Определение значений расходящихся тригонометрических рядов Текст научной статьи по специальности «Математика»

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЗНАЧЕНИЙ РАСХОДЯЩИХСЯ

ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ РЯДОВ

1 2

Шмойлов В.И. , Коровин Я.С. Email: Shmoylov673@scientifictext.ru

1Шмойлов Владимир Ильич - старший научный сотрудник; 2Коровин Яков Сергеевич - ведущий научный сотрудник, Научно-исследовательский институт многопроцессорных вычислительных систем Южный федеральный университет, г. Таганрог

Аннотация: значение ряда комплексных экспонент устанавливается суммирующей этот ряд непрерывной дробью. Приводятся критерии сходимости непрерывных дробей с комплексными элементами. Значения тригонометрических рядов, включающие косинусы и синусы кратных аргументов, также определяются непрерывными дробями, суммирующими эти ряды. Устанавливаются критерии сходимости непрерывных дробей, суммирующих тригонометрические ряды. Показано, что расходящиеся тригонометрические ряды с вещественными элементами могут иметь комплексные значения.

Приводятся результаты суммирования расходящихся вещественных тригонометрических рядов, имеющих как вещественные, так и комплексные значения. Ключевые слова: расходящиеся тригонометрические ряды, суммирующие непрерывные дроби, r/ф-алгоритм.

SUMMATION OF TRIGONOMETRIC SERIES BY CONTINUOUS

FRACTIONS Shmoylov V.I.1, Korovin Ya.S.2

1Shmoilov Vladimir Ilyich - Senior Researcher; 2Korovin Yakov Sergeevich - Leading Researcher, RESEARCH INSTITUTE OF MULTIPROCESSOR COMPUTING SYSTEM SOUTHERN FEDERAL UNIVERSITY, TAGANROG

Abstract: the value of a series of complex exponents is set by the continuous fraction summing this series. The criterion of convergence of continuous fractions with complex elements is given. The values of trigonometric series including the cosines and sines of multiple arguments are also determined by the continuous fractions summing the series. Sets forth the criteria for the convergence of continued fractions, summing trigonometric series. It is shown that divergent trigonometric series with real elements can have complex values. The results of summation of divergent real trigonometric series with both real and complex values are presented.

Keywords: divergent trigonometric series summing continuous fractions, r/ф- algorithm.

УДК 517.524

Введение

Несмотря на некоторые негативные особенности рядов, проявляющиеся прежде всего в феномене их расходимости, этот математический аппарат на протяжении столетий занимает главенствующее положение как в математическом анализе, так и в других разделах математики, в частности, в численных методах, гармоническом анализе и т.д. Прочное положение занимают ряды и в аналитической теории чисел. Здесь достаточно упомянуть метод тригонометрических сумм И.М. Виноградова, который на протяжении многих десятилетий остаётся одним из самых общих методов аналитической теории чисел [1].

Известно большое число методов суммирования тригонометрических рядов. В монографии Н.К. Бари «Тригонометрические ряды» [2], рассматриваются методы суммирования Абеля-Пуассона, Римана, Фейера, Лебега, Бернштейна-Рогозинского и другие. В статье предлагается для суммирования тригонометрических рядов использовать метод непрерывных дробей. Алгоритм преобразования тригонометрических рядов в непрерывные дроби является развитием алгоритма, опубликованного в работе [3].

1. Суммирование рядов, включающих комплексные экспоненты

Определим суммирование ряда экспонент через непрерывные дроби.

Значение ряда экспонент

с0 + схе1р + с2е'2р + с3ег3р +... + с„ег„р +...

устанавливается значением непрерывной дроби, суммирующей этот ряд:

с0 + сер + с2е2р + сеЪр +...+спетр +... =

(1)

С0 +

со1е1(р а>2е"р соъе1р

гр 1р

С2пеР С2п+1еР

1 - 1 + 1 "... - 1 + 1 "...

(2)

«свёртка» которой, т. е. подходящие дроби Pn/Qn при п^ , является производящей функцией ряда комплексных экспонент (1).

Коэффициенты ш2п и ^2п+1 непрерывной дроби (2) и коэффициенты сп ряда (1) связаны формулами Хейлерманна-Стилтьеса [4]:

С2„ =

С0 = С0,

Рп-1 У„+1

с = сх,

Рп У„

где и - определители Ганкеля

С2„+1 = "

Рп+1 ■¥„ Рп ■¥„+1

(3)

Рп =

с с ,

п п+1

-П+1

"2п-\

У =

сс

п п+1

-П+1

2п-2

Ро =1 У = 1

В [5] приведён критерий сходимости непрерывной дроби с комплексными элементами:

Непрерывная дробь с комплексными элементами сходится и имеет своим значением комплексное число г0 = г0еш°, если существуют пределы:

1т п

п^ОТ \

П

П Гп ,

П = 1

| а01= 1т

|а1 1 + |а2 1 +...+ |а„ 1

(4)

(5)

где гп— значение модуля п-й комплексной подходящей дроби, |ап| - абсолютная величина аргумента п-й комплексной подходящей дроби. Формулы суммирования (4) и (5) в [5] названы г/ф(г)-алгоритмом. Несколько замечаний о терминологии.

