Инверсные непрерывные дроби и ортогональные полиномы Текст научной статьи по специальности «Математика»

ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ

ИНВЕРСНЫЕ НЕПРЕРЫВНЫЕ ДРОБИ И ОРТОГОНАЛЬНЫЕ

ПОЛИНОМЫ Шмойлов В.И. Email: [email protected]

Шмойлов Владимир Ильич - старший научный сотрудник, Научно-исследовательский институт многопроцессорных вычислительных систем Южный федеральный университет, г. Таганрог

Аннотация: рассмотрены способы построения инверсных непрерывных дробей, числителями и знаменателями подходящих дробей которых являются классические ортогональные полиномы. Отмечаются особенности, отличающие инверсные непрерывные дроби от классических непрерывных дробей. Приводится алгоритм определения значений непрерывных дробей с вещественными элементами (r/ф-алгоритм). Этот алгоритм позволяет устанавливать значения непрерывных дробей, расходящихся в классическом смысле. Рассматривается сходимость нормированных непрерывных дробей.

Установлено, что инверсные непрерывные дроби ортогональных полиномов Чебышева первого рода Тп(х) и второго рода ип(х), как и инверсные непрерывные дроби полиномов Лежандра Рп(х), представляют одну и ту же функцию, а именно: показательную функцию мнимого аргумента elarccosx. Нормированная инверсная непрерывная дробь ортогональных полиномов Эрмита Нп(х) не зависит от аргумента х и имеет своим значением мнимое число i/Je. Значение нормированной инверсной непрерывной дроби ортогональных полиномов Лагерра Ъп(х), вне зависимости от аргумента х, равно отрицательной величине —\/в. Ключевые слова: ортогональные полиномы, инверсные и нормированные непрерывные дроби, r/ф-алгоритм.

INVERSE CONTINUED FRACTION AND ORTHOGONAL

POLYNOMIALS Shmoylov V.I.

Shmoylov Vladimir Ilyich - Senior Research, RESEARCH INSTITUTE OF MULTIPROCESSOR COMPUTING SYSTEMS SOUTH FEDERAL UNIVERSITY, TAGANROG

Abstract: the methods of constructing the inverse of the continued fractions, the numerators and denominators of convergents of which are classical orthogonal polynomials. Features that distinguish the inverse from the classical continuous fraction the continuous fraction. An algorithm for determining the values of continuous fractions with real elements (r/ф-algorithm) is given. This algorithm allows us to set the values of continuous fractions diverging in the classical sense. Convergence of normalized continuous fractions is considered.

It is established that inverse continuous fractions of orthogonal Chebyshev polynomials of the first kind Тп (х) and the second kind Un (х), as well as inverse continuous fractions of Legendre polynomials Рп (х), represent the same function, namely, the exponential function of the imaginary argument elarccosx. It is shown that the normalized inverse continuous fraction of orthogonal Hermite polynomials Нп(х), does not depend on the argument x, and has the imaginary number i/Je. The value of the normalized inverse continuous fraction of orthogonal Lagerre polynomials Ъп(х), also regardless of the argument х, is equal to the negative value —\/e.

Keywords: orthogonal polynomials, inverse and normalized continuous fractions, r/ф-algorithm.

УДК 517.524

Введение

Ортогональные полиномы тесно связаны с непрерывными дробями [1]. Зная непрерывные дроби, знаменателями подходящих дробей которых являются ортогональными полиномами, можно построить непрерывные дроби, у которых как знаменатели, так и числители подходящих будут ортогональными полиномами с соседними индексами. Для этого надо использовать так называемые инверсные непрерывные дроби [2], имеющие вид:

b + an an-1 a3 a2 ^

" bn-1 + bn - 2 + ...+ b2 + b1 .

Известно [3], что непрерывные дроби могут быть представлены отношением трёхдиагональных определителей. Из представления непрерывных дробей отношением трёхдиагональных определителей следует, что если

Pn г. a1 a2 an-1 an — = b0 +— — -n-1 —, (2)

Qn b1 + b2 + ..+ bn-1 + bn

то имеют место следующие непрерывные дроби для отношений Рп/Рп-1 и Qn/ Qn-i-

Pn _и , an an-1 a2 a1

= bn — —, (3)

Рп-1 " К-1 + К _ 2 + •••+ ¿1 + Ь0

=Ьпаз ^ (4)

Оп-1 Ьп-1 + Ьп _ 2 + •••+ ¿2 + ¿1

Таким образом, если задана непрерывная дробь, о которой известно, что знаменатели подходящих дробей являются ортогональными полиномами, то используя инверсную непрерывную дробь (4), можем записать непрерывную дробь, числители и знаменатели подходящих дробей которой будут ортогональными полиномами.

Существует и иной способ построения инверсных непрерывных дробей, который не предполагает наличие исходной непрерывной дроби (2).

Если задано рекуррентное соотношение второго порядка

Рп = ЪпРп_1 + апРп_2, Ро = 1, Р = ¿0,

то непрерывная дробь, числители и знаменатели которой равны отношению Рп/Рп-1, будет иметь вид (3).

Непрерывные дроби (3) и (4) - это инверсные непрерывные дроби, которые имеют характерные особенности, отличающие их от классических непрерывных дробей. Первое отличие состоит в том, что эти непрерывные дроби удлиняются не «с конца», а «с начала». С этой особенностью связан и порядок определения подходящих дробей, - подходящие дроби отсчитываются «с конца» непрерывной дроби. Так как в инверсных непрерывных дробях добавление нового звена происходит «с начала», то это находит отражение и в записи инверсных непрерывных дробей, - перед первым звеном ставится многоточие, как показано в формуле (1).

