CC BY
205
УДК 517.524
В.И. Шмойлов
научный сотрудник, Научно-исследовательский институт многопроцессорных вычислительных систем, ФГАОУ ВПО «Южный федеральный университет», Россия, 347900, г. Таганрог, ул. Чехова, 2, E-mail: Shmoylov40@at.infotectt.ru
Г.А. Кириченко
аспирант,
Инженерно-технологическая академия, Институт компьютерных технологий и информационной безопасности, ФГАОУ ВПО «Южный федеральный университет», Россия, 347900, г. Таганрог, пер. Некрасовский, 44,
E-mail: vt_gak@mail.ru
С.В. Плющенко
студент,
Инженерно-технологическая академия, Институт компьютерных технологий и информационной безопасности, ФГАОУ ВПО «Южный федеральный университет», Россия, 347900, г. Таганрог, пер. Некрасовский, 44,
E-mail: zdes_zarita@mail.ru
О ПРОИЗВОДНОЙ ФУНКЦИИ ВЕЙЕРШТРАССА
Работа выполнена при финансовой поддержке Министерства образования и науки РФ, НИР № 2257 базовой части государственного задания № 2014/174.
Аннотация. Рассматривается подход к изучению недиффиринцируемых функций, базирующийся на методах теории непрерывных дробей. Цепные дроби для функции Вейерштрасса устанавливаются из исходных тригонометрических рядов посредством рекуррентного алгоритма Рутисхаузера. Этот же алгоритм используется и при определении производной функции Вейерштрасса, которая может быть представлена расходящимся тригонометрическим рядом. Суммированием расходящихся рядов были установлены значения производной функции Вейерштрасса в рациональных точках x0, причем производные определяются конечными цепными дробями, содержащими то же число звеньев, что и цепные дроби, определяющие значения функции Вейерштрасса в тех же точках.
Ключевые слова: функция Вейерштрасса, суммирование расходящихся дробей и рядов, производная функции Вейерштрасса.
V.I. Shmoylov, Southern Federal University, Russia, 347900, Taganrog, St. Chekhov, 2
G.A. Kirichenko, Southern Federal University Russia, 347900, Taganrog, Nekrasovsky, 44
S.V. Plushenko, Southern Federal University, Russia, 347900, Taganrog, Nekrasovsky, 44
ON THE DERIVATIVE OF THE WEIERSTRASS FUNCTION
Abstract. The approach to the study of non-differentiable functions, based on the methods of the theory of continued fractions. Continued fractions of the Weierstrass function are set based on the source of trigonometric series by means of recursive algorithm Rutiskhauzera. The same algorithm is used in determining the derivative of the Weierstrass function, which can be represented by a trigonometric series divergent. Summation of divergent series have been set value of the derivative of the Weierstrass function at rational points x0, the derivatives are determined by terminating continued fractions containing the same number of units as continued fractions, determining the values of the Weierstrass at the same points.
Keywords: Weierstrass function, fractions and summation of divergent series, the derivative of Weierstrass.
Введение
«Негладкий анализ» - интенсивно развивающийся раздел математики, в котором изучаются недифференцируемые функции. Быстрому становлению этого направления способст-
вовали как потребности современной науки, так и возросшие возможности вычислительной техники. Сформировались направления негладкого анализа, такие как недифференцируемая оптимизация, негладкие задачи вариационного исчисления и другие [1]. Одним из перспективных подходов в изучении недифференцируемых функций рассматривается подход, связанный с использованием фрактального анализа [2]. В [3] с помощью средств фрактального анализа изучаются свойства непрерывной недифференцируемой функции, весьма близкой к знаменитой функции Вейерштрасса. В [4-6] был рассмотрен подход к изучению недифференцируемых функций, основные идеи которого связаны с л/^-алгоритмом, предложенным для суммирования расходящихся непрерывных дробей.
Применим к изучению свойств функции Вейерштрасса несколько необычный приём, связанный с построением для рядов так называемых соответствующих цепных дробей [7]. Следует отметить, что цепные дроби получили в последнее время в вычислительной математике разнообразные применения [8-10]. Для суммирования расходящихся в классическом смысле непрерывных дробей используется л/ф-алгоритм [11], существенно расширивший область использования цепных дробей [12-14].
Представление функции Вейерштрасса цепными дробями
Функция Вейерштрасса определяется рядом
w (a, b, x) = £ bn cos(anpx), (1)
n=0
где 0 < b < 1, a - нечетное натуральное число.
