CC BY
44
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ
КЛАССИЧЕСКИЕ ОРТОГОНАЛЬНЫЕ ПОЛИНОМЫ И НЕПРЕРЫВНЫЕ ДРОБИ Шмойлов В.И.1, Коровин Я.С.2, Ершов В.В.3 Em ail: [email protected]
'Шмойлов Владимир Ильич — старший научный сотрудник; 2Коровин Яков Сергеевич — ведущий научный сотрудник, Научно-исследовательский институт многопроцессорных вычислительных систем; 3Ершов Виталий Владимирович — старший преподаватель, кафедра высшей математики Институт компьютерных технологий и информационной безопасности Южный федеральный университет, г. Таганрог
Аннотация: рассматриваются непрерывные дроби, числителями и знаменателями подходящих дробей которых являются классические ортогональные полиномы. Приводятся алгоритмы построения инверсных непрерывных дробей, которые имеют своими подходящими отношения Рп/Рп_ 1 и Qп/ Qn_ 1, где Рп и Qn — числители и знаменатели подходящих исходных непрерывных дробей.
Установлено что инверсные непрерывные дроби ортогональных полиномов Чебышева первого рода Тп(х) и второго рода Un(х) , как и инверсные непрерывные дроби полиномов Лежандра Рп(х) , представляют одну и ту же функцию, а именно: показательную функцию мнимого аргумента. Нормированная инверсная непрерывная дробь ортогональных полиномов Эрмита Н п (х) не зависит от аргумента х и имеет своим значением мнимое число i/fe. Значение нормированной инверсной непрерывной дроби ортогональных полиномов Лагерра Ьп(х), также не зависит от аргумента х равно отрицательной величине — 1 /е.
Ключевые слова: ортогональные полиномы, расходящиеся непрерывные дроби, инверсные непрерывные дроби, r/ф-алгоритм.
ON THE CONTINUED FRACTIONS THAT REPRESENT THE CLASSICAL ORTHOGONAL POLYNOMIALS Shmoylov V.I.1, Korovin Ya.S.2, Ershov V.V.3
'Shmoylov Vladimir Ilyich — Senior Research; 2Korovin Yakov Sergeyevich — Leading Researcher, RESEARCH INSTITUTE OF MULTIPROCESSOR COMPUTING SYSTEMS; 3Ershov Vitaliy Vladimirovich — Senior Lecturer, DEPARTMENT OF HIGHER MATHEMATICS, INSTITUTE OF COMPUTER TECHNOLOGY AND INFORMATION SECURITY SOUTH FEDERAL UNIVERSITY, TAGANROG
Abstract: we consider continuous fractions whose numerators and denominators of suitable fractions are classical orthogonal polynomials. Given an algorithm for constructing the inverse of the continued fractions which have their appropriate relation Рп/Рп_ 1 and Qrl ^/Qrl_ 1, where Рп и Qrl — the numerators and denominators suitable source of continuous fractions.
It is established that inverse continuous fractions of orthogonal Chebyshev polynomials of the first kind and the second kind , as well as inverse continuous fractions of Legendre
polynomials Рп (х), represent the same function, namely, the exponential function of the imaginary argument. Normalized inverse continuous fraction of orthogonal Hermite polynomials Нп (х), does not depend on the argument x, and has the imaginary number i/ fe . The value of the normalized inverse continuous fraction of orthogonal Lagerre polynomials , also regardless of the argument х is equal to the negative value — 1 /e.
Keywords: orthogonal polynomials, divergent continued fractions, continued fraction inverse, and г/ф-algorithm.
УДК 517.524
Введение
Ортогональные полиномы тесно связаны с непрерывными дробями. Эта связь легко объяснима, так как ортогональные полиномы определяются при помощи трёхчленных рекуррентных формул. Трёхчленные рекуррентные формулы имеют место и при определении числителей и знаменателей подходящих непрерывных дробей. Зная непрерывные дроби, знаменателями подходящих дробей которых являются ортогональные полиномы, можно построить непрерывные дроби, где числители и знаменатели подходящих будут совпадать с соседними ортогональными полиномами. Для этого надо использовать так называемые инверсные непрерывные дроби [1], имеющие вид:
... ъп -3 (1)
Ъп-1 + ъп - 2 + ...+ Ъ2 + Ъ1
После построения инверсных непрерывных дробей, числителями и знаменателями подходящих дробей которых являются классические ортогональные полиномы, возникает вопрос о сходимости этих бесконечных непрерывных дробей. Важно также установить, какие функции представляют эти непрерывные дроби, непосредственным образом связанные с ортогональными полиномами.
1. Инверсные непрерывные дроби
Приведём непрерывные дроби, знаменатели подходящих дробей которых являются классическими ортогональными полиномами:
22 32 42 (п +1)2
= + ^ = 2 13 3.5 5.7 (2п + 1)(2п + 3) (2)
11 Ж 1111 1
(3)
1 м ж
п_, х -1 Л/1 - ^ х - 2х - 2х - 2х -...-2х -...
