CC BY
27
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ
ПРЕДЕЛЫ НИКИПОРЦА И НЕКОТОРЫЕ ИХ ПРИЛОЖЕНИЯ Шмойлов В.И.1, Коровин Я.С.2 Email: [email protected]
'Шмойлов Владимир Ильич — старший научный сотрудник; 2Коровин Яков Сергеевич — кандидат технических наук, Научно-исследовательский институт Многопроцессорных вычислительных систем Южный федеральный университет, г. Таганрог
Аннотация: приводятся значения пределов Никипорца, установленные суммированием расходящихся непрерывных дробей. Вводится R/^-алгоритм для суммирования осциллирующих бесконечных вещественных последовательностей. Выполняется экспериментальная проверка пределов Никипорца. Даются записи формул Эйлера с использованием пределов Никипорца. Суть г/^-алгоритма, как и его обобщения — R/^-алгоритма, состоит в замене бесконечного осциллирующего процесса, представленного вещественными отсчётами, порождаемыми дробно-рациональными функциями, комплексным числом, модуль и аргумент которого находятся этими алгоритмами.
Ключевые слова: расходящиеся непрерывные дроби, r/ф-алгоритм, R/ф-алгоритм, пределы Никипорца, формулы Эйлера.
LIMITS OF NIKIPORTSA AND SOME OF THEIR APPENDICES Shmoylov V.I.1, Korovin Ya.S.2
'Shmoylov Vladimir Ilyich — Research Fellow; 2Korovin Yakov Sergeevich — Candidate of Technical Sciences, RESEARCHINSTITUTE OFMULTIPROCESSOR COMPUTING SYSTEMS SOUTHERN FEDERAL UNIVERSITY, TAGANROG
Abstract: the values r/p-algoritm the Nikiportz limits set by summing the divergent continuous fractions are given. An R/p-algorithm is introduced for the summation of oscillating infinite real sequences generated by fractional-rational functions. An experimental verification of the Nikiportz limits is in progress. Records are given of Euler's formulas using the Nikiportz limits. The essence of the r/(p-algorithm, like its generalizations - R/p-algorithm, consists in replacing the infinite oscillating process represented by real samples generated by fractional-rational functions with a complex number whose modulus and argument are found by these algorithms.
Keywords: divergent continuous fractions, r/p-algorithm, R/p-algorithm, the limits of Nikiportz, Euler's formula.
УДК 517.524
1. О двух пределах, связанных с комплексным числом eip
Из формул Эйлера
eip = cosp + i sinp, e-p = cosp- i sinp
ip
можно получить цепную дробь для e . Запишем цепочку равенств:
2cosp = e1(p + e-p, eip = 2cosp + e~ip,
eip = 2cosp——, * eip
¿9 = 2сов9--1— -и = 2с«9—'--^ -1 =
2соэ9-е 19 2соэ^-2соэ^-е'9
11 1 1
= 2соэ^--- - —■ (1)
2 соэ^ - 2соэ^ -... - 2соэ^ - е19
В цепной дроби (1) отбросим последнее звено и запишем бесконечную цепную дробь,
Л 9
которая «представляет» комплексное число е :
ег 9 = 2соз9--1--1— —1— (2)
2соз9-2соз9-...-2соз9-....
Подходящие бесконечной цепной дроби (2) определяются формулой, в которую входят отношения синусов кратных углов:
R sin 29
— = 2cos9 =-—,
Ql sin ф
R 1 sin 39
— = 2cos9--= ———,
Q2 2cos9 sin 29
R „ 1 1 sin49
— = 2cos9---=-,
Q3 2cos^-2cos9 sin39
Pn n 11 1 sin( n + 1)ф
= 2cos9--- -= —--— ■ (3)
Qn 2cos9-2cos9-...-2cos9 sin пф
В 1948 г. таганрогский математик А.З. Никипорец [1] предложил «предел»:
lim sm(n + 1)ф = éф. (4) n—х sin пф
Этот предел, очевидно, не традиционный, ибо в левой части формулы (4) имеем бесконечную последовательность вещественных чисел, а справа - комплексное число.
Предел (4) А.З. Никипорец, тем не менее, полагал уместным, ибо тот вписывался в развивавшуюся автором концепцию тройственности в математике. В частности, в [2] были приведены такие формулы:
и о , 1 1 1
еи = 2chu - -
2chu - 2chu -... - 2chu -...,
О
n—x sh пи
lim sh(n +1)u = eu.
ю , 9 1 1 1
e = 1 = 2
2 - 2 -...-2 -...
lim ПИ = 1.
n—n
е1ф = 2cos9-
1 1 1
2cos9- 2cos9-...- 2cos9-...
lim sin(n +1)9 = é9. (5) n—х sin n9
Формулы Эйлера
eu = chu + shu, el(p = cos^ + i sin^
рассматривались А.З. Никипорцом как пределы отношения двух рядом стоящих чисел обобщённого ряда для гиперболической и эллиптической зон при n ^ œ. Эти формулы представляют обобщённые единицы:
lim
n ^œ
h (n + l)u shnu Л sh (n + l)u
lim
n^œ
v shu shu j ^sin(n +l)p sinnp\ sin(n +l)p
= lim ""v"' "r' = eu = chu + shu, n^œ shnu
= lim ^ = eicp = cosp + i sin p.
n^œ sin np
-v sinp sinp J
Кроме того, имеет место «параболическая единица»: И +1 о
lim-= 1 = e .