Определение значений непрерывных дробей осуществляется при помощи т/ц>-алгоритма, который имеет формулировку [4]:

Непрерывная дробь с вещественными элементами сходится и имеет своим

тением пределы:

значением в общем случае комплексное число Z — Г^в , если существуют

lim — ПИ /ö| = % (5)

k

ж lim — =| щ (6)

и^да —

где Pi/Qi - значение -й подходящей дроби;

кп- количество подходящих дробей, имеющих отрицательные значения из совокупности, включающей n подходящих дробей.

Приведенный r/щ-алгоритм при некотором обобщении применим не только к суммированию расходящихся в классическом смысле непрерывных дробей, но и при решении других математических задач [5-13]. Особый интерес представляет использование r/щ-алгоритма при решении СЛАУ, так как алгоритм позволяет устанавливать комплексные решения систем с вещественными матрицами [14-16].

1. Непрерывные дроби, представляющие отношения полиномов Чебышева первого и второго рода

Полиномы Чебышева первого рода определяются формулой [17]:

Tn(х) = cos(n arccosx), хe[-1,1], n = 0, 1, 2,.... (7)

Рекуррентное соотношение:

T—+1 (х) = 2хТ— (х)-Т—-1(х), Т0(х) = 1, T(х) = х. (8)

Построим цепную дробь, числителями и знаменателями подходящих дробей которой являются полиномы Чебышева первого рода. Используя рекуррентную формулу (8), запишем:

Т(х) „11 11 nV у =... 2х--— — -• (9)

Ти_j (х) 2х - 2х -... - 2х - х

Непрерывная дробь (9) - инверсная, для которой подходящие дроби отсчитываются «с конца»:

Тх( х)

= х,

Т)( х)

Т2(х)_2х 1 _ 2х2 -1

Т (х) х х

Т3(х) 1 14х3 -3х

-= 2 х--— =-г-,

Т (х) 2х - х 2х2 -1

Подходящие инверсной непрерывной дроби (9) можно записать: Tn (х) _ cos(n агееоБх) Tn-1(х) cos((n - 1)arccosх)

Если х = cos то ортогональные полиномы Чебышева первого рода будут иметь вид:

Tn (cos^) = cos Пф. Рекуррентное соотношение:

тп+1(cos^ = 2cosq)Tn (соф) - Тп _1(cos^X

T0(cos^) = 1, T1(cos^) = cos^>. (10)

Запишем инверсную непрерывную дробь, представляющую отношение полиномов

Чебышева первого рода:

Tn (cos-) 11 11 nV =... 2 cos---- - -. (11)

Tn-1(cos-) 2cos- - 2cos- -...- 2cos- - cos-

Подходящие непрерывной дроби (11) определяются формулой

Р cosn(

(12)

ß„ cos(n -1—

В [13] с использованием r/^-алгоритма были установлены комплексные значения инверсных непрерывных дробей, числители и знаменатели подходящих дробей которых - ортогональные полиномы Чебышева первого рода:

T(x) cos(n arccosx) „11 11 ,aj-ccosx

lim nV 1 = lim---— = ... 2x--— — - = e arccosx. (13)

n—»Tn_x(x) n—» cos[(n -1)arccosx] 2x - 2x -...- 2x - x

lim T(co-) = lim cQsn^ =... 2cos—--^ -J--L_ = e-. (14)

Tn_-y (cos-) cos(n -1)— 2cos—-...-2cos— - cos—

Используя «явные» формулы для полиномов Чебышева первого рода

(х+УХм )п+(х_№_\)п

Тп (х) =-

Tn (cos( =

2

(cosл + i sin (p)n + (cosл - i sin

2

получим значения пределов:

lim = lim (x + (x -f!lj)n = ei arccosx, a5)

n-» Tn-1(x) n(x + V x2 - 1)n-1 + (x - V x2 - 1)n-1

Tn (cos—) ein- + e""- -

hm-^—= -^^=(16)

n-» (cos-) n-» ei(n-1)-+ e-(n+1-

Аналогично можно записать значения предела рекуррентных формул:

lim T±iM = lim 2xTn (x) - Tn-1(x) = exarccosx, (17)

n-» Tn (x) 2xTn_1(x) - Tn-2(x)

Используя известные представления полиномов Чебышева 1-го рода гипергеометрическим рядом и формулой Родрига, можно записать значения пределов:

V Tn(x) F(n, -n, 1/2; (1 -x)/2) .^

lim nV ' = lim-= e arccosx. (18)

n-» T„4 (x) n-» F(n -1, -(n -1), 1/2; (1 - x)/2) ( )

dl d _

lim dn^ = lim-(M-dx"- = e'arccosx, (19)

x) (-2)"-1(" -1)! г-2 d"-' 2ч

-л/1 - x -- (1 - x ) 2

(2" - 2)! dx"-1

Полиномы Чебышева второго рода Un(x) определяются следующим образом [17]:

= sin((" +1)arCCoSx), " = 0

Имеет место рекуррентная формула:

U"+1 (x) = 2xU" (x) - U"-1(x), Uo(x) = 1, U^x) = 2x. (20)

Если x = cos®, то запишем:

U" (cos®) = Sin("H)^.

sin®

Рекуррентное соотношение:

U"+1 (cos®) = 2 cosgU" (cos®) - Un-1 (cos®), U0(cos®) = 1, U^cos®) = 2cos®. В [13] установлены комплексные значения непрерывных дробей, числители и знаменатели подходящих дробей которых - ортогональные полиномы Чебышева второго рода:

U (x) sin((n + 1)arccosx) „ 11 1 ,arccosr

lim nV J = lim—^---= 2x--— — = e'arccosx. (22)

UK_[(x) и^м sin(narccosx) 2x - 2x -...- 2x -...