1_ | е 2 & _ 112 3 п (4) 7 е-сИ 1 12 22 32 п2
Г-=- - - - --. (5)
0 х -1 х -1 - х - 3 - х - 5 - х - 7 -... - х - (2п +1) -...
Знаменатели подходящих дробей разложений (2) - (5) совпадают, соответственно, с ортогональными полиномами Лежандра, Чебышева, Эрмита и Лагерра. Непрерывная дробь (2) рассматривалась Эйлером [2]. Непрерывные дроби (3) - (5) имеются в работе П.Л. Чебышева, опубликованной в 1859 г. [3].
Определим непрерывные дроби, числителями и знаменателями подходящих дробей которых являются классические ортогональные полиномы. Для этого надо рассмотреть инверсные непрерывные дроби.
Известно [4], что непрерывные дроби могут быть представлены отношением трёхдиагональных определителей:
ъ + а1 Оз
п Ь + Ь2 + Ь3 +... + Ь +...
Ьо ах 0 0. .. 0 0 ...
-1 а2 0. .. 0 0 ...
0 -1 Ь а3 . .. 0 0 ...
0 0 -1 Ьз . .. 0 0 ...
0 0 0 0. .. Ьи_! ап ...
0 0 0 0. .. -1 Ьп ...
Ь1 а2 0 . .. 0 0 ...
-1 Ь2 а3 . .. 0 0 ...
0 -1 Ьзз . .. 0 0 ...
0 0 0. . Ьи_! ап ...
0 0 0. .. -1 Ьп ...
Из представления непрерывных дробей отношением трёхдиагональных определителей (6) следует, что если
" а2 ап-1 О
Ь0
р = ь + 01 02
Оп Ь1 + Ь2 + ...+ Ьп-1 + Ьп
(7)
то имеет место следующие непрерывные дроби для отношений Рп/Рп-1 и Qn/Qn-1■■
Р„
Р
■ = К + а
а
п-1
п-1
Оп
Ьп-1 + Ьп-2 + ...+ Ь1 + V
= К + ап
п-2 ап-1
аа
(8) (9)
Оп-1 п Ьп-1 + Ь-2 +... + Ь + V ^
Таким образом, если задана непрерывная дробь, о которой известно, что знаменатели подходящих дробей являются ортогональными полиномами, то используя инверсную непрерывную дробь (9), можем записать непрерывную дробь, числители и знаменатели подходящих дробей которой будут ортогональными полиномами.
Существует и иной способ построения инверсных непрерывных дробей, который не предполагает наличие исходной непрерывной дроби (7). Выше уже отмечалось, что числители и знаменатели подходящих непрерывных дробей могут определяться при помощи рекуррентных формул второго порядка, если заданы начальные условия. Также, используя рекуррентные соотношения второго порядка и начальные условия, могут находиться и ортогональные полиномы.
Если задано рекуррентное соотношение второго порядка
Рп = ЬР-1 + апРп-2, Ро = Ьо, Р-1 = 1,
то непрерывная дробь, числители и знаменатели которой равны отношению Рп/Рп-1, будет иметь вид (8).
Аналогично, если задано рекуррентное соотношение второго порядка
О„ = Ьпвп-1 + а„в„-2, Оо = 1.
то непрерывная дробь, числители и знаменатели которой равны отношению Qn/Qn-1_, будет иметь вид (9).
Непрерывные дроби (8) и (9) - это инверсные непрерывные дроби, которые имеют характерные особенности, отличающие их от классических непрерывных дробей. Первое отличие состоит в том, что эти непрерывные дроби удлиняются не «с конца», а «с начала». С этой особенностью связан и порядок определения подходящих дробей, - подходящие дроби отсчитываются «с конца» непрерывной дроби. Так как в инверсных непрерывных дробях добавление нового звена происходит «с начала», то это находит отражение и в записи
инверсных непрерывных дробей, - перед первым звеном ставится многоточие, как показано в формуле (1).
Естественно, что инверсные непрерывные дроби могут быть бесконечными. Определение значений непрерывных дробей осуществляется при помощи г/^-алгоритма, который имеет формулировку [5]:
Непрерывная дробь с вещественными элементами сходится и имеет своим значением в общем случае комплексное число Z = Т^С , если существуют пределы:
lim " П|P /Q| = Г), (10)
ж lim kn (11)
n
где Pi/Qi - значение -й подходящей дроби;
кп- количество подходящих дробей, имеющих отрицательные значения из совокупности, включающей n подходящих дробей.
Приведенный r/q-алгоритм при некотором обобщении применим не только к суммированию расходящихся в классическом смысле непрерывных дробей, но и при решении других математических задач [6-16]. Особый интерес представляет использование r/q алгоритма при решении СЛАУ, так как алгоритм позволяет устанавливать комплексные решения систем с вещественными матрицами [17-19].
2. Непрерывные дроби, представляющие отношения полиномов Чебышева второго рода
Полиномы Чебышева второго рода U п ( х) определяются в явном виде следующим образом [20]:
sin ((и + 1)arccosx)
Un(x) =
л/Г
x2
Имеет место также рекуррентная формула:
Un (x) = 2xUn_! (x) - Un_l(x), U0(x) = 1, U^x) = 2x.
