CC BY
49
РАЗЛОЖЕНИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ РЯДОВ В СООТВЕТСТВУЮЩИЕ НЕПРЕРЫВНЫЕ ДРОБИ Шмойлов В.И.1, Коровин Я.С.2 Email: Shmoylov669@scientifictext.ru
‘Шмойлов Владимир Ильич — старший научный сотрудник;
2Коровин Яков Сергеевич — ведущий научный сотрудник, Научно-исследовательский институт многопроцессорных вычислительных систем Южный федеральный университет, г. Таганрог
Аннотация: предложен алгоритм преобразования тригонометрических рядов в так
называемые соответствующие непрерывные дроби, даны определения сходимости этих непрерывных дробей. Излагается способ суммирования тригонометрических рядов через соответствующие непрерывные дроби, подходящие которых рассматриваются как производящие функции рядов. Такой подход к суммированию тригонометрических рядов решает задачу не только ускорения сходимости рядов, но и позволяет находить значения расходящихся рядов. Использование r/ф-алгоритма даёт возможность устанавливать как вещественные, так и комплексные значения расходящихся тригонометрических рядов, имеющих вещественные элементы.
Приводятся результаты экспериментальной проверки суммирования тригонометрических рядов построением соответствующих непрерывных дробей.
Ключевые слова: непрерывные дроби с комплексными элементами, тригонометрические ряды, r/ф-алгоритм.
THE DECOMPOSITION OF TRIGONOMETRIC SERIES IN CORRESPONDING CONTINUOUS FRACTIONS Shmoylov V.I.1, Korovin Ya.S.2
‘Shmoylov Vladimir Ilyich — Senior Research;
2Korovin Yakov Sergeevich — Leading researcher,
RESEARCH INSTITUTE OF MULTIPROCESSOR COMPUTING SYSTEMS SOUTH FEDERAL UNIVERSITY,
TAGANROG
Abstract: the proposed algorithm convert the trigonometric series in the so-called corresponding continued fraction, this definition of convergence of these continued fractions. The method of summation of trigonometric series through the corresponding continuous fractions suitable for which are considered as generating functions of series is stated. This approach to the summation of trigonometric series solves the problem of not only accelerating the convergence of series, but also allows you to find the values of divergent series. The use of г/ф-algorithm makes it possible to set both real and complex values of divergent trigonometric series having real elements.
The results of the experimental verification of the summation of trigonometric series, the construction of the corresponding continuous fractions are presented.
Keywords: continuous fractions with complex elements, trigonometric series, г/ф-algorithm.
Введение
Известны различные алгоритмы преобразования степенных рядов в так называемые соответствующие непрерывные дроби, - это алгоритмы Висковатова, Хейлерманна-Стилтьеса, Тиле, Рутисхаузера, Никипорца, Хлопонина и др. [1]. В чрезвычайно обширной литературе по тригонометрическим рядам встречается незначительное число публикаций, связанных с представлением тригонометрических рядов непрерывными дробями. Разработке способов преобразования тригонометрических рядов в непрерывные дроби, в силу ряда причин, уделяется значительно меньшее внимание, хотя потребность в таких трансформациях тригонометрических рядов, несомненно, существует.
Известно, что класс функций, охватываемых тригонометрическими рядами, значительно шире, чем то имеет место в случае степенных рядов, и это обстоятельство - очевидное преимущество тригонометрических рядов [2]. Однако, зачастую тригонометрические ряды сходятся чрезвычайно медленно, что выдвигает на первый план задачу ускорения сходимости тригонометрических рядов. Есть и другая, может быть, более важная проблема, связанная с
практикой применения рядов, и не только тригонометрических. Если известно, что ряд сходится к функции, то функция может определяться, как предел частичных сумм этого ряда. Иначе дело обстоит в случаях, когда сходимость ряда установить не удалось, или же, когда ряд оказался расходящимся. Здесь либо неизвестно, существует предел частичных сумм, либо известно, что этот предел не существует. Нужно, следовательно, изыскать операцию, которая позволяла бы найти функцию по её ряду, независимо от того, сходится этот ряд или нет. Такие операции называют суммированием ряда [3].
Известно большое число методов суммирования тригонометрических рядов. В фундаментальной монографии Н.К. Бари «Тригонометрические ряды», объёмом без малого в тысячу страниц, вышедшей в 1961 г. [4], рассматриваются методы суммирования Абеля-Пуассона, Римана, Фейера, Лебега, Бернштейна-Рогозинского и другие. В статье предлагается для суммирования тригонометрических рядов использовать метод соответствующих непрерывных дробей. Алгоритм преобразования тригонометрических рядов в соответствующие непрерывные дроби является развитием алгоритма, опубликованного в работе [5].
1. Построение соответствующих непрерывных дробей для тригонометрических рядов
1-й случай.
c0 + qcosp + c2cos2p + ... +cn cosnp + ... . (i)
Ряд вида (1) можно записать следующим образом:
+1 (<cxei(p+c2e 2p +c3ei3p +
... +cnemp +
... +cxe~ip + c2e~l 2p+ c2e~ep +
... +cne~inp+ ...).
