Непрерывные дроби и их применение в вычислительной математике Текст научной статьи по специальности «Математика»

Левин Илья Израилевич - Научно-исследовательский институт многопроцессорных систем им. А.В. Каляева федерального государственного автономного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Южный федеральный университет»; e-mail: [email protected]; 347922, г. Таганрог, ул. Ленина, 224/1, кв. 65; тел.: 88634623226; зам. директора по науке; д.т.н.

Хисамутдинов Максим Владимирович - e-mail: [email protected]; 347927, г. Таганрог, Безымянный проезд, 7/1, кв. 8; тел.: 89085077088; научный сотрудник.

Шмойлов Владимир Ильич - Южный научный центр РАН; e-mail: [email protected]; 347902, г. Таганрог, ул. Свободы, 27-6, кв. 6; тел.: 88634318910, 88634368337, факс: 88634360376; научный сотрудник.

Levin Ilya Israilevich - Kalyaev Scientific Research Institute of Multiprocessor Computer Systems at Southern Federal University; e-mail: [email protected]; 224/1, Lenin street, ap. 65, Taganrog, 347922, Russia; phone: +78634623226; deputy director of science; dr. of eng. sc.

Khisamutdinov Maxim Vladimirovich - e-mail: [email protected]; 7/1, Bezimianir proezd, kv. 8, Taganrog, 347927, Russia; phone: +79085077088; researcher.

Shmoylov Vladimir Ilyich - Southern Scientific Center of Russian Academy of Sciences; e-mail: [email protected]; 27-6, Svobody street, kv. 6, Taganrog, 347902, Russia; phones: 88634318910, 88634368337, fax: +78634360376; researcher.

УДК 517.524

В.Ф. Гузик, В.И. Шмойлов, Г.А. Кириченко

НЕПРЕРЫВНЫЕ ДРОБИ И ИХ ПРИМЕНЕНИЕ В ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ

МАТЕМАТИКЕ

Рассматриваются применения непрерывных дробей при решении различных задач. Показано, что непрерывные дроби имеют существенные преимущества в сравнении со степенными рядами при аппроксимации элементарных и специальных функций. Непрерывные дроби могут быть использованы при суммировании расходящихся рядов, а также при построении эффективных итерационных алгоритмов решения систем линейных алгебраических уравнений. Описывается алгоритм определения значений расходящихся в классическом смысле непрерывных дробей. Этот алгоритм позволил построить практически удобный способ определения всех нулей полинома n-й степени. Рассматриваемый в статье метод суммирования используется при решении бесконечных систем линейных алгебраических уравнений (БСЛАУ). Это метод позволяет находить не только действительные, но и комплексные корни БСЛАУ, если они имеются. Показывается целесообразность использования непрерывных дробей при построении однородных вычислительных структур.

Бесконечные системы линейных алгебраических уравнений; непрерывные дроби; г/^-алгоритм; однородные вычислительные структуры.

V.F. Guzik, V.I. Shmoylov, G.A. Kirichenko

CONTINUOUS FRACTIONS AND THEIR APPLICATION IN COMPUTATIONAL MATHEMATICS

Discusses the application of continued fractions for solving various tasks. It is shown that the continuous fractions have essential advantages in comparison with respectable rows at approximation of elementary and special functions. Continuous fractions can be used in summing divergent series, as well as for the creation of effective iterative algorithms solving systems of linear algebraic equations. Describe an algorithm for determining the values of divergent in the classical sense of continued fractions. This algorithm is allowed to build almost a convenient way

to define all the zeros of the polynomial of n-th degree. Is considered in the article summation method used in solving infinite systems of linear algebraic equations (ISLAE). This method allows you to find not only real and complex roots SLAE, if they are available. Shows the expediency of use of continued fractions when you build a homogeneous computing structure.

Infinite system of linear algebraic equations; continuous fractions; r/(p-algorithm; homogeneous computing structure.

Введение. Непрерывные дроби в большинстве случаев дают гораздо более общие представления трансцендентных функций, чем классические степенные ряды

[1]. Непрерывные дроби могут быть с большим эффектом использованы для ускорения сходимости рядов. Более того, преобразуя расходящиеся ряды в соответствующие непрерывные дроби, можно просуммировать, т.е. найти значения расходящихся рядов. Известно, что непрерывные дроби тесно связаны с аппроксимациями Паде, которые, как отмечается в [2], стали главным вычислительным средством в задачах статистической механики и физики твердого тела. Поэтому существенные результаты, полученные в теории непрерывных дробей, в частности в вопросах сходимости, могут быть использованы и в аппроксимациях Паде.

Бесконечной непрерывной дробью, или цепной дробью, называют выражение

вида

т. a

b +----------------------,

0 т a2

b +--------2-------

b9 +...

2 +-

an

К + ...

где й и К , / = 1, 2,... - в общем случае независимые переменные.

Часто непрерывную дробь записывают в компактном виде в форме Гершеля:

а а й,

К +— — —

К + К ^ ^ ь +... .

12 П

Непрерывная дробь называется сходящейся, если последовательность ее подходящих дробей имеет конечный предел. Непрерывная дробь расходится, если последовательность ее подходящих дробей предела не имеет [3].

В статье рассмотрены несколько задач из разных разделов вычислительной математики, решенных с использованием нового метода суммирования расходящихся непрерывных дробей и оценены возможности аппаратной реализации построенных алгоритмов при проектировании современных однородных вычислительных структур.

1. Постановка задачи. В [4] предложено иное, нежели традиционное, определение сходимости непрерывных дробей. Для установления значений непрерывных дробей будем использовать г/ф -алгоритм:

Непрерывная дробь сходится и имеет своим значением в общем случае ком-

гфо

плексное число ^ — Го е , если существуют пределы:

lim

ПI Pi1 Qt I= ro > (1)

ж lim — = |p0|, (2)

n^<x> n

n

i=-

где Р1 - значения i-й подходящей дроби из совокупности, включающей п под-

ходящих дробей, кп - число отрицательных подходящих дробей из п подходящих дробей.