Если x = cos®, то запишем:
TT sin (n + 1®
Un (cos®) = —--—.
Sin ф
Рекуррентное соотношение: Un (cos®) = 2cos®Un-1(cos®) - Un-2(cos®), U0(cos®) = 1, U1(cosv) = 2cos®.
Отношения полиномов Чебышева второго рода могут быть представлены периодическими непрерывными дробями:
Un (cos®) sin(n + 1)ф „ 11 1
——-— = —1-— = 2cos®--- -, (12)
Un-1(cos®) sin n® 2cos®-2cos®-...-2cos®
U„ (x) sin((n + 1)arccosx) „ 11 1
—^- = —^---'- = 2x--— —. (13)
Un_ ¡( x) sin(n arccosx) 2x - 2x -...- 2x
Запишем подходящие непрерывной дроби (13):
U« = 2x, U o( x)
U (x) „ 1 4x2 -1
-= 2 x--=-,
U1(x) 2x 2x
- = 2 x--— = -
U(X) __^ 1 _ 8x -4x — 2 X — z ,
U (x) 2x - 2x 4x2 -1
U4(x) 1 1 _16x4 - 12x2 +1
U (x) 2x - 2x - 2x 8x3 - 4x
Определим значения расходящихся в классическом смысле непрерывных дробей,
числителями и знаменателями подходящих дробей которых являются полиномы Чебышева
второго рода:
Un (cosy) sin(n +1)y 11 1
lim——-— = lim—^-— = 2cosy--- - ,
Un_j(cos^) sin ntp 2cosy — 2cosy —...— 2cosy —... (14)
U„ (x) sin((n + 1)arccosx) „ 11 1
lim— = lim—----'- = 2x--— — .
n^» U n_x(x) n^» sin(n arccosx) 2x — 2x —...— 2x —... (15)
В табл. 1 показаны результаты определения значения непрерывной дроби (14) при <р = 0,2.
Таблица 1. Определение значения непрерывной дроби
2cos0,2 — -
1 1 1 (16)
2cos0,2 — 2cos0,2 —...— 2cos0,2 —...
Номер подходящих дробей Значения подходящих дробей, Рп/Qn Значения модуля, гп Значения аргумента, ipn Погрешность модуля, £r = Погрешность аргумента, £<р = \<Р ~ <Рп\
1 1,9601331556 1,960331556 0 0,9601331556 0,2
2 1,4499637332 1,2041443988 0 0,2041443988 0,2
4 1,1730171326 1,2124272405 0 0,2124272405 0,2
8 0,9742630536 1,1213968350 0 0,1213968350 0,2
16 4,3776420007 0,9740141642 0,1963495408 0,0259858357 0,0036504591
32 2,6730458085 0,9930516869 0,1963495408 0,0069483130 0,0036504591
64 1,8148993747 1,0011881763 0,1963495408 0,0011881763 0,0036504591
128 1,3738438097 1,0036251841 0,1963495408 0,0036251841 0,0036504591
256 1,1268386560 1,0033052539 0,1963495408 0,0033052539 0,0036504591
32768 1,7999761664 1,0000025877 0,1999927452 0,0000025877 0,0000072547
65536 1,3659519481 1,0000072249 0,1999927452 0,0000072249 0,0000072547
131072 1,1218677764 1,0000065019 0,1999927452 0,0000065019 0,0000072547
262144 0,9117952117 1,0000030324 0,1999927452 0,0000030324 0,0000072547
524288 1,2349942697 1,0000012732 0,1999987373 0,0000012732 0,0000012626
1048576 1,0301172900 1,0000008983 0,1999987373 0,0000008983 0,0000012626
В первой колонке табл. 1 показаны номера подходящих непрерывной дроби (16), значение которой определяется с использованием г/-алгоритма, описываемого формулами (10) и (11). Во второй колонке даны значения подходящих непрерывной дроби (16), которые определялись по формуле (12), представляющей отношение синусов кратных углов. Очевидно, что непрерывная дробь (16) расходится в классическом смысле. Значения подходящих дробей, приведённых во второй колонке, не стремятся к пределу с ростом номеров подходящих.
В третьей колонке показано, как устанавливается модуль искомого комплексного числа, которое является значением расходящейся в классическом смысле непрерывной дроби (16). При помощи г/-алгоритма найдено, что комплексное число имеет модуль, равный единице. В четвёртой колонке табл. 1 показаны результаты определения аргумента искомого комплексного числа, который находится по формуле (11). Установлено, что непрерывная дробь (16) имеет комплексное значение .
Предел отношения ортогональных полиномов Чебышева второго рода устанавливается показательной функцией мнимого аргумента:
lim Un(cosy) = lim sin(n + 1)y = 2cos^--1--^ = ¿Г (17)
n^» U-X(cos^) n^» sin ny 2cosy — 2cosy —...— 2cosy —... v J
Предел
limsin(n+l)£ = ^ sin n q>
известен как предел Никипорца [1].