(2)
c
0
то есть тригонометрический ряд (1) заменим через два степенных ряда от мнимых аргументов. Следовательно, тригонометрический ряд (1) может быть представлен суммой двух непрерывных дробей:
c0 + c1cosp + c2cos2p+ ... +cn cosnp+ ... =
= щ + ^
yp
1 - 1 + 1 -... - 1
+
+-
d),e
ще
(d3e
®lne
®2n+1e
1-
-ip \
+
(3)
1 - 1 + 1 - ... - 1 +
1
...j
Коэффициенты звеньев и непрерывной дроби (3) выражаются через
коэффициенты исходного тригонометрического ряда, в частности, при помощи алгоритма Рутисхаузера, который будет рассмотрен в следующем параграфе.
Запишем подходящие дроби разложения (3):
P ,
---= ®0 + щ cosp
в1
P - + щ cosp
Q2 1 + ffl2 - 2Щ cosp
вэ
■ = Що +
щ
\(щ -щ)+щ[1 + щ(щ -®2)]cosp+®j®3 cos2p
- Щ 11щ - Щ+Щ
1 + (щ -щ)2 + 2(щ -щ)cosp
+ щ)+ щщ(щ -щ)]+щ[1 + щщ +(щ -щ)(щ -щ + ®4)]cosp-®j(®4 -®3)cos2p j
1 + +(щ -щ + щ)2 -2(1 + щщЦощ - щ+ ®4)cosp+ 2щщ cos2p
ip
ip
1
V
ip
ip
P
4
щ +
в
c<0n-1) + c<2n-1) cosp + c12n-1) cos2p+ ... +c1(2nn-1) cosnp
„(2n-1)
2n-1 _ „(2n-1)
, = c0 +"
(2n-1)
c00n 1) + c0]n 1)cosp + c022n 1)cos2p+ ... +c02nn_;) cos(n - 1)p
„(2n-1)
(2n-1)
2n-1
P
2n _ (2n) 10
■ = c
0
+
(2n) (2n) , (2n) 0 , , (2n)
Cj0 ) + q-j 4osy + c1(2)cos2y + ... +c1„cosny
(2n) (2n) (2n) (2n)
coo + 0qi cosy + 0g2 2cos2y + ... +0^^ cosny
2n c00
Формулы (4) можно рассматривать как производящие функции тригонометрического ряда
Q
(1).
Здесь следует сделать практически важное замечание. Для определения значения производящей тригонометрический ряд функции, т.е. для суммирования ряда, нет необходимости в громоздких вычислениях производящей функции в «стандартной» форме, а именно, - в виде дробно -рациональных выражений (4), которыми являются подходящие дроби [6]. Значение подходящих дробей могут быть найдены непосредственно из определения по простым и регулярным процедурам значений непрерывных дробей с комплексными элементами [7].
Запишем подходящие дроби первой и второй непрерывной дроби, входящих в выражение (3):
(1)
PL
Qi
axe
~т
■ = rLeia' = r1 cosaL + ir1 sina1, (r1 =a1, а1 = w)
P(1) _ rn1eiW m2eiW
~QT =
(1) iW iy
0eW ф2 eW 0 e
P_
Q3
1 - 1
JW
1
1 + 1
Гe 2 = r cosa2 + ir2 sma2, iW
ia , •
= ne 3 = r cosa, + in sii
P (1)_ rnxeiW a2 eiW rn3 eiW
0ne ia •
——■ = re n = r cosa + ir sin a
Qn 1 - 1 + 1 -...+ 1
Аналогично запишем подходящие второй непрерывной дроби (3):
(5)
P(2) a1e -ia ■ ■ , .
—— = -р— = r1e a = r1cosa1 - ir1sma1, (r1 =m1, a1 = y).
Q1
P
(2)
Q2
1
0e-iW a2 e-iW
1 - 1
= r2e 1 = r2 cosa2 - ip sin a2,
P3m axe-iW m2e-iW co3e-iW
Q3 =
1 - 1 + 1
= r3e 3 = r3cosa3 -ir3sma3,
Pn(2) _ 0e
Qn
1 - 1 + 1 -...+ 1
0ne -ia . •
------= rne n = rn cosan - irn sin an.
(6)
подходящих 1 1 / Qn и P42 2 / Qn, умноженные на 1/2:
Q1 Q1
V Q1
f D(1)
Подходящими дробями Pn/ Qn выражения (3) без учёта свободного члена ш0 будут суммы
/2:
= Re( r1eia1) = r1 cosa1,
= Re( r2eia2) = r cosa2,
= Re( r3eia3) = r cosa3,
P_=1 Q1 2
Pl=L
Q2 2
Pl=L
Q3 2
( p(1) p(2) 7 P +P
1 7
(2Л
PlL+PL
Qi Qi .
L(1) p (2) ^
Q3 Q3
pn =1
Qn 2
f p C1) p
1 n _|_ 1 n
(2)7
Qn Qn
= Re(r„eia") = rn cosan.
2
Таким образом, подходящими дробями суммы непрерывных дробей (3) будут действительные части комплексных чисел, являющихся значениями подходящих непрерывных дробей, входящих в выражение (3).
Если рассматривать сходимость непрерывной дроби (3) в классическом смысле, то непрерывная дробь (3) сходится, если существует предел значений подходящих дробей:
lim P =
n^x Qn
lim (rn cosan) = к.
n^x
(8)
Однако, заключение о сходимости непрерывных дробей по существованию предела значений подходящих дробей, т.е. рассмотрение сходимости в классическом смысле, зачастую приводит к неверному выводу. Непрерывная дробь с вещественными элементами может иметь комплексный предел подходящих дробей, т.е. иметь комплексное значение.
