Суммирование тригонометрических рядов непрерывными дробями Текст научной статьи по специальности «Математика»

СУММИРОВАНИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ РЯДОВ НЕПРЕРЫВНЫМИ ДРОБЯМИ Шмойлов В.И.1, Коровин Я.С.2, Кириченко Г.А.3 Em ail: Shmoylov672@scientifictext.ru

'Шмойлов Владимир Ильич — старший научный сотрудник;

2Коровин Яков Сергеевич — ведущий научный сотрудник, НИИ многопроцессорных вычислительных систем;

3Кириченко Геннадий Анатольевич - научный сотрудник, Институт компьютерных технологий и информационной безопасности, Южный федеральный университет, г. Таганрог

Аннотация: излагается способ суммирования тригонометрических рядов через построение так называемых суммирующих непрерывных дробей. Если тригонометрический ряд сходится, то преобразование в непрерывные дроби позволяет во многих случаях добиться существенного ускорения сходимости тригонометрического ряда. Если тригонометрический ряд расходится в классическом смысле, т.е. частичные суммы не имеют предела, то трансформация расходящегося ряда в суммирующую непрерывную дробь даёт возможность установить значение производящей функции, порождающей этот ряд, т.е. найти значение расходящегося ряда. Расходящиеся тригонометрические ряды с вещественными элементами могут иметь комплексные значения, которые также определяются суммирующими непрерывными дробями. Приводятся результаты суммирования расходящихся тригонометрических рядов. Ключевые слова: суммирование расходящихся тригонометрических рядов, непрерывные дроби, r/ф-алгоритм, r/ф ^-алгоритм.

SUMMATION OF TRIGONOMETRIC SERIES BY CONTINUOUS

FRACTIONS Shmoylov V.I.1, Korovin Ya.S.2, Kirichenko G.A.3

'Shmoilov Vladimir Ilyich — Senior Researcher; 2Korovin Yakov Sergeevich — Leading Researcher, RESEARCH INSTITUTE OF MULTIPROCESSOR COMPUTING SYSTEMS;

3Kirichenko Gennadiy Anatolevich - Researcher, INSTITUTE OF COMPUTER TECHNOLOGIES AND INFORMATION SECURITY, SOUTHERN FEDERAL UNIVERSITY, TAGANROG

Abstract: a method of summing trigonometric series through the construction of so-called summing continuous fractions is described. If the trigonometric series converges, the transformation into continuous fractions allows in many cases to achieve a significant acceleration of the convergence of the trigonometric series. If the trigonometric series diverges in the classical sense, i.e. partial sums have no limit, then the transformation of the divergent series into a summing continuous fraction makes it possible to establish the value of the generating function that generates this series, i.e. find the value of the divergent series. Divergent trigonometric series with real elements can have complex values, which are also determined by summing continuous fractions. The results of summation of divergent trigonometric series are presented.

Keywords: sums of divergent trigonometric series, continuous fractions, г/ф-algorithm, r/p(z)-algorithm.

УДК 517.524

Введение

Если ряд сходится к функции, то функция может определяться, как предел частичных сумм этого ряда. В случае, когда ряд расходящийся, следует изыскать операцию, которая позволила бы найти функцию по её ряду. Такие операции называют суммированием рядов [1].

Известно большое число методов суммирования тригонометрических рядов. В фундаментальной монографии Н.К. Бари «Тригонометрические ряды», объёмом без малого в тысячу страниц [2], рассматриваются методы суммирования Абеля-Пуассона, Римана, Фейера, Лебега, Бернштейна-Рогозинского и другие. В статье предлагается для суммирования

тригонометрических рядов использовать метод непрерывных дробей. Алгоритм преобразования тригонометрических рядов в непрерывные дроби является развитием алгоритма, опубликованного в работе [3].

1. Суммирование рядов, включающих комплексные экспоненты Определим суммирование ряда экспонент через непрерывные дроби: Значение ряда экспонент

с0 + схер + е2е'2р + с3е13р +... + спв1П(р +... (1)

устанавливается значением суммирующей непрерывной дроби

<о +

<е1р со2е1р <аъе1р

®2пе'Р <2п+1еР

1 - 1 + 1 "... - 1

+

1 "...

(2)

коэффициенты ы2п и ш2п+1 которой и коэффициенты сп ряда (1) связаны формулами Хейлерманна-Стилтьеса:

<0 = с0.

Рп-1 Уп+1

<1 =

Рп ■¥„

где (п и трп — определители Ганкеля:

Р„+1 •¥„ Рп -¥п+1

(3)

Рп =

с

с

с„

-П+1

Уп =

-П+1

Ро = 1 У = 1

Таким образом, мы отождествляем непрерывную дробь (2) и производящую функцию ряда (1), которая может быть получена «свёрткой» непрерывной дроби. Следовательно, полагаем, что значение ряда (1), который может быть как сходящимся, так и расходящимся, определяется значением непрерывной дроби (2), являющейся для ряда производящей функцией. Такой подход к суммированию, т.е. к определению значений рядов, представляются вполне естественным.

В [4] дано определение сходимости непрерывной дроби с комплексными элементами:

Непрерывная дробь с комплексными элементами сходится и имеет своим значением комплексное число г0 = г0е1а°, если существуют пределы:

Г0 = ^ п П ГП .

