Определение значений бесконечных комплексных последовательностей Текст научной статьи по специальности «Математика»

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЗНАЧЕНИЙ БЕСКОНЕЧНЫХ

КОМПЛЕКСНЫХ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ

1 2

Шмойлов В.И. , Коровин Я.С. Email: [email protected]

1Шмойлов Владимир Ильич - старший научный сотрудник; 2Коровин Яков Сергеевич - ведущий научный сотрудник, НИИ многопроцессорных вычислительных систем Южный федеральный университет, г. Таганрог

Аннотация: рассматриваются способы определения значений бесконечных вещественных и комплексных последовательностей, отличающиеся от классических способов, базирующихся на непосредственном использовании критерия Коши. Показывается, что r/ф-алгоритмы позволяют устанавливать комплексные значения расходящихся в классическом смысле бесконечных последовательностей, составленных из вещественных элементов. Предложенный для суммирования комплексных последовательностей r/y(z)-алгоритм отличается от r/ф-алгоритма, используемого при суммировании вещественных последовательностей, способом определения аргумента комплексного числа, являющегося значением комплексной последовательности. Если в r/ф-алгоритме аргумент находится из анализа знаков вещественных подходящих дробей, то в rty(z)-алгоритме используется процедура усреднения значений аргументов.

Рассмотрено суммирование периодических непрерывных дробей с комплексными элементами при стремлении аргумента к п.

Ключевые слова: суммирование вещественных и комплексных последовательностей, непрерывные дроби, r/q(z)-алгоритм.

THE DEFINITION OF VALUES OF INFINITE COMPLEX

SEQUENCES Shmoylov V.I.1, Korovin Ya.S.2

1Shmoylov Vladimir Ilyich - Senior Research; 2Korovin Yakov Sergeyevich - Leading Researcher, RESEARCH INSTITUTE OF MULTIPROCESSOR COMPUTING SYSTEMS SOUTH FEDERAL UNIVERSITY, TAGANROG

Abstract: the methods of determining the values of infinite real and complex sequences, which differ from the classical methods based on the direct use of the Cauchy criterion, are considered. It is shown that r/y-algorithms allow us to establish complex values of divergent in the classical sense infinite sequences composed of real elements. The proposed algorithm for summation of complex sequences r/y(z)-algorithms from the r/y-algorithm used for summation of a real sequence by the method of determining the argument of a complex number, which is the value of a complex sequence. If in r/y-algorithm the argument (p0 - is found from the analysis of signs of real suitable fractions, then in r/y(z)-algorithm the procedure of averaging of values of arguments is used.

The summation of periodic continuous fractions with complex elements is considered when the argument tends to п.

Keywords: summation of real and complex sequences, continuous fractions, r/y(z)-algorithm.

УДК 517.524

Введение

Число aeR называется пределом последовательности {an J, если для

Ve> 0 3n e N: |а — аи| <s Vn > ne (1)

Последовательность {аи } является сходящейся, если она имеет конечный предел,

принадлежащий R. В противном случае, последовательность называют расходящейся [1]. Для сходимости последовательности необходимо и достаточно, чтобы она была фундаментальной, то есть для неё выполнялось условие Коши:

Vs> 0 3n£ : | an — am | <s Vn, m > n£. (2)

В случае комплексных чисел существование пределов последовательностей связано с существованием пределов соответствующих последовательностей вещественных и мнимых частей комплексных чисел.

1. Алгоритмы определения значений бесконечных вещественных последовательностей

1.1. Алгоритм определения значений непрерывных дробей В 1948 г. таганрогский математик А.З. Никипорец [2] предложил «предел»:

sin(n +1)ф iv

lim —--— = еф. (3)

n^x sin Пф

Этот предел, очевидно, не традиционный, ибо в левой части формулы (3) имеем бесконечную последовательность вещественных чисел, а справа -комплексное число.

Предел Никипорца (3) почти полвека оставался странной формальной записью, пока в 1994 г. не был предложен алгоритм суммирования расходящихся непрерывных дробей [3], получивший название r/ф-алгоритма. Это алгоритм формулируется следующим образом:

Непрерывная дробь с вещественными элементами сходится и имеет своим

значением в общем случае комплексное число z = ге1фо, если существуют пределы

Го = lim п ff\Pn /Qn\, (4)

V n=1

к

j^oM lim-^, (5)

п п

где P / Q - значение n-й подходящей дроби,

к - количество подходящих дробей, имеющих отрицательные значения из совокупности, включающей n подходящих дробей.

Следует подчеркнуть, что пределы (4) и (5) последовательностей {гп} и {{}

понимаются в классическом смысле, - в соответствие с определением (1).