U„ (cos®) ,. sin(n +1)® „ 11 1 ,®

lim—^-— = lim—^-— = 2cos®--- - = e'®, (23)

U„_1 (cos®) sin n® 2cos®-2cos®-...-2cos®-...

Полиномы Чебышева второго рода представляются также формулами:

(x Wx2 -1)"+1 -(x-Л/x2 -1)"+1

(21)

U" (x) =

U" (cos®) =

2Vx2 -1 '

(cosx Wcos2 x -1)"+1 - (cosx -л/cos2 x -1)"+1

Wcos2 x -1

которые можно получить применением обобщённых формул Бине [18]. Учитывая полученные пределы для отношений полиномов Чебышева второго рода, запишем:

lim UM = taíí^Sr^íí^ZIr1 = e'arccosx, (24) U„-1(x) (x Wx2 -1)" - (x -Vx2 -1)"

U" (cos®) e'("+1)® - e-«"+1® sin(" +1)®

lim —^-= lim-----= lim —^-= e®. (25)

U^cos®) em® - e '"® sin я®

Приведём непрерывные дроби, числителями и знаменателями подходящих дробей которых являются ортогональные полиномы Лежандра, Эрмита и Лагерра.

2. Непрерывные дроби, представляющие отношение полиномов Лежандра Полиномы Лежандра определяются рекуррентными формулами [19]:

P"+1( x) = 2"+1 xP" (x) ~—Pn-1( x),

" +1 " +1 (26)

P0(x) = 1, P = x, -1 < x < 1.

Запишем инверсные непрерывные дроби, числителями и знаменателями

подходящих дробей которых является полиномы Лежандра:

P^ (x)_ 2n +1 _n /(n +1) (n -1)/n (n - 2)/(n -1) 3/4 2/3 1/2

P (x) " "' n +1 x - 2n -1 2n - 3 2n - 5 ^ ^ .

n -x--x - -x - ...--x--x - x

n n-1 n-2 3 2

Если , то получим:

Р„+1(С05У)_ 2п +1 п /(п +1) (п _ 1)/п 3/4 2/3 1/2

РЛсойр) " "' п +1 ^^ 2п_ 1 2п_3 5 3 • (28)

п п _1 3 2

Используя рекуррентное соотношение (26), запишем полиномы Лежандра:

1 7

Р2(X) = ^(3х2 _ 1),

р (х) = 1(5х3 _ Зх),

р (х) = ^(35х4 _ ЗОх2 + 3),

р (х) =1 (63х5 _ 70х3 + 15х), 8

В табл. 1 показаны результаты суммирования расходящейся непрерывной дроби (27) при х = 0 , 9 .

Таблица 1. Определение значения непрерывной дроби

Рп+1 (0,9) _ _ п /(п +1) (п _ 1)/п 3/4 2/3 1/2 (29)

Рп (0,9) = п +1 , _ 2п^1о,9_ (2п_3)о,9_ • •_5о,9_30,9_ 0,9 • п п _ 1 3 2

Номер подходящих дробей, n Значения подходящих дробей, Р„/ <2„ Значения Значения аргуме Погрешность модуля, Погрешность аргу-

модуля, г„ нта, <р„ £r = мента, £,, = | ( - (¡Рп |

1 0,9 0,9 0 0,1000000000 0,4510268117

2 0,7944444444 0,0,845576726 0 0,1544232740 0,4510268117

4 0,4400793650 0,6933021982 0 0,3066978017 0,4510268117

8 1,1138065941 0,9063085225 0,3926990816 0,0936914774 0,0583277300

16 0,9119952257 0,9292780797 0,3926990816 0,0707219202 0,0583277300

32 0,3997499489 0,9173625208 0,3926990816 0,0826374791 0,0583277300

64 1,0880043540 0,9724333756 0,4417864669 0,0275666243 0,0092403448

128 0,8220270334 0,9818863788 0,4417864669 0,0181136211 0,0092403448

256 -1,073217650 0,9847231228 0,4540583132 0,0152768771 0,0030315014

32768 0,8189532429 0,9998437450 0,4509903516 0,0001562549 0,0000364601

65536 -1,339188492 0,9998990920 0,4510382885 0,0001009079 0,0000114767

131072 0,5845814022 0,9999515972 0,4510143200 0,0000484027 0,0000124917

262144 1,4250059867 0,9999769687 0,4510263043 0,0000230312 0,0000005074

524288 1,3018949119 0,9999879190 0,4510263043 0,0000120809 0,0000005074

1048576 1,1262513993 0,9999936703 0,4510263043 0,0000063296 0,0000005074

Учитывая, что arcco s0,9 = 0,45 1 02 681. . . , запишем:

P„+1(0,9) 2n + 1 n/(n +1) (n -1)/n 3/4 2/3 1/2 ,^0,9 lim-=...-0,9 —---- —-—- —- —- -= e . /"2 пл

nm» P„ (0,9) n +1 2n-l 0,9 - (2^3) 0,9 -5 0,9 - ^,9 - 09 (30)

n n -1 3 2

Расходящиеся в классическом смысле непрерывная дробь (27) представляет показательную функцию мнимого аргумента:

2n +1 n/(n +1) (n -1)/n (n - 2)/(n -1) 3/4 2/3 1/2

-x -

2n -1 2n - 3 2n - 5 5 3 ' (31)

n+1

-x--x - -x -... — x — x - x

n n -1 n - 2 3 2

Если в (31) положить x = с о s р, то получим непрерывную дробь для е

ь<Р .

