CC BY
72
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ
ФОРМУЛЫ БИНЕ И НЕПРЕРЫВНЫЕ ДРОБИ Шмойлов В.И.1, Коровин Я.С.2, Ершов В.В.3 Em ail: [email protected]
'Шмойлов Владимир Ильич — старший научный сотрудник; 2Коровин Яков Сергеевич — ведущий научный сотрудник, НИИ многопроцессорных вычислительных систем; 3Ершов Виталий Владимирович — старший преподаватель, кафедра высшей математики, Институт компьютерных технологий и информационной безопасности Южный федеральный университет, г. Таганрог
Аннотация: рассматривается обобщение формулы Бине, определяющей n-е число Фибоначчи. Обобщённая формула Бине даёт представление числителя подходящей дроби периодической непрерывной дроби через разность степеней корней квадратного уравнения, старший по модулю корень которого определяется этой периодической непрерывной дробью. Значения предела отношения обобщенных формул Бине равно вещественному или комплексному корню исходного квадратного уравнения, причём, комплексный корень устанавливается по вещественным подходящим дробям периодической непрерывной дроби так называемым r/ф-алгоритмом. Показано, что пределы отношения полиномов Чебышева первого и второго рода равны комплексной единице e'v ■
Отмечается, что формулы Бине-го порядка, дают представление числителей подходящих периодической непрерывной дроби Хессенберга, определяющей старший по модулю корень алгебраического уравнения п-й степени, через корни этого уравнения. Формулы Бине -го порядка связываются с суммами геометрической прогрессии п-го порядка. Приводятся числа Фибоначчи -го порядка, а также пример применения r/ф-алгоритма в теории чисел. Рассматривается обобщение натурального ряда.
Ключевые слова: обобщённые формулы Бине, числа Фибоначчи n-го порядка, расходящиеся непрерывные дроби, простые числа, r/ф-алгоритм.
BINET'S FORMULAS AND CONTINUED FRACTIONS Shmoylov V.I.1, Korovin Ya.S.2, Ershov V.V.3
'Shmoylov Vladimir Ilyich — Senior Research; 2Korovin Yakov Sergeyevich — Leading Researcher, RESEARCH INSTITUTE OF MULTIPROCESSOR COMPUTING SYSTEMS; 3Ershov Vitaliy Владимирович — Senior Lecturer, DEPARTMENT OF HIGHER MATHEMATICS, INSTITUTE OF COMPUTER TECHNOLOGY AND INFORMATION SECURITYF, SOUTH FEDERAL UNIVERSITY, TAGANROG
Abstract: а generalization of the Binet formula determining the n-th Fibonacci number is considered■ The generalized Binet formula gives a representation of the numerator of a suitable fraction of a periodic continuous fraction, through the degree difference of the roots of the square equation, the highest modulo the root of which is determined by this periodic continuous fraction■ The values of the limit of the ratio of the generalized Binet formulas are equal to the real or complex root of the original square equation, and the complex root is established by suitable fractions of the periodic continuous fraction by the so-called r/^-algorithm■ It is shown that the limits of the ratio of Chebyshev
polynomials of the first and second kind are equal to the complex unit ■
It is noted that the n-order Binet formulas giving a representation of the numerators of suitable fractions of the periodic continuous Hessenberg fraction, determining the modulo root of the algebraic equation of the п-th degree, through the roots of this equation■ Binet's formulas of п-th order contact with the sum of a geometric progression п-th order■ The Fibonacci numbers of the п-th order are given, as well as an example of the application of r/^-algorithm in number theory■ We consider a generalization of the natural numbers■
Keywords: generalized Binet formulas, Fibonacci numbers n-th order, divergent continued fractions, primes, r/^-algorithm.
УДК 517.524
Введение
Цепная дробь
i+11 1 .
1 + 1 + ...+ 1 + ...
(1)
непосредственным образом связана с числами Фибоначчи
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, ..., (2)
которые, как известно, определяются рекуррентной формулой второго порядка[1]:
Рп = Fn_l + 2, ^ = 1, ^ = 1.
(3)
Числителями и знаменателями подходящих дробей разложения (1) являются соседние числа Фибоначчи.
Существует, однако, формула [2], позволяющая по номеру п записатьчисло Фибоначчи непосредственно, не прибегая к рекуррентной формуле (3):
Л
К =■
i+ V5
и+1
(
1 -45
V У
n+1
45
n = 0,1, 2,
(4)
Формула (4) известна как формула Бине, по имени французского математика первой половины XIX столетия. Формулу Бине можно получить как решение разностного уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами. Эта формула впервые найдена Муавром, и была переоткрыта Жаком Бине (I Вте11) столетие спустя [3].