Этот способ выходит за рамки традиционных методов суммирования, ибо позволяет по последовательности вещественных подходящих дробей определить комплексное число, которое представлено этой непрерывной дробью. Признаком комплексности такой расходящейся непрерывной дроби с вещественными элементами служат перемены знаков ее подходящих дробей, причем эти перемены знаков происходят сколь угодно много раз. Другими словами, комплексная единица е1 устанавливается из «поведения» подходящих дробей непрерывной дроби. Параметры же комплексного числа г = г0 в ф0, т.е. его модуль г0 и аргумент ф0 могут быть определены, в частности, так называемым г/ф-алгоритмом, т.е. формулами (1) и (2). В случае непрерывных дробей, сходящихся в классическом смысле, аргумент ф0 примет значения 0 или п. Если ф0 = 0, то значение сходящейся непрерывной дроби будет совпадать со значением модуля Г0. Если ф0 = п, то значе-

ние сходящейся непрерывной дроби будет отрицательное число: г = Г0в = —Г0.

Предложенный г/ф -алгоритм даёт возможность устанавливать значения расходящихся в классическом смысле непрерывных дробей, а также решать множество других задач из различных разделов вычислительной математики [5-8].

2. Суммирование расходящихся непрерывных дробей. Из формулы Эйлера

cos р = -

е' р + e -р

можно записать дроби:

е'р = 2cosp —,

' ~'Ф

е'ф = 2cosp-

1

Єр = 2 cos р-

1

2cosp е'ф’ 1

2 cos р - ~2

1

cos р -

(3)

2 cos р - ——.

Запишем подходящие дроби непрерывной дроби (3):

P sin2p

— = 2 cos р =-------—

Qi

—— = 2 cos р------------------------=-,

Q2 2cosp sin2p

sin р

1 _ sin3p

2

1

Pn ~ 1

— = 2 cos р-------------

Qn 2cosp- 2

1

cos р-

1

2 cos р-

_ sin(n + i)p (4)

sin np

1

2 cos р

При п ^ да можно прийти к непрерывной дроби:

є'р = 2с08р —

1

1

1

2с08р — 2еозр—... — 2с08р—...

(5)

В выражении (5) над знаком равенства стоит «звездочка», которая означает, что это равенство ни есть равенство в традиционном понимании. Смысл «равенства» (5) будет разъяснен ниже, после чего к «звездочке» прибегать не будем, чтобы не загромождать записи комплексных чисел непрерывными дробями с вещественными элементами.

Используя непрерывную дробь (5), можно восстановить комплексное число

е , которое представлено этой бесконечной непрерывной дробью. Изобразим графически несколько значений первых подходящих дробей непрерывной дроби (5):

Очевидно, с ростом номера п угол (п + 1)щ станет больше угла я:

Этот момент может быть зафиксирован, так как подходящая дробь Рп ^п примет отрицательное значение. Таким образом, перемещение радиуса - вектора от угла ф до угла (п+1) ф, несколько превышающего значение я, дает возможность приближенно

определить аргумент комплексного числа Єір, представленного непрерывной дробью (5). Продолжая наблюдение за значениями подходящих дробей (5), запишем формулу,

Ро

по которой можно определить аргумент ф0 комплексного числа Є :

лкп +~

Ро =■

п

(6)

где кп - количество подходящих дробей, имеющих отрицательные значения из общего числа п подходящих дробей разложения (5), ~ - некоторый угол причем, ~ < ф0. Если п ^ да, то формула (6) примет вид

Р = ж\\ш —.

п^ю п

Рассмотренная выше процедура позволяет установить не значение аргумента

о'Ро о

комплексного числа Є , а модуль этого аргумента. Знак аргумента комплексного

¿Рй „ Л „

числа Є определяется из динамики распределения значений подходящих дробей

(5) на периоде. Эти правила определения знака установлены после калибровки на

тестовых непрерывных дробях, имеющих комплексные значения [9].

На рис. 1 показано распределение значений подходящих дробей Рп^п раз ложений (7) и (8) в зависимости от номера п.

1 1 1 8ш(п +1)0.2

2 cos 0.2 --

2 cos 0.2 - 2 cos 0.2 -... - 2 cos 0.2

sin п0.2

1

1

1

sin п0.2

2 cos 0.2 - 2 cos 0.2 -... - 2 cos 0.2 sin (и +1)0.2

(7)

(8)

Рис. 1. Распределение значений подходящих непрерывных дробей (7) и (8)

1ф

Из непрерывной дроби (5), представляющей комплексное число е , можно получить, помимо аргумента, модуль этого комплексного числа, равный единице.

В табл. 1 приведены результаты суммирования при помощи г/ф-алгоритма расходящейся непрерывной дроби:

1 л/15

— + ------

2 2

■ = 2eiarctg'^ = 1 — — —

1 - 1 1

4

(9)

Таблица 1

Определение значения непрерывной дроби (9)

г0 = 2,0 Р= 1,318116071652...

Номер звена дроби Значение подходящей дроби Модуль комплексного числа, гп Погрешность, Sr = Г0 - r„\ Аргумент комплексного числа, рп Погрешность, sv = \% -%