В табл. 2 приведены результаты суммирования расходящейся в классическом смысле непрерывной дроби (15) при х = 0, 3 .
Таблица 2. Определение значения непрерывной дроби
2 • 0,3 —i__^ ■ (18)
2 • 0,3 - 2 • 0,3 -...-2 • 0,3 -...
Номер подходящих дробей, n Значения подходящих дробей, Рп/Qn Значения модуля, гп Значения аргумента, ipn Погрешность модуля, £r = Погрешность аргумента, £<р = \<Р~<Рп\
1 0,600000000 0,6000000000 0 0,4000000000 1,2661036727
2 -1,066666666 1,0327955589 1,5707963267 0,0327955589 0,3046926540
4 -0,050406504 0,5362071571 1,5707963267 0,4637928428 0,3046926540
8 1,4232886273 1,0613087871 1,1780972450 0,0613087871 0,0880064276
16 0,4565836828 0,9851553037 1,1780972450 0,0148446962 0,0880064276
32 -2,527502631 1,0108321136 1,2762720155 0,0108321136 0,0101683427
64 -0,952831925 1,0001322383 1,2762720155 0,0001322383 0,0101683427
128 0,0367612449 0,9784999301 1,2517283229 0,0215000698 0,0143753498
256 1,8968495175 1,0020740073 1,2640001692 0,0020740073 0,0021035035
32768 -4,729736077 1,0000131732 1,2661093928 0,0000131732 0,0000057200
65536 -2,124406035 1,0000046807 1,2661093928 0,0000046807 0,0000057200
131072 -0,724528184 0,9999988724 1,2661093928 0,0000011275 0,0000057200
262144 0,2318427729 0,9999965428 1,2660974085 0,0000034571 0,0000062642
524288 6,9416624633 1,0000010391 1,2661034006 0,0000010391 0,0000002720
1048576 3,5523242874 1,0000005319 1,2661034006 0,0000005319 0,0000002720
Из данных, приведённых в колонках 3 и 4 табл. 2, следует, что непрерывная дробь (18) имеет комплексное значение:
2 0 2 1 1 1 /1 266103. I ягсспчО 3
2 • 0,3 - 2 • 0,3 -...-2 • 0,3 -... Предел отношения ортогональных полиномов Чебышева второго рода и п ( х) устанавливается показательной функцией мнимого аргумента: ^ ип (х) _ 11т 5ш(0 +1) агссоэх) _ е,агссо8х _ пип_!(х) пsin(n агссо8х)
Полиномы Чебышева второго рода представляются также формулами: (х + 4хГ-1)п+1 - (х -Vх2 - 1)п+1
Un (x) — -
2л/x2 -1
тт . . (cosx Wcos2 x -1 )n+1 - (cosx -V cos2 x -1 )n+1
Un (cos P) — -- I , -— ,
2Vcos x -1
которые можно получить применением обобщённых формул Бине [1].
Учитывая ранее полученные пределы для полиномов Чебышева второго рода, запишем:
lim Unix! — lim (x +^Ejr' - (x-fEl )n+' — é arccosx, (20)
>«» Un-1 (x) >«» (x Wx2 -1)n - (x -Vx2 - 1)n
lim Un(cop — lim e"n+')P - e"(n+')P — bnsin(n + — éP. (21)
n^» Un_x(cosp) n^» Qinp - e inp n^» sin np
3. Непрерывные дроби, представляющие отношения полиномов Чебышева первого рода
Полиномы Чебышева первого рода определяются формулой [20]:
Tn(х) = cos(narccosx), x е [—1,1], n = 0, 1, 2,.... (22)
Рекуррентное соотношение:
Tn+i(х) = 2xTn(х) — Tn—1(х), To(х) = 1, Ti(x) = х. (23)
Построим цепную дробь, числителями и знаменателями подходящих дробей которой являются полиномы Чебышева первого рода, имеющие рекуррентные соотношения (23). Используя цепную дробь (8) для Рп/Рп-ь запишем:
Tn (х) . 1 1 11
n = 2 х--— — -■ (24)
Ти_ j(x) 2х — 2х —... — 2х — х
Непрерывная дробь (24) - инверсная, для которой подходящие дроби отсчитываются «с конца»:
ТМ=х,
To( х)
Т2 (х) 1 2 х2 — 1
-= 2 х--=-,
T (х) х х
T3(х) 1 1 _ 4х3 — 3х
T2 (х) 2 х — х 2 х2 — 1
T (х)_2 1 1 _ 8х4 — 8х2 +1
T3 (х) 2 х — 2х — х 4х3 — 3х
Подходящие инверсной непрерывной дроби (24) можно записать Tn (х) _ cos(n arccosx) Tn—1(х) cos((n — 1)arccosx)
Если х = с о s р, то ортогональные полиномы Чебышева первого рода будут иметь вид: Tn (cos®) = cos n®. Рекуррентное соотношение:
Tn+1(cos® = 2cos®T„ (cos®— Tn-1(cos®X
TO (cos®) = 1, T (cos®) = cos®.