Формула Бине (4) совершенно не очевидна. Можно, например, записать:
К =
1 1 0 -1 1 1 0 -1 1
'1+ V5Y f 1 -V5^4
45
= 3.
Несложно, однако, заметить, что величины
1 + 45 1 -45
- и -,
2 2
входящие в формулу Бине, - это корни характеристического квадратного уравнения
2
xz - х -1 = 0,
(5)
коэффициенты которого определяются коэффициентами рекуррентного уравнения второго порядка (3), воспроизводящего числа Фибоначчи. Таким образом, формулу Бине (4) можно записать в виде
К =
n
n+1
X
n+1
2
n = 0, 1, 2,...
(6)
Xi X
где корни квадратного уравнения (5).
Формула Бине (6) определяет в явном виде -е число Фибоначчи и, тем самым, в явном виде устанавливает значение числителя Рп периодической непрерывной дроби (1). Далее будет показано, что формулу Бине (6) можно обобщить, т.е. использовать конструкцию (6) для определении в явном виде значений числителей подходящих дробей периодической
непрерывной дроби общего вида. 1. Обобщение формулы Бине Запишем квадратное уравнение:
х + рх + q = 0,
(7)
2
2
2
корни которого равны:
а = -Р + А , Ь = -Р-..
2X4 2 V 4
Из уравнения (7) можно непосредственно записать непрерывную дробь:
/ ч д д д
х = (-р) —— ■ (9)
(-р)- (-р) - ■■■-(-р) - ■ ■■
Используя формулу Виета, связывающую коэффициенты р и ц квадратного уравнения с корнями а и Ь этого уравнения, непрерывную дробь (9) запишем следующим образом:
аЬ аЬ аЬ
а + Ь--Г -Г -Г ■ (10)
а + Ь - а + Ь - ■■■ - а + Ь - ■ ■■
Запишем подходящие Рп /(п этой периодической непрерывной дроби:
Р _ а + Ь
а= ~
Р _ а2 + аЬ + Ь2 а а + Ь Р _а3 + а2Ъ + аЬ2 + Ь3
а2 + аЬ + Ь2 Р _ а4 + а3Ь + а2Ь2 + аЬ3 + Ь4 а4 + а 2Ь + аЬ2 + Ь3
Числители Рп можно представить формулами:
Р = а + Ь =
2 и2
а - Ь а - Ь
п 2 112 а3 - Ь3
Р = а + аЬ + Ь =-,
а - Ь
Р = а3 + а 2Ь + аЬ2 + Ь3 =
4 1.4 а - Ь
а - Ь
Р4 = а4 + а3Ь + а 2Ь2 + аЬ3 + Ь4 = (11)
а - Ь
Из правой части соотношений (11) следует, что значения числителей Рп подходящих дробей разложения (9) можно записать через корни квадратного уравнения (7). Таким образом, показано, что формулы Бине и её обобщения можно непосредственно получить из рассмотрения значений подходящих дробей, а не из решения соответствующего разностного уравнения.
Учитывая, что корни а иЬквадратного уравнения (7) определяются формулами (8), выражения (11), т.е. числители Рп подходящих дробей Рп/ ( п периодической непрерывной дроби (9), могут быть определены формулой:
—Р+
р =-
2
(12)
Формулу (12) следует рассматривать как обобщённую формулу Бине [4], позволяющую записать числитель Рп подходящей дроби Рп/(п периодической непрерывной дроби (9) через корни исходного квадратного уравнения (7).
Можно записать рекуррентное соотношение, связывающее обобщённые формулы Бине: „п+1 т, п+1 п 1_п п—1 и -1
а
Ьп ' ап
= (а + Ь)-
Ьп , ап — аЬ-
Ьп
а — Ь ' а — Ь а — Ь
Обобщённую формулу Бине (12) запишем в компактной форме:
п+1 п+1
р = Х1 — Х2
(13)
(14)
Х1 Х2
где корни квадратного уравнения (7).
2. Формулы Бине -го порядка
Обобщённую формулу Бине (14), включающую корни квадратного уравнения, будем называть формулой Бине второго порядка. Можно установить аналогичные формулы, использующие корни алгебраического уравнения п-го порядка. Формула Бине третьего порядка имеет вид[5]:
/ Ч п+2 / Ч п+2 / Ч . п+2
(Х2 — Х3 )Х1 — (Х1 — Х3 )Х2 + (Х1 — Х2 /'
Р = ЛХ2
р п
32
Х2 )Х3
(Х1 Х2 )(Х1 Х3 )(Х2 Х3)
где корни кубического уравнения
0.
3 2
Х сх С^Х С^
(15)
(16)
По формуле Бине (15) может быть установлено значение числителя Рп подходящей периодической непрерывной Хессенберга дроби третьего порядка (17), представляющей старший по модулю корень уравнения (16). Непрерывная периодическая дробь Хессенберга третьего порядка определяется отношением бесконечных определителей [6]:
рп
вп
С1 С2 С3 0 0 ...