2 4 8 16 32 64 128 256 512 1024 2048 4096 8192 16384 32768 65536 131072 262144 524288 1048576 2097152 4194304 8388608 -3,0000000000 -0,7142857142 1,4369747899 -1,0326336812 0,9570674702 -3,3737052603 -0,9528199343 1,0641835576 -2,5412946875 -0,4041335913 2,1217417851 0,1547065652 5,7575173443 2,7721264678 0,8108450840 -5,3765210082 -2,1191941726 -0,0937280531 3,3611474401 1,2752422354 -1,5309777594 0,4077117759 20,7706409258 1,732050807568 1,495348781221 1,901623404084 1,893923277888 1,954777493792 1,992211007792 1,985483211714 1,995010880870 1,998634135542 1,996749737389 1,999829743244 1,998758806916 2,000006649905 1,999990952659 1,999946089818 1,999995713264 1,999993440699 1,999976553821 1,999999895090 1,999999061459 1,999999422170 1,999999256397 2,000000005109 0,267949192431 0,504651218778 0,098376595915 0,106076722111 0,045222506207 0,007788992207 0,014516788285 0,004989119129 0,001365864457 0,003250262610 0,000170256755 0,001241193083 0,000006649905 0,000009047340 0,000053910181 0,000004286735 0,000006559300 0,000023446178 0,000000104909 0,000000938540 0,000000577829 0,000000743602 0,000000005109 1.570796326794 1.570796326794 1,178097245096 1,374446785945 1,276272015520 1.325359400733 1.325359400733 1,313087554430 1.319223477581 1.319223477581 1.317689496793 1.317689496793 1.318072991990 1.318072991990 1.318072991990 1.318120928890 1.318120928890 1.318120928890 1.318114936777 1.318114936777 1,318116434806 1,318115685791 1,318116060298 0,252680255142 0,252680255142 0,140018826556 0,056330714292 0,041844056131 0,007243329080 0,007243329080 0,005028517222 0,001107405928 0,001107405928 0,000426574859 0,000426574859 0,000043079662 0,000043079662 0,000043079662 0,000004857237 0,000004857237 0,000004857237 0,000001134874 0,000001134874 0,000000363153 0,000000385860 0,000000011353

На рис. 2 показаны значения подходящих дробей непрерывной дроби (9).

50

0

-50

-100

.1.1

Рис. 2. Распределение значений подходящих дробей непрерывной дроби (9)

Формулы (1) и (2) можно распространить на непрерывные дроби других классов, в частности на практически важные предельно-периодические непрерывные дроби, которыми представляются элементарные и многие специальные функции.

Частным случаем обобщенных непрерывных дробей являются непрерывные дроби Хессенберга. Непрерывными дробями Хессенберга были названы непрерывные дроби, задаваемые отношением определителей матриц Хессенберга, для которых характерна одна поддиагональ элементов. Дроби Хессенберга - своеобразные непрерывные дроби, звенья которых распространяются не только “вниз”, но и “вверх”. Кроме того, числители и знаменатели подходящих дробей удовлетворяют линейным рекуррентным соотношениям п-го порядка. Непрерывные дроби Хессенберга следует рассматривать как обобщение обыкновенных непрерывных дробей, для числителей и знаменателей подходящих дробей которых имеют место рекуррентные соотношения второго порядка. Непрерывные дроби Хессен-берга впервые были рассмотрены немецким математиком Фюрстенау в 1874 [10].

При п ^ да периодические непрерывные дроби Хессенберга могут представлять элементарные и специальные функции. Например:

1п | 1 + -

X

х/1! х/ 2! х/ 3! х/ 4! х/ 5! ...

— 1 х/1! х/ 2! х 3! х/ 4! ...

0 —1 х/1! х/ 2! х/ 3! ...

0 0 —1 х/1! х/ 2! ...

0 0 0 —1 х/1! ...

х/1! х/ 2! х/ 3! х/ 4! ...

—1 х/1! х/ 2! х/ 3! ...

0 —1 х/1! х/ 2! ...

0 0 —1 х/1! ...

(10)

1

Непрерывная дробь (10) определяет логарифмическую функцию на всей плоскости комплексного переменного без вырезов по отрицательной оси. Если значение логарифмической функции комплексное, то непрерывная дробь (10) суммируется при помощи г/ф-алгоритма. При х = -1/4 непрерывная дробь Хессенберга (10) будет представлять 1/1п(-3). В табл. 2 приведены результаты вычисления 1/1п(-3) при помощи непрерывной дроби (10).

Таблица 2

Определение значения непрерывной дроби Хессенберга

г0 = 0.30046162..., Фо =-1.23438955....

Номер звена дроби Значение подходящей дроби Модуль комплексного числа, rn Погрешность, Sr = Ir0 - П Аргумент комплексного числа, <рп Погрешность, sv = \po -%|

20 0.23442816 0.93003756 0.62956994 -1.25663706 0.0222475

21 -0.18674352 0.86158449 0.56111686 -1.34639685 0.1120073

42 35.19087182 0.51823135 0.21776373 -1.27159702 0.0372074

84 0.09459853 0.38946521 0.08899759 -1.23419711 0.0001924

168 0.09001108 0.34198232 0.04151470 -1.23419711 0.0001924

336 0.08081936 0.32044936 0.01998174 -1.23419711 0.0001924

672 0.06230051 0.31017464 0.00970702 -1.23419711 0.0001924

1344 0.02414853 0.30506157 0.00459395 -1.23419711 0.0001924

2688 -0.06218044 0.30285044 0.00238282 -1.23536586 0.0009763

5376 -0.37800265 0.30172815 0.00126053 -1.23478148 0.0003919

10752 0.62051493 0.30110923 0.00064161 -1.23448930 0.0000997

21504 -0.33916720 0.30078159 0.00031397 -1.23448930 0.0000997

43008 0.73051578 0.30062796 0.00016034 -1.23441625 0.0000267

86016 -0.22009097 0.30054527 0.00007765 -1.23441625 0.0000267

172032 2.48914613 0.30050766 0.00004004 -1.23439799 0.0000084

344064 0.03090427 0.30048565 0.00001803 -1.23438886 0.0000006

688128 -0.04577614 0.30047676 0.00000914 -1.23439342 0.0000038

1376256 -0.29324574 0.30047250 0.00000488 -1.23439114 0.0000015

2752512 0.95751638 0.30047012 0.00000250 -1.23439000 0.0000004

5505024 -0.11123263 0.30046880 0.00000118 -1.23439000 0.0000004

11010048 -0.83680393 0.30046824 0.00000062 -1.23438971 0.0000001

3. Решение алгебраических уравнений при помощи //^-алгоритма. Способ суммирования при помощи г/ф-алгоритма оказался применим не только к обыкновенным непрерывным дробям и дробям Хессенберга, но и к непрерывным дробям иных классов. Это указывало на некоторую универсальность найденного метода суммирования. В частности, г/ф-алгоритм дал возможность предложить практически удобный способ определения всех нулей полинома [11]. Но главное, этот алгоритм позволил рассматривать выражения для нулей полиномов через непрерывные дроби Хессенберга и Никипорца, как аналитические формулы для определения корней многочлена через его коэффициенты.