П^ОТ П
Предел Никипорца (4) обсуждается в недавней статье [3]. В первых строчках статьи автор пишет: «Речь идёт о формуле
lim Sin(П + 1)ф = e", (а)
n^От sin Пф
которая положена в основу так называемого «г/ф-алгоритма» суммирования расходящихся непрерывных дробей. Конечно, предел в левой части (а) надо понимать в некотором обобщённом смысле.
Формула (а) выглядит парадоксально, поскольку вещественная последовательность не может ни в каком естественном смысле стремиться к комплексной величине. Кроме того, в представленном виде её вообще нельзя признать «правильной», так как левая часть (а) чётна по ф, а правая часть таким свойством не обладает. По нашему мнению, в результате предельного
¿ф о'"
перехода должно получиться не одно, а два комплексно-сопряжённых значения e и e ».
Далее мы вернёмся к оценке предела Никипорца (4) как парадоксального. Здесь же остановимся на замечании, что формула (а) должна иметь вид:
lim Sin(П +1)ф = e^. (6) sin Пф
iф
Принимая во внимание цепную дробь (2) для e , запишем:
гчф = —1--1- -J- (7)
2cosф-2cosф-...-2cosф-... .
Подходящие цепной дроби (7) определяются формулой: Pn _ sin Пф
Qn sin(n + 1)ф'
Графики подходящих цепных дробей, представляющих комплексно- сопряжённые
величины e и e , имеют различный вид.
На рис. 1 показано распределение значений подходящих дробей Рп/Qn разложений (8) и (9) в зависимости от номера п.
„ 1 1 sin (и +1)0.2
2 cos 0.2--- -= —--L—, (8)
2 cos 0.2 - 2 cos 0.2 -... - 2cos0.2 sin n0.2 ()
1
1
1
sin n0.2
2 cos 0.2 - 2 cos 0.2 -... - 2 cos 0.2 sin(n +1)0.2
CN CN CN ГО
CN CN CN ГО
Рис. 1. Распределение значений подходящих непрерывных дробей (8) и (9)
гф „-19
Таким образом, для представления е и е следует рассматривать два различных
предела:
lim sin(n +1)ф = ¿ф
lim
sin пф
п^ю sm Пф nsin(n + 1)ф
а не один предел (6), как предлагается в работе [3]. Помимо предела Никипорца
lim sin(п + 1)Ф = п^ю sin Пф
установим ещё один предел такого же рода.
= е-ф,
г9
В цепной дроби (1) в последнем звене запишем е , используя формулу Эйлера:
e ф = 2cosv-
1
1
1
1
2 cosv - 2 cosv -... - 2 cosv - cosv + i sin ф
(10)
Лф
Если в цепной дроби (1) отбрасывалось последнее звено, содержащее 6 ' то в цепной дроби (10) в последнем звене отбросим лишь i sin^, оставляя вещественную величину cos <р:
e ф = 2cosv-
1
1
1
1
2cosv- 2cosv-...- 2cosv- cosv
(11)
В цепных дробях наращивание цепной дроби происходит за счёт добавления очередного звена цепной дроби. Можно, однако, строить цепные дроби и не традиционным способом, -добавлением очередного звена в начало цепной дроби. Цепные дроби, наращиваемые «с начала», называются инверсными непрерывными дробями [4]. Инверсные непрерывные дроби рассматривал А.З. Никипорец, когда предложил правила построения цепной дроби, числителями и знаменателями которых были полиномы Эрмита [5].
Подходящие цепных дробей определяются от первого звена к последнему, как показано в формулах (3). Подходящие для цепной дроби (11) будем определять «с конца»:
Р
— = соБ9,
cos29
P2 п 1 —2 = 2cosv--
Q2 ф
cosv cosv
— = 2cosv-Q3 ф
1
1
cos3v 2cosv-cosv cos2v'
i 0,2
i0, 2
e
e
^±1 = 2cos9__-__— —__— = COS(n +-)ф (12)
Qn+1 2cos^-2cos^-...-2cos^-cos^ cosnp
Аналогично тому, как был введён предел А.З. Никипорца
lim sin(n + Цу = ¿9,
п^ш sin Пф
запишем, исходя из цепной дроби (11) и значений её подходящих дробей (12), другой предел:
lim cos(n + 1ф = ¿9. (13) п^ш cos Пф
Предел (13) имеется в монографии [6], опубликованной в 1999 г. Предел (13) также будем называть пределом Никипорца.