—1 С1 С2 С3 0 ...
0 —1 С1 С2 с3 ...
0 0 — 1 С1 С2 ...
0 0 0 — 1 С1 ...
С1 С2 С3 0 ...
—1 С1 С2 С3 ...
0 — 1 С1 С2 ...
0 0 — 1 С1 ...
(17)
Так как для периодических непрерывных дробей Хессенберга (п = Рп_ ± то в формуле (17)
имеет вид:
Рп = С1Рп —1 + С2 Рп — 2 + С3 Рп—3, Р1
Ро = 1, Р—1 = 0.
(18)
2
2
ч
2
С
1
Классические числа Фибоначчи, определяемые рекуррентным соотношением второго порядка (3), будем называть числами Фибоначчи второго порядка. Числа, определяемые рекуррентным соотношением третьего порядка, будут, соответственно, числами Фибоначчи третьего порядка, и т.д.
Числа Фибоначчи третьего порядка можно записать, используя четерёхдиагональный определитель с единичными элементами:
р (3) =
1 1 1 0 0
-1 1 1 1 0
0 1 1 1 1
0 0 1 1 1
0 0 0 1 1
(19)
(20)
Для чисел Фибоначчи третьего порядка имеет место рекуррентное соотношение р (3) = р (3) + р (3) + Р(3) р = 1 р = 1 р = 2
рп = рп-1 + рп-2 + рп-3 р0 = 1 р1 = 1 р2 = 2
Последовательность чисел Фибоначчи третьего порядка:
1, 1, 2, 4, 7, 13, 24, 44, 81, 149, .... (21)
Кроме рекуррентной формулы (20), числа Фибоначчи третьего порядка также определяются в «явном виде» формулой Бине третьего порядка:
р (3) = (х2 Х3 ) ХП+2-( Х1- Х3) Х2 (Х1 Х2) Х3
( Х1- " Х2)(Х1 Х3)(Х2 -Х3) где корни кубического уравнения
п+2
+ а+ А, х2 =
х3 3 2
-х-1 = 0^
х
л/3 1 1 73
(а +А)+г—(а1- АХ3 =1-1 (а +А)-1—(а1- А\
(22)
(23)
2
2
где
/19 а, = 3— + 1 V 27
'11 А= - 11. . ' 27' А V 27 V 27
Корень х^ кубического уравнения (23) представляется как предел отношения чисел
Фибоначчи третьего порядка:
р„(3) 1 19 [ГГ 19 [ГГ , „,„„„„„
Х = Ьт-^- = - + 3— + л — + 33--, — = 1■839286755■■■ ■
1 п^» р(3) 3 \27 4 27 V 27 Ш
(24)
Непрерывная дробь Хессенберга, которой представляется старший по модулю корень кубического уравнения (23), имеет вид [7]:
Х
x —
1 1 1 0 0 0 ...
1 1 1 1 0 0 ...
0 1 1 1 1 0 ...
0 0 1 1 1 1 ...
0 0 0 1 1 1 ...
0 0 0 0 1 1 ...
1 1 1 0 0 ...
1 1 1 1 0 ...
0 1 1 1 1 ...
0 0 1 1 1 ...
0 0 0 1 1 ...
1+ -
1+ -
1+
1+ -
1+
1+ -
1+...
1+... 1
1+...
1+
=1+-
1+. 1+.
1+
1
Д + № +1И + 3p_/ü. = 1.839286.. 3 V 27 V 27 V 27 V 27
1 + ^
1 + "fc
1+
1+
1+.
1+
1
1+
1+
1 +..
1 +.. 1
1 + -1 +
1 +1 +..
1+...
Непрерывные дроби вида (25) впервые предложил немецкий математик Фюрстенау (E. Fürstenau) в 1874 г. Тем не менее, в литературе непрерывные дроби вида (25) принято именовать непрерывными дробями Хессенберга, так как они записываются отношением определителей матриц Хессенберга [8]. Формула Бине 4-го порядка имеет вид:
„n+3 D,„n+3 , /^,„2+3 7Л„.я+3
P —
Axf3 _Bxn2+3 + Cxl+ _Dxn4
(X1 x2 )(x1 x3 )(x1 x4 )(x2 x3 )(x2 x4 )(x3 x4)
(26)
A — (x2 x3 Xx2 x4 Xx3 x4 ),
B — (x1 x3 )(x1 x4 )(x3 x4 ),
С = (ху — Х2 )(х: — Х4 )(Х2— Х4 ), 0 (х2 —Х4 )(х1 —Х3 )(х2 —Х3 ^
где Х1 ^ Х4 — корни уравнения 4-й степени
Х4 + СХ3 + С2Х2 + С3Х + С = 0. (27)
Аналогично можно записать формулы Бине -го порядка, если использовать известные выражения для вычислений определителей Вандермонда.