Ряд (1) равномерно сходится в любом интервале, так что функция Вейерштрасса всюду
3Р
непрерывна. К. Вейерштрасс доказал [16], что если ab +1, то функция (1) не имеет конечной производной ни при каком значении x .
Функция Вейерштрасса имеет период, равный 2. На рисунке 1 представлен график функции Вейерштрасса на интервале - 2 < x < 2 при a = 7 и b = 0,9.
Рисунок 1 - График функции Вейерштрасса
В таблице 1 приведены значения функции Вейерштрасса в различных точках х, полученные вычислением ряда (1) при а = 7; Ь = 0,9.
Построим по ряду Вейерштрасса так называемую соответствующую цепную дробь. В [17] были рассмотрены многочисленные соответствующие непрерывные дроби для элементарных и специальных функций. Соответствующие цепные дроби, как правило, представляют функции в более широкой области, нежели ряды, а также имеют более высокую скорость сходимости. Соответствующие цепные дроби могут быть установлены по степенным рядам, которыми представляются функции. Помимо формул Хейлерманна-Стилтьеса и формул Хлопонина, известны рекуррентные алгоритмы для определения коэффициентов соответствующих непрерывных дробей, например алгоритмы Висковатова, Никипорца, Рутисхаузера. Запишем алгоритм Рутисхаузера [18] и приведем граф этого алгоритма.
Таблица 1 - Значения функции Вейерштрасса, установленные при помощи ряда для различных значений x
Аргумент, x Значение функции Вейерштрасса
0,1 2.3317667913366174357160440563768е-1
0,2 2.7942194707236565390012070616751е+0
0,3 7.9764426351276869838314991971299е-1
0,4 -2.205780529276343460998792938324е+0
0,6 2.2057805292763434609987929383248е+0
0,7 -7.9764426351276869838314991971291е-1
0,8 -2.7942194707236565390012070616756е+0
0,9 -2.3317667913366174357160440563768е-1
1,0 -1.0000000000000000000000000000000е+1
1,1 -2.33176679133661743571604405637681е-1
Определим для ряда: коэффициенты ап0 соответствующей цепной дроби:
а__ + аи_ +алл +а„ +... + а л + ■■■ (2)
00 10 11 12 1п -1
п , а10 а20 аз0 а40 а50 а2n,0 a2n +1,0 /т
а00 + ~Г~ ~Г~ ~Г~ ~Г~ ~Г~ л л (3)
1 - 1 + 1 - 1 + 1 -... - 1 + 1 -...
Коэффициенты цепной дроби (3) находятся по рекуррентным формулам
а = ^±1,
*2у
а1у
а3у _ -а2,п+1 + а2,п , а _ а2,п+1 ' аз,п+1
а4у _ , /,.ч
аз,п (4)
а5у _ аз,п+1 - а4,п+1 + а4у ,
а _ ^^^-2,^+1 ' a2n-1,п+1 a2n,n _ ,
Схема Рутисхаузера, определяемая формулами (4), показана на рисунке 3.
Коэффициенты цепной дроби ало будем обозначать символом с одним индексом, то есть положим ал0 = ю„.
Вычислим функцию Вейерштрасса (1) при а = 7; Ь = 0,9; х0 = 0,1 преобразованием ряда в соответствующую цепную дробь. Разрядность переменных 5000 бит. В таблице 2 приведены коэффициенты соответствующей цепной дроби для функции Вейерштрасса w(7; 0,9; 0,1).
Таблица 2 - Значения коэффициентов цепной дроби, представляющей функцию Вейерштрасса w(7; 0,9; 0,1)
a2n+1у a2n-1y+1 a2ny+1 a2n.v'
Номер звена дроби, п Значения коэффициентов цепной дроби, шп Значения подходящих дробей, Рп/Оп
0 0.951056516295 0.951056516295
1 -0.529006727063 0.422049789232
2 1.456230589874 2.110572644331
3 2.012461179749 -0.072964113728
4 0.556230589874 0.233176679133
5 -2.52539е-1202 0.233176679134
Рисунок 3 - Схема алгоритма Рутисхаузера
Так как со5 = а50 = 0,513 • 1 0-1202, то полученная соответствующая цепная дробь конечная.
Подставляя коэффициенты цепной дроби, приведенные во второй колонке таблицы 2, в цепную дробь вида (3), получим конечную соответствующую цепную дробь, представляющую функцию Вейерштрасса:
ж (7; 0,9; 0,1) = 0,951057 -
0,529006 1,45623 2,012461 0,556231
= 0,233177.
