-ду майбутн1х викладач1в.
Багаторiчний викладацький досвiд до-зволяе стверджувати, що шдвищити яюсть тдготовки майбутшх yчителiв до навчання учтв фyнкцiональномy методу можна, якщо використовувати методику, що базу-еться на поеднант частинних i узагальне-них прийомiв розв'язування рiвнянь i не-рiвностей фyнкцiональним методом. Подготовку студентв до свiдомого засвоення функционального методу слщ здшснювати шляхом поетапного формування у них вщ-повщних математичних знань, окремих ддй i прийомiв. Задач1, що пщбираються, мають бути методично орiентованi, тобто при робота з ними студенти не лише на-
©
вчaютьcя викopиcтoвyвaти цей мeтoд, a й зacвoюють методичт знaння i пpийoми йoгo виклaдaння. Пpeдмeтoм cвiдoмoï дяль-нocтi мaйбyтmx учителта мaють cтaти та-вички cxeмaтичнoï пoбyдoви гpaфiкiв фу-нкцш i вмiння oбиpaти пeвнy влacтивicть функцп, нeoбxiднy для poзв'язaння дaнoï зaдaчi.
Спeцiaльнa мeтoдичнa пiдгoтoвкa сту-дeнтiв дo викopиcтaння фyнкцioнaльнoгo методу cклaдaeтьcя з дeкiлькox eтaпiв. Ha пepшoмy eтaпi здiйcнюeтьcя cиcтeмaтизa-цдя, yзaгaльнeння, нaбyття нoвиx знaнь i вмшь cтyдeнтiв зa тeмaми: «Чиcлoвi функцп тa ïx влacтивocтi», «Пoбyдoвa гpaфiкiв функцш piзними cпocoбaми», «An^paiH-m мeтoди poзв'язyвaння piвнянь i нepiвнo-cтeй». Ha дpyгoмy eтaпi, poзглядaючи xi чи iншi влacтивocтi piзниx клaciв функцш, ми пoкaзyeмo як мoжнa викopиcтaти ïx ^и пoбyдoвi гpaфiкiв фyнкцiй, зacтocyвaти дo poзв'язyвaння piвнянь чи нepiвнocтeй. Ha цьoмy eтaпi aнaлiзyeтьcя cipy^iypa piв-няння, з'яcoвyeтьcя, як функцп вxoдять дo йoгo cклaдy, як влacтивocтi вoни мaють (oблacть визтачення, мнoжинa знaчeнь, мoнoтoннicть, пapнicть, ^mpmc^ тoщo). Пicля poзглядy oкpeмиx видв piвнянь i нepiвнocтeй, cтyдeнтaм пpoпoнyeтьcя cклacти aлгopитм poзв'язyвaння пoдiбниx зaдaч. Haпpиклaд, пpи poзв'язyвaннi piв-нянь, щo мaють вигляд
f (g(x)) = f (h(x)), де f (x) - ^отш-
m нa мнoжинi M функщя, мoжнa œopro-raтиcя тaкoю влacтивicтю мoнoтoнниx функцш:
g (x )= h (x ),
f (g (x )) = f (h (x ))o J g (x )e M,
h (x )e M.
Aлгopитм для poзв'язyвaння тaкиx piвнянь мoжe бути нacтyпним:
1. Увести функщю y = f (u ), зaпиcaти
piвняння y вигляд f (g (x)) = f (h (x)).
2. Для функцп y = f (u) знaйти o6-
лacть визтачення i з'яcyвaти xapaктep мo-нoтoннocтi.
3. Пepeйти вiд piвняння дo piвнocиль-нoï cиcтeми.
Для oвoлoдiння вмшнями poбити тa-
кий araran зaвдaнь i cклaдaти aлгopитми, у rac poзpoблeнa cпeцiaльнa cиcтeмa зaдaч, щo вiдпoвiдae фyнкцioнaльнoмy мeтoдy i oxon^e мaйжe вci влacтивocтi piзниx клaciв функцш. Пpи poзpoбцi шстеми зa-дaч ми дoтpимyвaлиcя тaкиx вимoг:
• дocтyпнicть (кoжнa зaдaчa cиcтeми мae бути пocильнoю тожшму cтyдeнтoвi з мeтoю збepeжeння iнтepecy дo ïï poзв'я-зaння);
• oднoтипнicть (в cиcтeмy нeoбxiднo включaти oднoтипнi зaдaчi, щo cпpияe фop-мyвaнню мiцниx знaнь i вмшь, are ïx к1ль-кicть мae бути у poзyмниx мeжax);
• piзнoмaнiтнicть (щoб зaпoбiгти зни-ження iнтepecy, yвaги, i aктивнocтi студен-тiв, дo cиcтeми мaють бути включеш зaдa-ч1 piзнoмaнiтнi го фopмi, змicтy i cпocoбy poзв'язyвaння);
• пpoтиcтaвлeння (нeoбxiднo включa-ти зaдaчi нa пoдiбнi i взaeмooбepнem пo-няття, a тaкoж зaдaчi, щo не мaють poзв'язкiв, кoнтpпpиклaди);
• ycклaднeння (нeoбxiднo вpaxoвyвaти cклaднicть кoжнoï зaдaчi i poзмiщyвaти ïx зa зpocтaнням cклaднocтi) [5].