В формулах Бине -го порядка значения корней могут быть аналитически представлены непрерывными дробями Никипорца, включающими отношения определителей Теплица бесконечно высоких порядков.
Формулы Бине -го порядка - это эквивалентная запись значений числителей Рп подходящих дробей Хессенберга, которые устанавливаются линейными рекуррентными формулами -го порядка.
Следует обратить внимание, что пределы отношений формул Бине
lim x
(n + 1) An + 1)
_x
2
■ — x(2),
lim (x2 x3)x! (x! x3 ^
2
3 x2
(x2 x3)x! (x1 x3 )x2
x )x2+2 + (x1 x2 )x2+2 _ . „(3)
2+1 , (,, ,. V,2+1 1
(28)
+ (xj x2 )x3
равны вещественным или комплексным корням алгебраических уравнений второго, третьего и т.д. порядков. Комплексные корни устанавливаются при помощи г/р-алгоритма.
Здесь уместно отметить, что известные в теории разностных схем теорема Пуанкаре, как и её обобщение - теорема Перрона [2], утверждают, что выражение
lim fO+H — Л
f ( x)
устанавливает вещественный корень характеристического уравнения. На самом деле, этот предел может определять как вещественное, так и комплексное значение корня характеристического уравнения, если при нахождении предела использовать r/p-алгоритм.
Таким образом, можно отметить, что формулы Бине -го порядка генерируют вещественные последовательности . Также будут, очевидно, вещественными и последовательности Рп}. Однако значения полученных вещественных дробно-рациональных бесконечных последовательностей {Рп+ 1/Рп}™=1, т.е. значения старшего по модулю корня алгебраического уравнения, могут быть как вещественными, так и комплексными [9]. 3. Предел отношений полиномов Чебышева второго рода Запишем квадратное уравнение
x2 - 2 cos px +1 = 0. (29)
Корни квадратного уравнения (29):
Х| — e , Х2 — e .
Из уравнения (29) можно формально записать непрерывную дробь:
(Р „ 11 1
ep — 2 cos p--- - . (30)
2cos p - 2cos p -... - 2cos p -...
Рекуррентная формула для определения числителей Рп подходящих дробей разложения (30):
Pn — 2 cos pPn-1- Pn_ 2, Po — 1; P-1 — 0. (31)
Используя обобщённую формулу Бине
n+1 _ n+1
P — x1 x2
n ,
x1 - X2
запишем выражение для числителя Рпподходящих дробей разложения (30):
ei(n+1)p -e~i(n+1)p sin(n + 1)p P —-—---— (32)
n eip - e~ip sin p
Следовательно, подходящие дроби разложения (30) имеют значение:
Pn sin(n + 1)p
п ■ • (33)
Оп 8Ш пР
Рассмотрим выражение (33).Очевидно, что при п — оо отношение (33) не стремится ни к какому пределу, а осциллирует. Установить значение предела (33) можно при помощи т/р-алгоритма [10], который формулируется следующим образом:
Непрерывная дробь с вещественными элементами сходится и имеет своим значением в общем случае комплексное число г = г0е1 'Ро , если существуют пределы
Г
— lim n ГК /Qn(34)
n=1
\%\=ж lim —, (35)
n^X n
где Рп/Qn— значение n-й подходящей дроби,
kn - количество подходящих дробей, имеющих отрицательные значения из совокупности, включающей п подходящих дробей.
Применения г/^-алгоритма рассматриваются в работах [11 - 18].
В табл. 1 приведены результаты определения значения непрерывной дроби (30) при р = 1.
Таблица 1. Определение значения непрерывной дроби
11 1 sin(n +1)1 ¡1
2cos1--- - = lim—--— = e .