1 - 1 + 1 - 1 В таблице 3 приведены результаты определения значений функции Вейерштрасса через соответствующие цепные, построенных из исходных рядов (1), представляющих функцию Вейерштрасса с параметрами а = 7; Ь = 0,9 в тех же рациональных точках х, что использовались при вычислении функции Вейерштрасса рядами.
Таблица 3 - Значения функции Вейерштрасса, установленные через цепные дроби для различных значений х
Аргумент, х Значения функции Вейерштрасса Значения конечных звеньев цепной дроби Номер конечного звена дроби
0,1 2.331766791336617435716044056376е-1 -2.52539е-1202 5
0,2 2.794219470723656539001207061675е+0 -1. 13488е-1201 5
0,3 7.976442635127686983831499197129е-1 2.80477е-1201 5
0,4 -2.20578052927634346099879293832е+0 9.60665е-1201 5
0,6 2.205780529276343460998792938324е+0 -1.25450е-1200 5
Из колонки 3 таблицы 3 видно, что цепные дроби, представляющие функцию Вейерштрасса в рациональных точках х = 0,1; 0,2; 0,3, ... конечны, так как пятые частные числители цепных дробей близки к нулю. Сравнивая вторые колонки таблицы 1 и таблицы 3, можно заключить, что значения функций Вейерштрасса, определенные рядами и цепными дробями, совпадают. Причем, для вычисления функции Вейерштрасса ж (7; 0,9; 0,1) с точностью 45 десятичных знаков требуется 1024 членов ряда, в то время как при «точном» вычислении этой же функции соответствующая цепная дробь имеет всего четыре звена. Очевидна вычислительная эффективность цепных дробей в сравнении с рядами.
Соответствующие цепные дроби для функции Вейерштрасса будут конечными в произ-
вольных рациональных точках х.
В таблице 4 приведены коэффициенты соответствующей цепной дроби, построенной для функции Вейерштрасса w (7; 0,9) в точке х = 0,111.
Таблица 4 - Значения коэффициентов цепной дроби, представляющей функцию Вейерштрасса w (7; 0,9; 0,111)
Номер звена дроби, п Значения коэффициентов цепной дроби, шп Значения подходящих дробей, Рп/Оп
0 0.939811951086 0.939811951086
1 -0.688024378281 0.251787572805
2 0.224232938784 0.052916370340
3 4.825758794111 0.224245482975
4 4.357264191278 0.484961931198
5 -0.255710922537 0.958313937066
31 -19.071794834810 -0.093790187744
32 -18.717927452156 -0.131787400445
33 0.37484е-9004 -0.131787400445
В таблице 5 приведены результаты определения значений функции Вейерштрасса через соответствующие цепные дроби, построенных из исходных рядов (1) с параметрами а = 7; Ь = 0,9. Переменные х имеют три десятичных разряда: x = 0,111; x = 0,222; x = 0,333; ... .
Таблица 5 - Значения функции Вейерштрасса, установленные через цепные дроби при различных значениях x
Аргумент, х Значения функции Вейерштрасса Значения конечных звеньев цепной дроби Номер конечного звена дроби
0,111 -0.1317874004452739846525173072027е0 0.37484е-9004 33
0,222 -0.1530569770194524217559734019612е0 0.10853е-9004 33
0,333 0.12088194190984092396183752849618е1 0.19338е-9005 33
0,444 0.11463808279503072984087704261067е1 0.23072е-9018 17
0,555 0.89346677457495307448235913713774е0 0.32041е-9024 9
0,666 -0.9164091146439475946496679047149е0 -0.18714е-9004 33
0,777 -0.1190665946146215174923275561407е1 -0.66182е-9005 33
0,888 0.10228533583044874671171509840906е0 0.195129е-9017 17
0,999 -0.23351462022290565773815456526942е1 -0.58527е-9005 33
1,111 0.131787400445273984652517307202751е0 -0.48127е-9005 33
В таблице 6 приведены значения функции Вейерштрасса w(7; 09), определенные при помощи ряда (1) в тех же точках х, в которых значения функции устанавливались конечными цепными дробями.
Таблица 6 - Значения функции Вейерштрасса, установленные при помощи ряда для различных значений x
Аргумент, x Значения функции Вейерштрасса
0,111 -0.1317874004452739846525173072027е0
0,222 -0.1530569770194524217559734019612е0
0,333 0.12088194190984092396183752849618е1
0,444 0.11463808279503072984087704261067е1
0,555 0.89346677457495307448235913713774е0
0,666 -0.91640911464394759464966790471491е0
Сравнивая вторые колонки таблиц 5 и 6 можно отметить совпадение значений функций Вейерштрасса, вычисленные по различным алгоритмам при помощи рядов и цепных дробей. Определение производной функции Вейерштрасса
Как уже отмечалось, установлено, что при ab > '3p +1 функция Вейерштрасса
w(a,b, х) = £bn cos(anpx)
n=0
не имеет производной в классическом смысле, т.е. не существует предела
lim f(х + Ах)" f(х) (5)
Ах®0 Ах
ни при каком значении х.