Имеется алгебраическое уравнение степени п:

xn + аг xn-1 +... + a„_j x + аи = 0. (11)

Запишем следующую производящую функцию:

1

--------------2----------п = 1 + С1Х + С2Х + ... + + ... . (12)

1 + х x + а2 x +... + ай x

Коэффициенты х в (11) и (12) совпадают. Коэффициенты Ст последовательности (12) могут быть найдены из линейного рекуррентного уравнения

См = -(х1См-1 + X2См-2 + ... + ХпСм-п ), С = 1, q =-X! .

Для определения корней уравнения (11) Эйткен предложил формулы [12]:

lim См+1 = x , (13)

M^W Г*

См

Нш

Нш

т^го

Ст+1 Ст+2 Л

Ст+ 2 Ст+3 . Ст+1 Х1Х2

С т + т С С т Х1

Ст+1 Ст+ 2 )

= X,,

Ст+1 Ст+2 Ст+3

Ст+2 Ст+3 Ст+4 Ст+1 Ст+2

Ст+3 Ст+4 Ст+5 Ст+2 Ст+3

Ст Ст+1 Ст+2 Ст Ст+1

Ст+1 Ст+2 Ст+3 Ст+1 Ст+2

Ст+2 Ст+3 Ст+4

х1х2х3 Х1Х2

(14)

X

3’

(15)

Нш

т^ю

Ст+1 Ст+2 * С т+г Ст+1 Ст+2 * * Ст+г-1 \

Ст+2 Ст+3 * * Ст+г+1 Ст+2 Ст+3 * с т+г

с т+г с т+г+1 * Ст+2г-1 Ст+г-1 с т+г * Ст+2г-3

С т Ст+1 * * Ст+г-1 С т Ст+1 * * Ст+г-2

Ст+1 Ст+2 * с т+г Ст+1 Ст+2 * Ст+г-1

V Ст+г-1 с т+г * Ст+ 2г-2 Ст+г-2 Ст+г-1 * * Ст+2г-4 У

= X, .

(16)

Очевидно, что используя формулы Эйткена можно непосредственно находить только действительные корни алгебраического уравнения (11). Способ нахождения старшего по модулю действительного корня алгебраического уравнения

(11), описываемый формулой (13), как известно, принадлежит Д. Бернулли. Применим г/ф-алгоритм суммирования расходящихся непрерывных дробей к определению комплексных корней алгебраического уравнения (11).

Запишем формулы Эйткена в развернутом виде. В результате преобразований получим конструкции из отношений определителей матриц Теплица.

Формулу (13) можно представить отношением определителей:

(17)

-ах -а2 -а -а4 ... -1 - -а1 -а2 -а3 ..

-1 -ах -а -а3 ... 0 -1 -ах —6^2 *■

0 -1 -а -а2 ... 0 0 -1 -ах ..

0 0 -1 -а1 ... 0 0 0 -1 ..

-а -а -а3 ... -1 -ах —^2 '

-1 -а -а2 ... 0 -1 -ах .

0 -1 -аг ... 0 0 -1 .

т^ю

Последующие корни уравнения (11) запишутся следующим образом.

— «2 — «з — «4 — C« . . . —« —« —« — «4 ...

— i« — «2 — «3 — «4 ... —1 —« —« —« .

— 1 — i« — «2 — «^ . . . 0 —1 —« — «2 . .

0 —1 — i« — «2 . . . 0 0 —1 —« .

— «2 — «3 — «4 ... —« —« —« .

— i« — «2 — «3 . . . — 1 —« —« .

— 1 — —« . 0 —1 —« .

(18)

—« —«i+1 —«i+2 —«i+3 ... —«i-1 —«i —«i+1 i+2 «i —

—«i-1 —« —«i+1 —«i+2 ... —«i-2 —«i-1 —«i —«i+1 ...

—«i-2 —«i-1 —«i —«i+1 ... —«i-3 —«i-2 “«i-1 ~«i ...

—«i-3 —«i-2 —«i-1 —«i ... —«i-4 —«i-3 —«i-2 —«i-1 ...

—«i —«i+1 —«i+2 ... —«i-1 —«i —«i+1 ...

—«i-1 —«i —«i+1 ... —«i-2 —«i-1 —«i ...

—«i-2 —«i-1 —« ... i —«i-3 —«i-2 —«i-1 ...

(19)

Отношения определителей (17)—(19), выражающие корни алгебраического уравнения (11) через его коэффициенты, будем называть функциями п). Для

функций Ыг(п) введём обозначение

Ы\п) = Ыг (ау,аг,...,ап).

Здесь следует подчеркнуть, что для алгебраических уравнений степени выше

четвёртой, функции N(п) записываются аналогично их записи для алгебраических

уравнений степени 2, 3 и 4.

Определение математических конструкций (17)-(19) как непрерывных дробей особой структуры, позволяет естественно ввести такое фундаментальное понятие, как подходящая дробь, что значительно упрощает описание способа решения

алгебраических уравнений с использованием функций Ыг( п) и г/р-алгоритма.

При нахождении комплексных корней уравнения (11), определяемых также формулами (17)-(19), необходимо использовать г/ф-алгоритм. Модуль г, и модуль аргумента ер, искомого комплексного числа X = определяются здесь формулами:

r =

■(т)

i = 1, 2,..., n,

k(m)

m

где х^т) - т-я подходящая дробь выражения (19), к1т) - число отрицательных подходящих дробей для /-го корня из т подходящих дробей.

(m)

х~ — —

2

т=1

Например, подходящие дроби для х2 определяются следующим образом:

- .

— ^2 ~——ъ —а -—2

|аг| |аг| х (2> = — ах -а2 —1 -—а

1 1 |— а |— а

?(3) - .

—а —а —а4 —а —а —а

—а —а —а —1 —а —а

—1 —а —а 0 — 1 —а

—а -—2 —а —а

—а —а — 1 —а

В формулы (17)-(19) входят определители матриц Теплица, в которых элементы, расположенные на диагоналях, параллельных главной, одинаковые. Для вычисления формул (17)-(19) можно использовать рекуррентную схему, получившую название «алгоритм частных и разностей» или QD-алгоритм Рутисхаузера [13].