2cos1-2cos1-...-2cos1-... sin n1
Номер звена дроби Значения подходящих дробей Модуль комплексного числа, г Погрешность, г, = \г0 - rf Аргумент комплексного числа, ф Погрешность, £ф =ф0 -
2 4 8 16 32 64 128 0.155196752896 1.267073352174 0.416551321676 3.339306761089 1.813317879098 0.898701390137 -0.268326315282 0.409519629451 1.033204506642 0.914635110212 1.008362044072 1.005405670775 0.999725756077 0.988581229594 0.590480370548 0.033204506642 0.085364889787 0.008362044072 0.005405670775 0.000274243922 0.011418770405 0.000000000000 0.785398163397 0.785398163397 0.981747704246 0.981747704246 0.981747704246 1.006291396852 1.000000000000 0.214601836602 0.214601836602 0.018252295753 0.018252295753 0.018252295753 0.006291396852
16384 32768 65536 131072 262144 1.785416776421 0.878518849977 -0.337364676876 0.504852690267 10.509616939715 1.000010518094 0.999999029781 0.999980437487 0.999996095503 1.000000187803 0.000010518094 0.000000970218 0.000019562512 0.000003904496 0.000000187803 0.999963726102 0.999963726102 1.000011663002 0.999987694552 0.999999678777 0.000036273897 0.000036273897 0.000011663002 0.000012305447 0.000000321222
Формула Бине при x1 = el9 и x2 = e l9 определяет полиномы Чебышева второго рода:
e(n+i)p _e-j(nsin(n+i)p X _x2 e1(p _e_p sinp
Если использовать две пары комплексных корней x 1 = e 19 и x2 = e~19, x3 = el^ и x4 = e~то по формулам (26) можно построить формулу Бине четвёртого порядка, которую следует рассматривать как обобщение полиномов Чебышева. Эти обобщения, очевидно, могут использовать пар комплексных корней.
Ранее было установлено комплексное значение непрерывной дроби (30). Следовательно, определён предел отношения полиномов Чебышева второго рода:
Un+1(p) i p
lim ——-= e p. (36)
Unp)
Этот предел равен комплексной единице, т.е. el9 .
3. Некоторые применения r/ф-алгоритма в теории чисел
В [19] были записаны значения трёх пределов:
П +1 .
lim -= 1, (37)
n n
lim shi^u = ,
sh nu
(38)
sin( n + 1)ф ф
lim—--— = e ф. (39)
n^<x> sin Пф
Предел (39) можно рассматривать как значение периодической непрерывной дроби
фф „ 11 1
еф = 2 cos ф--- - . (40)
2 cos ф - 2 cos ф -... - 2 cos ф -...
Предел (39) именуется пределом Никипорца, по имени таганрогского математика А.З. Никипорца, предложившего этот предел в 1948 г. [20]. Если в (40) ф = 0, то имеем
i0 i „ 1 1 1
e = 1 = 2 -- - - . (41)
2 - 2 -...-2 -...
Подходящие дроби разложения (41) имеют вид:
Рп П +1
7Г =-. (42)
Qn n
Имеет место также непрерывная дробь
и „ , 1 1 1
e = 2chu--- - , (43)
2chu - 2chu -...- 2chu -...
P sh (n + 1)u
7T = ~u-■ (44)
Qn sh nu
Если в (43) и = 0 , то также имеем непрерывную дробь (41).
Пределы (37) - (39) в [19] названы единицами натурального ряда чисел и единицами эллиптических и гиперболических рядов чисел, т.е. последовательностей:
Р^Г и f^f . (45)
lsin(pJn_1 1 shu Jn=i v '
При (p = 0 и и = 0 последовательности (45), как показано выше обращаются в натуральны ряд. Таким образом, последовательности (45), можно рассматривать как обобщённые натуральные ряды. Фиксируя значения p и и в последовательностях (45), получим множество
ТТ sin Пер л _
рядов чисел. Интересен, например, ряд эллиптических чисел , п = 1 ,2 ,. . ., где значение p
сколь угодно мало отличается от нуля. Использование подобных рядов чисел может иметь важное следствие.
В пределе Никипорца
lim Sin(n + 1( = eiР
sin np
значения аргумента комплексного числа совпадает со значением аргумента в левой части формулы, представленной отношением синусов кратных аргументов. Из табл. 1 видно, что
lim sin(n +1)-1 = 1e/1 = e/1.
и^да sin n -1
Рассмотрим значения пределов отношений синусов кратных аргументов, в которых вместо натуральных чисел используются порядковые простые числа, т.е. рассмотрим пределы:
HmSHnCp+p), (46)
sin(pn (p)
где - простые числа, имеющие порядковые номера и .
Запишем значения «подходящих дробей» (46):
P _ sin(p2p) _ sin(3p) P _ sin(p5p) _ sin(11p)
Q1 sin( P() sin(2p)' Q4 sin( P(P) sin(7p) '
Pz _sin( рзр;> sin(5p) P5 _ sin(P(P) _ sin(13p)
Q2 sin( P2P) sin(3p)' Q5 sin( P(P) sin(11p)'
P3 _ sin^JP4() sin(7p) Рб sin( P7() sin(17p)
Q3 sin( РзР) sin(5p)' Q6 sin( P6() sin(13p)
(47)
В табл. 2 приведены результаты вычисления предела (46) для р = 1 и при использовании 262144 значений простых чисел.