с

с

с

2

с

с

Г

0

п^от

Если для степенного ряда

c0 + c1x + c2 x2 + c3 x3 +... + cnxn + ... (6)

по формулам Хейлерманна-Стилтьеса (3), или используя алгоритм Рутисхаузера, построить непрерывную дробь

®o +— T T ~n- ' (7)

1 - 1 + 1 "... - 1 + 1 "...

то такую непрерывную дробь в литературе называют соответствующей непрерывной дробью [4]. Термин «соответствующая» определяется тем обстоятельством, что разложение в ряд n-й подходящей непрерывной дроби (7) совпадает с исходным рядом (6), т.е. соответствует ряду, вплоть до члена сп включительно:

Pn (x) 2 3 n n+1

= co + c1x + c2x + c3x + ... + cnx +Yn+1x + .... (8)

Qn (x)

Термин «соответствующая» (korrespondierende) непрерывная дробь был введён в начале XX в. немецким математиком О. Перроном, опубликовавшим в 1913 г. одну из первых монографий по цепным дробям [6].

В русском языке «соответствующий» имеет несколько неопределённый смысл и может толковаться как «относящийся к данному случаю». В теории же непрерывных дробей «соответствующая непрерывная дробь» - это непрерывная дробь, имеющая свойства, жестко фиксируемые формулой (8). В связи с чем, в [7] словосочетание «соответствующая непрерывная дробь» было предложено заменить на выражение «суммирующая непрерывная дробь», так как «свёртку» непрерывной дроби, т.е. подходящие дроби Pn/Qn при п ^ , следует рассматривать как производящую функцию ряда, которая в то же время является функцией, суммирующей ряд, другими словами, - функцией, определяющей значение ряда. Таким образом, отождествляется непрерывная дробь (7) и производящая функция ряда (6), которая может быть получена «свёрткой» непрерывной дроби. Следовательно, полагаем, что значение ряда (6), который может быть, как сходящимся, так и расходящимся, определяется значением непрерывной дроби (7), являющейся для этого ряда производящей функцией. Такой подход к суммированию, т.е. к определению значений рядов, представляется вполне естественным. Как известно, Л. Эйлер, рассматривая расходящиеся ряды, писал [8]: «Сумма некоторого бесконечного ряда есть конечное выражение, из разложения которого возникает этот ряд».

2. Суммирование тригонометрических рядов непрерывными дробями

2.1. Суммирование тригонометрических рядов, включающих косинусы кратных аргументов

Как и в рассмотренном выше случае ряда экспонент, определим суммирование тригонометрических рядов через непрерывные дроби.

Значение тригонометрического ряда, включающего косинусы кратных аргументов

c0 + c1cos^ + c2cos2^ + ... +cn cosnp+ ... (9)

определяется значением непрерывной дроби, суммирующей этот ряд:

c0 + c1cos^ + c2cos2^+ ... +cn cos ... =

= ®o +"

(10)

2 1 - 1 + 1 - ... - 1 + 1 -

el,p

1

+

1 - 1 + 1 - ... - 1 + 1 -

«свёртка» которой, т.е. подходящие дроби Рп/((п при п — , является производящей функцией тригонометрического ряда (9).

Коэффициенты звеньев с2 п и с2 п+1 суммирующей непрерывной дроби (10) также могут быть определены через коэффициенты сп исходного тригонометрического ряда (9) при помощи формул Хейлерманна-Стилтьеса или рекуррентного алгоритма Рутисхаузера.

Подходящими дробями Рп/ (п выражения (10), без учёта свободного члена с 0, будут суммы подходящих Р^ 1 / ((п и Р^ 2 ^ / ((п, умноженные на 1/2:

р х( о (1) о (2) ^

Qn 2

рр

„ +_ „

Qn Qn

= Re(rneШn) = гп сошп.

Таким образом, подходящими дробями суммы непрерывных дробей (10) будут действительные части комплексных чисел, являющихся значениями подходящих непрерывных дробей, входящих в это выражение.

Если рассматривать сходимость непрерывной дроби (10) в классическом смысле, то эта непрерывная дробь сходится, если существует предел значений подходящих дробей:

Р

Цт—- = Ит^ cosan) = k. (11)

П^Ю Q П^Ю

Однако, заключение о сходимости непрерывных дробей по существованию предела значений подходящих дробей (11), т.е. рассмотрение сходимости в классическом смысле, зачастую приводит к неверному выводу. Непрерывная дробь с вещественными элементами может иметь и комплексный предел подходящих дробей, т.е. иметь комплексное значение.