В [9] было предложено отличное от традиционного определение сходимости непрерывных дробей:
Непрерывная дробь с вещественными элементами сходится и имеет своим значением в общем случае комплексное число z = r0el4,0, если существуют пределы
n
lim n П|Pn 1QJ = r0. V i=i (9)
7Г lim — = \q>0\, n->oo 71 (10)
где Рп/Qп— значение n-й подходящей дроби,
kn - число отрицательных подходящих дробей из совокупности, включающей n подходящих дробей.
Определенную так сходимость непрерывных дробей будем называть r/p-сходимостью. Этот способ выходит за рамки традиционных методов суммирования, ибо предполагает, что непрерывные дроби с вещественными элементами могут иметь как вещественные, так и комплексные значения. Признаком комплексности расходящейся непрерывной дроби с вещественными элементами служат перемены знаков ее подходящих дробей, причем, эти перемены знаков происходят сколь угодно много раз [10]. Модуль r0 и аргумент ф0 комплексного числа могут быть определены так называемым г/ ^-алгоритмом, т. е. формулами (9) и (10).
Предложенный г/ р-алгоритм даёт возможность устанавливать значения расходящихся в классическом смысле непрерывных дробей, а также решать множество других задач из различных разделов вычислительной математики [11-17].
Используя приведенный выше г/ р -алгоритм, описываемый формулами (9) и (10), сформулируем условия сходимости непрерывной дроби (3), соответствующей тригонометрическому ряду (1), содержащему косинусы кратных углов:
Непрерывная дробь
®° + 2 mxeim w2eim m2eim i ю ®2n ^ im ®2n+1e +
v 1 - 1 + 1 - ...- 1 + 1 - .
(oyim e -iv <D3e-‘* -im ®2n Ю ®2n+1e-m
1 - i + 1 -... - 1 + 1 .../
(11)
+
сходится и имеет своим значением в общем случае комплексное число , если
существуют пределы
где
Рп/Qn
lim JП|Pn 1QJ = r0. n^°\ i=1
n lim — = \q>0\,
n->oo 71
действительная часть n-й комплексной подходящей дроби,
(12)
(13) то есть
R<rne'a" ) = rn ,
kn - число элементов rncosan, имеющих отрицательных значения из совокупности, включающей n элементов rncosan.
Если аргумент комплексного числа , которое по определению принимается за
значение непрерывной дроби, имеет значения нуль или п, то такая непрерывная дробь сходится в классическом смысле.
Алгоритм суммирования тригонометрических рядов, включающих косинусы кратных аргументов, которые описываются формулами (12) и (13), будем обозначать как г^2/р-алгоритм.
Определение значений тригонометрических рядов через построение соответствующих непрерывных дробей позволяет решить несколько задач. Во-первых, если тригонометрический ряд (1) сходится в классическом смысле, то построение по ряду (1) соответствующей непрерывной дроби (3) позволяет во многих случаях добиться существенного ускорения сходимости тригонометрического ряда (1). Если тригонометрический ряд расходится в классическом смысле, т.е. частичные суммы ряда (1) не имеют конечного предела, то преобразования расходящегося ряда (1) в соответствующую непрерывную дробь (3) позволяют установить вещественное значение производящей функции, порождающей этот ряд, т.е. установить значение этого ряда [18]. И третье важное следствие применения к суммированию рядов соответствующих непрерывных дробей. Расходящиеся в классическом смысле ряды, как степенные, так и тригонометрические, с вещественными элементами, могут иметь как вещественные, так и комплексные значения, в зависимости от коэффициентов ряда [19]. Комплексные значения непрерывных дробей (3) или (11), а следовательно, расходящихся в классическом смысле тригонометрических рядов (1), устанавливаются как раз рассмотренным выше -алгоритмом, т. е. формулами (12) и (13).
2-й случай.
b sin^ + b2 sin2^ +... + bn sinпф +.... (14)
Тригонометрический ряд (14) может быть представлен следующей разностью непрерывных дробей:
Ь sin^ + b sin2<p +... + b sinпф +... =
1 ( 'ф ще ф 'ф щ2е ф щ е'ф ф щ2п щ2п+1е'ф
2' 1 1 — 1 + 1 —. .— 1 + 1 —.
ахе -'ф щ е ~‘ф щ е—ф —'ф щ2п ф щ2п+,е-‘ф 1
1 - 1 + 1
.- 1 +
1
(15)
Коэффициенты звеньев a2 n и a2 n+i непрерывной дроби (15) также могут быть определены через коэффициенты исходного тригонометрического ряда (14) при помощи формул Хейлерманна-Стилтьеса или рекуррентного алгоритма Рутисхаузера.