Таблица 2. Предел отношения синусов простых чисел при р = 1
Номер Значение Значения
простого простого числа, подходящих Значение модуля, гр Значение аргумента, рр
числа, п Рп дробей
1 2 0.1551967528 0.1551967528 0
2 3 -6.795097930 1.0269260608 1.5707963267
4 7 -1.522086155 1.0240530282 2.3561944901
8 19 -5.646091264 0.9910537093 2.7488935718
16 53 1.6082282392 0.9779765148 1.5707963267
32 131 1.1612993113 1.0011218479 1.4726215563
64 311 -51.86286874 1.0001234479 1.6198837120
128 719 -2.333169412 1.0004355085 1.5953400194
256 1619 0.0700453648 0.9895500776 1.4358060174
512 3671 -0.460723775 0.9986706621 1.5401167110
1024 8161 1.2018374190 0.9999996898 1.4388739790
2048 17863 8.4731127147 0.9999439727 1.4496118445
4096 38873 1.0738074089 1.0000082761 1.4856603930
8192 84017 -0.028738279 0.9995763464 1.4856603930
16384 180503 -2.877000425 1.0000045560 1.4944807825
32768 386093 -0.678308003 0.9999771842 1.4850851502
65536 821641 0.9187847549 0.9999999928 1.4823048100
131072 1742537 -1.349416442 1.0000002670 1.4897110610
262144 3681131 0.3889784973 0.9999965267 1.4895672503
В первой колонке табл. 2 указаны порядковые номера простых чисел последовательности 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, ... (48)
Во второй колонке приведены значения простых чисел, имеющих порядковые номер п. Так, восьмое простое число равно 19, а 1024-е простое число равно 8161. Для контроля простых чисел использовались известные таблицы Лемера [21].
В третьей колонке помещены значения -х «подходящих дробей», то есть значения, определяемые формулой(46). Например:
Рб = зт59 = 0636738 = 016 Бт 53 0.395915
В четвёртой колонке показаны модули гр комплексного числа гре19*>, являющегося значением последовательности {-п^11] , определяемых по формуле г/р-алгоритма
Г = п р '
м
П1 Рп / а
п=1
где Рп/(п - значение -й «подходящей дроби» (47).
В пятой колонке даны абсолютные значения аргументов , установленные по формуле
I (Рп М - , п
где кп - количество «подходящих дробей» (47), имеющих отрицательные значения из совокупности, включающей «подходящих дробей».
Из колонки 4 следует, что модуль комплексного числа, являющегося пределом (46) при
(р = 1, весьма близок к единице, - погрешность £
г
1-Г
Р
составляют величины порядка
, причём, значения колеблются около единицы. Не столь очевиден предел для аргумента рр, как то видно из данных колонки 5 табл. 2. Значение рр аргумента комплексного числа, устанавливается с точностью всего в 3 десятичных разряда. Таким образом, можно записать значение предела (46) при р = 1:
.. Sin pn+i , ¿1489
lim . "+1 = 1- e'1-489-. (49)
n—m sin pn
В табл. 3 приведены результаты вычисления предела (46) при р = 0,9 c использованием 131072 значений простых чисел. Простое число с порядковым номером 131072 имеет значение 1742537.
Таблица 3. Предел отношения синусов простых чисел при р = 0,9
Номер простого числа, п Значение простого числа, рп Значения подходящих дробей Значение модуля, Гр Значение аргумента, рр
1 2 0.4388570313 0.4388570313 0
2 3 -2.287262837 1.0018889054 1.5707963267
4 7 -27.21176411 0.8279107839 2.3561944901
8 19 -0.976716700 0.9983611523 2.3561944901
16 53 -0.554865386 0.9294888184 1.9634954084
32 131 0.7046447002 0.9898134402 1.8653206380
64 311 2.9405647718 0.9981333320 1.6198837120
8192 84017 2.7306797509 0.9999795603 1.6524808037
16384 180503 1.1832826890 0.9999990159 1.6413594430
32768 386093 -0.920875739 0.9999982918 1.6459613854
65536 821641 1.7556076365 1.0000003504 1.6497004635
131072 1742537 3.6296566258 0.9999993010 1.6417429382
Структура табл. 3 аналогична структуре описанной выше табл. 2. Из колонки 4 табл. 3 следует, что модуль комплексного числа, являющегося пределом выражения (46) при (р = 0, 9, также, как и в случае (р = 1, имеет единичное значение. Значение аргумента комплексного предела (46) при (р = 0,9 приближённо равно 1,641... . Следовательно, можно записать:
Пт5ш( Р-'° • 9) = 1. е- .
8щ(р 0.9)
В табл. 4 приведены значения комплексных пределов, установленных для последовательности (46) с помощью г/р-алгоритма при различных значениях аргумента (р.
Вычисления пределов
^Рп^ _ „ „(р
lim-—— = r„e
Sin( PnV)
p
n—m "
где рп- порядковые простые числа, показали, что модули гр, вне зависимости от аргумента (р, стремятся к единице, в то время как аргументы (рр имеют отличные от аргумента (р значения.