В качестве примера рассмотрим решение уравнения

11 110 19181716151413121 1/л /''»'■»ч

х + — х + — х + — х + - х + — х + —х +-х + — х + -х + — х +1 = 0 (22) 11 10 98765432

при помощи г/р-алгоритма, в данном случае определенном формулами (20) и (21).

На рис. 3 показаны графики распределения подходящих непрерывных дробей, которые представляют первые две пары комплексно-сопряжённых корней алгебраического уравнения (22).

Рис. 3. Графики подходящих дробей х(гт>, представляющих корни уравнения (22)

2

В табл. 3 и 4 приведены результаты вычисления первой пары комплексных корней уравнения (22), найденных при помощи г/р-алгоритма.

Таблица 3

Определение комплексного корня х уравнения (22)

¿0,364058326978

х1= 1,05384442942е ,

Номер дроби, і Значение подходящей дроби Значение модуля, Гі Погрешность модуля, Т 0 Ті Значение аргумента, фі Погрешность аргумента, фо -фі

128 1,054507178103 1,073853743873 -0,020009314453 0,345229961933 0,018828365045

256 1,317820976181 1,061865876899 -0,008021447479 0,358629298355 0,005429028623

512 -0,828959226613 1,053602845593 0,000241583827 0,363763359889 0,000294967089

1024 1,321201095664 1,055617060470 -0,001772631050 0,362858725947 0,001199601031

2048 -0,742566917574 1,053754164529 0,000090264891 0,363993579456 0,000064747522

4096 1,334850046687 1,054273158934 -0,000428729514 0,363771507068 0,000286819910

8192 -0,463497097206 1,053782817629 0,000061611791 0,364047217369 0,000011109609

16384 1,395020142494 1,053948546961 -0,000104117541 0,363991954848 0,000066372130

32768 0,126014286523 1,053802205771 0,000042223649 0,363964417293 0,000093909685

65536 1,816103360890 1,053866693194 -0,000022263774 0,364046599807 0,000011727171

131072 0,767373717517 1,053854608949 -0,000010179529 0,364039705820 0,000018621158

262144 0,650767632038 1,053848264573 -0,000003835153 0,364048246203 0,000010080775

Таблица 4

Определение комплексного корня х2 уравнения (22)

х2=1,05384442942е"'0,364058326978

Номер дроби, i Значения подходящих дробей Значение модуля, Ті Погрешность модуля, То-Ті Значение аргумента, фі Погрешность аргумента, фо -фі

128 0,887210361582 1,031313327822 0,022531101598 -0,341477462347 -0,022580864633

256 0,651684700934 1,049586751352 0,004257678068 -0,361102603861 -0,002955723119

512 2,798509051504 1,055320705206 -0,001476275786 -0,357995441921 -0,006062885059

1024 0,648348731928 1,053062019016 0,000782410404 -0,363517621275 -0,000540705705

2048 2,712116745167 1,054142098801 -0,000297669381 -0,362737300287 -0,001321026693

4096 0,634699780905 1,053665517006 0,000178912414 -0,363936368689 -0,000121958291

8192 2,433046924798 1,053894908224 -0,000050478804 -0,363742971852 -0,000315355128

16384 0,574529685099 1,053805550388 0,000038879032 -0,364033156829 -0,000025170151

32768 1,843535541069 1,053841872742 0,000002556678 -0,363984928689 -0,000073398291

65536 0,153446466702 1,053842716094 0,000001713326 -0,364056899158 -0,000001427822

131072 1,202176110075 1,053837592027 0,000006837393 -0,364044849903 -0,000013477077

262144 1,318782195554 1,053841603071 0,000002826349 -0,364050818906 -0,000007508074

Из табл. 3 и 4 видно, что точность вычислений комплексных корней при использовании г/р>-алгоритма, т.е. формул (20) и (21), растет не монотонно, а асимптотически.

В табл. 5 приведены результаты вычисления всех комплексных корней уравнения (22) методом Рутисхаузера-Никипорца.

Также при помощи г/р-алгоритма был определён вещественный корень уравнения

хп = — 0.9718892957.

Ниже приведены результаты тестирования г/ф-алгоритма. Рассматривались уравнения со случайными коэффициентами аь а2, ..., а10:

х10 + ахх9 + а2х8 +... + адх + а10 = 0, (23)

где аь а2, ..., аю е [—1000000, 1000000].

Таблица 5

Результаты вычисления комплексных корней уравнения (22)

Номер корня Значение модуля, г, Погрешность модуля, Го~Г1 Значение аргумента, ф, Погрешность аргумента, ф0 - ф,

Х1 1,053848264573 -0,000003835153 0,364048246203 0,000010080775

Х2 1,053841603071 0,000002826349 -0,364050818906 -0,000007508074

Хз 1,014415479960 -0,000000602320 0,914996953538 0,000003598942

Х4 1,014423868478 -0,000008990838 -0,915000445640 -0,000000106840

Х5 0,993245771698 -0,000007474928 1,471961281275 0,000007577535

Хб 0,993234012207 0,000004284563 -1,471966902924 2,465205199694

Х7 0,980757152965 0,000021539815 2,028825894020 0,000004846930

Х8 0,980779037527 -0,000000344747 -2,028833650835 0,000002909885

Х9 0,974021170824 0,000014826786 2,585313986456 0,000002474964

Х10 0,974036275440 -0,000000277830 -2,585323896202 0,000007434782

Для вычисления подходящих дробей использовался «рБ-алгоритм Рутисхау-зера с отрицательными индексами». Требовалось установить: достигается ли заданная точность в определении действительных и комплексных корней при помощи г/ф-алгоритма, т.е. формул (20) и (21). На основе проведенных расчетов можно считать экспериментально подтвержденной работоспособность г/ф-алгоритма при нахождении нулей полинома. Для всех 10000 алгебраических уравнений десятой степени со случайными коэффициентами корни, найденные при помощи г/ф-алгоритма, имеют относительную погрешность не более, чем 0,001. Необходимое число подходящих дробей для достижения заданной точности зависит от конкретного уравнения.