Таким образом, сходимость непрерывных дробей устанавливается в два этапа. На первом этапе по исходной последовательности вещественных подходящих дробей

{P„ / Qn} по формулам (4) и (5) находятся две вещественные последовательности

к}

и {'{Рп}. На втором - определяются в традиционном понимании пределы этих последовательностей при n ^ да. Если пределы существуют, то они принимаются,

Гое

соответственно, за модуль r0 и аргумент ф0 комплексного числа z = ^е'Фо, которое

рассматривается в качестве предела, или значения, исходной вещественной последовательности подходящих дробей р / Qn}, т. е. устанавливается значение непрерывной дроби.

Если аргумент ф0 равен нулю или л, то значение рассматриваемой непрерывной дроби будет вещественно. Здесь возможны два варианта.

1. Рассматриваемая непрерывная дробь сходится в классическом смысле, т.е. существует предел значений подходящих дробей

lim TT = ао- (6)

Qn

В этом случае предел, определяемый формулой (4), будет совпадать со значением предела (6), т.е. r0 =а0.

2. Рассматриваемая непрерывная дробь расходится в классическом смысле, т. е.

отсутствует предел (6) последовательности подходящих дробей \Pn / Qn }"=1. В этом

случае существование предела (4) при значениях аргумента ф0, равных нулю или л, свидетельствует о том, что расходящаяся в классическом смысле непрерывная дробь сходится и имеет вещественное значение, совпадающее со значением предела (4).

В качестве примера расходящихся в классическом смысле непрерывных дробей, имеющих все положительные подходящие дроби, можно привести непрерывные дроби, имеющие различные пределы подходящих дробей с чётными и нечетными номерами.

Применения r/ф-алгоритма и его особенности рассмотрены в работах [4 - 9].

1.2. R/ф-алгоритм определения значений бесконечных вещественных последовательностей

В r/ф-алгоритме находятся значения последовательностей, элементами которых выступают вещественные значения подходящих непрерывных дробей, Для суммирования других бесконечных вещественных последовательностей, которые, как и последовательности подходящих дробей р / Qn , связаны с дробно-

рациональными функциями, в [10] было предложено обобщение r/ф-алгоритма. Этот алгоритм, обозначаемый как R/ф-алгоритм, имеет такую формулировку:

Бесконечная последовательность вещественных «подходящих дробей» {Fn / Gn , генерируемая некоторой дробно-рациональной функцией, сходится и имеет своим значением в общем случае комплексное число z = если существуют пределы

Го = lim n ПК /Gnl, (7)

V n=l

|ф0| = л lim kn, (8)

n^-да n

где Fn / G - значение n-й «подходящей дроби»,

k - количество «подходящих дробей», имеющих отрицательные значения из

совокупности, включающей n «подходящих дробей».

Элементы последовательности, которые генерируются дробно-рациональными функциями, будем именовать «подходящими дробями», чтобы не столько указать на связь R/ф-алгоритма с r/ф-алгоритмом, сколько подчеркнуть общность происхождения элементов суммируемых последовательностей, т.е. их связь с дробно-рациональными функциями. В случае R/ф-алгоритма термин «подходящие дроби» будем брать в кавычки.

n

Если аргумент ф0 равен 0 или л, то значение последовательности F / Gn

будет вещественным.

R/ф-алгоритм позволил решить ряд важных задач, в частности, установить, что БСЛАУ с вещественными матрицами могут иметь, в зависимости от коэффициентов матриц, комплексные решения и дал способ нахождения этих решений [11 - 14]. Это проясняет ситуацию с расходящимися разностными схемами. Насколько известно, в литературе не рассматривалась возможность комплексных решений СЛАУ и БСЛАУ, имеющих вещественные матрицы [15].

Представляет интерес определение с использованием R/ф-алгоритма значений пределов бесконечных последовательностей, которые можно рассматривать, соответственно, как записи первого и второго замечательных пределов для так

sin Пф

называемых эллиптических чисел, т.е. чисел вида В [16, 17] установлены значения этих пределов:

sin <

lim

sin

sin< | sin<

sinn<) sinn<

1

i sin<ln— , 2

(9)

lim|l + sm< I < = eel< = e(cos< + isin<). (10)

n^y sin n<)

Из (9) и (10) можно записать любопытные формулы, представляющие неперово число:

e = К™, ? П

V n=1

n^w 1

sin< .( sin< -— :sin

sin n<

sin n<

(11)

sin<

e

sinn<

n

e = lim

sin n<

sin(n +1)<

sin<

1 +-—

v sin n<

sinn< sin<

(12)

Следует отметить, что при определении результатов вычислений, связанных с

sin Пф

последовательностями, включающими числа вида

необходимо использование

$,тф

алгоритмов суммирования расходящихся в классическом смысле последовательностей. Таким образом, ]Я/ф-алгоритм открывает широкие перспективы применения эллиптических чисел в вычислительной математике.