Haвeдeмo дeкiлькa пpиклaдiв тaкиx зaдaч.
Ta^ пoняття oбepнeнoï фyнкцiï знaчнo mpomye poзв'язyвaння piвнянь дeякиx ви-дв, зoкpeмa ippaцioнaльниx piвнянь ви-rn^x cтeпeнiв.
Приклад 1. Рoзв'язaти piвняння
x3 +12 = 103/10 x -12 .
Рoзв'язaння.
x3 +12 = 103/10x -12 О x +12 = V10x -12
10
Рoзглянeмo функц1ю
f (x ) = 3/10x -12 . Оcкiльки D(f ) = E (f ) = R i функщя f (x) зpocтae та вciй oблacтi визнaчeння, тo вoнa мae oбepнeнy фyнкцiю
g (x) = x +12 . Taким чинoм, 10
x3 +12 -— x3 +12
= v10x -12 о-= x о
10
10
О x3 - 10x +12 = 0 О (x - 2) (x2 + 2x - б) = 0 О
x = 2,
x=-1 ±V7.
Вщповщь: x = 2, x = -1 ± V7 .
Використання парност функцш знач-но спрошуе розв'язування деяких задач, що мiстять параметри.
Приклад 2. При яких значениях параметра а рiвняння
a2 x4 + (2a - l)x2 + a + \a\ = 0
мае единий розв'язок? Знайдль його.
Розв'язання. Функщя f (x ) = a2 x 4 + (2a - l)x2 + a + |a| е парною для будь-якого x е R. Тому, як-що x0 - коршь рiвияния f (x) = 0, то - x0 також буде його коренем. Сдиним розв'язком буде лише x = 0 . Поставивши x = 0 у вихщне рiвияния, отримаемо умо-ву a < 0 . При a = 0 рiвняння набувае вигляду - x2 = 0 i мае лише один розв'язок. При a < 0 рiвняння мае три рiз-них розв'язки. Отже, ршняння мае единий розв' язок x = 0 при a = 0 .
Вщповщь: x = 0 при a = 0 .
На завершальному етап1 розглядають-ся задач1 п1двишеного рiвня складность Студенти вдосконалюють умiиия структу-рувати задачу, видшяти окремi класи функцш, застосовувати Гх властивостi.
Наведемо приклади застосування об-меженосл функцiй до розв'язання нерiв-носп i рiвняиия з трьома змшними.
Приклад 3. Розв'язати нерiвнiсть cos2 (x + 1)lg(9 - 2 x - x2 )> 1.
Розв'язання. Зробимо замшу x +1 = t, нер1вшсть перепишемо у виглядi cos21 • lg(10 -12 )> 1. Осюльки
0 < cos21 < 1 i lg(10 -12 )< 1, нерiвнiсть
cos x + -
р1вносильна систем!
I cos21 = 1, [lg(l0 -12 ) = f розв'язком яко1 e t = 0. Отже, x +1 = 0, x = -1.
Вщповщь: x = -1.
Приклад 4. Розв'язати р1вняння
cos2 x + —1—1(1 + tg22y)з + sin3z) = 4 v cos x)
Розв'язання. Розглянемо кожний 1з множниюв i зробимо оцнку вщповщних вираз1в.
f
1 2
— > 2,1 + tg 2y > 1, cos x
3 + sin3z > 2. Л1ва i права частини кожноГ з нер1вно-стей додатиi. Перемноживши почленно ui нерiвностi, отримаемо
'2 1 V
cos x +---
(1 + tg22y)з + sin3z)> 4
V
cos x) Рiвнiсть виконуеться, якщо
cos2 x = 1,
tg 2y = 0, sin3z = -1.