®® 2n +1 n/(n +1) (n -1)/n 3/4 2/3 1/2

e® = "ПТ00^-2n/(1- - 5- 3--■ (32)

-cos®--cos®- ■■■-— cos®- — cos®- cos®

n n -1 3 2

В табл. 2 приведены результаты суммирования непрерывной дроби (28) при = 1 , 5 .

Таблица 2. Суммирование непрерывной дроби

(33)

Р„+1(1,5) 2n +1 n/(n +1) (n -1)/n 3/4 2/3 1/2

-cos!.5 -

Pn(1,5) n +1 —1 cos1'5 - ——3 cos1'5 -... - 5cos1.5 - — cos1'5 - cos1'5

n n -1 3 2

^/arccosx

Номер подходящих дробей Значения подходящих дробей, Рп/Qn Значения модуля, гп Значения аргумента, рп Погрешность модуля, £r = Погрешность аргумента, £<р = 1 <Р~ <Рп\

1 0,0707372010 0,0707372010 0 0,9292627980 1,5

2 -6,962310648 0,7017794290 1,5707963267 0,2982205700 0,0707963267

4 -3,386640762 1,4981518738 1,5707963267 0,4981518738 0,0707963267

8 -1,525412421 1,1559618634 1,5707963267 0,1559618634 0,0707963267

16 -0,426097754 1,0052786530 1,5707963267 0,0052786530 0,0707963267

32 0,8311155047 1,0087507175 1,4726215563 0,0087507175 0,0273784436

64 -0,147693965 0,9754994481 1,5217089415 0,0245005518 0,0217089415

128 2,4325582972 0,9995446616 1,4971652489 0,0004553383 0,0028347510

256 1,1158268217 0,9976228130 1,4971652489 0,0023771869 0,0028347510

32768 -0,181346044 0,9998622942 1,5000414629 0,0001377057 0,0000414629

65536 2,0856856185 0,9999511954 1,4999935260 0,0000488045 0,0000064739

131072 0,8887256401 0,9999706835 1,4999935260 0,0000293164 0,0000064739

262144 -0,091986288 0,9999762983 1,5000055102 0,0000237016 0,0000055102

524288 3,4377465065 0,9999920188 1,4999995181 0,0000079811 0,0000004818

1048576 1,7324079705 0,9999955922 1,4999995181 0,0000044077 0,0000004818

Исходя из данных колонок 2 и 3 табл. 2, в которых устанавливается значение модуля и аргумента комплексного числа, являющегося значением непрерывной дроби (33), можно записать

Pn+.(1,5) 2и + 1 , с И /(и + 1) (и-1)/И 3/4 2/3 1/2 i15

—- =...-cos1.5-----— —---- - - -= е . ("тлл

pn (U) и +1 2и-1 coS1.5 - ^ cos1.5-...-5cos1.5 - 3cos1.5 - cos1.5 (34)

и и-1 3 2

Как и в случае непрерывных дробей, представляющих полиномы Чебышева, инверсные непрерывные дроби полиномов Лежандра определяются показательной функцией мнимого аргумента:

lim ^^ = е'arccosx, (35)

Pn (x)

P„,, (cos®) j,„

lim p^+ii-® = е-Г (36)

P (cos®)

Известно, что одна и та же функция может быть представлена различными непрерывными дробями, имеющими разные скорости сходимости.

Значение е'аг с с 0 sx имеют также пределы:

2n +1 n

р (x) TV n (x)---7 Pn-1(x)

lim P+1(x) = lim-^-n+1-= e'arccosx, (37)

n^M P (x) n^M 2n - 1 „ ^ 4n - 1 _ . .

Pn (X) -xPn-1 (x)--Pn-2 (x)

n-1\ / n-

nn

P (x) F(-n, n +1, 1; (1 - x)/2) 'arccosx

lim nV ' = lim^-т---—— = e'arccosx. (38)

n^M Pn 1 (x) n^M F(- (n -1)), n, 1; (1 - x) / 2) ( )

1 dn

——(x 2 -1) n

nn

lim In^ = lim-2nn! dx" -= e'arccosx. (39)

n^M P^ (x) n^M 1 dn-1 ( )

=t(xZ -1)n

2 (п -1)! ¿хп

3. О значении инверсной непрерывной дроби полиномов Эрмита Полиномы Эрмита со старшим коэффициентом, равным единице, имеют рекуррентную формулу [20]:

Нп+1(х) = хН" (х) - пН"-1 (х), Я0(х) = 1, Н1(х) = х. (40)

Используя рекуррентную формулу (40), запишем:

Н2 (х) = х2 -1,

Н3 (х) = х3 - 3х, НА (х) = х4 - 6х2 + 3, Н (х) = х5 -10х3 + 15х,

Инверсная непрерывная дробь, числителями и знаменателями подходящих дробей которой являются полиномы Эрмита, имеет вид:

Н„., (х) п п -1 п - 2 32 1

= - х-------. (41)

Нп(х) х - х - х -... - х- х- х

В табл. 3 приведены результаты определения значения непрерывной дроби (41) при х = 0, 1 .