В [9] был предложен иной, нежели традиционный [4], критерий сходимости непрерывных дробей:

Непрерывная дробь с вещественными элементами сходится и имеет своим значением в общем случае комплексное число г = г0е1 ^0, если существуют пределы

П1 Рп /Qn| = Г., (12)

0

г=1 к

7тНт—=| р 0 | , (13)

п-> П

где Рп/ ((п - значение п-й подходящей дроби,

кп - количество отрицательных подходящих дробей из совокупности, включающей п подходящих дробей.

Формулы (12) и (13) в [10] определены как г /р-алгоритм.

Определенная таким образом сходимость непрерывных дробей была названа г/ф-сходимостью [11]. Этот способ выходит за рамки традиционных методов суммирования, ибо предполагает, что непрерывные дроби с вещественными элементами могут иметь как вещественные, так и комплексные значения. Предложенный -алгоритм даёт возможность устанавливать значения

расходящихся в классическом смысле непрерывных дробей, а также решать множество других задач [12-17].

Используя приведенный выше г / р-алгоритм, описываемый формулами (12) и (13), установим критерий сходимости непрерывной дроби (10), определяющей значение тригонометрического ряда (9), включающего косинусы кратных аргументов:

Непрерывная дробь с комплексными элементами

1

0 2

mleiq co2év аъё9

а

iq

2n

0iV

1 - 1

1 -...- 1

+

-iq

а e

-iq

а e

iq

а

а

1 -...

-iq "N

e

1 - 1

1 -...- 1

1

суммирующая тригонометрический ряд, содержащий косинусы кратных аргументов

с0 + + с2соб2^ + с3соз3^ +... + сп cosnф +..., (15)

сходится и имеет своим значением в общем случае комплексное число г = г0 е1 а° , если существуют пределы

Hm n П1

К COs«n = Г0

n=1

7Г lim — = \a0

n-> П

(16)

(17)

где Pn /Qn- действительная часть значения n-й комплексной подходящей дроби выражения (14), т.е. Rе(гпеШп) = rncosап,

кп - количество элементов rncosan, имеющих отрицательные значения из совокупности, включающей n элементов rncosап.

Алгоритм суммирования тригонометрических рядов, включающих косинусы кратных аргументов, описываемый формулами (16) и (17), в [18] обозначен как r(R е ¡ р-алгоритм.

2.2. Суммирование тригонометрических рядов, включающих синусы кратных аргументов

Определим суммирование тригонометрических рядов, включающих синусы кратных углов.

Значение тригонометрического ряда, включающего синусы кратных аргументов b1 sin q + b2 sin 2q +... + bn sin nq +..., (18)

определяется значением непрерывной дроби, суммирующей этот ряд: bj sinq + b2 sin2q +...+ bn sin nq + ...=

1 oleiq a2ei'

a2n'q ®2n+1e

iq

2i 1 - 1 + 1 -...- 1 +

-iq

-iq

а e

-iq

а

-iq

2n

а

2n+1

-iq

1 - 1

1 -...- 1

1

(19)

«свёртка» которой, т.е. подходящие дроби Рп/((п при п — , является производящей функцией тригонометрического ряда (18).

Коэффициенты звеньев со2п и со2п+± суммирующей непрерывной дроби (19) также могут быть определены через коэффициенты Ьп исходного тригонометрического ряда (18) при помощи формул Хейлерманна-Стилтьеса или рекуррентного алгоритма Рутисхаузера.

Подходящими дробями Рп /(( п выражения (19) будут разности подходящих Рп^/(п и Рп2^/(п, умноженные на 1 / 2 ¿:

Qn

1 2i

(P (D P

(2) Л

Qn Qn

= ^n^" ) = rn sin «n.

+

+

-iq

+

+

+

®3e

1

(oxe

а2e

+

+

Используя приведённый г/ -алгоритм, описываемый формулами (12) и (13), установим критерий сходимости непрерывный дроби (19), определяющей значение тригонометрического ряда (18), включающего синусы кратных аргументов:

Непрерывная дробь с комплексными элементами

1 (alel< c°2e'<p c3el< C2n < ®2n+elv

2l 1 - 1 + 1 -. V ..- 1 + 1 -...

(oel<p c2e~l< c3e'l< -l< C2n ®2n+,e-l< 1

1 - 1 + 1 -. .- 1 + 1 -...

(20)

суммирующая тригонометрический ряд, содержащий синусы кратных аргументов

bj sin р + b2 sin 2р +... + bn sin np +... ,

сходится и имеет своим значением в общем случае комплексное число z0 = r0 е1 а0, если существуют пределы:

lim n

n^X \

П\rn sin «n|

n= 1

(21) (22)

к lim — = | a0

n^X n

где rnsinan - значение коэффициентов при мнимой единице n-й комплексной подходящей дроби выражения (20), т.е. Im(rnelап) = rns in an,

kn- количество элементов rnsinan, имеющих отрицательные значения из совокупности, включающей n элементов rnsinan.

Алгоритм суммирования тригонометрических рядов, включающих синусы кратных аргументов, описываемый формулами (21) и (22), в [18] обозначен как r(Im) | р -алгоритм.