Запишем подходящие дроби разложения (15)
01
= щ sin ^
Р2 щ sin ф j
Q2 1 + в>\ -2щ cosip
P3 щ[1 + ®з(®з — ®2)]sin^ + sin2^,
Q3 1 + (щ — щ )2 + 2(щ — щ )cos^
P4 щ[1 — щщ + (щ — щ)(щ — щ +04)]sin^ — щ(щ — ю^т2ф
Q4 1 + (щ —^з +^4) +^2Щ 2 — 2(щ — щ + щ )(1 + щщ )cos^ + 2щщ cos2^
d^n 1 sin^ + d^n 1) sin2^+ ... +d1(2nn 1) sin пф ,
Q2n—1 d 02gn—1) + d 01n—1) cosф + d022n—1 ^2ф + ... +d02nn71 cos(n — 1)ф
dnn) sinф + d12n sin2ф+ ... +d1(,n) sin пф (16)
Q2n d <2n) + d (2n) cosф + d cos2ф+ ... +d(2n cosnф
Подходящими дробями Pn/Qn выражения (15) будут разности подходящих 12 / Qn и
Рп 2 2 / Q n, умноженные на 1/2/:
PL=I Q1 2i
( р С1) р (2) ^
Q—Q
= Хт^е'^) = r sinaj,
P
Q3
P
Q2
(p(1) P____
Q3
Qi
p(2) Л P____
Q3
P
(2)'
Qi
Im(r3eia) = r sina3,
Im(r2eia) = r2 sin a2,
Pl = 1 Qn 2i
(p (1)
P
(2)\
Qn Qn
= Im(rne,a) = rn sinan.
Таким образом, подходящими дробями разности непрерывных дробей (15) будут коэффициенты при мнимой единице комплексных чисел, являющихся значениями подходящих дробей, входящих в выражение (15).
Если рассматривать сходимость непрерывной дроби (15) в классическом смысле, то непрерывная дробь (15) сходится, если существует предел подходящих дробей:
P
lim —- = lim Im(rea”) = lim(r sin a) = t. (18)
п^да Q п^да п^да
Используя приведённый г/ р-алгоритм, описываемый формулами (9) и (10), сформулируем условия сходимости цепной дроби (15), соответствующей тригонометрическому ряду (14), содержащему синусы кратных углов:
Непрерывная дробь
1 (ае1ф а2е1ф а3е1ф 1ф Ф2пф ф2п+1е1ф
21 1 1 - 1 + 1 -. .- 1 + 1 -..
~1ф ~1ф ~1ф ®хе ф а2е ф ®ъе ф -1ф ф2п ф -1ф ф2п+1е ф Л
1 - 1 + 1 -. .- 1 + 1 - ...
(19)
сходится и имеет своим значением в общем случае комплексное число z0 = г0е1гр0, если существуют пределы:
lim п П\Pn I QJ = r0,
п
(20)
k
к lim —^ =| (р0 |, (21)
п^да п
где Рп/Qп - значение коэффициентов при мнимой единице n-й комплексной подходящей дроби, т.е. — = I т(гпеШп) = rns inan,
Qn
kn~ количество элементов rnSinаю имеющих отрицательные значения из совокупности, включающей n элементов rs i na п
Таким образом, если при определении значения непрерывной дроби (19), соответствующей тригонометрическому ряду,
Ь sin^ + b sin2^ + b sin3^+ ... +b sinпф + ... ,
окажется, что аргумент р0 отличен от нуля или числа к, то тригонометрический ряд (14) с вещественными коэффициентами имеет комплексное значение z0 = г0е1<р 0.
Алгоритм суммирования тригонометрических рядов, включающих синусы кратных аргументов, описываемый формулами (20) и (21), будем именовать как гОт) / (р-алгоритм.
3-й случай.
с0 + с,е1<р + с,е
2е
У2ф
+ сзе
,13ф
+ ...+ спе
1пф
+...
Ряд (22) может быть представлен соответствующей непрерывной дробью
(22)
фо +
ae1v
1
g2 ei<p аъ ei<p
1 + 1
ф2пе
1ф
ф2п+1е
1ф
1+1
(23)
которая является производящей функцией, порождающей ряд (22). Коэффициенты <д2 п и а>2п+1 также могут быть определены формулами Хейлерманна-Стилтьеса или рекуррентным алгоритмом Рутисхаузера.
В [20] дано определение сходимости непрерывной дроби с комплексными элементами: Непрерывная дробь (23) с комплексными элементами сходится и имеет своим значением комплексное число z0 = r0elrp°, если существуют пределы:
\ Фп \= lim
Г = lim nl^r
п^ю)1 п=1 '
\ ф1 \ + \ ф2 \ +•••+ 1 Фп 1
(24)
(25)
п
где гп - значение модуля n-й комплексной подходящей дроби,
\фп 1 - абсолютная величина аргумента n-й комплексной подходящей дроби.
2. Рекуррентный алгоритм Рутисхаузера
На практике часто используется рекуррентный алгоритм Рутисхаузера, позволяющий определять значительное большое число коэффициентов соответствующей непрерывной дроби [21].
Установим для ряда
GCqq + CC^qX + ССууХ 4~ ССу 2% + . ■. + ССуп_-уУ + ... (26)
коэффициенты ап0 соответствующей непрерывной дроби
ш 1 - 1 + 1 - 1 + 1 1 + 1
Коэффициенты непрерывной (27) находятся по рекуррентным формулам:
(27)
а
а2п.0 Х а2п+1.0 Х
аюх а20х а20х а40х а50 x
а
.V+1
а
2.V
а
1.V
аЪ.у = а2^+1 + а2^
а2^+1 ' а3.v+1
а „ =
4.V
аь* =а3^+1 а4^+1 +а4^.