пV п=1

| а01= 1т

|а11 + |а21 +.. + |ап 1

(4)

(5)

п^ад п

где гп— значение модуля п-й комплексной подходящей дроби, | ап | — абсолютная величина аргумента п-й комплексной подходящей дроби. Формулы суммирования (5) и (6) в [4] названы г/(р{г)-алгоритмом.

В качестве примера просуммируем, т.е. найдём значение, расходящегося ряда комплексных

экспонент

1 • е1р — 1-е12р +1-3е12р -1-3 • 5е14р +1 • 3 • 5 • 7е15р -...

,12р

14р

15р

(6)

при фиксированном значении аргумента р через построение производящей функции этого ряда. Используя рекуррентный алгоритм Рутисхаузера [5], определим коэффициенты соответствующей ряду (6) непрерывной дроби:

1 • е1р - 1 • е12р +1 • 3е12р — 1 • 3 • 5е14р +1 • 3 • 5 • 7е15р —... = (7)

с2 с3

с

с

с

с

с

с

2п-1

2п-2

п

п

п

в1(р в1(р 2в1(р 3в,1р 4е11р пв,1р

1 + 1 + 1 + 1 + 1 +...+ 1 +...

В табл. 1 приведены результаты вычислений значений непрерывной дроби (7) с комплексными частными числителями при <р = ж- 0,0001.

Таблица 1. Определение значения непрерывной дроби

i(ж-0,0001) г(ж-0,0001) ^ г(ж-0,0001) о г(ж-0,0001) „,,1'(ж-0,0001) е е пе /о» - - - - - (8)

+ 1 + 1 + 1 +...+ 1 +...

1

Номер подходящих дробей, п Метод подходящих дробей г / р ( х ) -алгоритм

Значения модуля, гп Значения аргумента, ап Значения модуля, г(п) '0 Значения О) аргумента,

1 1 3.141492653589 1 3.141492653589

2 10000.00000413 1.570746326794 100.0000000206 2.356119490192

4 1.999999973125 3.141367653591 9.999999983064 2.748762321891

8 0.909090910010 3.141420380863 1.035876573493 2.356154399551

16 0.255298452388 0.001302293733 1.026135060377 2.356191482013

32 1.232969861741 3.141279888095 1.054792823441 2.453885967449

64 5.097138252606 3.139465236468 1.187923575076 2.307894421363

128 2.897387277311 3.140147835752 1.137725010702 2.332114585812

4096 1.076239878333 0.014801070847 1.044801899793 2.331399270435

8192 1.238407700194 3.137486909829 1.046926661238 2.335454060031

16384 1.513220111597 3.134851983282 1.050679745163 2.336821582622

32768 2.633386758333 3.122426326619 1.053148947441 2.332278172418

65536 17.82941575247 0.330145028227 1.049992034005 2.330223341240

Из второй и третьей колонок табл. 1 следует, что непосредственное вычисление подходящих непрерывной дроби (8) с комплексными частными числителями не приводит к результату, - установить значение непрерывной дроби (8) не удаётся. Если для определения значения непрерывной дроби (8) использовать г/ф(2)-шгоритш, т.е. формулы (4) и (5), то можно записать:

2,е1'(ж-0,0001) г2(ж-0,0001) 3(ж-°,0001) г4(ж-0,°0°1) _

= е- е- -- -- = 1 049992 е12'330223" (У)

1 + 1 + 1 + 1 +...

В [6] иным способом, а именно, г/ф-алгоритмом, было установлено комплексное значение непрерывной дроби с вещественными частными числителями:

Лж г\ Лж ^ Лж Лж 1 г\

К = 1 + 2е- 3е- ^ = 1 -1 23 П = 0.952092.. е'°-80928^-. (10)

1 1 + 1 + 1 +...+ 1 +... 1-1 -1 -...-1 -... 4 '

Определим значение дроби е1п / 1ж Л 13.141592.

е - 1е = 1,050318... е2,332364

К 0,952092...е

¿0,809228..

Таким образом, вычисляя непрерывные дроби (9) и (10) различными алгоритмами, т.е. г/ф (^-алгоритмом и г/ф-алгоритмом, получим близкие результаты, что является подтверждением корректности этих алгоритмов. В [6] приведена такая цепочка выражений: 1 +1 +13 +1 • 3 • 5 +1 • 3 • 5 • 7 +1 • 3 • 5 • 7 • 9 +... =

1 1 2 3 4 п _

= 1 -1 -1-Т-1-...-Т-... =

1 — I 1 1 I ■ I Л 1 \ ,10,809228!..

= /. —Г| -,— l = i —erfc\ -= 1 = 1,050318..e ' 2e ^ 2 2 ) \2e ^v 2 )

2. Суммирование тригонометрических рядов непрерывными дробями 2.1. Суммирование тригонометрических рядов, включающих косинусы кратных углов

Имеется тригонометрический ряд:

С0 + qCOSp + C2COs2p + ... +Cn COS np + ... . (11)

Ряд (11) запишем следующим образом:

1 (c,e 2V 1

... +cxe~i(p + c2e~i2cp + ce -3р + ... +cne~'ncp+ ...)