Таблица 3. Определение значения непрерывной дроби Н±1(0Д)= 0 П-1 п - 2 (42)

Ип(0,1) "' ' 0,1 - 0,1 - 0,1 -...-0,1 - 0,1 - 0,1'

Номер подходящих дробей Значения подходящих дробей, Рп/(¡п Значения модуля, r„ Значения аргумента, (fn Погрешность нормированного модуля, I 1 1 I £ г(н) = \~Т~~ргп I 11 Ive vn 1 Погрешность аргумента, |7Г I = I2 _<Р"|

1 0,1000000000 0,1 3,1415926535 0.5065306590 1,5707963267

2 -9,9000000000 0.9949874370 1,5707963267 0,0970317050 0,0000000001

4 0,5067888847 1,9647047529 1,5707963267 0,3758217167 0,0000000001

8 0,9248450450 2,3507285491 1,5707963267 0,2245773892 0,0000000001

16 1,7970788240 2,9536109653 1,5707963267 0,1318720816 0,0000000001

32 3,7046920989 3,8620430859 1,5707963267 0,0761885541 0,0000000001

64 8,3708770472 5,1984249946 1,5707963267 0,0432724646 0,0000000001

128 24,303363498 7,1344763641 1,5707963267 0,0240739174 0,0000000001

256 -520,3742282 9,9123107875 1,5707963267 0,0129887645 0,0000000001

32768 -167,7396720 109,81878932 1,5703169577 0,0001381733 0,0004793691

65536 129,23947027 155,28938214 1,5704128315 0,0000684893 0,0003834953

131072 -4778,395305 219,60186315 1,5705326738 0,0000395223 0,0002636530

262144 693,15982512 310,55397144 1,5706045791 0,0000200658 0,0001917477

524288 110,32648074 439,18126061 1,5706585082 0,0000084957 0,0001378186

1048576 -3330,744801 621,09304504 1,5707004529 0,0000055171 0,0000958739

В первой колонке табл. 3 указаны номера подходящих непрерывной дроби (42). Во второй колонке даны значения подходящих. Очевидно, что непрерывная дробь (42) расходится. Значения подходящих дробей, приведённых во второй колонке, не стремятся к пределу с ростом номеров подходящих. В третьей колонке приведены величины модуля гп искомого комплексного числа, которое является значением расходящейся непрерывной дроби (42). Модуль гп, установленный по формуле (5) г/—-алгоритма, растёт с числом подходящих. В четвёртой колонке показаны результаты определения аргумента искомого комплексного числа, который находится по формуле (6). Аргумент —п стремится к значению п / 2 , что свидетельствует о том, что знаки подходящих непрерывной дроби (42) чередуются. Особого разъяснения требует погрешность нормированного модуля гп(н), фиксируемая в колонке 5 табл. 3. Из колонки 3 табл. 3, в которой устанавливается модуль комплексного числа, являющегося значением отношений полиномов Эрмита Н п + х (х) / Нп (х) , можно заметить, что этот модуль есть функция порядкового номера п, то есть гп « — п/е. Учитывая, что —п « п/ 2 , предполагаем, что при п — оо имеет место формула:

lim = iß. (43)

Hn (x) V e

Следовательно, погрешность нормированного модуля ги(н) можно записать:

М-Н Те~1пгп I . (44)

Результаты вычислений погрешности нормированного модуля ги(н), выполненные по формуле (44), приведены в колонке 5 табл. 3.

В табл. 4 приведены результаты определения значения непрерывной дроби (41) при .

Таблица 4. Определение значения непрерывной дроби

Hn+1(1,5) = 15 и-1 и -2 AAA (45) Нп(1,5) "' 1,5- 1,5 - 1,5 -...-1,5 -1,5-1,5.

Номер подходящих дробей Значения подходящих дробей, Рп/Qn Значения модуля, r„ Значения аргумента, f Погрешность нормированного модуля, 11 1 1 eoo = h=--ртп\ п Ive \ln 1 Погрешность аргумента, |7Г I £у = \2~ <Рп|

1 1,5000000000 1,5000000000 0 0,8934693410 1,5707963268

2 0,8333333333 1,1180339890 1,5707963267 0,1840387540 0,0000000001

4 0,6724137931 1,2494996997 0,7853981633 0,0182191901 0,7853981635

8 7,7113875438 2,0876592261 1,1780972450 0,1315683381 0,3926990818

16 -0,169365049 2,2376588798 1,3744467859 0,0471159398 0,1963495409

32 -6,344001534 3,6387094415 1,3744467859 0,0367083705 0,1963495409

64 -4,012865216 4,9861577053 1,4235341711 0,0167390534 0,1472621557

128 39,010635892 7,0197563909 1,4480778637 0,0139340086 0,1227184631

256 -32,14047048 9,8245265905 1,4848934026 0,0075022522 0,0859029242

32768 819,98952720 109,81280819 1,5625511800 0,0001051319 0,0082451468

65536 228,29144570 155,28521947 1,5649480250 0,0000522288 0,0058483018

131072 -168,3100680 219,59682058 1,5666737534 0,0000255940 0,0041225734

262144 4284,9030971 310,55167638 1,5678721759 0,0000155832 0,0029241509

524288 -865,7799996 439,18082436 1,5687290479 0,0000078932 0,0020672789

1048576 -248,2978867 621,09094322 1,5693342513 0,0000034645 0,0014620755

Из выражения (43) можно установить значение нормированной инверсной непрерывной дроби ортогональных полиномов Эрмита при п со:

(

lim

1 Ни Ax)

Л

1

1

- =-£= е 2 ='-^ = 70.606530659....

Vn Ни(x) ) ve л/е

(46)

Предел (46) - мнимое число, причём, коэффициент при мнимой единице равен обратной величине квадратного корня из числа е. Из формулы (46) следует, что значение предела нормированных отношений полиномов Эрмита не зависит от аргумента х. Такая особенность присуща инверсным непрерывным дробям в случае неограниченного роста первых коэффициентов дроби.