Используя рекуррентную формулу (25), запишем инверсную непрерывную дробь, представляющую отношение полиномов Чебышева первого рода: Т (cos®) „ 11 11
nK TJ = 2cos®--- - -. (26)
Tn—1(cos®) 2cos®- 2cos®-... — 2cos®- cos®
Подходящие непрерывной дроби (26) определяются формулой
Pn cosn® Qn cos(n —1)®
Так как непрерывная дробь (26) инверсная, то подходящие определяются «с конца»:
P
— = cos®,
Q1 ®
P 1 cos 2® —2 = 2 cos®--=-11,
Q2 2cos® cos® (27)
P, 11 cos3®
= 2cos®---=--,
Q3 2cos®— cos® cos2®
Запишем бесконечные инверсные непрерывные дроби:
T (cos®) cos«® 1 11
jim_;A-ZL. = hm-= ... 2cos®--- -, (28)
ТиЧ (cos®) cos(« -1)® 2cos®-...-2cos®-cos®
.. Т (х) cos(n агссохг) „11 11
1зш ^ ' = 1зш---— =... 2х--— — -. (29)
Тп_ ^ х) п^т cos[(n -1)arccosx] 2 х — 2х -...— 2х - х
Многоточие перед первыми звеньями непрерывных дробей (28) и (29) означает, что имеем дело с инверсными непрерывными дробями, звенья которых добавляются «с начала».
В табл. 3 приведены результаты определения значения непрерывной дроби (28) при < = 1,23456. При вычислении инверсной непрерывной дроби подходящие отсчитываются «с конца», т. е. определяются формулами (27).
Таблица 3. Определение значения цепной дроби
...2^1,23456__1__1_ _1__1_■ (30)
2^1,23456 — 2 ^1,23456 —...— 2 ^1,23456 — ^1,23456
Номер подходящих дробей Значения подходящих дробей, P^Qn Значения модуля, rn Значения аргумента, ®n Погрешность модуля, £r = Погрешность аргумента, = \<Р~ <Рп\
1 0,329936518 0,3299365180 0 0,6700634823 1,2345600000
2 -2,371013043 0,8788155772 2,0943951023 0,1211844227 0,8598351023
4 -0,264654383 1,0553458099 1,2566370614 0,0553458099 0,0220770614
8 1,2691558629 1,1280337437 1,3962634015 0,1280337437 0,1617034015
16 0,6545007617 1,0657130580 1,2935969750 0,0657130580 0,0590369750
32 -0,278138302 1,0075387164 1,2375971059 0,0075387164 0,0030371059
64 1,2317339204 1,0168891766 1,2566370614 0,0168891766 0,0220770614
128 0,6121662696 1,0083409204 1,2420250025 0,0083409204 0,0074650025
256 -0,392978049 1,0002046690 1,2346336887 0,0002046690 0,0000736887
512 -3,166160031 0,9997744801 1,2394564766 0,0002255198 0,0048964766
65536 -7,715201671 1,0000040670 1,2345960113 0,0000040670 0,0000360113
131072 -1,143342833 0,9999713884 1,2345574939 0,0000286115 0,0000025060
262144 0,2401088626 1,0000033396 1,2345622033 0,0000033396 0,0000022033
524288 -6,067808261 1,0000003849 1,2345645581 0,0000003849 0,0000045581
1048576 -0,966892637 0,9999984809 1,2345597433 0,0000015190 0,0000002566
2097152 0,3524971820 1,0000004560 1,2345603320 0,0000004560 0,0000003320
Структура табл. 3 аналогична структуре таблиц, описанных выше. Значения модуля и
/1.23456 „ „
аргумента комплексного числа e устанавливаются, соответственно, в колонках 3 и 4.
Из табл. 3 следует, что расходящаяся в классическом смысле непрерывная дробь (30) имеет
i1.23456
своим значением комплексное число e :
...2cos1,23456--1--1- -1--1-= e'1 234562 cos1,23456 - 2 cos1,23456 -... - 2 cos1,23456 - cos1,23456
Предел отношения полиномов Чебышева первого рода определяется значением бесконечной инверсной непрерывной дроби:
lim Tn= lim c°sn* -
Tn—1(cos®) cos(n — 1)®
11 11 i® (31)
=... 2 cos®--- - -= e ®.
2cos® — 2cos® —...— 2cos® — cos®
Имеет место предел
lim cos(n +1)® = e®,
n^m cos n® который также именуется пределом Никипорца.
Расходящаяся в классическом смысле непрерывная дробь (29) при \ х\ < 1 имеет комплексное значение:
lim Tn (x) = lim cos(n arccosx) = ^arccos* «Tn _j(x) «^ш cos((n - 1)arccosx)
то есть предел отношения полиномов Чебышева первого рода Тп (х)/ Тп_ ! (х) при п — о устанавливается показательной функцией мнимого аргумента.