1.3. Каскадный 11/ф-алгоритм определения значений бесконечных последовательностей

Если значение бесконечной последовательности {хп} не устанавливается

непосредственно Я/ф-алгоритмом, т.е. алгоритмом, описываемым формулами (7) и (8), то

по

к }

к }

вещественной последовательности «•» находится связанная с

последовательность вещественных «подходящих дробей» {^Щ1/ }и=1, порождаемая дробно-рациональной функцией. Например, по коэффициентам степенного ряда определяется так называемая соответствующая непрерывная дробь, последовательность подходящих дробей которой уже суммируется Я/ф-алгоритмом [18, 19]. Такой алгоритм назван каскадным Я/ф-алгоритмом, имеющим формулировку [20]:

n

Бесконечная последовательность вещественных «подходящих дробей» ^ /0(пк^ ]•" 1, полученная по исходной последовательности {хи}, сходится и

имеет своим значением в общем случае комплексное число г = т^вф", если существуют пределы

Г = lim "n|FfVG"k>

(13)

= лlim , (14)

где F(k) / G(k) - значение n-й «подходящей дроби»,

и и А

k - количество «подходящих дробей», имеющих отрицательные значения, из

совокупности, включающей n «подходящих дробей».

В каскадном R/ф-алгоритме значение исходной бесконечной последовательности {хп } устанавливается по процедуре, которую представим схемой:

k }"=i ^ Fk] /g"> }да=1 ^ {я }""=1, к }да=1 Ь го«'-

2. Алгоритмы определения значений бесконечных комплексных последовательностей

2.1. Алгоритм определения значений непрерывных дробей с комплексными элементами

Если последовательность \гп ] содержит комплексные числа в показательной

ф°рм^ т. е. {z„ = r„e!- )"=,

т. е. г = гпв п }и1, то существование предела комплексной последовательности {гп } равносильно существованию пределов последовательностей модулей |ги } и аргументов {ф ] этих комплексных чисел.

Пусть имеется непрерывная дробь с комплексными элементами. Подходящими дробями будет последовательность комплексных чисел:

к /бп}:=! гпв'ф,...} . (15)

По последовательности (15), включающей комплексные числа, представленные в показательной форме, запишем две вещественные последовательности, -последовательность модулей {ти} и последовательность аргументов {фи}

комплексных чисел, составляющих последовательность подходящих исходной непрерывной дроби.

Для определения значений непрерывных дробей с комплексными элементами введём алгоритм, который обозначим как г/ф(7)-алгоритм. Этот алгоритм формулируется следующим образом:

Непрерывная дробь с комплексными элементами сходится и имеет своим

значением комплексное число г = т^вф", если существуют пределы

1 о = lim " ПК(16) V и=1

I I г \ф\ + ф2 + ••• + Фи П1Л

ф0 = 11Ш ]—!—!—!-!—1, (17)

и^да "

где т - значение модуля комплексной п-й подходящей дроби, Ы - абсолютная величина аргумента п-й комплексной подходящей дроби. Как можно заметить, г/ф(7)-алгоритм отличается от г/ф-алгоритма в способе определения аргумента комплексного числа г = Г0в'Фо. Если в г/ф-алгоритме аргумент

ф0 находится из анализа знаков вещественных подходящих дробей, то есть используется формула (5), то в г/ф(7)-алгоритме аргументы фп имеются в последовательности комплексных подходящих дробей уТ„е1ф" }. Значение аргумента

ф0, точнее, абсолютной величины аргумента ф0, определяется как предел средне арифметических абсолютных величин аргументов фп при п ^ да, т. е. устанавливается

по формуле (17). Модуль г0 комплексного числа г = находится в г/ф-алгоритме

и г/ф(7)-алгоритме по схожим формулам, соответственно, по формулам (4) и (16), как пределы средне геометрических величин «отсчётов». Если в г/ф-алгоритме «отсчётами» являются абсолютные величины подходящих исходной непрерывной дроби, значение которой находится, то в г/ф(7)-алгоритме в качестве «отсчётов» выступают значения модулей гп комплексных чисел гпв1ф", являющихся значениями подходящих дробей.