Из (46) может быть получено экзотическое представление квадратного корня из числа е:

1

4е = -

lim

n -^да

1 Нп+1( x)

= 1.648721271....

^ Hn (x)

Не менее своеобразна формула для представления V—1:

4ГХ = 4l lim i-L. Hn±^ n Hn(x) )

Из формулы (46) можно также записать:

lim

1

4n

n

..x — x -

n -1 n - 2

3 2 1

x x ... x x x

4~e

л

1

4. О пределе отношения полиномов Лагерра

Рекуррентная формула для полиномов Лагерра Ъп (х) записывается следующим образом [20]:

Гй+1(х) = (х - (2п +1)) 1„ (х) - п2Ьп_1(х), !0(х) = 1, ^(х) = X-1. (47)

Используя рекуррентную формулу (47), получим: Ь2 (х) = х2 - 4х + 2,

Ьъ(х) = х3 -9х2 + 18х-6,

Ь4(х) = х4 -16х3 + 72х2 + 96х + 24,

Инверсная непрерывная дробь, числителями и знаменателями подходящих дробей которой являются полиномы Лагерра, имеет вид:

¿„+1 (х) п2 (п -1)2 32 22 12

' =... х-(2п +1)--—-- - - -. (48)

(х) х - (2п -1) - х - (2п - 3) -... - х - 5 - х - 3 - х -1

В табл. 5 приведены результаты определения значения непрерывной дроби (48) при х = 0, 1 .

Таблица 5. Определение значения непрерывной дроби

= ...од_(2п +1)_А__(п-1)2 Л Л Л. (49)

¿„(0,1) 0,1 - (2п -1) - 0,1 - (2п -3) -...-0,1 - 5 - 0,1 - 3 - 0,1 -1

Номер подходящих дробей Значения подходящих дробей, РпЮп Значения модуля, г„ Значения аргумента, <Рп Погрешность нормированного модуля, 'п |1 1 1 \е~пГп\ Погрешность аргумента, = \П~<РП\

1 -0,9 0,9000000000 3,1415926535 0,5321205590 0

2 -1,788888888 1,3374935100 3,1415926535 0,3008673140 0

4 -3,521590114 2,3101940744 3,1415926535 0,2096690774 0

8 -6,630499125 3,5804917203 3,1415926535 0,0796820239 0

16 -30,35188688 6,3474554411 2,9567930857 0,0288365239 0,1847995678

32 -32,48607829 12,818817280 3,0463928762 0,0327085988 0,0951997773

64 -58,87101426 24,312082937 3,0932604589 0,0119968547 0,0483321946

128 -127,5031441 48,265064187 3,0928857907 0,0091913728 0,0487068628

256 -256,2761361 95,415738349 3,1049203658 0,0048382868 0,0366722877

32768 -32728,37215 12056,283359 3,1381413021 0,0000491281 0,0034513514

65536 -65433,56040 24110,916274 3,1391479090 0,0000239444 0,0024447445

131072 -131327,0344 48220,176044 3,1398429701 0,0000113062 0,0017496834

262144 -262243,6162 96439,202177 3,1403582831 0,0000069197 0,0012343704

524288 -528157,6874 192875,67782 3,1407178068 0,0000017192 0,0008748467

1048576 -1048682,783 385751,53440 3,1409754665 0,0000018897 0,0006171869

В табл. 6 приведены результаты определения значения непрерывной дроби (48) при .

Таблица 6. Определение значения непрерывной дроби

hM = 2 - (2n + 1)—^__(n -1)2 JL JL (50)

Ln (2) 2 - (2n -1) - 2 - (2n - 3) -...-2 - 5 - 2 - 3 - 2 -1

Номер подходящих дробей Значения подходящих дробей, Рп/Qn Значения модуля, r„ Значения аргумента, f Погрешность модуля, 1 1 Погрешность аргумента, = \п~<рп\

1 1 1,0000000000 0 0,6321205590 3,1415926000

2 -2 1,4142135623 1,5707963267 1,0463341210 1,5707963200

4 4 2,4484798507 1,8849555921 0,2442405215 1,2566370614

8 -4,325358851 2,4290560375 2,4434609527 0,0642474365 0,6981317007

16 -8,454337309 5,4612710692 2,5871939500 0,0265499993 0,5543987035

32 -36,97638351 12,912235879 2,6655937666 0,0356279300 0,4759988869

64 -65,89257599 24,740999065 2,8032672908 0,0186986692 0,3383253626

128 -131,4840511 48,343150589 2,8980583393 0,0098014228 0,2435343142

256 -244,5176352 95,419975643 2,9704553105 0,0048548387 0,1711373429

32768 -33070,46784 12056,274431 3,1259657012 0,0000488557 0,0156269523

65536 -65216,07794 24111,057440 3,1305673349 0,0000260984 0,0110253186

131072 -131782,6932 48220,383372 3,1337789985 0,0000128880 0,0078136550

262144 -263068,1511 96439,159698 3,1360679469 0,0000067576 0,0055247066

524288 -526324,6642 192876,49544 3,1376858037 0,0000032787 0,0039068498

1048576 -1050961,405 385751,38760 3,1388302923 0,0000017497 0,0027623612

Из данных третьих колонок табл. 5 и табл. 6, следует, что модуль комплексного числа, являющегося значением отношения полиномов Лагерра !„ + г (х) / !„ (х) , есть функция порядкового номера п, то есть гп = п/е.