Следует отметить, что в общем случае модули r0 и модули аргументов | a0 | комплексных чисел, определяемых формулами (16) и (17) r(R6)| р-алгоритма и формулами (21) и (22) r(I m) | р-алгоритма, имеют различные значения.

2.3. Суммирование непрерывными дробями тригонометрических рядов общего вида

Имеется тригонометрический ряд общего вида: a X

— + ^an cosn< + bn sinnp. (23)

2 n=1

Тригонометрический ряд общего вида (23) можно рассматривать как сумму рядов, включающих косинусы и синусы кратных аргументов, алгоритмы суммирования которых были рассмотрены в пунктах 2.1 и 2.2.

Обычно тригонометрический ряд

a X

— + ^an cosn< + bn sinn<

2 n=1

представляют в комплексной форме следующим образом. Так как

cos< = -

el< + e~'<

sm< = -

el< - e~'<

то ряд записывают в виде:

X (

ao+z

2 n=1

■ + lb,

2l

e ^ - e

r

o

a

n

2

2

Т С„е'Г>

п

Обозначая

С = с -ап -Ь с — ап + Ь с 2' сп , с-п 2

получим ряд

п—ю

¡пр

-пе

п ——ю

Суммирование рядов, включающих комплексные экспоненты, было рассмотрено в первом параграфе.

3. Экспериментальная проверка алгоритмов суммирования расходящихся тригонометрических рядов

3.1. Тригонометрические ряды, содержащие косинусы кратных аргументов

Рассмотрим расходящийся тригонометрический ряд, содержащий косинусы кратных аргументов:

cosр—1-cos2р +1-3cos3р — 1-3-5^4р + 1-3• 5• 7cos5р —.... (24)

Значение ряда (24) при р = и / 1 2 можно определить следующим образом: созж/12—1-соз2ж/12 +1-3cos3ж/12 — 1-3-5соз4ж/12 +1-3-5-7соз5ж/12 —.... —

— Re

( ¡71/12 т/12 т/12 ^ т/12 1п/\2 Л

е е 2е 3е пе

1 + 1 + 1 + 1 +...+ 1 +...,

(25)

В табл. 1 приведены результаты определения значения расходящегося тригонометрического ряда (24) при через нахождение действительной

части комплексного числа , которое является значением непрерывной дроби,

суммирующей ряд (24).

Таблица 1. Определение значения ряда (24) при р = п /12. Re

(е' т/12 е'л/12 2е'ж т 3е'ж т пе/12 А

1 + 1 + 1 + 1 +...+ 1 +...

7

Номер подходящи х дробей, п Метод подходящих дробей Значения подходящих, Р / Qn — Г со г(к е) / р-алгоритм

Значения модуля, гп Значения аргумента, ап Значения (п) модуля, Значения аргумента, О) «г,

1 1 0.261799387799 0.965925826289 0.965925826289 0

2 0.504314480290 0.130899693899 0.5 0.694955331762 0

4 0.604573266079 0.166012709289 0.596261296388 0.676577034017 0

8 0.647355238175 0.189477984061 0.635769319935 0.662100876361 0

16 0.656701308981 0.198151753403 0.643851039224 0.653423507017 0

32 0.657502180590 0.199550669732 0.644454541000 0.648933454224 0

64 0.657515742186 0.199622211435 0.644458507178 0.646692010061 0

128 0.657515583938 0.199622912840 0.644458260620 0.645574167955 0

256 0.657515583289 0.199622913232 0.644458259933 0.645015972621 0

512 0.657515583289 0.199622913289 0.644458259952 0.645015972621 0

Из колонки 4 табл. 1 следует, что значение расходящегося тригонометрического ряда (24) при р = и /12 вещественное и равно 0,64445825995... .

В колонках 5 и 6 значение ряда (24) при р = и/12 устанавливалось г(Яе)/р-алгоритмом, т. е. формулами (16) и (17).

Рис. 1. Зависимость значения ряда (24) от аргумента р

На рис. 1 показана зависимость значений расходящегося тригонометрического ряда (24) от аргумента р. Значение расходящегося тригонометрического ряда (24) при различных р установлены с использованием суммирующих непрерывных дробей г ^е)|(¡»-алгоритмом. График на рис. 1 схож со сдвинутой по оси ординат в положительном направлении косинусоидой. На рис. 1 в «косинусоиде» виден разрыв, что объясняется тем, что расходящийся тригонометрический ряд (24), включающий косинусы кратных аргументов, при аргументах р, близких к п, имеет комплексные значения.

При р = 0 и р = 2 л расходящийся тригонометрический ряд (24) равен вещественной величине:

1-1 + 1- 3-1-3- 5 + 1-3- 5-7-... = 0,655679542418... .

Известно [19], что расходящийся ряд

1 + 1+1-3 + 1-3-5 + 1-3-5-7 + 1-3-5-7-9 +... (26)

имеет комплексное значение, которое было установлено применением г/р-алгоритма, т.е. формул (12) и (13), к суммирующей ряд (26) непрерывной дроби: 1 + 1+1-3 + 1-3-5 + 1-3-5-7 + 1-3-5-7-9 + ...=

= 1113 4 П =1 050317. .. ^Ю.809229... (27)

1-1-1-1-1 -...-1-...