4. Об одном подходе к решению бесконечных систем линейных алгебраических уравнений. Известно, что при решении бесконечных систем линейных алгебраических уравнений встречаются принципиальные трудности. В [14] авторы пишут: «Уже в самых простых случаях, даже при решении линейных уравнений с постоянными коэффициентами, часто бывает, что казалось бы разумная разностная схема имеет решение, не сходящееся при измельчении сетки к истинному решению дифференциального уравнения».

Разработанный способ суммирования расходящихся в традиционном смысле непрерывных дробей помог понять природу трудностей, возникающих при решении бесконечных систем линейных алгебраических уравнений. Поясним примером. Как известно, удобный метод решения разностной краевой задачи, представляющий один из вариантов исключения неизвестных и носящий название «прогонки», фактически эквивалентен записи решения обыкновенной непрерывной дробью. То есть для бесконечных систем линейных алгебраических уравнений решения могут представляться как сходящимися непрерывными дробями, так и расходящимися.

В самом деле, довольно часто возникает следующая ситуация: решения системы существуют, но при измельчении шага сетки значения решений системы изменяются, причем скачкообразно, т.е. с ростом размерности СЛАУ не удаётся найти пределы, к которым бы эти решения стремились. В этом случае говорят, что система является «расходящейся». Возникает вопрос: что это означает для рассматриваемой СЛАУ? Ответ состоит в следующем: если решаемая система «расходится», то возможно существование комплексных решений данной СЛАУ, которые традиционными методами не могут быть установлены.

Процесс нахождения решения бесконечных систем линейных алгебраических уравнений (БСЛАУ) при помощи г/ф-алгоритма состоит из двух этапов.

Рассмотрим БСЛАУ

АХ=В, (24)

Uu au ... aln ..Л

А =

Х = [^1, х2, Х3,..., хп,...], В = [Ь!, Ъ2, Ь3,..., Ъп ,...7, где 4 - матрица коэффициентов, Х - вектор искомых решений, В - правая часть системы линейных алгебраических уравнений.

Для того чтобы узнать, «расходится» данная система или нет, решаем одним из классических методов подсистемы смежных порядков например 1, 2, 3,... , и строим

последовательности, состоящие из их решений |хг }, т.е. последовательности вида

(1) Х (2) - (3) - (т)! (- (2) - (3) - (4) - (т))

х ,-1 ,-1 ,. . ., -1 ) ^2 ,-2 ,-2 ,. ., Л1 )

{?”, -Н1 ,-”*21 ,..,-Л , (25)

Если каждая последовательность стремится к некоторому «своему» пределу с ростом размерности т системы, то последовательность корней

|^(т) -(т) -(т) -(т)

^1 , x2 , x3

11 , т^-да, будет являться искомым решением рассматриваемой БСЛАУ. В случае, если пределы последовательностей (25) отсутствуют, требуется использовать уже упомянутый выше г/ф-алгоритм, что составляет следующий этап решения расходящихся БСЛАУ. Следует отметить, что при решении «расходящейся» СЛАУ т>>п, что обусловлено г/ф-алгоритмом, требующим для определения комплексного числа большого количества вещественных «отсчетов». Предложенный в [15] алгоритм позволяет использовать полученные в общем случае «по Гауссу» вещественные решения расширяющейся системы (25) для получения множества комплексных решений исходной системы, если они имеются.

При решении расходящихся БСЛАУ модуль г комплексного корня Хі находится по формуле

r = lim Tlx(m)l, i = 1, 2,..., n, (26)

~(т) -

где - значение неизвестной х,, полученное «стандартным» алгоритмом решения СЛАУ размерности т.

Модуль аргумента фг комплексного корня х, БСЛАУ определяется следующим образом:

11 ,• к(т)

\щ = п 11т —5—, (27)

т^да т

где к<г] - количество отрицательных значений X, полученных «стандартным»

алгоритмом решения СЛАУ из общего количества т значений Xг-, найденных из

«расширяющейся» системы.

Данный способ решения БСЛАУ позволяет решать расходящиеся в традиционном смысле БСЛАУ, что не обеспечивают известные алгоритмы решения

БСЛАУ.

В качестве примера рассмотрим решение при помощи г/ф-алгоритма расходящейся бесконечной системы:

a21 a22 ... a2n ...

a, a n ... a

n1 n2 nn

' 0,1 1 0 0 0 0 Г х 1 > Г11

1 0,1 1 0 0 0 ... X 2 1

0 1 0,1 1 0 0 ... X 3 1

0 0 1 0,1 1 0 ... X 4 = 1

0 0 0 1 0,1 1 ... X 5 1

0 0 0 0 1 0,1 ... X 6 1

V.........................................................................У V ■■■ У V"V

В табл. 6 приведены результаты определения х системы (28) с использованием г/ф-алгоритма, т.е. формул (26) и (27). В первой колонке таблицы указана размерность

решаемых систем. Во второй колонке помещены значения Х1, полученные по методу

прогонки. Как видно из таблицы, значения Х1, полученные «по прогонке» для расходящейся системы, не стремятся к какому-либо пределу. В тоже время в колонках 3 и 4 табл. 6 с ростом размерности системы (28) устанавливаются значения, соответственно, модуля и аргумента комплексного решения х\ системы (28).