Тригонометрический ряд (11), таким образом, заменён двумя степенными рядами от мнимых аргументов. Тригонометрический ряд (11) может быть представлен суммой двух непрерывных дробей:

c0 + c cosp+c2 cos2p+ ... +c cosnp + ... =

c0 + - (c1eip + c2ei2<p + c3en<p + ... +cnein<p +

= ®0 +■

1 ( aleip a2eip a3eip

2 ^ 1 - 1 + 1 - ... - 1 + 1 - ... (12)

1 - 1 + 1 - ... - 1 + 1 Запишем п-ю подходящую дробь первой непрерывной дроби, входящей в выражение (12):

Фпв

P(1) aeip aeip aeip т eip

- = re

n

0п 1 - 1 + 1 - ...± 1

Аналогично, запишем п-ю подходящую второй непрерывной дроби (12): Рп(2) о1е~1р <о2е-1р <3е-1р опе-1р . .

=—Л--~л--:---= Гпе п = Гп С0*ап - 1Гп *Шап.

Оп 1 - 1 + 1 - ...± 1 Подходящими дробями Рп/((п выражения (12), без учёта свободного члена ы0, будут суммы подходящих Р^1 2 /((п и Р„22 /(п, умноженные на 1/2:

Р 1 (Р (1) Р (2) ^

» 1 n \ п

Qn Qn

Qn 2

= Re(r,eian) = rn COS«n

Таким образом, подходящими дробями суммы непрерывных дробей (12) будут действительные части комплексных чисел, являющихся значениями подходящих непрерывных дробей, входящих в это выражение.

Если рассматривать сходимость непрерывной дроби (12) в классическом смысле, то эта непрерывная дробь сходится, если существует предел значений подходящих дробей:

P

lim-n = lim(r„ cosan) = к. (13)

Q n^w

Однако, заключение о сходимости непрерывных дробей по существованию предела значений подходящих дробей (13), т.е. рассмотрение сходимости в классическом смысле, зачастую приводит к неверному выводу. Непрерывная дробь с вещественными элементами может иметь и комплексный предел подходящих дробей, т.е. иметь комплексное значение.

+

В [7] было предложено иное, нежели традиционное [8], определение сходимости непрерывных дробей:

Непрерывная дробь с вещественными элементами сходится и имеет своим значением в общем случае комплексное число г = г0е1 'Ро, если существуют пределы

lim n П|P /Qn\ =

r

i=1

kr,

(14)

(15)

и lim — = \p0\,

n->CO Yl

где Рп/Qп - значение n-й подходящей дроби,

kn - число отрицательных подходящих дробей из совокупности, включающей n подходящих дробей.

Определенная таким образом сходимость непрерывных дробей в [7] была названа r/v сходимостью. Этот способ выходит за рамки традиционных методов суммирования, ибо предполагает, что непрерывные дроби с вещественными элементами могут иметь как вещественные, так и комплексные значения. Признаком комплексности расходящейся непрерывной дроби с вещественными элементами служат перемены знаков ее подходящих дробей, причем, эти перемены знаков происходят сколь угодно много раз. Модуль r0 и аргумент р0 комплексного числа могут быть определены так называемым r/(р-алгоритмом [9], т. е. формулами (14) и (15).

Предложенный г/р-алгоритм даёт возможность устанавливать значения расходящихся в классическом смысле непрерывных дробей, а также решать множество других задач [10-17].

Как и в рассмотренном выше случае ряда экспонент, определим суммирование тригонометрических рядов через непрерывные дроби:

Значение тригонометрического ряда (11), включающего косинусы кратных углов, определяется значением суммирующей этот ряд непрерывной дроби (12).

Коэффициенты ш2п и ш2п+i непрерывной дроби (12) и коэффициенты сп ряда (11) связаны формулами Хейлерманна-Стилтьеса. Подходящие непрерывной дроби (12), т.е. Рп/Qn, при п — оо являются производящей функцией ряда (11).

Используя приведенный выше г/р-алгоритм, описываемый формулами (14) и (15), определим критерий сходимости непрерывной дроби (12), суммирующей ряд (11):

Непрерывная дробь

1

со0 + -0 2

(

ce

iV

с e

iV

oiV

iV

C2n C2u+ie

ce

v

-iV

1 - 1 + 1 -...- 1 +

с e

-iv

с e

-iv

с

-iV

с

e

1 -...

iV ^

+

1 - 1

1 -...- 1

/

суммирующая тригонометрический ряд

С° + с1 СОБ^ + с2 соб2^ + с3 0083^ + ... + сп СОЪПф + ...

сходится и имеет своим значением в общем случае комплексное число , если существуют пределы

lim n П1 Pn /Qn\ =

r

n=1

k„

(16)

(17)

(18)

(19)

71 lim — = \a0\,

n-> CO fl

где Рп/Qп— действительная часть n-й комплексной подходящей дроби, kn - число элементов гпсоБап, имеющих отрицательных значения из совокупности, включающей n элементов гп с о s ап.

Если аргумент а0 комплексного числа z 0 = г0е1 а°, которое по определению принимается за значение непрерывной дроби, имеет значения нуль или п, то такая непрерывная дробь сходится в классическом смысле.

Алгоритм суммирования тригонометрических рядов, включающих косинусы кратных аргументов, описываемый формулами (18) и (19), в [18] обозначен как / р-алгоритм.

n

+

1

+

+

2.2. Суммирование тригонометрических рядов, включающих синусы кратных углов

Определим суммирование тригонометрических рядов, включающего синусы кратных углов, через непрерывные дроби:

Значение тригонометрического ряда, включающего синусы кратных углов

Ь sin р + Ъ2 sin 2р +... + Ъп sinnp + ..., (20)

определяется значением суммирующей этот ряд непрерывной дроби:

Ъ sin р + Ъ2 sin 2р +... + Ъп sin np +... =

JP

1 ( ip ip axe p rn2e p co3e'p ip ®2nP ^

2i 1 - 1 V + 1 -. .- 1 +

wle ~ip w2e -ip -ip ffl3e p -ip ®2n P ®

1 - 1 + 1 -... - 1 +

1

1

(21)

«свёртка» которой, т.е. Рп/(п, при п— со, является производящей тригонометрический ряд (20) функцией.