Следовательно, комплексное значение имеет и тригонометрический ряд (24) при

Р= П

1-3-5 с^4п+1-3-5-7 с^5п+...= = -1-1-1-3-1-3-5-1-3-5-7-1-3-5-7-9-.. .=

= -1(1+1-3+1-3-5+1-3-5-7+1-3-5-7-9 + ...)= еш •1,050317..£'0'809229. = (28)

= 1,050317.. е~'2'ЪЪ2Ъ6Ъ...

Естественно предположить, что при аргументах р, близких к п, непрерывные дроби, суммирующие ряд (24), также будут иметь комплексные значения.

Значение ряда (24) при можно определить следующим образом:

со8(п-10~4)-1 - со82(п-10~4) + 1-Зсо83 (п-10^^)-1-3-5со^ (п-Ш-4) + ...=

= Re

^(п-0,00011 Цп п-0,00011

2е

<(>40,00011

3е

<(п-0,0001)

1

1

1

1

,¿>-0,0001) 1 ■

(29)

В табл. 2 приведены результаты определения значения тригонометрического ряда (24) при При суммировании расходящейся в классическом смысле

непрерывной дроби (29) использовался -алгоритм, описываемый формулами

(16) и (17).

+

+

+

Re

Таблица 2. Определение значения ряда (24) при р = п — 0 ,О О О 1.

Аг(к-0,0001) е1( к-0,0001) 2е'(к-0,0001) 3ег(к-0,0001) пег(к-0,0001) ^

1 + 1 + 1 + 1 +...+ 1 + ...,

Номер подходящи х дробей, п Метод подходящих дробей Значения подходящих, Рп /ап = Гп со г(к 6 ¡ р-алгоритм

Значения модуля, гп Значения аргумента, ап Значения (п) модуля, Значения модуля О) аргумента,

1 1 3.141492653589 -0.99999999512 0.99999999512 3.141592653589

2 10000.00000413 1.570746326794 0.500000002624 0.707106781274 1.570796326794

4 1.999999973125 3.141367653591 -1.99999992250 0.840896406108 2.356194490192

8 0.909090910010 3.141420380863 -0.90909089652 0.090692806222 2.356194490192

16 0.255298452388 0.001302293733 0.255298235899 0.303624501250 2.356194490192

32 1.232969861741 3.141279888095 -1.23296980143 0.573762807191 2.454369260617

64 5.097138252606 3.139465236468 -5.09712671803 0.876102971269 2.307107104980

128 2.897387277311 3.140147835752 -2.89738425316 0.977052867676 2.331650797586

4096 1.076239878333 0.014801070847 1.076121993637 1.036104012747 2.330883807192

8192 1.238407700194 3.137486909829 -1.23839726220 1.038527016024 2.335869244752

16384 1.513220111597 3.134851983282 -1.51318573391 1.041041494742 2.336827982745

32768 2.633386758333 3.122426326619 -2.63290308834 1.040585057989 2.332034292783

Из колонок 5 и 6 табл. 2 следует, что расходящийся тригонометрический ряд (24) при р = п — 0,0001, т.е. ряд с вещественными членами, просуммированный г (в 6 ) ¡р-алгоритмом, описываемым формулами (16) и (17), имеет комплексное значение:

^{к -10-4) -1 • ^2( к -10-4)+1 • 3^3( к -10-4) -1 • 3 • 5 к -10-4) +... = 1,0405... е-'2-3320--.

Ниже приведены значения рядов (24) при р = п — е для различных е: ^(к-10-1)-1-со82(к-10-1)+1-3сов3( к-10-1)-1-3-5со84(к-10-1) + ... = 0.6483... е-'313".. сойК-5-10-2)-1-сой2(к-5-102) + 1-3сов3(к-5-10-2)-1-3-5сов4(к-5-10-2)+... = 0.6823... е-'3 1352-. ^(к-10-2)-1-^2(к-10-2) + 1-3^3(к-10-2)-1-3-5^4(к-10-2) + ...= 0.6220... е-''29994.. соя(к-5-10-3)-1-соя2(к-5-10-3)+1-3соя3(к-5-10-3)-1-3-5соя4(к-5-10-3)+... = 0.5745... е415842". ^(к-10-3)-1-^2(к-10-3)+1-3^3(к-10-3)-1-3-5^4(к-10-3)+... = 0.9327... е-23401.... соь(я-5-10-4)-1-соз2(к-5-10-4)+1-3соз3(к-5-10-4)-1-3-5соз4(к-5-10-4)+... = 0.9905... е423335.. ^(к-5-10-5)-1-^2(к-5-10-5) +1-3^3(к-5-10-5)-1-3-5^4(к-5-10-5) + ...= 1.0467... е-''23320... со8(к-10-5)-1-со82(к-10-5) + 1-3со83(к-10-5)-1-3-5со84(к-10-5) + ... = 1.0516... е-'23320..