Таким образом, можно записать
Нт 5'п(Р-() = 1. . (50)
Таблица 4. Значения пределов отношения синусов простых чисел при различным аргументах р
Значение аргумента <Р Число простых чисел, Значение модуля, Гр Значение аргумента, <РР
0,0001 65536 1,000118275 0,001246359
131072 1,000064494 0,001318264
0,1 65536 1,000013833 1,153122120
131072 1,000009938 1,192576839
0,2 65536 1,000012027 1,582157372
131072 1,000007177 1,586639472
0,3 65536 1,000008715 1,693562726
131072 1,000000843 1,690446828
0,4 65536 1,000003188 1,716955933
131072 0,999987736 1,707368553
0,5 65536 0,999987778 1,683639788
131072 0,999995101 1,668947128
0,6 65536 0,999957090 1,678414666
131072 1,000000374 1,671655563
0,7 65536 0,999987778 1,683639788
131072 0,999995101 1,668947128
0,8 65536 0,999997095 1,719017220
131072 0,999990045 1,717267523
0,9 65536 1,000000350 1,649700463
131072 0,999999301 1,641742938
1,0 65536 1,000000267 1,489711061
131072 0,999996526 1,489567250
1,1 65536 0,999995092 1,469265973
131072 0,999994567 1,475306022
1,2 65536 0,999972555 1,621225949
131072 0,999996008 1,625348518
1,3 65536 0,999995800 1,650323643
131072 1,000004607 1,652888267
1,4 65536 1,000013157 1,655596702
131072 1,000007427 1,654110658
1,5 65536 1,000029729 1,743992345
131072 1,000004874 1,732127962
1,570796 65536 1,000216763 1,807748421
131072 1,000107344 1,796651029
Значение аргумента, <Р Число простых чисел, Значение модуля, Гр Значение аргумента, <РР
1,6 65536 1,000042255 1,786033006
131072 1,000074066 1,785172291
1,7 65536 1,000013783 1,718825472
131072 1,000010252 1,710364610
1,8 65536 0,999985155 1,657274493
131072 1,000004661 1,650898886
1,9 65536 0,999991004 1,607659802
131072 0,999988353 1,609888868
2,0 65536 1,000000027 1,563557854
131072 0,999998645 1,565403425
2,1 65536 1,000001802 1,260404901
131072 1,000001032 1,253837546
2,2 65536 0,999999971 1,633258107
131072 0,999997959 1,638075765
2,3 65536 0,999994055 1,6883855415
131072 0,999957783 1,6856291698
2,4 65536 0,999977107 1,7276937922
131072 0,999997666 1,7205512012
2,5 65536 0,999981546 1,6581373579
131072 1,000000299 1,6508749176
2,6 65536 0,999998876 1,7301385711
131072 0,999997391 1,7229480461
2,7 65536 1,000003443 1,6968703727
131072 0,999987006 1,6814346911
2,8 65536 1,000006488 1,6871871190
131072 1,000001993 1,6820339023
2,9 65536 1,000006544 1,6499880849
131072 1,000005679 1,6463448805
3,0 65536 0,999999837 1,4176858694
131072 1,000004668 1,4411030448
3,1 65536 1,000015669 0,5211220357
131072 1,000009128 0,5518735568
3,141592 65536 1,000196512 0,0000479368
131072 1,000102630 0,0000239684
Заключение
Периодические непрерывные дроби представляют квадратическую иррациональность, т.е. корень квадратного уравнения, вещественный или комплексный. Если корень уравнения комплексный, то значения корня по вещественным подходящим непрерывной дроби устанавливается г/р-алгоритмом, рассмотренным выше. Подходящие дроби периодической непрерывной дроби могут быть представлены отношением обобщённых формул Бине.
Обыкновенные непрерывные дроби представляются, как известно, отношением трёхдиагональных определителей бесконечно высокого порядка. Отношением определителей Хессенберга с ( п + 1) -й диагональю представляется старший по модулю корень, вещественный или комплексный, уравнения -го порядка. Подходящие дроби непрерывной дроби Хессенберга могут быть записаны отношением формул Бине -го порядка.
Если непрерывные дроби Хессенберга имеют бесконечно большое число диагоналей, то такие непрерывные дроби могут представлять элементарные и специальные функции [22]. Например:
a) 1! a/ 2! a 3! a/4! a/5! ...
-1 a/1! a/ 2! a/3! a/ 4! ...
0 -1 a/1! a/ 2! a/ 3! ...
0 0 -1 aj 1! a/ 2! ...
0 0 0 -1 a/1! ...
a/1! a/ 2! aj 3! a/4! ...