Определим производную функции Вейерштрасса из расходящегося ряда, которым производная функции Вейерштрасса может быть представлена:
w'(a,b,х) = £[-anpbn sin(apx)]. (6)
n=0
Построим для расходящегося ряда (6) с параметрами а = 7; b = 0,9; х = 0,1 соответствующую цепную дробь. Такая цепная дробь существует, и она конечная, причем, число звеньев цепной дроби, представляющей производную функции Вейерштрасса, такое же, как и в случае цепной дроби, построенной по сходящемуся ряду (1). В таблице 7 приведены значения коэффициентов конечной цепной дроби, представляющую производную функции Вейерштрасса с параметрами а = 7; b = 0,9 в точке х = 0,1.
Таблица 7 - Значения коэффициентов цепной дроби, представляющую производную функции Вейерштрасса в точке х = 0,1
Номер звена дроби, n Значения коэффициентов цепной дроби, wn Значения подходящих дробей, Pn/Qn
0 -0.970805519363 -0.970805519363
1 -16.012091630793 -16.982897150156
2 2.406385870876 10.414470714125
3 -14.087228258249 -14.495984106989
4 -16.493614129124 0.438947974933
5 1.30211 e-1501 0.438947974933
В таблице 8 приведены значения производной функции Вейерштрасса с параметрами а =7; Ь =0,9 в серии рациональных точек: х =0,1; х =0,2; х =0,3;... .
Таблица 8 - Значения производной функции Вейерштрасса, становленные через цепные дроби в различных точках х
Аргумент, х Значения производной функции Вейерштрасса Значения конечных звеньев цепных дробей Номер конечного звена дроби
0.1 4.3894797493294912660825500663464e-1 1.30211 e-1501 5
0.2 4.1722194169037467909295703880070e-1 1.16618e-1501 5
0.3 2.2377039591994958972725203517714e-1 -1.06706e-1501 5
0.4 -3.593339320921954660888005192150e-1 -5.53924e-1502 5
0.5 -4.303551580259990737620059429150e-1 -3.39830e-1504 3
0.6 -3.593339320921954660888005192150e-1 9.51526e-1502 5
0.7 2.2377039591994958972725203517714e-1 2.279132e-1501 5
0.8 4.1722194169037467909295703880070e-1 -4.66134e-1501 5
0.9 4.3894797493294912660825500663464e-1 -1.10445e-1500 5
1.1 -4.3894797493294912660825500663464e-1 1.761655e-1500 5
1.2 -4.1722194169037467909295703880070e-1 8.08202e-1501 5
Найдем цепные дроби для производной функции Вейерштрасса в других рациональных
точках.
В таблице 9 приведены коэффициенты цепной дроби, представляющую производную функции Вейерштрасса с параметрами а = 7; Ь = 0,9 в точке x = 0,111.
Таблица 9 - Значения коэффициентов цепной дроби, представляющей производную функции Вейерштрасса в точке x = 0,111
Номер звена Значения коэффициентов Значения подходящих
дроби, п цепной дроби, шп дробей, Рп/Оп
0 -1.073457415941 -1.073457415941
1 -12.759082751230 -13.832540167172
2 -9.593730933009 -2.277856775517
3 -8.134837372902 35.948877318004
4 -5.228667081790 -0.653042714684
5 -2.259478771726 -4.541690470137
31 3.633816638510 82.596798624171
32 3.980892708365 0.152651178956
33 -4.25646е-1479 0.152651178956
В таблице 10 приведены значения производной функции Вейерштрасса с параметрами а = 7; Ь = 0,9 в серии рациональных точек: x = 0,111; x = 0,222; x = 0,333; ....