сж(к) -1 - к +1 - 3 ^3 к -1 - 3 - 5^4 к +... = 1.0511933... е-'2332034.

Такое «нестандартное» поведение значений непрерывных дробей, суммирующих вещественные тригонометрические ряды (24), включающие косинусы кратных аргументов при аргументах близким к к, позволяет провести некоторые аналогии с известным «явлением Гиббса», которое находит объяснение в том, что ряд Фурье разрывной функции не сходится к разлагаемой функции в окрестности разрыва [20].

В [21] приведён аналог частных сумм ряда Фурье для преобразования Фурье:

e11 di,

(30)

1 1 fn(x) =ж-Ыf (4)e

который записывается и в более простой форме:

/W N 1 Г ^ Ч sin nt , fn (x) = -) f (x +1)-dt.

П t

Разработанный способ суммирования тригонометрических рядов может быть использован при построении новых алгоритмов преобразований Фурье.

3.2. Тригонометрические ряды, содержащие синусы кратных аргументов Рассмотрим расходящийся тригонометрический ряд, содержащий синусы кратных аргументов:

sin^-1- sin 2^ + 1- 3sin3^-1- 3- 5sin 4^ + 1- 3- 5 • 7sin5^-

(31)

Значение ряда (31) при р = л/12 можно определить следующим образом:

зт^/12-1- зт2л/12+1- 3sin3л/12-1- 3- 5эт4л/12+1- 3- 5-7эт5л/12 -... =

= Im

( in/12 ¿"/12

2ё-

3e1'

ne

Л

1 + 1 + 1

+

1

+...+

1

+...

(32)

В табл. 3 приведены результаты определения значения расходящегося тригонометрического ряда (31) при р = тт/ 1 2 через нахождение коэффициентов при мнимой единице, т.е. нахождения «мнимой» части комплексного числа гпеШп, которое является значением суммирующей ряд непрерывной дроби (32).

Таблица 3. Определение значения ряда (31) при р = т /12.

т/12 Л

И И /И ЛИ НИ

1т|

ne

1 + 1 + 1

+

1

+...+

1

+...

Номер подходящих дробей, n Метод подходящих дробей Значения подходящих, Pn / Qn = rn sin r('m) | ^-алгоритм

Значения модуля, гп Значения аргумента, ап Значения модуля, Л П 'о Значения О) аргумента,

1 1 0.261799387799 0.258819045102 0.258819045102 0

2 0.504314480290 0.130899693899 0.065826248793 0.130526192220 0

4 0.604573266079 0.166012709289 0.099906458690 0.131934092794 0

8 0.647355238175 0.189477984061 0.121926929848 0.131947895508 0

16 0.656701308981 0.198151753403 0.129276635578 0.131340980263 0

32 0.657502180590 0.199550669732 0.130335958449 0.130876676420 0

64 0.657515742186 0.199622211435 0.130384752743 0.130631042559 0

128 0.657515583938 0.199622912840 0.130385173389 0.130508051671 0

256 0.657515583289 0.199622913232 0.130385173512 0.130446598123 0

512 0.657515583289 0.199622913231 0.130385173512 0.130415882202 0

Из колонки 4 табл. 3 следует, что значение тригонометрического ряда (31) при р = т/ 1 2 вещественное и равно 0,130385173512... .

В табл. 4 и табл. 5 приведены значения расходящегося тригонометрического ряда (31) при различных аргументах р. Во вторых колонках табл. 4 и табл. 5 указано число звеньев суммирующих непрерывных дробей, необходимое для определения модуля комплексного числа с 12-ю десятичными разрядами, являющегося значением непрерывной дроби (33) в зависимости от аргумента р.

Таблица 4. Определение значений ряда (31) при р = ~,п = 0, 1,2,..., 1 1 .

1т

(

ег" 2ег" 3ег"

1 + 1 + 1 + 1 +...+ 1 +...

г"

пе

Значения аргумента, р = П7Г/12 Количество подходящих дробей,п Значения модуля, г0 Значения аргумента, а0 Значения ряда, 1т(г0ега ) = г0 sin а0

" = 0 228 0,655679542418 0 0

" = ж/12 235 0,657515583289 0,199622913232 0.130385173512

" = 2ж /12 229 0,663078695426 0,399142668427 0.257691308372

" = 3ж /12 257 0,672537522968 0,598444846264 0.378879573669

" = 4ж/12 284 0,686185733764 0,797391072574 0.490990591337

" = 5 ж/12 302 0,704462124487 0,995803278745 0.591181855571

" = 6ж /12 442 0,727981234956 1,193442940607 0.676762706690

" = 7ж/12 533 0,757576962193 1,389982801626 0.745226732080

" = 8ж /12 923 0,794362184762 1,584968006293 0.794282417636

" = 9ж/12 1350 0,839807246191 1,777763201272 0.821884667750

" = 10ж/12 2950 0,895838235045 1,967482629141 0.826273125742

" = 11ж /12 10981 0,964950259093 2,152902738950 0.806029156829

Таблица 5. Определение значения ряда (31) при р = — ,п = 1 3 , 14,..., 2 4.