Вдаовщь:
П 71 2 77 л,
х = топ, у = — к, 2 =---ь — П, т, к, I е 2
2 6 3
Таких прикладов можна навести бага-то. Усi властивосл функцш можна вико-ристовувати у тих чи шших ситуациях для розв'язання рiзноманiтних задач.
Слщ пам'ятати, що графiчний метод розв'язування рiвнянь i нер1вностей також дае чудовий результат коли необхщно встановити кшьюсть коренiв рiвняння, а також при розв'язуванш р1внянь i нер1внос-тей з параметрами.
Приклад 5. Залежно вiд параметра а
розв'яжхгь нерiвнiсть -у/2|а| х - х^ > |а| - х .
Розв'язання. При а =0 нер1вшсть набувае вигляду V-х2 > - х, яка мае единий розв'язок х=0. При а ф 0 розв'яжемо не-рiвнiсть графiчним методом. На координат-нш площиш будуемо графши функцш
у =^а2 -(х-|а|) i у = |а|-х (рис. 1).
у =^а2 -(х-|а|) - рiвняння швкола.
(х-|а|)2 + у2 = а2, у > 0.
Знайдемо абсциси точок, для яких тв-коло лежить не нижче прямо! у = |а| - х . Абсцису точки А знайдемо з рiвняння
(х - |а| )2 + (|а| - х )2 = а2, при |а| - х > 0.
Висновки. Презентована система задач дозволяе засобами функционально! змгстово! лшп реалiзyвати компетентшс-ний, розвивальний, дослщннцький подходи до навчання стyдентiв-математикiв.
1. Бевз ВТ. Icmopin математики у фа-ховт тдготовгр майбутшх учител1в: Мо-нографгя. - К: НПУ Ы. М.П.Драгоманова, 2005. - 360 с.
2. Колесник Т. Розвиток поняття функцп у класах з поглибленим вивченням математики основног школи // Математика в школ1. - 2006. - №3. - С. 42-45.
3. . ., . . -// -
лах Укроти. - № 16-18 (208-210). - С. 69.
4. . -шення // Математика в школ1. -2006. - №2. - С. 45-50.
5. . . -тов математических специальностей педвузов к обучению учащихся общеобразовательных учреждений функционально-графическому методу решения уравнений и неравенств. - Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата
.
6. Ольвестрова I.A. Навчаемось розв'я-зувати рюняння та нергвностг / 1.А.Оль-вестрова, МС.^рман. - X: Вид. група Юс-нова», 2004. - 272 с. - (Б-ка журн. «Математика в школах Украти»; Bun. 9(33)).
функцш та гх властивостей.
Резюме. Брусило З.А. РАЗВИТИЕ У БУДУЩИХ ПРЕПОДАВАТЕЛЕЙ МАТЕМАТИКИ УМЕНИЙ РЕШАТЬ УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА ФУНКЦИОНАЛЬНЫМ МЕ-. -
матики использовать функциональный метод решения уравнений и неравенств. Описаны этапы специальной методической подготовки будущих преподавателей математики к использованию функционального метода. Рассмотренная методика базируется на объединении частичных и обобщенных приемов решения уравнений и неравенств функциональным методом.
Ключевые слова: подготовка будугцего преподавателя, функциональный метод решения уравнений .
Abstract. Brusilo Z. DEVELOPING FUTURE MATHEMATICS TEACHERS' SKILLS TO SOLVE EQUATIIONS AND INEQUALITIES BY FUNCTIONAL METHOD. The system of problems developing future maths teachers' skills to use a functional method for solving equations and inequalities has been developed in the paper. The stages of special method training of students to use the functional method have been described. The considered technique is based on combining partial and generalized techniques of solving equations and inequalities by functional method.
Key words: future teacher training, functional method for solving equations and inequalities.
Стаття представлена професором Н.МЛосевою.
Надшшла до редакца 31.05.2010р.
Рис. 1
о/ I 1\2 2|| a 2--v/2, | 2 (х - a) = a , x - a =—^, x =-a
22
Розв'язки нерiвностi
2-V2
x e
a; 2 a
xe
Вщповщь: При a =0 х=0; при a ф 0
2-V2,
a; 2 a
Для активiзацií тзнавально! активносл студенев ми пропонуемо !м практичш ро-боти, що передбачають самостшне скла-дання умов рiвнянь i нерiвностей, розв'язування яких вимагае застосування функцюнального методу. Таю роботи ви-конуються тсля повторення вах клаов