Коэффициенты звеньев ш2 п и ш2 п+1 непрерывной дроби (21) также могут быть определены через коэффициенты Ьп исходного тригонометрического ряда (20) при помощи формул Хейлерманна-Стилтьеса или рекуррентного алгоритма Рутисхаузера.

Подходящими дробями Рп/((п выражения (21) будут разности подходящих Р^ 12 / ((п и Рп2 2 / (п, умноженные на 1/2 V.

PL = 1

Qn 2i

( р (1) p (2) ^ pn pn

Qn Qn

= \m{rn¿p-) = rn sin Pn.

Таким образом, подходящими дробями разности непрерывных дробей (21) будут коэффициенты при мнимой единице комплексных чисел, являющихся значениями подходящих дробей, входящих в выражение (21).

Если рассматривать сходимость непрерывной дроби (21) в классическом смысле, то непрерывная дробь (21) сходится, если существует предел подходящих дробей: Р

Ит-п = Ит(гл вт /Зп) = Г.

и^-ад ( и^-ад

Выше уже отмечалось, что сходимость непрерывных дробей с вещественными элементами следует, во избежание неверных заключений, определять иначе, чем при традиционном определении, когда сходимость устанавливается существованием предела значений подходящих дробей.

Используя приведённый г/р-алгоритм, описываемый формулами (14) и (15), установим критерий сходимости непрерывный дроби (21), определяющей значение тригонометрического ряда (20), включающего синусы кратных углов:

Непрерывная дробь (21), суммирующая тригонометрический ряд (20), включающий синусы кратных углов, сходится и имеет своим значением в общем случае комплексное число г0 = г0е1Р°, если существуют пределы:

Ктп ПР /(и| = г„, (22)

I п=1

к

жЪт кп =\р0\, (23)

и^ад п

где Рп/( п - значение коэффициентов при мнимой единице п-й комплексной подходящей дроби.

кп- количество элементов гпБтрп, имеющих отрицательные значения из совокупности, включающей п элементов гпБЫрп.

Таким образом, если при определении значения непрерывной дроби (21), суммирующей тригонометрический ряд (20), окажется, что аргумент [>0 отличен от нуля или числа л, то тригонометрический ряд (20) с вещественными коэффициентами имеет комплексное значение.

Алгоритм суммирования тригонометрических рядов, включающих синусы кратных аргументов, описываемый формулами (22) и (23), в [18] обозначен как г^1т2 / р-алгоритм.

e

2.3. Суммирование непрерывными дробями тригонометрических рядов общего вида

Имеется тригонометрический ряд общего вида:

2

+ Хап cosn* + bn sinn*. (24)

Используя формулы Эйлера, запишем ряд (24) следующим образом:

а„ ( е'" + е( еа" + е-( е'п" + е~'п") ,( е'" - е~'"Л ,( в'19 - е~л"\ ,( в""*- е~'п")

2 1+...+' Г'21 2" 1+...+'1 2 |+...=

= а0 +1 (axeiф + а2в12ф +... + апв1 пф +... + а^* + a2e-2ф +... + ane- пф +...)+

2 2

+2 (v + ^+...+ bne'-+...++^ *+...+bne4"+..} (25)

Ряды (25) можно разложить в соответствующие непрерывные дроби. Определим значение тригонометрического ряда (24):

Значение тригонометрического ряда общего вида (24) определяется значением суммы непрерывных дробей:

а х

— + ^an cosn* + bn sinn* =

2 n=l

' 2 2

i* i* i* i* * -* -* »¡e * а>2е * o>3er ®2n ®2n+e а * а>2е *

l - l + l -...- l + l -...+ l - l + l -...- l + l -...

+ —

l г ае * а ei * ае* а* а n+e * ge-* а е-* ае-* a2n~* а^* ] (26) 2i |v l - l + l -...- l + l -...- l - l + l -...- l + l - ...J

Коэффициенты ш1 и ш'\ непрерывных дробей (26) определяются, соответственно, через коэффициенты ап и Ьп ряда (24) при помощи формул Хейлерманна-Стилтьеса или алгоритма Рутисхаузера.

Тригонометрический ряд общего вида (26) можно рассматривать как сумму рядов, включающих косинусы и синусы кратных углов, алгоритмы суммирования которых были рассмотрены выше в пунктах 2.1 и 2.2.