1т

( е"

->гф

е" 2е" 1 + 1 +

1 + 1

3е" пе +...+

г"

1 +...

(34)

Значения аргумента, |р = пп/12 Количество подходящих дробей, п Значения модуля, г0 Значения аргумента, а0 Значения ряда, 1т(г0ега) = г0 Бта0

" = 13 ж/12 10981 0.96495025909 -2.15290273895 -0.80602915674

" = 14ж/12 2950 0.89583823504 -1.96748262914 -0.82627312574

" = 15 ж/12 1350 0.839807246191 -1.77776320127 -0.82188466775

"=16ж/12 923 0.79436218476 -1.58496800629 -0.79428241763

" = 17ж/12 533 0.757576962191 -1.38998280162 -0.74522673208

" = 18ж/12 442 0.727981234956 -1.19344294060 -0.67676270669

" = 19ж/12 302 0.704462124487 -0.99580327874 -0.59118185557

" = 20ж/12 284 0.686185733764 -0.79739107257 -0.49099059133

" = 21ж /12 257 0.672537522969 -0.59844484626 -0.37887957366

" = 22ж /12 229 0.663078695426 -0.39914266842 -0.25769130837

" = 23ж /12 235 0.657515583289 -0.19962291323 -0.13038517351

" = 2ж 228 0.655679542418 0 0

На рис. 1 показана зависимость значений тригонометрического ряда (31) от аргумента ". Значения расходящихся тригонометрических рядов (31) установлены с использованием суммирующих непрерывных дробей.

В отличие от ряда (24), содержащего косинусы кратных аргументов, который имеет при р, близких к л, комплексные значения, ряд (31), включающий синусы кратных углов, не имеет комплексных значений ни при каких значениях аргумента р.

4. О некоторых аспектах метода непрерывных дробей

Наиболее часто в вычислительной практике имеет место ситуация, когда исходным объектом выступают ряды, в частности, степенные ряды. По степенному ряду, сходящемуся или расходящемуся, устанавливается соответствующая или суммирующая непрерывная дробь.

При «свёртке» непрерывной дроби, имеющей 2п-звеньев, получим рациональную функцию степени п, т.е. функцию вида:

Ь0 + Ь{х + Ь2х2 + Ь3х3 +... + Ъпхп

2 3 П' (35)

а0 + ахх + а2х + а3х + ... + апх

Рациональная функция (35), или Рп (х) / (п (х) , производит ряд, который совпадает с исходным рядом до члена :

= с0+ с^х + с2х2 + с3х3 +... + СпХп + /п+1Хп+1+... (36)

бп (*)

Установить производящую функцию -го порядка можно, используя ряд, в том числе, и расходящийся. Если непрерывная дробь обрывается на звене 2 п, то производящая функция имеет вид Рп (х) /((п (х) , где Рп (х) и ((п (х) - полиномы -й степени (Рис. 3).

Рис. 3. Схема преобразования ряда

Если же соответствующая непрерывная дробь не обрывается, то каждая подходящая дробь всё более приближается к производящей функции, которая представляется отношением полиномов бесконечно высокой степени [22]. Таким образом, можно заключить, что информацию о функции следует извлекать не из ряда, который может оказаться расходящимся, а из непрерывной дроби, полученной преобразованием ряда в суммирующую непрерывную дробь.

Следует сделать одно замечание. Разумеется, рациональные функции, являющиеся результатов «свёртки» суммирующих непрерывных дробей, полученных из рядов, порождённых производящими функциями, не тождественны этим производящим функциям. Тем не менее, непрерывные дроби можно рассматривать как функции, близкие к производящим функциям в том смысле, что «исходная» функция и рациональная функция при являются функциями, производящими один

и тот же ряд. Поэтому суммирование расходящихся рядов идёт не через определение «исходной» производящей функции, что в общем случае представляется сложной задачей, а через определение значения рациональной функции, построенной по ряду, сходящемуся или расходящемуся, с использованием простых регулярных алгоритмов, например, рекуррентного алгоритма Рутисхаузера.

Есть ещё одна важная особенность суммирования расходящихся рядов непрерывными дробями. Речь идёт об определении по подходящим дробям, используя r/ф-алгоритм, комплексных значений рядов с вещественными элементами, что открывает новые возможности в численном анализе. Оказалось, что СЛАУ с вещественными матрицами могут иметь, в зависимости от коэффициентов матрицы, комплексные решения. Это позволяет иначе трактовать так называемые расходящиеся разностные схемы. Как известно, теория разностных схем возникла из необходимости уклониться от практически нереализуемых аналитических методов решения сложных задач, возникающих при моделировании реальных процессов той или иной природы. Заключение

Если ряд расходится в классическом смысле, т.е. частичные суммы не имеют предела, то трансформация расходящегося ряда в суммирующую непрерывную дробь позволяет установить значение производящей функции, порождающей этот ряд, и таким естественным образом установить значение этого расходящегося ряда. Расходящиеся в классическом смысле ряды с вещественными элементами могут иметь комплексные значения, которые устанавливаются преобразованием рядов в суммирующие непрерывные дроби.