Несложно заметить, что пределы Никипорца (4) и (13) - это пределы, к которым стремятся при n ^ ш, соответственно, отношения соседних полиномов Чебышева второго и первого рода. 2. Алгоритм суммирования расходящихся непрерывных дробей и его обобщение Предел Никипорца
lim sin(n +19 = e9
п^ш sin Пф
почти полвека оставался странной формальной записью, пока в 1997 г. не был предложен алгоритм суммирования расходящихся непрерывных дробей [7], получивший название r/ф-алгоритма. Это алгоритм формулируется следующим образом:
Непрерывная дробь с вещественными элементами сходится и имеет своим значением в
общем случае комплексное число Z = Tq£ Ф" , если существуют пределы:
lim п ПИ /Q ,\ = Г,, (14)
п—II
к
Ж Нш-^ =| (р0 (15)
П — Ю п
где Р / ^^ - значение 1-й подходящей дроби;
кп - количество подходящих дробей, имеющих отрицательные значения из совокупности,
включающей п подходящих дробей.
Вскоре, однако, выяснилось, что г/р-алгоритм при некотором обобщении применим не только при суммировании расходящихся в классическом смысле непрерывных дробей, но и при решении множества других задач из различных разделов вычислительной математики, например, при определении корней алгебраических уравнений п-й степени [8-9] или при решении БСЛАУ, причём, г/^-алгоритм позволил устанавливать комплексные решения систем с вещественными матрицами [10-16]. Условие применимости г/^-алгоритма - бесконечные вещественные последовательности «отсчётов» должны «генерироваться» дробно-рациональными функциями.
Расширение сферы использования г/^-алгоритма вызывает необходимость дать определение г/^-алгоритма в более общей формулировке. В этой формулировке вместо термина «подходящие дроби», неразрывно связанного с непрерывными дробями, следовало бы дать иной термин, скажем, «отсчёты». Однако мы оставим термин «подходящие дроби», беря его в кавычки, чтобы не столько подчеркнуть преемственность «общего» г/^-алгоритма с традиционным г/^-алгоритмом, сколько увязать «отсчёты» с дробно-рациональными функциями, порождающими эти «отсчёты» или «подходящие дроби».
«Общий» г/^-алгоритм сформулируем следующим образом:
Бесконечная последовательность вещественных «подходящих дробей»
Р Р Р Р
Г1 г2 Г3 гп
' '
генерируемая некоторой дробно-рациональной функцией, сходится и имеет своим значением в общем случае комплексное число 2 = Гд£ ^>д , если существуют пределы
lim n П|F /G\ =i
(16)
k
ж lim ^ = U I (I7)
n
где Fj / G - значение i-й «подходящей дроби»,
kn - количество «подходящих дробей», имеющих отрицательные значения из
совокупности, включающей n «подходящих дробей».
Чтобы различать r/g-алгоритм, ориентированный на суммирование расходящихся непрерывных дробей, и «общий» r/g-алгоритм, используемый при решении иных задач, будем «общий» r/g-алгоритм обозначать как R/g-алгоритм. 3. Экспериментальная проверка пределов Никипорца
Применяя r/g-алгоритм, описываемый формулами (14) и (15), определим значение расходящейся цепной дроби
2cosg--1--— . (18)
2 cosg - 2 cosg -... - 2 cos g -...
Подходящие цепной дроби (18), как было отмечено выше, определяются выражением (3), то есть:
Pn _ sin(n + 1)g
Qn sin ng
В табл. 1 приведены результаты определения значения цепной дроби (18) при <р= 1,23456.
Таблица 1. Определение значения цепной дроби
2cos1.23456--1--1- -1--(19)
2cos1.23456 - 2cos1.23456 -... - 2cos1.23456 -....
n
о
i=1
Номер подходящих дробей Значения подходящих дробей, Pt/Qn Значения модуля, rn Значения аргумента, gn Погрешность определения модуля, Sr Погрешность определения аргумента, Sg
1 0,659873036 0,6598730361 0 0,3401269638 1.2345600000
2 -0.855570003 0.7513771197 1.5707963267 0.2486228802 0.3362363267
4 0.1130318405 0.5844722240 0.7853981633 0.4155277759 0.4491618366
8 2.2757088837 1.0063884163 1.1780972450 0.0063884163 0.0564627549
16 1.0738283154 0.9929836464 1.1780972450 0.0070163535 0.0564627549
32 0.1029096245 0.9322658705 1.1780972450 0.0677341294 0.0564627549
64 2.1790581585 1.0007561956 1.2271846303 0.0007561956 0.0073753696
128 1.0135337709 0.9989089698 1.2271846303 0.0010910301 0.0073753696
256 0.0199318419 0.9848463873 1.2271846303 0.0151536126 0.0073753696
65536 -1.609222276 0.9999955316 1.2345669128 0.0000044683 0.0000069128
131072 -0.409867500 0.9999918083 1.2345669128 0.0000081916 0.0000069128
262144 0.5623169185 0.9999979115 1.2345549286 0.0000020884 0.0000050713
524288 -1.471293796 0.9999993826 1.2345609207 0.0000006173 0.0000009207
1048576 -0.323308303 0.9999987915 1.2345609207 0.0000012084 0.0000009207
2097152 0.6854028623 0.9999998157 1.2345594227 0.0000001842 0.0000005772
Приведём описание табл. 1. В первой колонке табл. 1 показаны номера подходящих расходящейся цепной дроби (19), значение которой по подходящим определяются с использованием г/р-алгоритма, описываемого формулами (14) и (15). Номера подходящих
совпадают со степенями числа 2, то есть, n = 2k, k = 0, 1, 2, ..., 21. Во второй колонке табл. 1 даны значения подходящих цепной дроби (19), которые определялись по формуле (3), представляющей отношение синусов кратных углов. Очевидно, что цепная дробь (19) расходящаяся, поэтому значения подходящих дробей, приведённых во второй колонке, не стремятся к пределам с ростом номеров подходящих, а осциллируют, то есть, изменяются знаки подходящих дробей, что является признаком того, что суммируемая цепная дробь имеет комплексное значение.