Так как аргумент (рп с ростом п стремится к л, то можно записать:

Ьп+1 (х) п л п 11Ш _ =— е =—. (51)

п^> (х) е е

Из выражения (51) устанавливаем значение нормированного предела, связанного с отношением полиномов Лагерра:

1 4+1(х) 1 _ 1 л _ 1

limI |=-г™ =— = - 0.367879441.... (52)

n^»^ n Ln (x) j г г

Предел (52) - отрицательные вещественное число, равное по модулю обратной величине числа е. Следовательно, неперово число е может иметь такое представление:

г =--7—1--^ = 2.718281928....

1 Т \

lim

n^»

1 Ln+1(x)

_ I (53)

Vп Ьп(х)

Из формулы (52) также следует, что значение предела нормированных отношений полиномов Лагерра не зависит от аргумента х, что объясняется особенностями инверсных непрерывных дробей, когда «удлинение» непрерывной дроби производится «с начала».

Можно записать значение нормированной непрерывной дроби:

Бш

п^да

1 |

х - (2и +1) -

(и -1)2

32

22

12

х- (2и -1) - х - (2и -3) -... - х- 5 - х- 3 - х -1

Несложно заметить, что квадрат предела нормированных отношений полиномов Эрмита равен пределу нормированных отношений полиномов Лагерра:

( х)

1т [А.

п^^уЫ п Нп (х)

=-1 = -0.367879441.

То есть, имеет место запись:

(

Нш

п^да

Нп+1( х) уШ Нп (х)

Г

= Нш

п^да

Ап+1( х)

К (х)

Таким образом, г/ф-алгоритм позволил необычным образом подтвердить связь между классическими ортогональными полиномами Эрмита и Лагерра.

Инверсные непрерывные дроби полиномов Эрмита (41) и полиномов Лагерра (48) при определении их значений г/-алгоритмом являются расходящимися, так как модули комплексных значений неограниченно растут с номером подходящих дробей. Однако модули нормированных непрерывных дробей приобретают конечные значения, соответственно, I/[е и — 1 /е при умножении модулей подходящих дробей гп на множители 1 /[п и 1 /п. Нормированные таким образом инверсные непрерывные дроби полиномов Эрмита и Лагерра будем определять как сходящиеся. К сходящимся непрерывным дробям будем относить и другие непрерывные дроби, которые при нормировке, т.е. умножении модулей гп на некоторые функции Р (п), приобретают конечные значения.

Аналогичный приём нормирования был использован в [21] при определении предела отношений чисел Эйлера и Берну лли:

1т

1

п^да (2п - 1)2п Е

п—1

4

п

(55)

2

п

п

2

V 1 Вп 1

=» —. (56)

п^да п Вп_х 2п

Можно установить связь между числами Бернулли и числами Эйлера, аналогично тому, как выше была установлена связь между полиномами Эрмита и Лагерра. Из сравнения (55) и (56) получим:

( л т> \

-16

1т 1 В

2

п

Vп^да п Вп-1

1 Е 4 = Иш---^ = = 0.4052847....

п^да (2п - 1)2п Еи_! п

5. Об одной производящей функции

Для классических ортогональных полиномов существуют производящие функции. Например, для полиномов Чебышева второго рода и полиномов Лежандра производящие функции имеют вид:

1 да 1 да

——Г = I ип (ху, 2 = £ Рп (ху.

1 - 2 хХ + г п=0 л/1 - 2 хХ + Х п=0

На использовании производящих функций основывается способ Д. Бернулли определения старшего по модулю вещественного корня алгебраического уравнения п-й степени

хп + ах хп 1 +... + ап_ х + аи = 0.

(57)

Запишем следующую производящую функцию:

1 9

---= 1 + сх + е7х +... + с хт +...

12 п 12 т

+ ах + ах +... + а х

12 п

(58)

Коэффициенты а^ в (57) и (58) совпадают. Коэффициенты Ст последовательности (58) могут быть найдены из линейного рекуррентного уравнения

с

= -(а1Ст-1 + а2Ст-2 + ... + апСт-п ) > С0

1,

(59)

С = -а.

По способу Д. Бернулли вещественный корень алгебраического уравнения (57) определяется пределом

х1 = Нш

С

т+1

т С

(60)

Формула (60) представляется отношением определителей матриц Хессенберга [22]. Если использовать г/ -алгоритм, то можно устанавливать как вещественные, так и комплексные значения корня уравнения (57). Запишем алгебраическое уравнение

а 1

а 2"

хп -ахп-1 -ахп-2 -ахп-3 -...-3

п -1

а

-х — = 0.

(61)

Корень этого уравнения при представляется периодической

непрерывной дробью Хессенберга, которая имеет своим значением функцию

1/(1

_ р-1/а

.

а/1 а/ 2 а! 3 а/4 ...

-1 а/1 а/ 2 а/3 ...

0 -1 а/1 а/2 ...

0 0 -1 а/1 ...

а/1 а/ 2 а/3 ...

-1 а/1 а/2 ...

0 -1 а/1 ...

(62)

1 - е а

В табл. 7 и 8 приведены результаты вычисления функции у = 1 / ( 1-е 1 / а) при а = 1 / 2 и а = 1 .