Обычно тригонометрический ряд

а ш

— + ^an cosn*+ bn sinn*

2 n=l

представляют в комплексной форме следующим образом. Так как

e* + e~* e* - e

cos* =-, sin* =-,

2 2i

то ряд записывают в виде:

xf J n* ,0-i n* - i n* in*\

a0 ! ^ 2 n=l Обозначая

e * + e e — e

a,„--+ ib„

v n 2 n 2

a0 ^ _an - ibn „ _an + ibn

Со " 2 ' Сп " 2 ' С-п " 2 ' получим ряд

п =ю

Е Спв"". (27)

п=-ю

Суммирование рядов, включающих комплексные экспоненты, было рассмотрено в первом параграфе.

n

-i*

а,e

(ae*

e

2n+le

+

3. Построение последовательностей подходящих непрерывных дробей с комплексными элементами

Рассмотрим вычисление подходящих непрерывной дроби с комплексными частными числителями общего вида. Можно записать:

^ = 1 + У й ae Й2

an-2e

an-1е

йп-,

ойп

Qn

1 + 1 +...+

Й1

a-,e

Й2

an-2e

ап-1е

1 + 1

йп-1

=1+он----

1 + 1 +... + 1 + гп_хе1

Модуль r комплексного числа z = х + iy определяются формулой

г = Jх2 + y2. Аргумент числа z = х + iy устанавливается следующим образом: y

arctg—, х > 0; х

arg z =

ж + arctg —, х < 0, y > 0; х

y

— ж + arctg—, х < 0, y < 0; х

х = 0, y > 0; Продолжая вычисления, получим:

h^ an—T¿_

ж 2'

х = 0, y < 0.

Qn

1 + 1 +...+

1

■=1+

ae

Щ

^e

Й2

+ re

n-1

1 + 1 +...+ rn-2e1'

Чтобы найти комплексное число гп_2еШп-2, надо выполнить операции деления модулей и вычитания аргументов комплексных чисел ап_ 1е1<Рп-1 и гп_ 1е1а"-1, и привести запись комплексного числа в показательной форме:

a

n-1

= r' 2, й-1 -an-1 = <-2' 1 + rn'-2 COS«^-2 + 1r'n-2 SÍn 2 = rn

n- 2

n-1

При вычислении следующего звена непрерывной дроби выполняются аналогичные операции. Процесс повторяется, пока не будет вычислена вся непрерывная дробь, содержащая п комплексных звеньев, т.е. не установлено комплексное значение подходящей дроби Рп/(п.

Чтобы упростить программу определения значения непрерывной дроби с комплексными частными числителями, следует единицу в знаменателе последнего звена подходящей дроби представить в «общем виде», как 1 е10.

Здесь следует остановиться на вычислительном аспекте. Дело в том, что определение значений подходящих непрерывных дробей с вещественными и комплексными элементами требуют существенно разных затрат. Если для вычисления одного звена вещественной непрерывной дроби необходимо выполнения всего двух арифметических операций, - деления и сложения, то при вычислении одного звена, имеющего комплексные элементы, требуется 13 операций, причём, среди этих 13 операций четыре операции связаны с вычислением значений элементарных функций, а именно, - с определением значений косинуса, синуса, арктангенса, а также квадратного корня [19]. Вычисление значений элементарных функций требует выполнения множества арифметических операций.

4. Экспериментальная проверка алгоритмов суммирования расходящихся тригонометрических рядов

Рассмотрим расходящийся тригонометрический ряд, содержащий косинусы кратных углов:

008^-1-0082^ + 1-3со83<^-1-3-5со84^ + 1-3• 5• 7со85<^-.... (28)

Значение ряда (28) при р =п/1 2 можно определить следующим образом:

1

+

Йп-1

й,- 2

an-1e

an-2e

ж ж ж ж ж

С08--0082 — +1 • 3 соб3--1- 3 • 5СОБ4— +1- 3 • 5 • 7СОБ5--...=

12 12 12 12 12

= Яе

(„"ж/12 1ж/12 г, "ж/12 о „"ж/12 л 1ж/12

е е 2 • е 3 • е 4 • е

пе

ж 12

1 + 1 + 1

1

1

+...+

1

+...

В табл. 2 приведены результаты определения значения тригонометрического ряда (28) при р = и/ 1 2 через нахождение действительной части комплексного числа гпе1 которое является значением суммирующей ряд непрерывной дроби.

Таблица 2. Определение значения ряда (28) при р = и/12

Яе

С в™1 и в"1 и

2е

"ж/12

3е

"ж/12

пе

ж/12

Л

1 + 1

+

+

+...+

+...

(30)

+

+

1

1

1

Номер подходящих дробей, п Метод подходящих дробей Значения подходящих, Рп / Qn = Гп С08ап г / р-алгоритм

Значения модуля, гп Значения аргумента, ап Значения О) модуля, Значения аргумента, (п) «0

1 1 0.261799387799 0.965925826289 0.965925826289 0

2 0.504314480290 0.130899693899 0.5 0.694955331762 0

4 0.604573266079 0.166012709289 0.596261296388 0.676577034017 0

8 0.647355238175 0.189477984061 0.635769319935 0.662100876361 0

16 0.656701308981 0.198151753403 0.643851039224 0.653423507017 0

32 0.657502180590 0.199550669732 0.644454541000 0.648933454224 0

64 0.657515742186 0.199622211435 0.644458507178 0.646692010061 0

128 0.657515583938 0.199622912840 0.644458260620 0.645574167955 0

256 0.657515583289 0.199622913232 0.644458259933 0.645015972621 0

512 0.657515583289 0.199622913289 0.644458259952 0.645015972621 0

Из колонки 4 табл. 2 следует, что значение тригонометрического ряда (28) при р = и/12 вещественное и равно 0,64445825995... . Также можно отметить высокую скорость сходимости непрерывной дроби (30), суммирующей ряд (28) при р = и/12 .

В табл. 3 приведены результаты определения значения тригонометрического ряда (28) при .

Яе

/^¿11ж/12

Таблица 3. Определение значений ряда (28) при р = 11и /12

Л1ж/12

е

2е

'11ж/12

3е

'11ж/12

пе

Л1ж/12

Л

+

+

+

+...+

+...