Таким образом, на ряды, как степенные, так и тригонометрические, следует смотреть как на технический или вспомогательный аппарат. Особенно отчётливо «вторичность» рядов видна в случае расходящихся рядов, которые, хоть и порождаются некоторой производящей функцией, но об этой производящей функции такие ряды «напрямую» ничего не говорят. И тем не менее, расходящиеся ряды в одном важном аспекте имеют те же возможности, что и ряды сходящиеся. Речь идёт о восстановлении производящей функции по ряду, независимо от того, является ли ряд сходящимся или расходящимся. Используя алгоритм построения так называемых «соответствующих» или «суммирующих» непрерывных дробей, можно по коэффициентам рядов восстановить производящую функцию ряда, тем самым, просуммировать ряд.

Преобразование тригонометрических рядов в «соответствующие» или «суммирующие» непрерывные дроби открывают новые возможности в построении эффективных алгоритмов, в частности, в гармоническом анализе.

Список литературы /References

1. Виноградов И.М. Основы теории чисел. М.: Наука, 1972. 180 с.

2. Бари Н.К. Тригонометрические ряды. М.: Физматгиз, 1961. 938 с.

3. Шмойлов В. И. Соответствующие цепные дроби. Киев: Изд-во Института кибернетики АН Украины. Препринт 75-19, 1975. 37 с.

4. Джоунс У., Трон В. Непрерывные дроби. Аналитическая теория и приложения. Пер. с англ. М.: Мир, 1985. 414 с.

5. Шмойлов В.И. Алгоритмы суммирования бесконечных комплексных последовательностей. // Вестник науки и образования. № 14 (68). Часть 1, 2019. С. 5-19.

6. Perron O. Die Lehre von den Kettenbruchen. Leipzig und Berlin. Teubner, 1913. 520.

7. Шмойлов В.И., Коровин Я.С., Кириченко Г.А. Суммирование тригонометрических рядов непрерывными дробями // Вестник науки и образования. № 18 (72), 2019. С. 10-22.

8. ЮшкевичА.П. История математики в России. М.: Наука, 1968. 591 с.

9. Шмойлов В.И. Суммирование расходящихся цепных дробей. Львов: ИППММ НАН Украины, 1997. 23 с.

10. Шмойлов В.И., Слобода М.З. Расходящиеся непрерывные дроби. Львов: Меркатор, 1999. 820 с.

11. Шмойлов В.И. Непрерывные дроби. В 3 т. Том 1. Периодические непрерывные дроби. Нац. акад. наук Украины. Ин-т приклад. проблем механики и математики. Львов, 2004. 645 с.

12. Шмойлов В.И. Непрерывные дроби. В 3 т. Том 2. Расходящиеся непрерывные дроби. Нац. акад. наук Украины. Ин-т приклад. проблем механики и математики. Львов, 2004. 558 с.

13. Шмойлов В.И. Непрерывные дроби. В 3 т. Том 3. Из истории непрерывных дробей. Нац. акад. наук Украины. Ин-т приклад. проблем механики и математики. Львов, 2004. 520 с.

14. Шмойлов В.И., Коровин Я.С. Определение значений бесконечных комплексных последовательностей. // Вестник науки и образования. № 4 (58). Часть 1, 2019. С. 10-23.

15. Шмойлов В.И., Коровин Я. С. Решение систем линейных алгебраических уравнений непрерывными дробями. Ростов-на-Дону: Изд-во ЮФУ, 2017. 383 с.

16. Козлов В. В. Об одной формуле суммирования расходящихся непрерывных дробей. // Докл. РАН, Том 474. Номер 4, 2017. С. 410-412.

17. Шмойлов В.И. Непрерывные дроби и г/-алгоритм. Таганрог: Изд-во ТТИ ЮФУ, 2012. 608 с.

18. Шмойлов В.И., Коровин Я.С. Разложение тригонометрических рядов в соответствующие непрерывные дроби. // Вестник науки и образования. № 15 (69), 2019. С. 17-29.

19. Шмойлов В.И. Алгоритмы определения значений бесконечных последовательностей. // Вестник науки и образования. № 16 (51). Часть 1, 2018. С. 10-24.

20. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Т. III. М.: Наука, 1966. 656 с.

21. Стёпин А.М. Курс лекций по функциональному анализу. М.: Изд-во МГУ, 2010.

22. Шмойлов В.И., Коровин Я.С., Иванов Д.Я. Непрерывные дроби и суммирование рядов. Ростов-на-Дону: Изд-во ЮФУ, 2018. 524 с.