Бесконечная инверсная непрерывная дробь (29) определяет показательную функцию мнимого аргумента:
^i arceos x __11 11
(33)
2 х ... 2 х - х
Можно также записать:
х + гл/!-Х2 = ...2х - (34)
х
Используя «явные» формулы для полиномов Чебышева первого рода (х + V х2-1)п + (х - л/х2-1)и
т (x)=
T (cos®) =
2
(cosx + i sin + (cosx - i sin
2
получим значения пределов:
Tn (x) (x Wx2-1); + (X-Vx^-1); e¡arccosx
T_!(x) (x + ^x2-1)И-1 + (X-Vx2-1)n-1
T (cos®) e'n® + e-n® ®
]m_iA-= hm——-= e®. (36)
n^» ТиЧ (cos®) n^» e 1)9 + e~i(n+1® ( )
Приведём непрерывные дроби, числителями и знаменателями подходящих дробей которых являются ортогональные полиномы Лежандра, Эрмита и Лагерра.
Полиномы Лежандра определяются рекуррентными формулами [21, с. 180]:
P,+1(X) = 2П+1хРп(х)--n-Pn-l(x),
n+1 n+1 (37)
P (x) = 1, P = x, -1 < X < 1. Запишем инверсные непрерывные дроби, числителями и знаменателями подходящих дробей которых является полиномы Лежандра:
lim = ...^^ ^ -. (38)
n^» P (x) n +1 ^ ^ V ^
; ;-1 ;-2 3 2 1
; +1 ; ;-1 4 3 2
2;-1 2;- 3 2;-5 5 3
-x - -x - -x - - -x - — x x
; ;-1 ;-2 " 3 2
Если х = с о б р, то получим:
п п-1 3 2 1
Р„,, (сс^®) 2п +1 п +1 п 4 з 2
]т_п+п-VI =...---- -п- —4— —3— . (39)
п^» Рпп +1 2п -1 2п -3 5 3
-CCS®--CCS®- CCS®- —CCS®-cсs®
п п-1 "3 2
Используя рекуррентное соотношение (37), запишем полиномы Лежандра:
1 9
Р2( х) = ^(3х 2-1), 1
Р (х) = 1(5х - 3х), Р(х) = ~(35х4 - 30х2 + 3), Р (х) = 1 (63х5 - 70х3 + 15х),
В табл. 4 показаны результаты определения значения непрерывной дроби (38) при ■
Таблица 4. Определение значения цепной дроби
п п — 1 3 2 1
(2п +1)0,1 п + 1 ^Т 4 3 2 (40)
...-х--- - - —.
п +1 (2п — 1)0,1 (2п — 3)0,1 5 • 0,1 3 • 0,1
— х —... — — — 0,1
п п —1 3 2
Номер подходящих дробей Значения подходящих дробей, F,/Qn Значения модуля, r„ Значения аргумента, (р„ Погрешность модуля, £r = Погрешность аргумента, £<р = \<Р~<Рп\
1 1 0,1 0 0,9 1,4706289056
2 -4,85 2,2022715545 1,5707963267 1,2022715545 0,1001674211
4 -2,291101694 1,3558420430 1,5707963267 0,3558420430 0,1001674211
8 -0,903895236 1,0764793533 1,5707963267 0,0764793533 0,1001674211
16 0,0801030687 0,8927059739 1,3744467859 0,1072940260 0,0961821196
32 -69,46979904 1,0104317698 1,4726215563 0,0104317698 0,0019926507
64 -12,59028050 0,9996885902 1,4726215563 0,0003114097 0,0019926507
128 -4,665377870 0,9969111099 1,4726215563 0,0030888900 0,0019926507
256 -1,904108346 0,9966455996 1,4726215563 0,0033544003 0,0019926507
32768 1,2155008335 0,9998983467 1,4706082065 0,0001016532 0,0000206990
65536 0,2648388341 0,9999266378 1,4706082065 0,0000733621 0,0000206990
131072 -2,402417326 0,9999700044 1,4706321750 0,0000299955 0,0000032694
262144 -0,852957321 0,9999822865 1,4706321750 0,0000177134 0,0000032694
524288 0,1930307176 0,9999882606 1,4706261829 0,0000117393 0,0000027227
1048576 -4,027662669 0,9999953175 1,4706291789 0,0000046824 0,0000002733
Из колонок 3 и 4 табл. 4 следует, что непрерывная дробь (40) имеет комплексное значение
е11,470629... _ eiarccos0,l
Как и в случае инверсных непрерывных дробей, представляющих полиномы Чебышева, пределы отношения полиномов Лежандра устанавливаются также показательной функцией мнимого аргумента:
lim Pn+1(Х) = e'arccosx, (41)
Pn (x)
Pn+1(cos®) ®
lim _n+^-TL = e'v. (42)
n^M Pn (cos®)
Известно, что одна и та же функция может быть представлена различными непрерывными дробями, имеющими разные скорости сходимости.