а
2 h.v
'■’Irn-l.v+l ^2w-1.v+1
а
2п-1.V
а2п+1^ = а2п-1.V+1 а2пд+1 + а2пд • (28)
Элемент таблицы Рутисхаузера определяется по формулам (28) за две операции. При нахождении элемента нечетной строки нужна одна операция сложения и одна операция вычитания, при нахождении элемента четной строки используется одна операция умножения и одна операция деления.
Схема Рутисхаузера, определяемая формулами (28), показана на рис. 1.
3. Построение последовательностей подходящих непрерывных дробей с комплексными элементами
Рассмотрим вычисление подходящих непрерывной дроби с комплексными частными числителями общего вида. Можно записать:
P^_l + a}e^ с
Qn 1 + 1 +...+
iw . iw
ап-1е ane W
1 + 1 + 1
iWn-2
n-2
ae
Щ
,W>2
gVn-
OlWn-1
= 1 +
1 + 1 +...+ 1 + rn_ean-''
Модуль r комплексного числа z = x + iy определяются формулой г = ^x2 + у2. Аргумент
числа устанавливается следующим образом:
x > 0;
arg z =
arctg —,
x
ж + arctg
—
- ж + arctg
—
x < 0, y > 0;
x < 0, y < 0;
ж 2,
Продолжая вычисления, получим:
P , аещ агеЩг с
x = 0,y > 0; —, x = 0,y < 0.
P = 1 + ^
Qn 1 + 1 +...+
n-2e
У^п-2
an-1e
Wn-1
1
=1+ae
1 + 1 +...+ re
-n .... * ' rn-1e 1 1 1 1 ■■■ 1 'n-2e
Чтобы найти комплексное число гп_ 2el“n-2, надо выполнить операции деления модулей и вычитания аргументов комплексных чисел ап_ 1el<Pn-1 и гп_ 1еШп-1, и привести запись комплексного числа в показательной форме:
а„ ,
■ = r,
r,
n-2 ’
Wn-1 an-1 =an-2,
n-1
x
x
up2
Wn-2
a2e
an-2e
1 + rn'-2COS<
-2 + lrn-2Sinan-2 = rn-2e
n-2
При вычислении следующего звена непрерывной дроби выполняются аналогичные операции. Процесс повторяется, пока не будет вычислена вся непрерывная дробь, содержащая n комплексных звеньев, т.е. не установлено комплексное значение подходящей дроби Рп/Qп.
Чтобы упростить программу определения значения непрерывной дроби с комплексными частными числителями, следует единицу в знаменателе последнего звена подходящей дроби представить в «общем виде», как 1 el0.
Здесь следует остановиться на вычислительном аспекте. Дело в том, что определение значений подходящих непрерывных дробей с вещественными и комплексными элементами требуют существенно разных затрат. Если для вычисления одного звена вещественной непрерывной дроби необходимо выполнения всего двух арифметических операций, - деления и сложения, то при вычислении одного звена, имеющего комплексные элементы, требуется 13 операций, причём, среди этих 13-ти операций четыре операции связаны с вычислением значений элементарных функций, а именно, - с определением значений косинуса, синуса, арктангенса, а также квадратного корня [22]. Вычисление значений элементарных функции требует выполнения множества арифметических операций.
4. Экспериментальная проверка алгоритма суммирования
тригонометрических рядов
Пример 1.
- ln| 2sin1 w j = cosw + 1cos2w + 1cos3w +
1
+— cos nw + n
(29)
По алгоритму Рутисхаузера получим следующее разложение:
, , „ . 1 1 1 1
-ln| 2sm — ф1 = cosф + —cos2<p + — cos3^ +
+— cos Пф+ ... = n
e-w
+----
1
1 (el 211
12 e,v 12e'v 22 e,v 2 - 3 - 4
12 e^ 12 e-,v 22 e-,,p
22 e~ip
2 - 3 - 4 - 5
22e,,p n2ei<p n2ei<p
------- ------------ -------- +
5 -...- 2n - 2n +1 -...
n2e-'v n2e~itp ".
... - 2n - 2n +1 - ...y
Подходящие дроби разложения (30):
P Pl =
COSф’
Q1 Q4
P2 - 2 + 4cosф, P5
Q2 5 -4ес^ф Q5
P3 -12 + 20cosф-3cos2 P6
Q3 26 - 24cosф Q6
- 39 + 60cos^- 18cos2^,
73 - 84 cos^ + 12cos2^
- 423 + 645cos ф - 222 cos2^ + 10cos3^,
759 - 936 cos^ + 180cos2^
- 2531 + 3912 cos^- 1590cos2<p + 220cos3^. 4335 - 5832 cos^ + 1620 cos2<p -120cos3<p
Полагая в (30) ф = л, получим известную цепную дробь:
ln 2 =
1 12 12 22 22
n
n
1 + 2 + 3 + 4 + 5 +... + 2n + 2n +1 +...
В табл. 1 приведены значения частичных сумм тригонометрического ряда (29) при ф = 2.