(31)

1

1

1

1

1

Номер подходящих дробей, п Метод подходящих дробей Значения подходящих, Рп /Qn = Гп С08ап г / р-алгоритм

Значения модуля, Значения аргумента, Значения О) модуля, гп Значения О) аргумента, ап

1 1 2.879793265790 -0.96592582628 0.965925826289 3.141592653589

2 3.830648787770 1.439896632895 0.499999999999 0.694955331762 1.570796326794

4 1.839015243011 2.577998350188 -1.55459387730 0.775887993787 2.356194490192

8 0.913706679191 2.701209923752 -0.82652862492 0.532255780107 2.356194490192

16 0.582615638290 1.636386142658 -0.03818625898 0.450130476851 2.552544031041

32 1.116352887027 2.428307081004 -0.84420407046 0.424909209936 2.748893571891

64 1.149880302937 2.045288986368 -0.52536560826 0.449653341154 2.945243112740

2048 0.964943491243 2.152893184197 -0.53050342285 0.527506256277 3.135456730438

4096 0.964950180221 2.152902703945 -0.53051477351 0.529008413246 3.138524692014

8192 0.964950259093 2.152902738950 -0.53051484509 0.529761093706 3.140058672801

16384 0.964950259016 2.152902738987 -0.53051484508 0.530137835433 3.140825663195

32768 0.964950259016 2.152902738987 -0.53051484508 0.530326306755 3.141209158392

Из колонки 4 табл. 3 видно, что значение тригонометрического ряда (28) при р = 11 и/12 также вещественно, но имеет отрицательное значение: - 0,53051484508....

В табл. 4 и табл. 5 приведены значения тригонометрического ряда (28) при различных аргументах ф. Во вторых колонках табл. 4 и табл. 5 указано число звеньев суммирующих непрерывных дробей, необходимое для определения значения расходящегося ряда (28) с 12-ю десятичными разрядами в зависимости от аргументов ф.

Таблица 4. Определение значений ряда (28) при р = ~,п = ^ 1,2,- ■ ■, 11 ■

Re

( eicp

e + 1

2eiv 3e

i v

ne

iv

\

+ 1 + 1 +...+ 1 +...

(32)

1

Значения аргумента, <р = пк/12 Количество подходящих дробей, п Значения модуля, г Значения аргумента, а Значения ряда, Re( reia) = r cosa

ф = 0 226 0,655679542418 0 0,655679542418

ф = ж/12 234 0,657515583289 0,199622913232 0,644458259933

ф = 2жИ2 242 0,663078695426 0,399142668427 0,610957073710

ф = 3ж/12 258 0,672537522968 0,598444846264 0,555659057748

ф = 4ж/12 291 0,686185733764 0,797391072574 0,479352793294

ф = 5п112 359 0,704462124487 0,995803278745 0,383106902157

ф = бж/12 468 0,727981234956 1,193442940607 0,268232953384

ф = 7ж/12 524 0,757576962193 1,389982801626 0,136234986097

ф = 8^/12 911 0,794362184762 1,584968006293 -0,01125706947

ф = 9^/12 1723 0,839807246191 1,777763201272 -0,17257405271

ф = 10^/12 3617 0,895838235045 1,967482629141 -0,34611972645

ф = 11л/12 10596 0,964950259093 2,152902738950 -0,53051484506

Таблица 5. Определение значения ряда (28) при р = —,п = 13,14,..., 2 4 ■ .

Re

f eiv

sv

e1v 2e 1 + 1 + 1

iv 3eiv +

ne

iv

\

1 +...+ 1 +...

(33)

Значения аргумента, <р = пк/12 Количество подходящих дробей, п Значения модуля, г Значения аргумента, а Значения ряда, Re( reia) = r cosa

ф = 13^/12 10596 0.96495025909 -2.15290273895 -0.53051484501

ф = 14^/12 3617 0.89583823504 -1.96748262914 -0.34611972640

ф = 15Я-/12 1723 0.839807246191 -1.77776320127 -0.17257405271

ф =16^/12 911 0.79436218476 -1.58496800629 -0.01125706947

ф = 17Я-/12 524 0.757576962191 -1.38998280162 0.136234986097

ф = 18^/12 468 0.727981234956 -1.19344294060 0.268232953384

ф = 19^/12 359 0.704462124487 -0.99580327874 0.383106902157

ф = 20^/12 291 0.686185733764 -0.79739107257 0.479352793294

ф = 21^/12 258 0.672537522969 -0.59844484626 0.555659057748

ф = 22^/12 242 0.663078695426 -0.39914266842 0.610957073710

ф = 23^/12 234 0.657515583289 -0.19962291323 0.644458259933

ф = 24^/12 226 0.655679542418 0 0.655679542418

На рис. 1 показана зависимость значений тригонометрического ряда (28) от аргумента ф. Значения расходящихся тригонометрических рядов (28) установлены с использованием суммирующих непрерывных дробей.

Рис. 1. Зависимость значения ряда (28) от аргумента "

Из второй колонке табл. 4 и табл. 5 видно, что скорость сходимости непрерывных дробей с комплексными элементами снижается при приближении аргумента " к ж Чтобы вычислить модуль и аргумент комплексного числа, которое является значением ряда (28) при р = с двенадцатью десятичными знаками, необходимо иметь непрерывную дробь с 10596 звеньями.