Я/ф-алгоритм определения значений бесконечных комплексных последовательностей

В г/ф(7)-алгоритме определяются значения последовательностей, элементами которых являются комплексные подходящие дроби. Для суммирования других комплексных последовательностей, которые, как и последовательности подходящих дробей {Рп (г)/ ()п (г)}, связаны с дробно-рациональными функциями, предлагается обобщение

г/ф(7)-алгоритма, который обозначим как 11/ф(7)-алгоритм. Этот алгоритм формулируется следующим образом:

Бесконечная последовательность комплексных «подходящих дробей» р)( г)/ G( р)( , генерируемая некоторой дробно-рациональной функцией,

сходится и имеет своим значением комплексное число г = г0вфо, если существуют пределы:

Г

= Иш " П

"

( р)

и^-да

и=1

(18)

1Ф( р)\+1Ф( р)\+•••+1Ф( р)1 Ы = 11Ш фм_фи-фм, (19)

и^-да "

где г( р) - значение модуля п-й комплексной «подходящей дроби»,

и

|ф" р)| - абсолютная величина аргумента п-й комплексной «подходящей дроби.

Каскадный Я/ф(7)-алгоритм определения значений бесконечных комплексных последовательностей

Алгоритм определения значений бесконечных комплексных последовательностей через построение по исходным несуммируемым Я/ф(7)-алгоритмом

последовательностям последовательностей ^(¿)/ 0(к г)] будем называть

каскадным 11/ф(7)-алгоритмом, который сформулируем следующим образом:

Бесконечная последовательность комплексных «подходящих дробей»

)(г)/ 0(к)(г)}°_1, полученная по исходной комплексной последовательности

}, сходится и имеет своим значением комплексное число г = г0в'ф", если существуют пределы

n

r0 = lim niП Л (20)

p i+Wnk i+.+Wn

( = li^l"n \ I™ I-Ш, (21)

n

где r(k ) - значение n-го модуля комплексной «подходящей дроби»,

(к)

n - абсолютная величина аргумента n-й «подходящей дроби». 3. Построение последовательностей подходящих периодических непрерывных дробей с комплексными элементами

Запишем периодическую непрерывную дробь с комплексными элементами:

re ( rp'Vi reiP reiP

1 + rrL_ rrL_ rrL_ (22)

1 + 1 + 1 +...+ 1 +...

P P Ге ip

— = 1, — = 1 + —-= 1 + r1(cosp1 + i sin px) = 1 + r1 cospx + ir1 sin px = r2e i<Рг

Q1 Q2 1 .

Для периодической цепной дроби (22) можно записать:

р reiP1

= 1 + . re

Оп Рп-1 / бп-1

Вычисление значений подходящих непрерывной дроби (22) с комплексными элементами предполагает выполнение ряда операций. 1. Составляется выражение:

р = 1 + _тв-= 1 + . тв

0-п Рп-1/ 0-п-1 Гп-1в п-1

2. Выполняется деление двух комплексных чисел, записанных в показательной форме:

Р = 1 + вг(ф1 -фп-1 ) = 1 + т'пв1ф1' .

°п Гп-1

3. Записывается комплексное число т'пв'ф" в тригонометрической форме и

складывается с единицей: р

= 1 + г'У" = 1 + г'п (соэфп + / ела фп) =1 + К софп + К $шф'п■

4. Выполняется преобразование комплексного числа из алгебраической формы а + Ь в показательную:

Р I--Ь

р =1 + г'п совф^ + 1г'п 8т ф'п = Гпв'фп, тп = д/а2 + Ьи2, фп = агаапь-.

°п ап

n=1

Значение подходящей дроби р / б в показательной форме используется далее при определении значения следующей подходящей дроби: Р ГР ф1 ГР ф1

г"+1. + __11Р_= 1 + _1Р

б"+1 Р" / б" Г"Р Ы

Таким образом, можно получить последовательность подходящих непрерывной дроби (22), имеющей комплексные элементы. Определение значений комплексной

последовательности Р*ф } реализуются посредством рассмотренного выше г/ф^)-алгоритма, описываемого формулами (16) и (17). Фактически, г/ф(7)-алгоритм - это алгоритм усреднения, использующий две последовательности, - последовательность

модулей {Г"} и последовательность аргументов {ф" } комплексных чисел {"иРгф" }.

4. Экспериментальная проверка алгоритма суммирования комплексных последовательностей

Запишем непрерывную дробь с комплексными элементами

1 2рф 2рф 2рф 1 л/1 + 8рф

г = 1 +--- - , г = — +--(23)

1 + 1 + •••+ 1 + ••• 2 2

Непрерывная дробь (23) при ф = 0 и ф = 2л имеет положительные вещественные звенья и значение, равное двум:

,22 2 г = 1 + - — - , 1 1 + 1 + •••+ 1 + ••• г1 = 2.