В третьей колонке показано, как устанавливается модуль искомого комплексного числа, которое является значением расходящейся в клас-сическом смысле цепной дроби (19). Этот модуль находится по формуле (14).
При помощи r/ф-алгоритма установлено, что комплексное число, являющееся значением расходящейся цепной дроби (16) при <р= 1,23456, имеет модуль, равный единице.
В колонке 4 табл. 1 показаны результаты определения аргумента искомого комплексного числа, который находится по формуле (15). Знак аргумента ф, устанавливается из динамики в распределении значений подходящих дробей.
Вычисление значения цепной дроби (19) по формулам (14) и (15) позволило установить её комплексное значение:
2cos1.23456--1--1- -1- = е,L23456. (20)
2cos1.23456 - 2cos1.23456 - ...- 2cos1.23456 - ...
Таким образом, данные табл. 1 подтверждают существование предела Никипорца (4). В [3] для обоснования предела (4) используется метод предельного перехода.
Аналогичным образом, применяя r/ф-алгоритм, установим справедли-вость второго предела Никипорца
]]т cos(w + 1)£ = п^ю cos Пф
С этой целью определим значение инверсной расходящейся цепной дроби:
11 11
...2cos^--- - -, (21)
2cos^- 2cos^- ...-2cos^- cos^
которая имеет своими подходящими выражение (12), то есть,
Pn+1 =cos(n + 1)ф
Qn+1 cosпф '
Точки перед первым звеном цепной дроби (21) означают, что имеем дело с инверсной цепной дроби, звенья которой добавляются «с начала».
В табл. 2 приведены результаты определения при помощи r/ф-алгоритма значения цепной дроби (21) при <р = 1,23456.
При вычислении инверсной цепной дроби подходящие отсчитываются «с конца», то есть, определяются формулами (12).
Таблица 2. Определение значения цепной дроби
...2cos1,23456--1--1- -1--1- (22)
2cos1,23456 - 2cos1,23456 -...- 2cos1,23456 - cos1,23456
Номер подходящих дробей Значения подходящих дробей, Pn/Qn Значения модуля, rn Значения аргумента, gn Погрешность определения модуля, Sr Погрешность определения аргумента, в9
1 0,329936518 0,329936518 0 0,6700634823 1,23456
2 -2.371013043 0.8788155772 2.0943951023 0.1211844227 0.8598351023
4 -0.264654383 1.0553458099 1.2566370614 0.0553458099 0.0220770614
8 1.2691558629 1.1280337437 1.3962634015 0.1280337437 0.1617034015
16 0.6545007617 1.0657130580 1.2935969750 0.0657130580 0.0590369750
32 -0.278138302 1.0075387164 1.2375971059 0.0075387164 0.0030371059
64 1.2317339204 1.0168891766 1.2566370614 0.0168891766 0.0220770614
128 0.6121662696 1.0083409204 1.2420250025 0.0083409204 0.0074650025
256 -0.392978049 1.0002046690 1.2346336887 0.0002046690 0.0000736887
512 -3.166160031 0.9997744801 1.2394564766 0.0002255198 0.0048964766
65536 -7.715201671 1.0000040670 1.2345960113 0.0000040670 0.0000360113
131072 -1.143342833 0.9999713884 1.2345574939 0.0000286115 0.0000025060
262144 0.2401088626 1.0000033396 1.2345622033 0.0000033396 0.0000022033
524288 -6.067808261 1.0000003849 1.2345645581 0.0000003849 0.0000045581
1048576 -0.966892637 0.9999984809 1.2345597433 0.0000015190 0.0000002566
2097152 0.3524971820 1.0000004560 1.2345603320 0.0000004560 0.0000003320
Структура табл. 2 аналогична структуре табл. 1, которая была описана выше. Значения
/1.23456
модуля и аргумента комплексного числа e устанавливаются, соответственно, в
колонках 3 и 5.
Из табл. 2 следует, что расходящаяся в классическом смысле цепная дробь (22) имеет своим
/1.23456
значением комплексное число e :
...2cos1,23456--1--1- -1--1-= е'1 23456
2cos1,23456 - 2cos1,23456 -...-2cos1,23456 - cos1,23456
Можно заключить, что предел Никипорца
lim cos(n+1)£ = cos Пф
также имеет место.