Известно, что непрерывная дробь (34) имеет комплексное значение [20]:

11 2 3 4 п = 1,050317... g"0.809119... (34)

1 -1 -1 -1 - 1 -...- 1 -...

Комплексное значение непрерывной дроби (34) с вещественными элементами было установлено с использованием г/"-алгоритма, т.е. формул (14) и (15). Естественно предположить, что при аргументах ", близких к ж, непрерывные дроби, суммирующие ряд (28), также будут иметь комплексные значения.

В табл. 6 приведены результаты определения значения тригонометрического ряда (28) при р = и — 0,000 1 вычислением «действительной части» непрерывной дроби (35) с комплексными элементами. При суммировании расходящейся в классическом смысле непрерывной дроби (35) использовался -алгоритм, описываемый формулами (18) и (19).

Яе

Таблица 6. Определение значения ряда (28) при р = и — 0,0001. (е"(ж-0,0001) е"(ж-0,000Т) 2е'(ж-0,0001) 2е'(ж-0,000Т) пеКж-0,0001) \

+ 1 + 1 + 1 +...+ 1 +...,

(35)

1

Номер подходящих дробей, п Метод подходящих дробей Значения подходящих, Рп /Qn = Гп С08ап г (-11е) / р-алгоритм

Значения модуля, Значения аргумента, Значения (п) модуля, гп Значения (п) аргумента, ап

1 1 3.141492653589 -0.99999999512 0.99999999512 3.141592653589

2 10000.00000413 1.570746326794 0.500000002624 0.707106781274 1.570796326794

4 1.999999973125 3.141367653591 -1.99999992250 0.840896406108 2.356194490192

8 0.909090910010 3.141420380863 -0.90909089652 0.090692806222 2.356194490192

16 0.255298452388 0.001302293733 0.255298235899 0.303624501250 2.356194490192

32 1.232969861741 3.141279888095 -1.23296980143 0.573762807191 2.454369260617

64 5.097138252606 3.139465236468 -5.09712671803 0.876102971269 2.307107104980

128 2.897387277311 3.140147835752 -2.89738425316 0.977052867676 2.331650797586

4096 1.076239878333 0.014801070847 1.076121993637 1.036104012747 2.330883807192

8192 1.238407700194 3.137486909829 -1.23839726220 1.038527016024 2.335869244752

16384 1.513220111597 3.134851983282 -1.51318573391 1.041041494742 2.336827982745

32768 2.633386758333 3.122426326619 -2.63290308834 1.040585057989 2.332034292783

65536 17.82941575247 0.330145028227 16.86654418455 1.032450804382 2.330212690597

Из колонок 5 и 6 табл. 6 следует, что расходящийся тригонометрический ряд (28) при "= ж - 0.0001, т.е. ряд с вещественными членами, просуммированный ^/р-алгоритмом, т. е. непрерывными дробями, имеет комплексное значение:

с08(ж -10-4) -1 • с082(ж -10-4) +1 • 3с083(ж -10-4) -1 • 3 • 5со84(ж -10~4)+... = 1,0324... e''1•3301...

Такое «нестандартное» поведение значений непрерывных дробей, суммирующих вещественные тригонометрические ряды на границах интервалов, позволяет провести некоторые аналогии с известным «явлением Гиббса», которое находит объяснение в том, что ряд Фурье разрывной функции не сходится к разлагаемой функции в окрестности разрыва [21].

В [22] приведён аналог частных сумм ряда Фурье для преобразования Фурье:

Разработанный способ суммирования тригонометрических рядов может быть использован при построении новых алгоритмов преобразований Фурье.

Заключение

Если тригонометрический ряд сходится, то преобразование в непрерывные дроби позволяет во многих случаях добиться существенного, ускорения сходимости тригонометрического ряда. Если тригонометрический ряд расходится в классическом смысле, т.е. частичные суммы не имеют предела, то трансформация расходящегося ряда в суммирующую непрерывную дробь позволяет установить значение производящей функции, порождающей этот ряд, и таким естественным образом установить значение этого расходящегося ряда. И ещё важное следствие применения к суммированию рядов непрерывных дробей. Расходящиеся в классическом смысле тригонометрические ряды с вещественными элементами могут иметь комплексные значения. Комплексные значения суммирующих непрерывных дробей, а следовательно, комплексные значения расходящихся в классическом смысле тригонометрических рядов, устанавливаются рассмотренными выше еV р-алгоритмом и г^1тГ> /р-алгоритмом, т.е. формулами (18) и (19), а также формулами (22) и (23).

1. Толстое Г.П. Ряды Фурье. М.: Наука, 1980. 384 с.

2. Бари Н.К. Тригонометрическиеряды. М.: Физматгиз, 1961. 938 с.

3. Шмойлов В.И. Соответствующие цепные дроби. Киев: Изд-во Института кибернетики АН Украины. Препринт 75-19, 1975. 37 с.

4. Шмойлов В.И. Алгоритмы суммирования бесконечных комплексных последовательностей. // Вестник науки и образования. № 14 (68). Часть 1, 2019. С. 5-19.

5. Рутисхаузер Г. Алгоритмы частных и разностей. М.: ИИЛ, 1960. 93 с.

6. Шмойлов В.И., Слобода М.З. Расходящиеся непрерывные дроби. Львов: Меркатор, 1999. 820 с.

7. Шмойлов В.И. Суммирование расходящихся цепных дробей. Львов: ИППММ НАН Украины, 1997. 23 с.