При ф = л непрерывная дробь (23) имеет отрицательные вещественные звенья и комплексное значение:

г2 = 1 - - - - =1 + / — = 42р1 агс1ап77 = 1,414213рг1'209429 (24)

2 1 -1 -•••-1 -... 2 2 ( )

Цепная дробь (23) имеет комплексные значения при любых ф, кроме ф = 0 и ф = 2л, 0 < ф < 2л.

В таб. 1 приведены результаты вычислений значений подходящих непрерывной дроби (25).

2£,7'л/12 2£?7'л/12

1 +- - --(25)

1 + 1 + •••+ 1 +... ( )

Таблица 1. Результаты вычислений подходящих непрерывной дроби

Номер подходящих дробей Метод подходящих дробей Погрешность модуля, = |Го - Г Погрешность аргумента, £ф =фо -Ф"|

Значения модуля, Гп Значения аргумента,ф"

1 1 0 0.994928425721 0.087340475796

2 2.977197223086 0.174755721267 0.982268797364 0.087415245471

4 2.183422047641 0.123646881080 0.188493621919 0.036306405284

8 2.004063172348 0.091401576073 0.009134746626 0.004061100277

16 1.994935723532 0.087365051619 0.000007297810 0.000024575823

32 1.994928424944 0.087340475927 0.000000000777 0.000000000131

64 1.994928425722 0.087340475796 0 0

В колонках 2 и 3 табл. 1 приведены значения модулей и аргументов комплексных подходящих дробей. Имеет место достаточно быстрая сходимость подходящих

дробей к комплексному значению непрерывной дроби (25), равному величине ^ = 1 004098 „¿0,087340..

2 1 994928...е . в колонках 4 и 5 табл. 1 даны погрешности в определении

модуля и аргумента комплексного значения при учёте различного числа подходящих дробей.

Табл. 2 и табл. 3 - сводные таблицы, в которых приведены значения непрерывной дроби (26) при ф = пл/12, где п = 1, 2, ..., 11, 13, ... 24.

, 2еф 2еф 2еф

1 +- - - (26)

1 + 1 +...+ 1 +... ( )

Таблица 2. Результаты вычислений непрерывной дроби (26) при 0 <ф<11 л/12

Значения аргумента, ф = ял/12 Количество подходящих дробей Значения модуля, гп Значения аргумента, фп

ф = 0 40 2 0

ф = л/12 42 1.994928425722 0.087340475796

ф = 2л/12 43 1.979778913064 0.175129157135

ф = 3л/12 48 1.954751754543 0.263834888337

ф = 4л/12 48 1.920196461505 0.353967694342

ф = 5л/12 52 1.876635592498 0.446098509484

ф = 6л/12 59 1.824797758476 0.540875998261

ф = 7л/12 65 1.765656957524 0.639036069753

ф = 8л/12 78 1.700470536086 0.741396613560

ф = 9л/12 102 1.630800438785 0.848827312403

ф = 10л/12 148 1.558494300479 0.962185111285

ф = 11л/12 247 1.485601387229 1.082214425177

Таблица 3. Результаты вычислений непрерывной дроби (26) при л< ф<2л

Значения аргумента, ф = пл/12 Количество подходящих дробей Значения модуля, гп Значения аргумента, фп

ф = 13л/12 262 1.485601387229 -1.08221442517

ф = 14л/12 145 1.558494300479 -0.96218511128

ф = 15л/12 102 1.630800438785 -0.84882731240

ф = 16л/12 82 1.700470536086 -0.74139661356

ф = 17л/12 65 1.765656957524 -0.63903606975

ф = 18л/12 57 1.824797758476 -0.54087599826

ф = 19л/12 52 1.876635592498 -0.44609850948

ф = 20л/12 48 1.920196461505 -0.35396769434

ср = 21л/12 42 1.954751754543 -0.26383488833

ф= 22 л/12 42 1.979778913064 -0.17512915713

ф = 23л/12 42 1.994928425722 -0.08734047579

ф = 2 л 40 2 0

На рис. 1 показана зависимость модулей комплексных значений непрерывных дробей от аргумента ф частных числителей.

г 2.0

1.4142 1.0

2л/12 4л/12 бл/12 8л/12 10л/12 л 14л/12 1бл/12 20л/12 22л/12 2л ф

Рис. 1. Зависимость модулей комплексных значений непрерывной дроби (26) от аргумента ф

частных числителей

На рис. 2 показана зависимость аргументов ф комплексных значений непрерывных дробей от аргумента ф частных числителей.