Полиномы Эрмита имеют рекуррентную формулу [22, с. 262]:
нп+1(x) = xHn(x) -nHn-1(x), H0(x) = 1, H(x) = x. (43)
Инверсная непрерывная дробь, числителями и знаменателями подходящих дробей которой являются полиномы Эрмита, имеет вид:
ff , ,(x) n n -1 n - 2 3 2 1
lim n+1V ' = ...x- - - - -. (44)
n^M Hn (x) x - x - x -...- x - x - x
Из таблиц, содержащих значения подходящих дробей непрерывной дроби Эрмита (44), можно определить отношение значений как функцию порядкового номера :
Hn+1(x)„ fiA n
-e 2 »ij—.
Hn(x) Ve \e
При имеет место формула:
lim Hff = (45)
Hn(x) V e
Из выражения (45) можно установить значение предела, связанного с отношениями полиномов Эрмита:
1 Hn+1(x) 1 1 £ ; 1
, ,- ге -, _ -,0.606530659.... (46)
п Нп (х) ^ -\1в -4е
Предел (46) - мнимое число, причём, коэффициент при мнимой единице равен обратной величине квадратного корня из числа е.
Из формулы (46) следует, что значение предела отношения полиномов Эрмита не зависит от аргумента х. Такая особенность присуща инверсным непрерывным дробям в случае неограниченного роста первого коэффициента дроби.
Из (46), может быть получено экзотическое представление квадратного корня из числа е:
у[ё -,-т-1-т- - 1.648721271....
lim
1 H"+i(x)
Hn (x)
Не менее своеобразна формула для V—1:
V-I = 4e lim I —= •
1 H"+1( x)
Hn(x)
Из формулы (46) можно записать
1
lim
1 I _n n-1 n-2 3 2 1 4n i x- x - x -...-x-x-x
TeU
Рекуррентная формула для полиномов Лагерра 1п (х) записывается следующим образом [22, с. 259]:
4+1(х) - (х-(2п +1)) Ь„(х)-п2Ь"_1(х), То(х) -1 ад - х-1. (47)
Инверсная непрерывная дробь, числителями и знаменателями подходящих дробей которой являются полиномы Лагерра, имеет вид: ,. Г„+, (х) ^ п2 (п -1)2 32 22 12
11т ' - ..х-(2п +1)--—--— - - -. (48)
п^» Ьп (х) х - (2п -1) - х- (2п - 3)-... - х - 5- х - 3 - х -1
Из таблиц, содержащих значения подходящих дробей для отношения ортогональных полиномов Лагерра, можно определить отношение значений , как функцию
порядкового номера п:
Ьп+1(х) " л* „ "
—=.-~— е ~--.
Ьп (х) е е
При имеем:
Ь„+, (х) п
11т _П+1У 7 -—. (49)
п^« Ь (х) е
Из выражения (49) можно установить значение предела, связанного с отношением полиномов Лагерра:
lim
'1 К+1( x)^
=1 el" = -1 = - 0.367879441.... (50)
e e
п Ьп (х)
Предел (50) - вещественное число, равное обратной величине числа е, взятой с минусом. Следовательно, неперово число е может иметь такое необычное представление:
е ---т—1--г- - 2.718281928....
lim
'1 К+1( x)^
_ , (51)
п 1п (х)
Из формулы (50) также следует, что значение отношения полиномов Лагерра не зависит от аргумента х, что объясняется особенностями инверсных непрерывных дробей, когда «удлинение» непрерывной дроби производится «с начала». Можно записать:
vi 1 i ,, n2 (n -1)2 32 22
lim 1-1 ..x - (2n +1)--—--- - -
n—Ml n 1 x - (2n -1) - x - (2n - 3) -... - x - 5 - x - 3 -
12
x -1
Несложно заметить, что квадрат предела отношений полиномов Эрмита равен вещественному пределу отношений полиномов Лагерра:
(
lim
n—
^ Hn+1( x)
Vn Hn (x)
Y
= I~H =-1 = -0.367879441....
Ve j e
Можно записать:
lim
n— M
' 1 Hn + t(x) . Г1 Ln + !(x)^
Vn Hn (x)
= lim
n— M
Ln (x)
Таким образом, r/з-алгоритм позволил оригинальным образом подтвердить связь между классическими ортогональными полиномами Эрмита и Лагерра.
Пределы (45) и (49) отношений ортогональных полиномов Эрмита и Лагерра приобретают конечные величины, если в формулы (45) и (49) ввести соответственно, нормирующие множители 1 / [п и 1/п. В этом случае получим конечные пределы, имеющие значения i/ [е и — 1/е.
Аналогичный приём нормирования был использован в [1] при определении предела отношений чисел Эйлера и Бернулли. Были найдены значения пределов:
1 Е 4
lim-1---= _4,
n—м (2n - 1)2n к
lim1 -А
n—M n B
= i-
1
. 1
2к
Можно установить связь между числами Бернулли и числами Эйлера, аналогично тому, как выше была установлена связь между полиномами Эрмита и Лагерра:
Г 1 B Y 1 Е 4 -161 lim---М = lim---^ = — = 0.4052847....