Используя пределы Никипорца (4) и (13), запишем:
sin( n + 1) — — lim-2 = e 2 = i, (23)
n ^вд . —
sin n
2
cos(n + 1) — —
lim-2 = e 2 = i. (24)
n ^вд —
cos n — 2
Очевидно, установить значения пределов (23) и (24) непосредственно нельзя, так как бесконечное число раз встречается недопустимая операция «деление на ноль», тем не менее, найти значения этих пределов можно с любой заданной точностью, если вместо (23) и (24) использовать «близкие» формулы:
sin(n + 1)
л
-£
lim -
n—x
= e
л
l\--£
2
(25)
Sin n
л 2
— £
л
lim
n—x
COS(n + 1)\ — - £
л
COS n\--£
2
= e
л
l\--£
2
(26)
Существуют пределы, имеющие своими значениями мнимую единицу i, которые при их определении не включают недопустимой операции «деление на ноль». Запишем предел Никипорца (4) в следующем виде:
^ sin(п + 1)ф _ sinnpcosp + cosпфътф _
n—x Sin Пф f
= lim
' sin nq
Из (27) следует, что
cosnq . cosq + —-sin ф
Sin nq
= cosq + lsin ф. ■
(27)
(28)
cos nq .. ^ .
lim —-= lim ctgnq = e 2 = i.
n—x sin nq n—x
Запишем «подходящие дроби», или «отсчёты»:
P P Pn
= ctgq, -2 = ctg■■■, -n = ctW,...,
по которым, используя ЛАр-алгоритм, определим значение предела (28). На рис. 2 показан график функции y = ctg ф
(29)
Рис. 2. График функции y = ctg <р
Очевидно, что lim ctgnp в классическом смысле не существует. В табл. 3 показаны n
результаты определения предела (28) с использованием Ä/ф-алгоритма при <р = 0,1.
2
V
Таблица 3. Определение значения Jjm Ctgn0 1
п^от
Номер подходящих дробей Значения подходящих дробей, Pn/Qn Значения модуля, rn Значения аргумента, фп Погрешность определения модуля, Er Погрешность определения аргумента, sv
1 9.9666444232 9.9666444232 0 8.9666444232 1.5707963267
2 4.9331548755 7.0119184628 0 6.0119184628 1.5707963267
4 2.3652224200 4.4033045239 0 3.4033045239 1.5707963267
8 0.9712146006 2.4157341721 0 1.4157341721 1.5707963267
16 -0.029211978 0.7568799817 0.1963495408 0.2431200182 1.3744467859
32 17.101660378 1.0402564297 1.5707963267 0.0402564297 0
64 8.5215932621 1.0337761891 1.5217089415 0.0337761891 0.0490873852
128 4.2021221573 1.0185979972 1.5462526341 0.0185979972 0.0245436926
256 1.9820735810 1.0240450914 1.5462526341 0.0240450914 0.0245436926
65536 4.1270063443 0.9999869615 1.5706525160 0.0000130384 0.0001438106
131072 1.9423499782 1.0000223063 1.5707483898 0.0000223063 0.0000479368
262144 0.7137548508 1.0000147608 1.5707483898 0.0000147608 0.0000479368
524288 -0.343643207 0.9999813849 1.5707603741 0.0000186150 0.0000359526
1048576 1.2831758726 1.0000037857 1.5707813465 0.0000037857 0.0000149802
2097152 0.2519297369 0.9999970841 1.5707873386 0.0000029158 0.0000089881
Как следует из колонки 3 табл. 3, модуль определяемого комплексного числа стремится к единице с ростом количества «подходящих дробей». Аргумент комплексного числа, что видно из данных колонок 4 и 6 табл. 3, приближается к л/2 при увеличении числа «отсчётов».
В случае использования R/ф-алгоритма предел (28) имеет место при произвольном значении
ЛИ
ф, кроме ф = , n = 1, 2, ... .
Аналогично может быть установлен другой предел:
л -i—
lim tgnф = e 2 =-i.
П^ОТ
Определим при помощи R/ф-алгоритма значения ещё двух пределов:
lim sin(n + 1)ф (30)
И^ОТ cosnф
lim cos(n + 1)ф. (3D
И^ОТ sin Пф
В табл. 4 приведены результаты определения значения предела (30) посредством R/ф-алгоритма. Здесь ф = 1,23456.