-1 a 1! aj 2! aj 3! ...
0 -1 aj 1! a/2! ...
0 0 -1 a/1! ...
lnl 1 +
1
1
a
Комплексное значение непрерывной дроби Хессенберга по вещественным подходящим дробям определяется г /-алгоритмом. Для периодической непрерывной дроби Хессенберга могут быть построены формулы Бине бесконечно высокого порядка.
Список литературы / References
1. Воробьёв Н.Н. Числа Фибоначчи. М.: Наука, 1978. 139 с.
2. ГельфондА.О. Исчисление конечных разностей, 3-е изд. М. Наука, 1967. 373 с.
3. Юшкевич А.П. История математики в 3-х т. Т. 3. Математика XVIII столетия. М.: Наука, 1972. 92 с.
4. Никипорец А.З. Разложение обобщённых формул Эйлера в цепные дроби. В кн. Шмойлов В.И., Коровин Я.С., Иванов Д.Я. «Непрерывные дроби и суммирование рядов». Ростов-на-Дону: Изд-во ЮФУ, 2018. С. 372-426.
5. Шмойлов В.И., Слобода М.З. Расходящиеся непрерывные дроби. Нац. акад. наук Украины. Ин-т приклад. проблем механики и математики. Львов, 1999. 820 с.
6. Шмойлов В.И. Непрерывные дроби. В 3-х т. Том 1. Периодические непрерывные дроби. Нац. акад. наук Украины. Ин-т приклад. проблем механики и математики. Львов, 2004. 645 с.
7. Шмойлов В.И. Периодические цепные дроби. Львов: Академический Экспресс, 1998. 219 с.
8. Шмойлов В.И. Решение алгебраических уравнений непрерывными дробями. Нац. акад. наук Украины. Ин-т приклад. проблем механики и математики. Львов, 2003. 598 с.
9. Шмойлов В.И., Чирун Л.В. Непрерывные дроби и комплексные числа. Нац. акад. наук Украины. Ин-т приклад. проблем механики и математики. Львов, 2001. 564 с.
10. Шмойлов В.И. Суммирование расходящихся цепных дробей. Нац. акад. наук Украины. Ин-т приклад. проблем механики и математики. Львов, 1997. 23 с.
11. Шмойлов В.И., Марчук М.В., Тучапский Р.И. Непрерывные дроби и некоторые их применения. Нац. акад. наук Украины. Ин-т приклад. проблем механики и математики. Львов, 2003. 784 с.
12. Шмойлов В.И., Марчук М.В., Тучапский Р И. Суммирование непрерывных дробей по Никипорцу. Нац. акад. наук Украины. Ин-т прикладных проблем механики и математики. Львов, 2004. 513 с.
13. Козлов В.В. Об одной формуле суммирования расходящихся непре-рывных дробей. // Докл. РАН, Том 474. Номер 4, 2017. С. 410-412.
14. Шмойлов В.И. Алгоритмы определения значений бесконечных последовательностей. // Вестник науки и образования. №16 (51). Часть 1, 2018. С. 10-24.
15. Шмойлов В.И., Коровин Я.С. Определение значений бесконечных комплексных последовательностей. // Вестник науки и образования. №4 (58).Часть 1. 2019. С. 10-23.
16. Шмойлов В.И., Коровин Я.С. О пределе и критерии сходимости бесконечных последовательностей значений дробно-рациональных функций. // Вестник науки и образования. № 7 (61).Часть 1, 2019. С. 6-19.
17. Шмойлов В.И., Коровин Я.С., Иванов Д.Я. О первом замечательном пределе для эллиптических чисел. // Вестник науки и образования. № 2 (56). Часть 1, 2019. С. 6-21.
18. Шмойлов В.И., Коровин Я.С., Иванов Д.Я. Алгоритмы определения комплексных решений БСЛАУ с трёхдиагональной матрицей. // Вестник науки и образования. № 9 (45), 2018. С. 6-18.
19. Шмойлов В.И. Определение значений расходящихся цепных дробей и рядов. Нац. акад. наук Украины. Ин-т приклад. проблем механики и математики. Львов, 1997. 70 с.
20. Шмойлов В.И. Непрерывные дроби. В 3-х т. Том 3. Из истории непрерывных дробей. Нац. акад. наук Украины. Ин-т приклад. проблем механики и математики. Львов, 2004. 520 с.
21. Лемер Д.Н. Таблица простых чисел от 1 до 10 000671. М.: Вычислительный центр АН СССР, 1967. 268 с.
22. Шмойлов В.И. Непрерывные дроби. В 3-х т. Том 2. Расходящиеся непрерывные дроби. Нац. акад. наук Украины. Ин-т приклад. проблем механики и математики. Львов, 2004. 558 с.