Таблица 1. Определение частичных сумм тригонометрического ряда
- ln | 2sin121 = cos2 + 1cos4 + 1cos6 + ... + 1cos n2 + 2 J 2 3 n
.(31)
Число членов ряда, п Значения частичных сумм ряда, sn Пог Zn = )ешность, n s -X an n=1
1 -0.416146836 0.1043965977
2 -0.742968646 0.2224252126
4 -0.459286893 0.0612565410
8 -0.586632419 0.0660889850
16 -0.484585116 0.0359583181
32 -0.505331631 0.0152118028
64 -0.522280618 0.0017371846
65536 -0.520548007 0.0000045733
131072 -0.520547441 0.0000040071
262144 -0.520541348 0.0000020856
524288 -0.520542331 0.0000011024
1048576 -0.520542870 0.0000005636
Из табл. 1 следует, что тригонометрический ряда (31) сходится очень медленно: 1048576 слагаемых позволяют определить значение ряда, т.е. значение выражения , с
точностью порядка .
В табл. 2 приведены результаты вычисления ряда (31), представленного соответствующей непрерывной дробью (30), при ф = 2. Значение ряда: s = - ln (2sin1) =-0.520543434....
“ ( 2sin—2 2 j 1= 11 e'2 12 e'2 12 e'2 22 e' 2 22 e'2 n2e 'ф
2( 1 — 2 — 3 — 4 — 5 —...— 2n
,—'2 12 e—i2 12 e—i2 22 e—'2 22 e—2 n2e~l 2 n2e~l 2
1 — 2 — 3 — -4 — 5 —... — 2n — 2n +1 —...
+
Номера подходящих дробей, n Значения модуля, r (1) n Значения аргумента, a(1) an Значения Re(r„ (1)e 'a™) = = r() cosa^ Погрешность, sn = \s — r„(1>c0san1^
1 1,000000000000 2,000000000000 -0,416146836120 0,110439659822
2 0.774717495109 2.359946660398 -0.54985960207 0.029316167787
3 0.763838262451 2.302294184754 -0.510232541396 0.010310892896
4 0.774040158361 2.309955376589 -0.521445046633 0.000901612341
5 0.772310032001 2.310584463590 -0.520638475685 0.000095041393
6 0.772500646183 2.310104795117 -0.520493226624 0.000050207666
7 0.772523114591 2.310188689911 -0.520556254341 0.000012820049
8 0.772509259989 2.310180745455 -0.520542383937 0.000001050356
9 0.772511652861 2.310179448332 -0.520543255938 0.000000178353
10 0.772511459374 2.310180124753 -0.520543511655 0.000000077367
11 0.772511415919 2.310180011489 -0.520543417728 0.000000016564
12 0.772511435659 2.310180019127 -0.520543435389 0.000000001096
13 0.772511432485 2.310180021514 -0.520543434612 0.000000000320
14 0.772511432656 2.310180020549 -0.520543434170 0.000000000114
15 0.772511432732 2.310180020697 -0.520543434311 0.000000000021
В колонках 2 и 3 табл. 2 приведены значения модулей и аргументов комплексных чисел, которые являются значениями первой непрерывной дроби, входящей в выражение (32). Выше отмечалось, что подходящими дробями суммы непрерывных дробей (3) являются половинные суммы действительных частей комплексных чисел, представляющих значения первой и второй непрерывной дроби. Таким образом, в колонке 4 приведены значения подходящих дробей выражения (32):
Qn
Re(rnme‘a- ) = r2>
(i)
cosan .
В колонке 5 показана погрешность, имеющая место при вычислении — In (2 s in 1) представлением тригонометрического ряда соответствующей непрерывной дробью:
s = 1— ln(2sini) - rn(1)cosan(1)|.
Из данных, приведённых в колонке 5 табл. 2, видна чрезвычайно высокая скорость сходимости непрерывной дроби (32). Если для вычислении значения — 1 n ( 2 s i n 1 ) с точностью потребовался ряд, включающий более миллиона слагаемых, то при вычислении с точностью при использовании соответствующей непрерывной дроби
(32), достаточно непрерывной дроби с 15-ю звеньями.
Пример 2.
п — ф. i i 1 .
----= sinф Л— sm2i^ + -sin3^+ ... + — sinпф+ ....
2 2 3 n
(33)
По алгоритму Рутисхаузера получим следующее разложение тригонометрического ряда (33) в непрерывную дробь:
п — ф 2
1 • „ 1 • „ 1 .
— sin2ф + — sin3ф + ... Л— sinпф +
2 3 n
e ф 22 e,ф 22 e1ф n2e ф n2e ф
V
2 ( 1 — 2 — 3 — 4 — 5
e—ф 12 e—ф 12 e—ф 22 e—ip 22 e—ф
1 — 2 — 3 1 1
... - 2n -2n +1 -
2 —!ф 2 —!ф \
n e r n e r I
2n — 2n +1 — ...J
(34)
Подходящие дроби разложения (34):
P P4
а оШф Qa
P2 4sin ф , P5
Q2 5 —4cosф Q5
P3 20sinф — 3sin2ф 5 P6
Q3 = 26 — 24 cos ф Q6
48sin^—18sin2^ ,
73 — 84cos^+12cos2^
465simp— 222sin2^+10sin3ip,
759 — 936cos^+180cos2^
2352sin^—1470sin2^+ 220sin3<p 4335 — 5832cos^+1620cos2^—120cos3^
В табл. 3 приведены значения частичных сумм тригонометрического ряда (33) при ф = 2.