sin(n +1)1.23456
Таблица 4. Определение значения lim -
n—x cosn 1.23456
Номер подходящих дробей Значения подходящих дробей, Pn/Qn Значения модуля, rn Значения аргумента, ф п Погрешность определения модуля, £r Погрешность определения аргумента, £v
1 0.6812790479 1.8880062436 0 0.8880062436 1.23456
2 1.1518173199 1.1341336324 0 0.1341336324 1.23456
4 0.9074343279 0.9239624974 0.7853981633 0.0760375025 0.4491618366
8 -1.900728287 0.9621110735 0.3926990816 0.0378889264 0.8418609183
16 0.4260330851 1.3080317222 0.5890486225 0.3080317222 0.6455113774
32 0.9108242324 1.0112379346 0.3926990816 0.0112379346 0.8418609183
64 -1.470848108 1.0107729030 0.3436116964 0.0107729030 0.8909483035
128 0.4697284800 1.0232019620 0.3681553890 0.0232019620 0.8664046109
256 0.9377540328 1.0027756321 0.3436116964 0.0027756321 0.8909483035
16384 0.7848304665 1.0003821532 0.3363252877 0.0003821532 0.8982347122
32768 1.4670507472 1.0000503847 0.3362294139 0.0000503847 0.8983305860
65536 1.2713900568 1.0001603631 0.3362294139 0.0001603631 0.8983305860
131072 1.0564541273 1.0000307931 0.3362294139 0.0000307931 0.8983305860
262144 0.7289680582 1.0000061141 0.3362054454 0.0000061141 0.8983545545
524288 1.2524994446 1.0000075839 0.3362174297 0.0000075839 0.8983425702
Из табл. 4 следует, что
lim Sin(n +1)1 23456 = 1.000007ei°.336217 n—x cos n1.23456
Не сложно заметить, что значения аргумента ф' комплексного числа, который фиксируется
, л
в колонке 4, можно записать в виде: ф =--ф.
2
В самом деле, л
ф =--1.23456 = 0.336236....
2
Можно записать значение предела (30):
• , ^ (л Л sin(n + 1)|л-ф| cos(n + 1)|л-ф| _ lim S n + 1)ф = e'Н = lim—Д^-ф = lim ( /V2 ф (32)
n—x cosПФ n—x .( л | n—x I л
sin п\--Ф\ cos ni—-ф
В табл. 5 устанавливается значение предела (31) при ф= 1,23456.
Таблица 5. Определение значения lim
И—>от
cos(n +1)1.23456 sin n 1.23456 .
Номер подходящих дробей Значения подходящих дробей, Pn/Qn Значения модуля, rn Значения аргумента, фп Погрешность определения модуля, er Погрешность определения аргумента,
1 -1.358346978 0.8286877129 3.1415926535 0.1713122870 1.9070326535
2 -0.420178922 1.0609643966 3.1415926535 0.0609643966 1.9070326535
4 -3.920806409 0.8333723904 3.1415926535 0.1666276095 1.9070326535
8 -0.982269689 0.9171124005 3.1415926535 0.0828875994 1.9070326535
16 -1.154166062 0.7826322054 3.1415926535 0.2173677945 1.9070326535
32 -4.224947966 0.9542610659 2.8470683423 0.0457389340 1.6125083423
64 -0.989081719 0.9764033974 2.8470683423 0.0235966025 1.6125083423
128 -1.173528583 0.9804511448 2.8470683423 0.0195488551 1.6125083423
256 -18.36383913 0.9863829377 2.8102528034 0.0136170622 1.5756928034
16384 -1.627902663 0.9996319236 2.8054591134 0.0003680763 1.5708991134
32768 -0.735880379 0.9999609311 2.8053632396 0.0000390688 1.5708032396
65536 -0.611497165 0.9998468834 2.8053632396 0.0001531165 1.5708032396
131072 0.0240460782 0.9999690568 2.8053632396 0.0000309431 1.5708032396
262144 -1.450237333 0.9999953521 2.8053272869 0.0000046478 1.5707672869
524288 -0.591136335 0.9999933145 2.8053392711 0.0000066854 1.5707792711
Из табл. 5 следует, что
lim cos(n + 1)1.2345б = 0.999993ei2.805339. и—от sin n 1.23456
Значение аргумента ф' комплексного числа, который устанавливается в колонке 4 табл. 5, г
Л
можно записать как ( = — + (.
Действительно, —
( = - +1.23456 = 2.805356.... 2
Запишем значение предела (31):
- ч (л Л sin( И +1)1--+ ф
lim cos(n +1)ф = = lim- ^ 2
Л
sin Пф
Л
sin П\— + ф
lim
И — ОТ
Л
cos(n + 1)\ —+ ф
Л
cos П\ — + ф
Приведём сводку пределов, устанавливаемые г/ф-алгоритмом:
lim s'n(n +1)ф = e*
И—От sin Пф
lim cos(n +1)ф = ¿ф
>от cos Пф sin( n + 1)ф
lim
И—ОТ cos Пф
Л ч i(--ф)
(33) (35) (37)
sin Пф
lim —--—
И—От sin(n + 1)ф
lim
cosnф _ -ф
> cos(n + 1)ф
.. cos(n + 1)ф i (Л+ф)
lim-7-— = e 2
И—От sin Пф
(34) (36) (38)
И — ОТ
И — ОТ
= e ф
sin(n + 1)
ж
ж
9 г—
lim-2 = e 2 = i (39) lim
n-^ro . Ж
sin n
2
sin n
ж 2
— i
,-0 2 _
sin( n + 1)
ж 2
= e 2 =— i (40)
ж
lim
n^ro
cos(n +1)— ж
2 = e 2 =i (41) lim
cos n-
ж
cos n
ж 2
= e 2 = — i (42)
cos(n +1)
cos np . lim-= e 2 = i
(43)
ж
sin np _ _
lim
n^ro cosnp
= e 2 = — i.