о

Рис. 2. Зависимость аргументов ф комплексных значений непрерывной дроби (26) от аргумента ф частных числителей

Из данных вторых колонок табл. 2 и табл. 3 следует, что скорость сходимости периодической непрерывной дроби (26) зависит от значения аргумента комплексных частных числителей дроби. Максимальная скорость сходимости непрерывной дроби (26) имеет место при ф = 0. С ростом значения аргумента ф комплексных частных числителей непрерывной дроби (26) скорость сходимости уменьшается (рис. 3). При ф = л непрерывная дробь (26) становится расходящейся в классическом смысле.

Рис. 3. Зависимость числа звеньев непрерывной дроби (26) от аргумента ф

5. Определение значений комплексных периодических непрерывных дробей при ф ^ л

Ворпицкий (I. \Vorpitzky) в 1865 доказал теорему [21], из которой следовало, что условие \СП\ < 1/ 4, достаточно для сходимости цепной дроби

^ С2 ^ , (27)

1 + 1 +...+ 1 +...

где Сп - комплексные числа.

В самом деле, если |си| < 1/4, то при аргументе ф = л непрерывная дробь (27),

хотя и имеет вещественные отрицательные частные числители, но сходится в классическом смысле.

Рассмотрим результаты вычислений цепной дроби (28) при ф ^ л.

, аеф аеф аеф

1 +- - - (28)

1 + 1 +...+ 1 +... ( )

где а - вещественное число. При ф = л непрерывная дробь (28) становится непрерывной дробью с вещественными отрицательными элементами:

^=1 - а а а , *=1+— <?»>

1 - 1 -...- 1 -... 2 2 .

При а > 1/4 непрерывная дробь (29) имеет комплексное значение и расходится в классическом смысле.

Если аргументы частных комплексных числителей не равны л, то непрерывная дробь (29) сходится в классическом смысле и при |а| > 1/4. При стремлении ф к л сходимость непрерывных дробей может быть сколь угодно медленной и сходимость таких непрерывных дробей следует устанавливать с использованием описанного выше г/ф^-алгоритма.

В табл. 4 приведены результаты определения значения непрерывной дроби (30), частные числители которой имеют аргумент ф = л - 10 -3. Из данных, приведённых в колонке 2 табл. 4, видно, что скорость сходимости комплексной непрерывной дроби (30) очень мала, - надо использовать более 100 000 подходящих, чтобы получить 12 верных десятичных знаков модуля и аргумента комплексного числа, являющегося значением этой непрерывной дроби.

Таблица 4. Определение значения непрерывной дроби

2еКл-0,001) 2ег'(л-0,001) 2ег'(л-0,001)

1 +--- --- ----(30)

1 + 1 +...+ 1 +...

Номер подходящих дробей Метод подходящих дробей г/ф<7>-алгоритм

Значения модуля, гп Значения аргумента, фп Значения модуля, гп Значения аргумента, фп

256 1.260861051922 1.10626206778 1.394764686163 1.172000748943

512 1.668217903633 1.26992936718 1.404633341822 1.191304696814

1024 1.722430164093 1.14218040517 1.409339598351 1.200585050875

2048 1.392636017979 0.91941299549 1.411610054224 1.205185164152

4096 1.313386043844 1.372152317285 1.412966235872 1.207178230948

8192 1.364079770523 1.216680777723 1.413731223767 1.208044940802

16384 1.414692344528 1.207261528493 1.414107750627 1.208487280733

32768 1.414477717664 1.208931869761 1.414294276214 1.208708306903

65536 1.414480848833 1.208929256878 1.414387560914 1.208818785251

131072 1.414480848852 1.208929256883 1.414434204469 1.208874021911

В табл. 5 приведены результаты определения значений непрерывной дроби (31) с комплексными частными числителями, аргумент которых отличается от л на величину 10-6. Как видно из данных, помещённых в колонке 2 табл. 5, непрерывная дробь (31) сходится столь медленно, что даже использование двух миллионов подходящих дробей

не даёт ни одного верного десятичного знака после запятой ни в определении модуля, ни в определении аргумента комплексного числа, которое является значением этой непрерывной дроби. Использование для суммирования, т.е. для определения значения непрерывной дроби (31), г/ф(7)-алгоритма, задаваемого формулами (16) и (17), приводит к положительному результату, что можно видеть из данных, приведённых в колонках 4 и 5 табл. 5. Применение г/ф(7)-алгоритма позволило установить значения модуля и аргумента комплексного значения непрерывной дроби (31) с точностью в три верных десятичных знака при числе подходящих дробей 65536.