8. Джоунс У., Трон В. Непрерывные дроби. Аналитическая теория и приложения. Пер. с англ. М.: Мир, 1985. 414 с.

9. Шмойлов В.И. Непрерывные дроби. В 3 т. Том 1. Периодические непрерывные дроби. Нац. акад. наук Украины. Ин-т приклад. проблем механики и математики. Львов, 2004. 645 с.

10. Шмойлов В.И. Непрерывные дроби. В 3 т. Том 2. Расходящиеся непрерывные дроби. Нац. акад. наук Украины. Ин-т приклад. проблем механики и математики. Львов, 2004. 558 с.

11. Шмойлов В.И. Непрерывные дроби. В 3 т. Том 3. Из истории непрерывных дробей. Нац. акад. наук Украины. Ин-т приклад. проблем механики и математики. Львов, 2004. 520 с.

12. Шмойлов В.И., Коровин Я.С., Иванов Д.Я. О первом замечательном пределе для эллиптических чисел. // Вестник науки и образования. № 2 (56). Часть 1, 2019. С. 6-21.

13. Кириченко Г.А., Шмойлов В.И. Алгоритм суммирования расходящихся непрерывных дробей и некоторые его применения. // Журнал вычислительной математики и математической физики, 2015. Т. 55, № 4, С. 559-572.

14. Шмойлов В.И., Коровин Я.С. Определение значений бесконечных комплексных последовательностей. // Вестник науки и образования. № 4 (58). Часть 1, 2019. С. 10-23.

15. Шмойлов В.И., Коровин Я.С. Решение систем линейных алгебраических уравнений непрерывными дробями. Ростов-на-Дону: Изд-во ЮФУ, 2017. 383 с.

16. Козлов В. В. Об одной формуле суммирования расходящихся непрерывных дробей. // Докл. РАН. Том 474. Номер 4, 2017. С. 410-412.

который записывается и в более простой форме:

Список литературы / References

17. ШмойловВ.И. Непрерывные дроби и г/-алгоритм. Таганрог: Изд-во ТТИ ЮФУ, 2012. 608 с.

18. Шмойлов В.И., Коровин Я.С. Разложение тригонометрических рядов в соответствующие непрерывные дроби. // Вестник науки и образования. № 15 (69), 2019. С. 17-29.

19. Шмойлов В.И., Коровин Я.С., Иванов Д.Я. Непрерывные дроби и суммирование рядов. Ростов-на-Дону: Изд-во ЮФУ, 2018. 524 с.

20. Шмойлов В.И. Алгоритмы определения значений бесконечных последовательностей. // Вестник науки и образования. № 16 (51). Часть 1, 2018. С. 10-24.

21. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Т. III. М.: Наука, 1966. 656 с.

22. Стёпин А.М. Курс лекций по функциональному анализу. М.: Изд-во МГУ, 2010.

АНАЛИЗ НЕЛИНЕЙНЫХ ПРОЦЕССОВ В ПРОСТРАНСТВЕ СОСТОЯНИЙ ПИЛОТАЖНОГО НАВИГАЦИОННОГО КОМПЛЕКСА Кожух В.С. Email: Kozhukh672@scientifictext.ru

Кожух Вероника Сергеевна — младший научный сотрудник, лаборатория моделирования самоорганизующихся систем, Объединенный институт проблем информатики Национальная академия наук Республики Беларусь, г. Минск, Республика Беларусь

Аннотация: в статье рассмотрены проблемы анализа многомерных нелинейных систем автоматического управления, описаны основные подходы в методах линеаризации в теории автоматического управления, проанализированы условия их использования, обосновывается необходимость анализа и исследования нелинейных процессов в пространстве состояний пилотажного навигационного комплекса беспилотных летательных аппаратов, с ипользованием метода матричной декомпозиции для решения ряда проблем, связанных с приведением оператора системы к набору линейного, квадратичного, кубического и т.д. ядер. Ключевые слова: системы автоматического управления, пилотажный навигационный комплекс, нелинейные системы, пространство состояний, матричная декомпозиция.

ANALYSIS OF NONLINEAR PROCESSES IN THE FLIGHT NAVIGATION SYSTEM STATE SPACE Kozhukh V.S.

Kozhukh Veronica Sergeevna — Junior Researcher, LABORATORY OF SELF-ORGANIZATION SYSTEM MODELING,

UNITED INSTITUTE OF INFORMATICS PROBLEMS NATIONAL ACADEMY OF SCIENCES REPUBLIC OF BELARUS, MINSK, REPUBLIC OF BELARUS

Abstract: the article considers the problems of multidimensional nonlinear automatic control systems analysis, describes the main approaches to linearization methods in the automatic control theory, analyzes the conditions of their usage, substantiates the need to analyze and study nonlinear processes in the state space of the fight navigation complex, using the matrix decomposition method for solving a number of problems associated with bringing the system operator to a set of linear, square are quadratic, cubic, etc. cores.

Keywords: automatic control systems, flight navigation system, nonlinear systems, state space, matrix decomposition.

УДК 536.75

В отличие от теории линейных автоматических систем, теория систем автоматического управления (САУ), обладающих нелинейными свойствами, в настоящее время разработана недостаточно полно. Особенно это касается многомерных нелинейных САУ. В теории нелинейных систем, как известно, выделяют две важнейшие проблемы:

1) проблему анализа управляемых систем;

2) проблему синтеза САУ.