sin Пф
Пределы (33) - (44) именуются пределами Никипорца. 3. Запись формул Эйлера с использованием пределов Никипорца Используя пределы Никипорца, формулы Эйлера
eip = cosp + i sinp, e-p = cosp-i sinp,
cosp = ■
eip + e—p
sinp =
eip — e~ip
(44)
2 ' 21
можно записать в несколько необычном виде. Приведём некоторые из возможных вариантов записи формул Эйлера с использованием пределов Никипорца.
sin(n +1) — cosp + lim-2 sin p = e'p
n^ro , ж sin n — 2
(45) cosp + lim
——sin p = e ip
sin(n +1)
2
(46)
cos(n +1) — cosp+ lim-2sinp = elp
n^ro ж
cos n — 2
(47)
cosp + lim
——sin p = e lp
cos(n +1)
2
(48)
cosnp . ip
cosp+ lim —-sin p = ev
n^ro sin np
sin np . —ip
(49) cosp+ lim-sinp = e p
n ^ro cos np
(50)
Используя й/ф-алгоритм, убедимся в корректности записи формул Эйлера через пределы
im
Никипорца. В табл. 6 показаны результаты определения значения е по формуле (49) при ф =1,23456. Предварительно опишем структуру табл. 6, которая сложнее структур таблиц, рассмотренных ранее.
В табл. 6 «подходящие дроби», которые используются в й/ф-алгоритме для определения комплексного числа, являющегося значением осциллирующей последовательности, описываются выражением
Pn cosпф . (51)
—- = cosф^--— slnф■ (51)
Qn sln Пф
Значения «подходящих дробей» (51) будем вычислять по частям. Обозначим
Pn(1) _ cos пф Pn(2) Qn '
cos np .
sinp.
n sin np Qn sin np
Тогда (51) запишем в виде:
P P
= cosp+——
Qn Q
(2)
(52)
ж
ж
2
ж
ж
cosnф
Таким образом, в колонке 2 табл. 6 записываются значение -, в колонку 3 заносятся
sin Пф
cosng .
значения _ sin ф, и наконец, в колонке 4 табл. 6 поме-sin Пф
щаются значения «подходящих дробей» (52), по которым, собственно, и определяется
im
модуль и аргумент комплексного числа e , устанавливаемого формулой Эйлера в записи (49).
im
В табл. 6 показаны результаты определения значения e по формуле (49) при ф = 1.23456.
im
Таблица 6. Определение значения e по формуле (49)
cos Пф . im
cos ф + lim —-sin ф = em
П^ш sin Пф
Номер «подходящих» Значения р(1)/ qH) Значения d(2) /Q(2) 1 П ' QП Значения подходящих Pn/Qn Значения модуля, rn Значения аргумента, фп
1 -1.255829027 -1.185506521 -0.855570003 0.6598730361 0
2 1.5876514745 1.4987479483 1.8286844664 0.7513771197 1.5707963267
4 -9.022351647 -8.517128121 -8.187191603 0.5844722240 0.7853981633
8 -0.115981606 -0.109486998 0.2204495197 1.0063884163 1.1780972450
16 -0.636979930 -0.601311043 -0.271374525 0.9929836464 1.1780972450
32 -9.944170059 -9.387327580 -9.057391062 0.9322658705 1.1780972450
64 -0.136628092 -0.128977346 0.2009591719 1.0007561956 1.2271846303
128 -0.695665525 -0.656710428 -0.326773910 0.9989089698 1.2271846303
256 -52.79753849 -49.84104116 -49.51110464 0.9848463873 1.2271846303
65536 1.0077876750 0.9513547114 1.2812912295 0.9999955316 1.2345669128
131072 2.9340468454 2.7697493816 3.0996858997 0.9999918083 1.2345669128
262144 -1.534338226 -1.448420075 -1.118483557 0.9999979115 1.2345549286
524288 1.0694990301 1.0096104232 1.3395469412 0.9999993826 1.2345609207
1048576 3.6260043850 3.4229594592 3.7528959773 0.9999987915 1.2345609207
Из рассмотрения колонок 5 и 6 табл. 6 следует, что значения модуля и аргумента, определяемого комплексного числа, равны:
rn =0.99999987..., фп = 1.23456092... .
Это позволяет говорить, что по формуле (49), являющейся эквивалентной записью формулы
Эйлера cosrn + i sin ф = ёф, при ф= 1.23456 установлено комплексное число gi123456.
Заключение
Алгоритм суммирования расходящихся непрерывных дробей, - так называемый r/ф-алгоритм, позволяет находить значения расходящихся в классическом смысле непрерывных дробей. Оказалось, что расходящиеся непрерывные дроби с вещественными элементами могут иметь комплексные значения, причём, эти комплексные значения устанавливаются по последовательности вещественных подходящих непрерывных дробей уже упомянутым r/ф-алгоритмом. Этот алгоритм, точнее его обобщение - К/ф-алгоритм, позволил решить ряд важных задач, в частности, установить, что БСЛАУ с вещественными матрицами могут иметь, в зависимости от коэффициентов матриц, комплексные решения и дал способ нахождения этих решений. Это проясняет ситуацию с расходящимися разностными схемами.