Таблица 3. Определение частичных сумм тригонометрического ряда
я — 2 . „ 1 . „ 1 . ^ 1 . „
-----= sin2 + — sin4 + — sin6 + ... +— sin2n +
2 2 3 n
Число членов ряда, n Значения частичных сумм ряда, sn Погрешность n Е„ = s — Z an n=1
i 0.9092974268 0.3385011000
2 0.5308961791 0.0399001476
4 0.6850972414 0.1143009146
8 0.5923916215 0.0215952947
16 0.5705777396 0.0002185871
32 0.5809261751 0.0101298483
64 0.5798425064 0.0090461796
65536 0.5707884980 0.0000078287
131072 0.5707984466 0.0000021198
262144 0.5707954391 0.0000008876
524288 0.5707960640 0.0000002627
1048576 0.5707963849 0.0000000581
Также как и тригонометрический ряд (31), тригонометрический ряд (35), сходится чрезвычайно медленно: 1048576 слагаемых ряда (35) позволяют определить ( 7Г — 2) /2 с точностью порядка .
В табл. 4 приведены результаты вычисления ряда (35), представленного соответствующей непрерывной дробью (34) при ф = 2. Значение ряда: s = (я — 2)/2 = 0.570796326794....
я — 2
Таблица 4. Определение значения непрерывной дроби
л ( i2 12 i2 i2 i2 ^2 i2 ^2 i2 2 i2 2 i2
1 I e 1 e 1 e 2 e 2 e n e n e
2 2i l 1 — 2 — 3 — 4 — 5 —...— 2n — 2n +1 —...
e
12 e
12 e
22 e
22 e
Пe i2 nLe
(36)
1 — 2 — 3 — 4 — 5 —...— 2n — 2n +1 —...
Номера подходящих дробей n Значения модуля, r (D 1 n Значения аргумента, фП1 Значения Im(rn(1)ei“n ) = = r® sin a® Погрешность, sn = s — r() sin Or1
1 1,000000000000 2,000000000000 0,909297426013 0,338501899218
2 0.774717495109 2.359946660398 0.545748674054 0.025047652740
3 0.763838262451 2.302294184754 0.568429102779 0.002367224014
4 0.774040158361 2.309955376589 0.572043031685 0.001246704890
5 0.772310032001 2.310584463590 0.570436993161 0.000359333633
6 0.772500646183 2.310104795117 0.570827512820 0.000031186025
7 0.772523114591 2.310188689911 0.570800445554 0.000004118759
8 0.772509259989 2.310180745455 0.570794344135 0.000001982658
9 0.772511652861 2.310179448332 0.570796787398 0.000000460603
10 0.772511459374 2.310180124753 0.570796292327 0.000000034467
11 0.772511415919 2.310180011489 0.570796319178 0.000000007616
12 0.772511435659 2.310180019127 0.570796329787 0.000000002992
13 0.772511432485 2.310180021514 0.570796326200 0.000000000594
14 0.772511432656 2.310180020549 0.570796326828 0.000000000033
15 0.772511432732 2.310180020697 0.570796326808 0.000000000013
Данные колонок 2 и 3 в табл. 2 и табл. 4 совпадают. В четвертой колонке показаны значения подходящих дробей выражения (36):
Qn
lm(rnme‘a-) = rn (1)
(i)
sin an .
В колонке 5 табл. 4 показана точность, достигаемая при вычислении представлением тригонометрического ряда соответствующей непрерывной дробью:
п - 2 2
(i) ■ (i)
rn sin an
E
Данные колонки 5 табл. 4 указывают на очень высокую скорость сходимости непрерывной дроби (36) в сравнении с тригонометрическим рядом (35).
Заключение
Построением по тригонометрическому ряду непрерывной дроби фактически решается вопрос о нахождении производящей функции для тригонометрического ряда, тем самым, в значительной части, решается вопрос о суммировании расходящихся тригонометрических рядов. Кроме того, представление тригонометрического ряда непрерывной дробью позволяет установить, используя r/ip-алгоритмы, комплексные значения расходящихся
тригонометрических рядов с вещественными элементами. Можно также добавить, что если по медленно сходящимся тригонометрическим рядам построить непрерывные дроби, то получим существенное - на порядки - ускорение сходимости тригонометрических рядов.
Список литературы / References
1. Шмойлов В.И. Непрерывные дроби. В 3 т. Том 3. Из истории непрерывных дробей. Нац. акад. наук Украины, Ин-т приклад. проблем механики и математики. Львов, 2004. 520 с.
2. Толстов Г.П. Ряды Фурье. М.: Наука, 1980. 384 с.
3. Хемминг Р.В. Численные методы для научных работников и инженеров М.: Физматгиз. 1980. 464 с.
4. Бари Н.К. Тригонометрические ряды М.: Физматгиз, 1961. 938 с.
5. Шмойлов В.И. Соответствующие цепные дроби - Препринт 75-19. Изд-во АН Украины, Киев, 1975. 37 с.
6. Шмойлов В.И., Слобода М. З. Расходящиеся непрерывные дроби.- Львов: Меркатор, 1999. 820 с.
7. Шмойлов В.И. Алгоритмы суммирования бесконечных комплексных последовательностей. // Вестник науки и образования. № 14(68). Часть 1. 2019. С. 5-19.
8. Шмойлов В.И. Непрерывные дроби. В 3 т. Том 2. Расходящиеся непрерывные дроби. Нац. акад. наук Украины, Ин-т приклад. проблем механики и математики. Львов, 2004. 558 с.