Таблица 5. Определение значения непрерывной дроби 2е/(к-10-6) 2ег'К-10") 2е'(л~1®6)

1+—;--;— —;— (31)

1 + 1 +...+ 1 +...

Номер подходящих Метод подходящих дробей г/ф^)- алгоритм

Значения Значения Значения Значения

дробей модуля, Гп аргумента, фп модуля, Гп аргумента, фп

1024 1.448674504894 1.08051052723 1.404758213687 1.188230998404

2048 1.254109786327 1.15158083675 1.409418513135 1.198843349040

4096 1.543715505936 1.31531174438 1.411840343364 1.204168543241

8192 1.363290245688 1.34266184596 1.413015162034 1.206799052564

16384 1.265896501506 1.13478997008 1.413614044146 1.208107110804

65536 1.271123078011 1.30066117686 1.414062846535 1.209100440732

131072 1.445452293515 1.07362757876 1.414139258073 1.209264379191

262144 1.234956103963 1.15201530164 1.414175745819 1.209347066010

524288 1.594772194150 1.32643355308 1.414194782134 1.209388639755

1048576 1.396737222188 1.41615330752 1.414203934401 1.209409194698

2097152 1.059257842690 1.14498698973 1.414208544242 1.209419356552

Рассмотренный г/ф(7)-алгоритм можно использовать и при суммировании расходящихся непрерывных дробей, имеющих вещественные частные числители. Для этого такие непрерывные дроби следует записывать в виде

1 + ^- --- . (32)

1 + 1 +...+ 1 +...

где е - величина, близкая к нулю.

Численные эксперименты показали, что г/ф(7)-алгоритм «работает», т.е. находит комплексные значения непрерывной дроби (32), даже, если е = 0. Это объясняется тем обстоятельством, что константа л представляется с некоторой неустранимой погрешностью из-за конечной разрядной сетки компьютера. Непреднамеренное введение в запись непрерывной дроби (32) незначительной «комплексности» оказывается достаточно для функционирования г/ ф^)-алгоритма. В табл. 6 приведены результаты определения значений непрерывной дроби (33) с использованием г/ф(7)-алгоритма.

Таблица 6. Определение значения непрерывной дроби

1 + —--— — (33)

1 + 1 +...+ 1 +...

Номер подходящих Метод подходящих дробей г/ф^-алгоритм

Значения Значения Значения Значения

дробей модуля, тп аргумента, фп модуля, Гп аргумента, фп

16 1 0.00000000000 1 0.000000000000

32 1.000000000000 0.00000031789 1.000000000000 0.000000021192

64 1.364663277416 1.05756240018 1.062746996448 0.234133950318

128 1.639656626052 1.27860855600 1.227758842363 0.730663870934

256 1.478014122786 1.05971202206 1.318030906780 0.971442541244

65536 1.403515300748 1.05376765302 1.413825507364 1.208506572632

131072 1.582042803471 1.32987352369 1.414019571408 1.208969094403

262144 1.618988160971 1.12656165216 1.414116822535 1.209198805958

524288 1.203609792741 1.22129277006 1.414164738282 1.209313983410

1048576 1.261171908290 1.10106257070 1.414189216894 1.209371540333

Точное значение непрерывной дроби (33) определяется корнем квадратного уравнения г2 - г + 2 = 0, г = 42г1агс^ = 1,4 1 42 1 31209429

Приведённые результаты показывают, что г/ф(7)-алгоритм может использоваться, при определённых условиях, для суммирования расходящихся непрерывных дробей с вещественными звеньями, т.е. заходить в сферу применения г/ф-алгоритма.

Заключение

Предложенные для суммирования комплексных последовательностей г/ф^)-алгоритмы отличаются от г/ф-алгоритмов способом определения аргументов комплексных чисел, являющихся пределами комплексных последовательностей. Эти алгоритмы могут использоваться не только для суммирования расходящихся комплексных последовательностей, но и для ускорения сходимости последовательностей, если последовательности сходятся.

Общепринято считать, что вещественные бесконечные последовательности могут иметь только вещественные значения. Это, однако, оказалась не так. Введённые в вычислительную практику г/ф-алгоритмы позволяют устанавливать для бесконечных последовательностей, состоящих из вещественных элементов, как вещественные, так и комплексные значения [22]. Таким образом, в оценке сходимости или расходимости вещественных последовательностей надо проявлять осторожность. Исходная вещественная последовательность, не удовлетворяющая критерию Коши, т.е. расходящаяся в классическом смысле, может иметь комплексное значение, которое по элементам вещественной последовательности определяется рассмотренными г/ф-алгоритмом или Я/ф-алгоритмом. Если значение вещественной бесконечной последовательности не устанавливается непосредственно этими алгоритмами, то значение последовательности разыскивается каскадным /ф-алгоритмом. Это значение может быть как вещественным, так и комплексным, в зависимости от элементов исходной суммируемой вещественной последовательности.