Таблица 6

Определение комплексного корня х1 системы (28)

Размерность системы, п Значение по методу прогонки Модуль комплексного г(т) числа, Г Аргумент комплексного тіт) числа,

2 9,090909090909Е-01 3,015113445778Е+00 0,000000000000Е+00

3 4,522613065327Е-01 1,602011327706Е+00 0,000000000000Е+00

4 -1,123595505618Е-01 8,244260106262Е-01 7,853981633974Е-01

7 4,035508392429Е-01 9,218778450347Е-01 4,487989505128Е-01

8 -2,580728828946Е-01 7,862433810205Е-01 7,853981633974Е-01

15 2,988281691841Е-01 7,600056913908Е-01 6,283185307180Е-01

16 -7,626801870532Е-01 7,601725722621Е-01 7,853981633974Е-01

31 9,982108666067Е-03 6,622307452010Е-01 7,093918895203Е-01

32 1,239961907145Е+01 7,257245397383Е-01 6,872233929728Е-01

63 1,641684088234Е+01 7,052002397041Е-01 6,981317007977Е-01

64 9,260608861849Е-01 7,082087888410Е-01 6,872233929728Е-01

127 4,715530733579Е-01 7,063209793713Е-01 6,926346007915Е-01

128 -6,390690400590Е-02 6,931865366218Е-01 7,117670855789Е-01

255 4,429018702790Е-01 7,119808310250Е-01 7,515182426234Е-01

256 -1,375702865024Е-01 7,074234610122Е-01 7,608544707913Е-01

511 3,841337016727Е-01 6,998305702325Е-01 7,500475611310Е-01

512 -3,279169397840Е-01 6,987951531577Е-01 7,547185476397Е-01

1023 2,536456238109Е-01 6,907179515958Е-01 7,554562979307Е-01

1024 -1,138800730250Е+00 6,910552981897Е-01 7,577865092155Е-01

2047 -1,733899032728Е-01 6,918016496503Е-01 7,581567029181Е-01

2048 2,901799745280Е+00 6,922861435965Е-01 7,577865092155Е-01

4095 1,840421075164Е+00 6,903662891982Е-01 7,602730939457Е-01

4096 7,120649578383Е-01 6,903715051964Е-01 7,600874803973Е-01

Аналогично находятся значения хі і = 2.3,... системы (28).

На рис. 4 показано размещение в комплексной плоскости значений неизвестных хі (і = 1,2,..., 2048) бесконечной системы (28), установленные при помощи г/ф-алгоритма.

В табл. 7 приведены результаты проверки решения расходящейся бесконечной системы (28), полученного при помощи г/ф-алгоритма. В первой колонке табл. 7 указаны номера строк системы (28) , по которым проводилась проверка. Во второй колонке приведены значения проверяемых строк системы (28) после подстановки найденных комплексных хі из решаемой системы (28) размерностью 4096. В третьей колонке даны значения правой части системы (28), в четвертой - абсолютные погрешности, допущенные при решении системы (28) с использованием г/ф-алгоритма.

Рис. 4. Расположение x,■ БСЛАУ (28) на комплексной плоскости

Таблица 7

Результаты проверки решения системы (28)

Номер строки, п Значение левой части системы Значение правой части системы Абсолютная погрешность

1 9,997837855802Е-01 + Ц,656320591822Е-04 1,000000000000Е+00 -2,162144197582E-04 + i1,656320591822E-04

2 1,000312662032Е+00 + ¡3,104872654426Е-04 1,000000000000Е+00 3,126620317672E-04 + i3,104872654426E-04

4 1,000040850311Е+00 + Ц,999106004827Е-04 1,000000000000Е+00 4,085031065178E-05 + i1,999106004827E-04

8 1,000017922746Е+00 + ¡2,215609084379Е-04 1,000000000000Е+00 1,792274573605E-05 + i2,215609084379E-04

16 1,000667738318Е+00 + 14,512247341063Е-04 1,000000000000Е+00 6,677383176224E-04 + i4,512247341063E-04

32 1,000101687837Е+00 + 15,295828495494Е-04 1,000000000000Е+00 1,016878374319E-04 + i5,295828495494E-04

64 1,001561449671Е+00 + 15,022556121903Е-04 1,000000000000Е+00 1,561449671242E-03 + i5,022556121903E-04

128 1,001232496342Е+00 + 13,320667430547Е-04 1,000000000000Е+00 1,232496342479E-03 + i3,320667430547E-04

256 9,995930015962Е-01 -18,206953653430Е-04 1,000000000000Е+00 -4,069984037872E-04 -i8,206953653430E-04

512 9,996742899219Е-01 -Ц,277551323473Е-03 1,000000000000Е+00 -3,257100780578E-04 -i1,277551323473E-03

1024 1,001843671379Е+00 -12,118716877024Е-03 1,000000000000Е+00 1,843671378832E-03 -i2,118716877024E-03

2048 9,986939813264Е-01 -13,851089369376Е-03 1,000000000000Е+00 -1,306018673631E-03 -i3,851089369376E-03

Из табл. 7 можно заключить, что погрешности, допущенные при решении системы (28) с использованием г/ф -алгоритма, весьма невелики (е = 10 3 -104).

Заключение. Рассмотренный алгоритм нахождения нулей полинома имеет две особенности в сравнении с существующими методами решения алгебраических уравнений. Первая принципиально важная особенность: предложен аналитический способ записи всех корней уравнения п-й степени по коэффициентам исходного уравнения.

Вторая особенность алгоритма - регулярность информационного графа, что делает возможным его аппаратную реализации в решающем поле суперкомпьютеров с реконфигурируемой структурой. Предложенный способ решения бесконечных систем позволяет найти комплексные корни БСЛАУ, если они имеются, и даёт основание к пересмотру оценки так называемых расходящихся разностных схем.

В заключение можно отметить, что г/ф-алгоритм по своей природе требует большого объема вычислений, так как комплексность извлекается из анализа поведения длинной серии вещественных отчётов. Это обстоятельство определяет высокие требования к производительности вычислительных систем. Тем не менее использование г/ф-алгоритма открывает широкие возможности в построении современных однородных вычислительных структур.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Lorentzen L., Waadeland H. Continued fraction with application. - Amsterdam - London -New-York - Tokyo, - 1992. - 606 p.

2. Бейкер Дж., Грейвис - Морис П. Аппроксимация Паде: Пер. с англ. - М.: Мир, - 1986.

- 502 с.

3. Джоунс У., Трон В. Непрерывные дроби. Аналитическая теория и приложения. - М.: Мир, 1985. - 414 с.

4. Шмойлов В.И. Непрерывные дроби. В 3-х т. Т. 1. Периодические непрерывные дроби.

- Львов: Меркатор, 2004. - 645 с.