9. Шмойлов В.И. Суммирование расходящихся цепных дробей. Львов: ИППММ НАН Украины, 1997. 23 с.
10. Шмойлов В.И. Непрерывные дроби и г/ алгоритм. Таганрог: Изд-во ТТИ ЮФУ, 2012. 608 с.
11. Шмойлов В.И. Непрерывные дроби. В 3 т. Том 1. Периодические непрерывные дроби. Нац. акад. наук Украины, Ин-т приклад. проблем механики и математики. Львов, 2004. 645 с.
12. Кириченко Г.А., Шмойлов В.И. Алгоритм суммирования расходящихся непрерывных дробей и некоторые его применения. // Журнал вычислительной математики и математической физики, 2015, Т. 55, № 4, С. 559-572.
13. Гузик В.Ф., Ляпунцова Е.В., Шмойлов В.И. Непрерывные дроби и их применение. М.: Физматлит, 2015. 298 с.
14. Шмойлов В.И., Коровин Я.С. Решение систем линейных алгебраических уравнений непрерывными дробями. Ростов-на-Дону: Изд-во ЮФУ, 2017. 383 с.
15. Козлов В.В. Об одной формуле суммирования расходящихся непрерывных дробей. // Докл. РАН, Том 474, Номер 4, 2017, С. 410 - 412.
16. Шмойлов В. И., Коровин Я.С. Непрерывные дроби. Библиографический указатель. Ростов-на-Дону: Изд-во ЮФУ, 2017. 382 с.
17. Шмойлов В.И., Инверсные непрерывные дроби. // Вестник науки и образования. №13(67). Часть 1. 2019. С. 5-20.
18. Шмойлов В.И. Алгоритмы определения значений бесконечных последовательностей. // Вестник науки и образования, №16 (51). Часть 1.2018. С. 10-24.
19. Шмойлов В.И., Коровин Я.С. Иванов Д.Я. Непрерывные дроби и суммирование рядов. Ростов-на-Дону: Изд-во ЮФУ, 2018. 524 с.
20. Шмойлов В.И., Коровин Я.С. Определение значений бесконечных комплексных последовательностей. // Вестник науки и образования. №4 (58). Часть 1. 2019. С. 10-23.
21. Шмойлов В.И., Коровин Я.С., Иванов Д.Я. О первом замечательном пределе для эллиптических чисел. // Вестник науки и образования. №2(56). Часть 1. 2019. С. 6-21.
22. РутисхаузерГ. Алгоритмы частных и разностей. М.: ИИЛ, 1960. 93 с.
ЭЛЕКТРОДИНАМИКА - ТЕОРИЯ ЧАСТНАЯ Лялин А.В. Email: Lyalin669@scientifictext.ru
Лялин Алексей Васильевич — пенсионер, г. Щекино, Тульская область
Аннотация: показано, что теория электродинамики не полная. С введением в теорию электродинамики энергию стороннего действия на системы электрических и магнитных вихревых полей теоретически вычисляются массы протона, электрона, нейтрона. Показано, что «Реликтовое» излучение происходит при образовании электронов. Выясняется значение Постоянной Тонкой Структуры. Показано существование «Темной» энергии и материи. Пересмотрен корпускулярно-волновой дуализм объекта. Исправлена теория фотоэффекта. Ключевые слова: вихревые поля, энергия стабилизации вихревых полей.
ELECTRODYNAMICS - THE THEORY OF PRIVATE Lyalin А-V.
Lyalin Aleksey Vasilyevich — Retiree,
SCHEKINO, TULA REGION
Abstract: it is shown that the theory of electrodynamics is not complete. With the introduction of the theory of electrodynamics, the energy of a third-party action on the system of electric and magnetic vortex fields, the masses of the proton, electron, neutron are theoretically calculated. It is shown that the "Relic" radiation occurs in the formation of electrons. It turns out the value of the Fine Structure Constant. The existence of "Dark" energy and matter is shown. The wave-particle duality of the object is revised. The corrected theory of the photoelectric effect.
Keywords: vortex field.
Energy of stabilization of vortex fields.
Процесс взаимодействия двух объектов мы рассматриваем как процесс воздействия одного объекта на другой.
Экспериментально и теоретически в открытом супругами Жолио-Кюри и др. превращении фотона в пару друг от друга удаляющихся с кинетической энергией частиц не показано стороннего действия на фотон. Если движущийся (миллиарды световых лет) фотон не встретит на своем пути стороннего воздействия (прибор наблюдателя), то так и будет продолжать движение без изменений. Причиной образования от фотона стабильных частиц (протонов, электронов) является стороннее воздействие на фотон.
В предлагаемой теории учитывается энергия стороннего воздействия на фотон, как на систему из магнитного и электрического полей:
Бс = БS + Бп С1)
Где Б - полная энергия системы, Ss - энергия фотона, Б - энергия стороннего воздействия.
Выразим энергию Бп соотношением: Бп = Бс~п = БсР2, где обозначим = R2.
Бс Бс
Теперь энергия фотона имеет вид: Бв = бс(1 — f2 )=б с (Л , где для краткости формул (л={и — f2 ) , и равенство (1)
запишется в виде
Бс = БсР2 +Бс Л)2