Таблица 10 - Значения производной функции Вейерштрасса, установленные через цепные дроби в различных точках х
Аргумент, x Значение производной функции Вейерштрасса Значения конечных звеньев цепных дробей Номер конечного звена дроби
0.111 1.5265117895643695651893300367688е-1 -4.25646е-1479 33
0.222 -4.280751136738788011443515128863е-1 -5.66595е-1479 33
0.333 3.8168174156937645757911787896376е-1 -1.79850е-1478 33
0.444 -5.7206810595214165787580600646831е-1 -3.14017е-1492 17
0.555 4.06753571884962122796039998907642е-1 -3.87306е-1498 9
0.666 -3.51320072330524248711259977317545е-1 -1.11563е-1478 33
0.777 1.946204118885606310829540765236901е-1 -4.23894е-1478 33
0.888 7.845499378410084300481309181648014е-2 -1.75835е-1491 17
0.999 -1.47952828187020001075038197627132е-1 1.29550е-1477 33
1.111 -1.52651178956436956518933003676885е-1 3.67141е-1479 33
Заключение
Применение цепных дробей позволило установить наличие производной функции Вейерштрасса в рациональных точках. Этот же прием суммирования расходящихся рядов построением так называемых соответствующих дробей можно использовать при изучении других быстро осциллирующих функций, которые не имеют производных в классическом смысле.
Перспективным подходом к изучению быстро осциллирующих функций является метод, связанный с г/ф-алгоритмом, получившем, как уже отмечалось выше, разнообразные применения в вычислительной математике. Этот алгоритм дает возможность установить комплексные значения расходящихся в классическом смысле цепных дробей и позволяет подойти к изучению производных быстро осциллирующих функций с принципиально новых позиций.
Список литературы:
1. Демьянов В.Ф. Основы негладкого анализа и квазидиф-ференциальное исчисление / В.Ф. Демьянов, А.М. Рубинов. - М.: Наука, 1990. - 431 с.
2. Потапов А.А. Колебания, волны, структуры и системы на примерах глобального фрактально-скейлингового метода // Нелинейный мир. - 2014. - Т. 12, № 4. - С. 3-34.
3. Ерофеева Л.Н. Фрактальная размерность недифференцированных функций // Труды Нижегородского государственного технического университета. - 2011. - № 3 (90). - С. 353-357.
4. Левин И.И., Хисамутдинов М.В., Шмойлов В.И. Функция Вейерштрасса и r/ф-характеристики // Известия ЮФУ. Технические науки. - 2014. - № 1. - С. 144-158.
5. Шмойлов В.И., Хисамутдинов М.В., Кириченко Г.А. Интервальные и предельные r/ф-характеристики функции Вейерштрасса // Вестник МИФИ. - 2014. - Т. 3, № 3. - С. 301-310.
6. Хисамутдинов М.В., Шмойлов В.И. Предельные r/ф-характеристики функции Вейерштрасса // Нелинейный мир. - 2015. - № 3, Т. 13. - С. 39-52.
7. Джоунс У. Непрерывные дроби. Аналитическая теория и приложения: пер. с англ. / У. Джоунс, В. Трон. - М.: Мир, 1985. - 414 с.
8. Скоробогатько В.Я. Теория ветвящихся цепных дробей и ее применение в вычислительной математике. - М.: Наука, 1983. - 312 с.
9. Cuyt A., Petersen V., Verdonk B., Waadeland H., Jones W. Handbook of Continued Fractions for Special Functions. - Springer Science, 2008. - 431 p.
10. Kirichenko G.A., Shmoylov V.I. Algorithm for Summation of Divergent Continued Fractions and Some Applications. // Computational Mathematic and Matematical Physics. - 2015. - Vol. 55, № 4. - P. 549-563.
11. Шмойлов В.И. Периодические цепные дроби. - Львов: Академический экспресс, 1998. - 219 с.
12. Гузик В.Ф., Ляпунцова Е.В., Шмойлов В.И. Непрерывные дроби и их применение. -М.: ФИЗМАТЛИТ, 2015. - 298 с.
13. Шмойлов В.И. Непрерывные дроби: в 3 т. / Нац. акад. наук Украины, Ин-т прикл. проблем механики и математики. - Львов, 2004. - Т. 2: Расходящиеся непрерывные дроби. - 558 с.
14. Шмойлов В.И. Расходящиеся системы линейных алгебраических уравнений. - Таганрог: Изд-во ТТИ ЮФУ, 2010. - 205 с.
15. Шмойлов В.И., Редин А.А., Никулин Н.А., Непрерывные дроби в вычислительной математике. - Ростов-на-Дону: Изд-во ЮФУ, 2015. - 228 с.
16. Weierstrass K. Math. Werke. Bd. 2. Berlin 1895. Abh. 6.
17. Шмойлов В.И. Непрерывные дроби и r/ф-алгоритм. - Таганрог: Изд-во ТТИ ЮФУ, 2012. - 608 с.
18. Рутисхаузер Г. Алгоритм частных и разностей. - М.: ИИЛ, 1960. - 93 с.