а

п

1

х, =

Таблица 7. Определение X1 уравнения (61) при

Номер дроби Значения подходящих Погрешность

2 1,0000000000 0,1565176427

3 1,0833333333 0,0731843094

4 1,1153846153 0,0411330273

5 1,1310344827 0,0254831599

8 1,1483521068 0,0081655359

9 1,1505949930 0,0059226497

16 1,1556070409 0,0009106017

17 1,1557976382 0,0007200045

32 1,1564853295 0,0000323132

33 1,1564909144 0,0000267283

64 1,1565175278 0,0000001148

65 1,1565175455 0,0000000971

Таблица 8. Определение х1 уравнения (61) при а = 1

Номер дроби Значения подходящих Погрешность

2 1,5000000000 0,0819767068

3 1,5555555555 0,0264211513

4 1,5714285714 0,0105481354

5 1,5772727272 0,0047039795

8 1,5813963072 0,0005803995

9 1,5816690266 0,0003076802

16 1,5819713605 0,0000053463

17 1,5819736094 0,0000030973

32 1,5819767055 0,0000000013

33 1,5819767060 0,0000000007

Заключение

Установлено, что инверсные непрерывные дроби ортогональных полиномов Чебышева первого рода Гп (х) и второго рода //п (х) , как и инверсные непрерывные дроби полиномов Лежандра Рп (х) , представляют одну и ту же функцию, а именно, показательную функцию мнимого аргумента е'агсс 0 5Ж:

Тп+1(х) _ г агссоях ^п+1 (х) _ г агссоях ^и+1 (х) _ г агссоях

Тп (х) ' ип (X) ' Р„ (х)

Нормированная инверсная непрерывная дробь ортогональных полиномов Эрмита Яп (х) не зависит от аргумента х и имеет своим значением мнимое число:

lim

Г 1 H+l(*) ^ . 1

= г-

к4п Нп(х) J 4ё

Значение нормированной инверсной непрерывной дроби ортогональных полиномов Лагерра , вне зависимости от аргумента , равно отрицательной величине:

lim

n ^да

4+i(x)1 1

n Ln (x) J e'

Значения инверсных комплексных дробей для классических ортогональных полиномов были установлены г/^-алгоритмом.

Список литературы /References

1. Lorentzen L., Waadeland H. Continued fractions with applications. - Amsterdam -London - New-York - Tokyo, 1992. 606 p.

2. Шмойлов В.И. Периодические цепные дроби. Львов: Академический Экс-пресс, 1998. 219 с.

3. Brezinski C. History of Continued Fractions and Pade Apprximants. Vol. 12 of Springer Series in Computational Mathematics. Springer, 1991. 551 p.

4. Шмойлов В.И. Суммирование расходящихся цепных дробей. Нац. акад. наук Украины. Ин-т приклад. проблем механики и математики. Львов, 1997. 23 с.

5. Шмойлов В.И. Определение значений расходящихся цепных дробей и рядов. Львов: ИППММ НАН Украины, 1997. 70 с.

6. Шмойлов В.И. Решение алгебраических уравнений непрерывными дробями. // Нац. акад. наук Украины. Ин-т прикладных проблем механики и математики. Львов, 2003. 598 с.

7. Шмойлов В.И. Непрерывные дроби и г/(-алгоритм. Таганрог: Изд-во ТТИ ЮФУ, 2012. 608 с.

8. Козлов В.В. Об одной формуле суммирования расходящихся непрерывных дробей. // Докл. РАН, Том 474. Номер 4, 2017. С. 410-412.

9. Шмойлов В.И., Коровин Я.С. Непрерывные дроби. Библиографический указатель. Ростов-на-Дону: Изд-во ЮФУ, 2017. 382 с.

10. Шмойлов В.И., Коровин Я.С., Иванов Д.Я. Непрерывные дроби и суммирование рядов. Ростов-на-Дону: Изд-во ЮФУ, 2018. 524 с.

11. Шмойлов В.И. Алгоритмы определения значений бесконечных последовательностей. // Вестник науки и образования. №16 (51). Часть 1, 2018. С. 10-24.

12. Шмойлов В.И., Коровин Я.С., Иванов Д.Я. О первом замечательном пределе для эллиптических чисел. // Вестник науки и образования. №2(56). Часть 1. 2019. С. 621.

13. Шмойлов В.И., Коровин Я.С., Ершов В.В. Классические ортогональные полиномы и непрерывные дроби // Вестник науки и образования. № 11 (65). Часть 2, 2019. С. 6-18.

14. Шмойлов В.И. Расходящиеся системы линейных алгебраических уравнений. Таганрог: Изд-во ТТИ ЮФУ, 2010. 205 с.

15. Шмойлов В.И., Коровин Я. С. Решение систем линейных алгебраических уравнений непрерывными дробями. Ростов-на-Дону: Изд-во ЮФУ, 2017. 383 с.

16. Шмойлов В.И., Коровин Я.С., Иванов Д.Я. Алгоритмы определения комплексных решений БСЛАУ с трёхдиагональной матрицей. // Вестник науки и образования. № 9 (45), 2018. С. 6-18.

17. Суетин П.К. Классические ортогональные многочлены. М.: Наука, 1976. 328 с.

18. Шмойлов В.И., Коровин Я.С., Ершов В.В. Формулы Бине и непрерывные дроби. // Вестник науки и образования. № 10 (64).Часть 1, 2019. С. 6-19.

19. Бейтмен Г., Эрдейн А. Высшие трансцендентные функции. Т. 2. М.: Наука, 1966. 295 с.

20. Данилов В.Л., Иванова А.Н., Хованский А.Н. и др. Математический анализ. М.: Физматгиз, 1961. 440 с.

21. Шмойлов В.И., Слобода М.З. Расходящиеся непрерывные дроби. Львов: Нац. акад. наук Украины. Ин-т приклад. проблем механики и математики. Львов, 1999. 820 с.

22. Шмойлов В.И. Непрерывные дроби. В 3-х т. Том 3. Из истории непрерывных дробей. Нац. акад. наук Украины, Ин-т приклад. проблем механики и математики. Львов, 2004. 520 с.