1 n—M n B„_j j n—M (2n - 1)2n E„_j к
Заключение
Установлено, что предел отношений полиномов Чебышева первого и второго рода устанавливаются показательной функцией мнимого аргумента:
lim sin(n +1)® = e'®, n—M sin n®
lim cos(n+1)®=ei®. n—M cos n®
Этой же показательной функцией мнимого аргумента устанавливается и предел отношений полиномов Лежандра:
lim Pn+1(cos®) = e'®.
n—M Pn (cos®)
Пределами отношений полиномов Эрмита и Лагерра, вне зависимости от аргумента , являются, соответственно, комплексная и вещественная константы, причём, эти константы связаны с неперовым числом :
1
lim
n — M
lim
n—да
( 1 Hn+,(x)^
4n Hn (x) j 4e
1 Ln+j( x)
Ln (x)
Пределы отношений классических ортогональных полиномов были установлены суммированием инверсных непрерывных дробей г/з-алгоритмом.
n
n
Список литературы / References
1. Шмойлов В.И., Слобода М.З. Расходящиеся непрерывные дроби. Львов: Нац. акад. наук Украины, Ин-т приклад. проблем механики и математики. Львов, 1999. 820 с.
2. Хованский А.Н. Работы Л. Эйлера по теории цепных дробей. Историко-математические исследования. Вып. X, М.: Гостехиздат, 1957. С. 305-326.
3. Чебышев П.Л. Избранные математические труды. М.:ГИТТЛ, 1946. 200 с.
4. Шмойлов В.И. Непрерывные дроби. В 3-х т. Том 3. Из истории непрерывных дробей. Нац. акад. наук Украины, Ин-т приклад. проблем механики и математики. Львов, 2004. 520 с.
5. Шмойлов В.И. Суммирование расходящихся цепных дробей. Нац. акад. наук Украины, Ин-т приклад. проблем механики и математики. Львов, 1997. 23 с.
6. Шмойлов В.И. Непрерывные дроби. В 3-х т. Том 1. Периодические непрерывные дроби. Нац. акад. наук Украины, Ин-т приклад. проблем механики и математики. Львов, 2004. 645 с.
7. Шмойлов В.И. Непрерывные дроби. В 3-х т. Том 2. Расходящиеся непрерывные дроби. Нац. акад. наук Украины, Ин-т приклад. проблем механики и математики. Львов, 2004. 558 с.
8. Шмойлов В.И. Решение алгебраических уравнений при помощи г/р-алгоритма. Таганрог: Изд-во ТТИ ЮФУ, 2011. 330 с.
9. Шмойлов В.И. Непрерывные дроби и г/р-алгоритм. Таганрог: Изд-во ТТИ ЮФУ, 2012. 608 с.
10. Козлов В.В. Об одной формуле суммирования расходящихся непрерывных дробей. // Докл. РАН, Том 474. Номер 4, 2017. С. 410-412.
11. Шмойлов В.И., Коровин Я.С. Непрерывные дроби. Библиографический указатель. - Ростов-на-Дону: Изд-во ЮФУ, 2017. 382 с.
12. Шмойлов В.И., Коровин Я.С., Иванов Д.Я. Непрерывные дроби и суммирование рядов. Ростов-на-Дону: Изд-во ЮФУ, 2018. 524 с.
13. Шмойлов В.И. Алгоритмы определения значений бесконечных последовательностей. // Вестник науки и образования. № 16 (51). Часть 1, 2018. С. 10-24.
14. Шмойлов В. И., Коровин Я.С., Ершов В.И. Формулы Бине и непрерывные дроби. // Вестник науки и образования. № 10 (64). Часть 1, 2019. С. 6-19.
15. Шмойлов В.И., Коровин Я.С. Определение значений бесконечных комплексных последовательностей. // Вестник науки и образования. № 4 (58).Часть 1, 2019. С. 10-23.
16. Шмойлов В.И., Коровин Я.С. О пределе и критерии сходимости бесконечных последовательностей значений дробно-рациональных функций. // Вестник науки и образования. № 7 (61).Часть 1, 2019. С. 6-19.
17. Шмойлов В.И. Расходящиеся системы линейных алгебраических уравнений. Таганрог: Изд-во ТТИ ЮФУ, 2010. 205 с.
18. Шмойлов В.И., Коровин Я.С. Решение систем линейных алгебраических уравнений непрерывными дробями. Ростов-на-Дону: Изд-во ЮФУ, 2017. 383 с.
19. Шмойлов В.И., Коровин Я.С., Иванов Д.Я. Алгоритмы определения комплексных решений БСЛАУ с трёхдиагональной матрицей. // Вестник науки и образования. № 9 (45), 2018. С. 6-18.
20. Суетин П.К. Классические ортогональные многочлены. М.: Наука, 1976. - 328 с.
21. Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции, Т. 2. М.: Наука, 1966. 295 с.
22. Данилов В.Л., Иванова А.Н. Хованский А.Н. и др. Математический анализ. М.: Физматгиз, 1961. 440 с.