5. Шмойлов В.И., Кириченко Г.А. Определение значений расходящихся непрерывных дробей и рядов // Известия ЮФУ. Технические науки. - 2о1з. - № 4 (141). - С. 2l0-222.

6. Шмойлов В.И., Коваленко В.Б. Некоторое применения алгоритма суммирования расходящиеся непрерывных дробей // Вестник Южного научного центра РАН. - 2012. - Т. 8, № 4. - С. 3-13.

7. Шмойлов В.И. Непрерывные дроби и r/^-алгоритм. - Таганрог: Изд-во ТТИ ЮФУ, 2012.

- 608 с.

8. Шмойлов В.И., Савченко Д.И. Алгоритм суммирования расходящихся непрерывных дробей // Вестник Воронежского государственного университеты. Серия: Физика. Математика. - 2013. - № 2. - С. 258-276.

9. Шмойлов В.И. Непрерывные дроби. В 3-х т. Т. 2. Расходящиеся непрерывные дроби.

- Львов: Меркатор, 2004. - 558 с.

10. Шмойлов В.И. Непрерывные дроби. В 3-х т. Т. 3. Из истории непрерывных дробей.

- Львов: Меркатор, 2004. - 520 с.

11. Шмойлов В.И. Решение алгебраических уравнений при помощи r/^-алгоритма. - Таганрог: Изд-во ТТИ ЮФУ, 2011. - 330 с.

12. AItken A. On Bemoulli’s numerical solution of algebraic equations. - Proc. Roy. Soc., Edinburgh, Ser. A., - (1925/26). - P. 289-305.

13. Рутисхаузер Г. Алгоритм частных и разностей. - М.: ИИЛ, 1960. - 93 с.

14. Годунов С.К., Рябенький В. С. Разностные схемы. - М.: Наука, 1977. - 440 с.

15. Шмойлов В.И. Расходящиеся системы линейных алгебраических уравнений. - Таганрог: Изд-во ТТИ ЮФУ, 2010. - 205 с.

Статью рекомендовал к опубликованию д.т.н., профессор Я.Е. Ромм.

Гузик Вячеслав Филиппович - Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Южный федеральный университет»; e-mail: [email protected]; 347928, г. Таганрог, Энгельса, 1; тел.: 88634371428, 89064287987; кафедра вычислительной техники; зав. кафедрой; д.т.н.; профессор.

Кириченко Геннадий Анатольевич - e-mail: [email protected]; кафедра вычислительной техники; аспирант.

Шмойлов Владимир Ильич - Южный научный центр Российской академии наук; e-mail: [email protected]; г. Ростов-на-Дону, пр. Чехова, 41; научный сотрудник.

Guzik Vyacheslav Filippovich - Federal State-Owned Autonomy Educational Establishment of Higher Vocational Education “Southern Federal University”; e-mail: [email protected]; 1, Engels, Taganrog, 347928, Russia; phone: +78634371428, +79064287987; the department of computer engineering; head the department; dr. of eng. sc.; professor.

Kirichenko Gennady Anatolievich - e-mail: [email protected]; the department of computer engineering; postgraduate student.

Shmoylov Vladimir Ilyich - Southern Scientific Center, Russian Academy of Sciences; e-mail: [email protected]; 41, etc. Chekhov, Rostov-on-Don, Russia; research associate.

УДК 621.865.8-112.5:530.145.001.57

В.И. Бутенко, Д.С. Дуров, Р.Г. Шаповалов

ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ РАБОТЫ РЫЧАЖНОГО МЕХАНИЗМА ПРИ КОНСТРУИРОВАНИИ ПРОМЫШЛЕННЫХ РОБОТОВ С РЕКУПЕРАЦИЕЙ ЭНЕРГИИ

Определены недостатки используемых в машиностроении цикловых агрегатномодульных промышленных роботов и рассмотрены особенности конструирования и расчета промышленных роботов с рекуперацией энергии, обеспечивающих высокое быстродействие, надежность и малую энергоемкость. Разработана принципиальная схема привода циклового робота с рекуперацией энергии, в которой аккумулятором потенциальной энергии принята пружина заданной жесткости. Выполнено численное моделирование работы рычажного механизма промышленного робота грузоподъемностью 2,5 кг с учетом применения в нем рекуперационной системы в расчетном пакете MSC ADAMS. Показана возможность применения системы рекуперации механической энергии при создании меха-тронных устройств с заданными размерами и массами звеньев механизма, типом их соединения, параметрами усилий упругих элементов, условий, вида и величины приложения вынуждающей силы. Приведены результаты исследования изменения положения центра масс исполнительного органа промышленного робота с рекуперацией энергии с деталью во времени, а также исследовано изменение скорости и ускорения его центра масс.

Механизм; цикл; разгон; торможение; демпфирование; быстродействие; пружина; модель; упругий элемент; центр масс.

V.I. Butenko, D.S. Durov, R.G. Shapovalov

NUMERICAL MODELING OF JOB OF THE LEVER MECHANISM AT DESIGNING INDUSTRIAL ROBOTS WITH RECUPERATION

OF ENERGY

The lacks used in mechanical engineering of cycling aggregate-modular industrial robots are determined and the features of designing and account of industrial robots with recuperation of energy ensuring high speed, reliability and small power consumption are considered. The basic circuit of a drive of the cycling robot with of recuperation energy is developed, in which the accumulator of potential energy accepts a spring of the given rigidity. The numerical modeling of job of the lever mechanism of the industrial robot by carrying capacity of 2,5 kg is executed in view of application in him of recuperational system in a settlement package MSC ADAMS. The opportunity of application of system recuperation of mechanical energy is shown at creation of mechatronical devices with the given sizes and weights of parts of the mechanism, type of their connection, parameters of efforts of elastic elements, conditions, kind and size of the application of compelling force. The results of research of change of coordinates of the centre of weights of the executive body of the industrial robot with recuperation of energy with a detail in time are given, and also the change of speed and acceleration of his centre of weights is investigated.

The mechanism; a cycle; dispersal; braking; dampfering; speed; a spring; model; an elastic element; the centre of weights.