Насколько известно, в литературе до сих пор не рассматривалась возможность комплексных решений СЛАУ и БСЛАУ, имеющих вещественные матрицы. Очевидно, что без учёта комплексных решений попытки создания общей теории БСЛАУ, которые ведутся уже более полутора веков [17], заведомо обречены на неудачу, как если бы строить теорию алгебраических уравнений, полагая, что имеются только вещественные корни. Здесь уместно
отметить, что непрерывные дроби Никипорца вкупе с Л/ф-алгоритмом позволили дать простое решение старинной задачи об аналитическом представлении всех корней алгебраического уравнения через его коэффициенты.
Суть r/ф-алгоритма, как и его обобщения - Л/ф-алгоритма, состоит в замене бесконечного осциллирующего процесса, порождаемого дробно-рациональными выражениями, и представленного вещественными отсчётами, или «подходящими дробями», комплексным числом, модуль и аргумент которого находится этими алгоритмами. В справедливости такого подхода убеждают многочисленные задачи, решённые при помощи этих алгоритмов, среди этих задач, как отмеченные выше, так и другие. Например, суммирование расходящихся аппроксимаций Паде, суммирование расходящихся последовательностей и т.д. Поэтому никакого «обобщённого смысла», например, в записи
lim sin(n + 1)Ф = ¿ф n—x sin nq
искать не нужно. На r/ф-алгоритм, как и на Л/ф-алгоритм, следует смотреть как на инструменты Анализа, которые, правда, пока несколько выбиваются из классических рамок. Будем исходить из того, что со временем эти алгоритмы, постоянно расширяя сферы своего применения, перейдут из раздела «парадоксальных» в «стандартные».
Список литературы/ References
1. Шмойлов В.И. Непрерывные дроби. В 3 т. Том 3. Из истории непрерывных дробей. Нац. акад. наук Украины, Ин-т приклад. проблем механики и математики. Львов, 2004. 520 с.
2. Никипорец А.З. Теоремы о периодических цепных дробях. В кн. В.И. Шмойлов, Л.В. Чирун «Непрерывные дроби и комплексные числа». Львов. Меркатор, 2001. С. 372-381.
3. Козлов В.В. Об одной формуле суммирования расходящихся непрерывных дробей. // Докл. РАН. Том 474. Номер 4, 2017. С. 410-412.
4. Шмойлов В.И. Непрерывные дроби. В 3 т. Том 1. Периодические непрерывные дроби. Нац. акад. наук Украины, Ин-т приклад. проблем механики и математики. Львов, 2004. 645 с.
5. Шмойлов В.И. Непрерывные дроби. В 3 т. Том 2. Расходящиеся непрерывные дроби. Нац. акад. наук Украины. Ин-т приклад. проблем механики и математики. Львов, 2004. 558 с.
6. Шмойлов В.И., Слобода М. . Расходящиеся непрерывные дроби. Львов: Меркатор, 1999. 820 с.
7. Шмойлов В.И. Суммирование расходящихся цепных дробей. Львов: ИППММ НАН Украины, 1997. 23 с.
8. Кириченко Г.А., Шмойлов В.И. Алгоритм суммирования расходящихся непрерывных дробей и некоторые его применения. // Журнал вычислительной математики и математической физики, 2015. Т. 55. № 4. С. 559-572.
9. Шмойлов В.И. Решение алгебраических уравнений при помощи »^-алгоритма. Таганрог: Изд-во ТТИ ЮФУ, 2011. 330 с.
10. Шмойлов В.И. Расходящиеся системы линейных алгебраических уравнений. Таганрог: Изд-во ТТИ ЮФУ, 2010. 205 с.
11. Шмойлов В.И. Непрерывные дроби и г/-алгоритм. Таганрог: Изд-во ТТИ ЮФУ, 2012. 608 с.
12. Шмойлов В.И., Коровин Я.С. Решение систем линейных алгебраических уравнений непрерывными дробями. Ростов-на-Дону: Изд-во ЮФУ, 2017. 383 с.
13. Шмойлов В.И., Коровин Я.С. Непрерывные дроби. Библиографический указатель. Таганрог - Ростов-на-Дону: Изд-во ЮФУ, 2017. 382 с.
14. Шмойлов В.И., Редин А.А., Никулин Н.А. Непрерывные дроби в вычислительной математике. Ростов-на-Дону: Изд-во ЮФУ, 2015. 228 с.
15. Шмойлов В.И., Коровин Я.С., Иванов Д.Я. Алгоритмы определения комплексных решений БСЛАУ с трёхдиагональной матрицей. // Вестник науки и образования. № 9 (45), 2018. С. 6-18.
16. Шмойлов В.И., Коровин Я.С., Иванов Д.Я. Решение расходящихся систем линейных алгебраических уравнений. // Вестник науки и образования. № 9 (45), 2018. С. 18-30.
17. Фёдоров В.М. Бесконечные системы линейных алгебраических уравнений и их приложения. Новосибирск: Наука, 2011. 311 с.