На г/ф-алгоритмы и их обобщения надлежит смотреть как на инструменты Анализа, которые, правда, пока несколько выбиваются из классических рамок. Будем исходить из того, что со временем эти алгоритмы, постоянно расширяя сферы своего применения, перейдут из разряда «парадоксальных» в стандартные. Неоспоримо, вопросы определения значений бесконечных вещественных и комплексных последовательностей, то есть вопросы сходимости, являются базовыми в математическом анализе, что оправдывает усилия в их углубленном изучении.

Список литературы /References

1. Бесов О.В. Лекции по математическому анализу. Ч. 1. М.: МФТИ, 2004. 327 с.

2. Шмойлов В.И. Непрерывные дроби. В 3 т. Том 3. Из истории непрерывных дробей. Нац. акад. наук Украины, Ин-т приклад. проблем механики и математики. Львов, 2004. 520 с.

3. Шмойлов В.И. Суммирование расходящихся цепных дробей. Львов: ИППММ НАН Украины, 1997. 23 с.

4. Шмойлов В.И., Слобода М.З. Расходящиеся непрерывные дроби. Львов: Меркатор, 1999. 820 с.

5. Шмойлов В.И. Непрерывные дроби. В 3 т. Том 1. Периодические непрерывные дроби. Нац. акад. наук Украины. Ин-т приклад. проблем механики и математики. Львов, 2004. 645 с.

6. Шмойлов В.И. Непрерывные дроби. В 3 т. Том 2. Расходящиеся непрерывные дроби. Нац. акад. наук Украины, Ин-т приклад. проблем механики и математики. Львов, 2004. 558 с.

7. Кириченко Г.А., Шмойлов В.И. Алгоритм суммирования расходящихся непрерывных дробей и некоторые его применения. // Журнал вычислительной математики и математической физики, 2015. Т. 55. № 4. С. 559-572.

8. Шмойлов В.И. Решение алгебраических уравнений при помощи йр-алгоритма. Таганрог: Изд-во ТТИ ЮФУ, 2011. 330 с.

9. Козлов В.В. Об одной формуле суммирования расходящихся непре-рывных дробей. // Докл. РАН, Том 474. Номер 4, 2017. С. 410-412.

10. Шмойлов В.И. Коровин Я.С. Пределы Никипорца и некоторые их приложения. // Вестник науки и образования. № 13 (49), 2018. С. 6-20.

11. Шмойлов В.И. Расходящиеся системы линейных алгебраических уравнений. Таганрог: Изд-во ТТИ ЮФУ, 2010. 205 с.

12. Шмойлов В.И., Коровин Я.С., Иванов Д.Я. Алгоритмы определения комплексных решений БСЛАУ с трёхдиагональной матрицей. // Вестник науки и образования. № 9 (45), 2018. С. 6-18.

13. Шмойлов В.И., Коровин Я.С., Иванов Д.Я. Решение расходящихся систем линейных алгебраических уравнений. // Вестник науки и образования. № 9 (45), 2018. С. 18-30.

14. Шмойлов В.И., Коровин Я. С. Решение систем линейных алгебраических уравнений непрерывными дробями. Ростов-на-Дону: Изд-во ЮФУ, 2017. 383 с.

15. Шмойлов В.И., Коровин Я.С. Непрерывные дроби. Библиографический указатель. Ростов-на-Дону: Изд-во ЮФУ, 2017. 382 с.

16. Шмойлов В.И., Коровин Я.С. Формулы Эйлера и пределы Никипорца // Вестник науки и образования. № 18 (54). Часть 1, 2018. С. 5-20.

17. Шмойлов В.И., Коровин Я.С., Иванов Д.Я. О первом замечательном пределе для эллиптических чисел. // Вестник науки и образования. № 2 (56). Часть 1, 2019. С. 6-21.

18. Шмойлов В.И., Коровин Я.С. Иванов Д.Я. Непрерывные дроби и суммирование рядов. Ростов-на-Дону: Изд-во ЮФУ, 2018. 524 с.

19.Джоунс У., Трон В. Непрерывные дроби. Аналитическая теория и приложения. Пер. с англ. М.: Мир, 1985. 414 с.

20. Шмойлов В.И. Алгоритмы определения значений бесконечных последовательностей. // Вестник науки и образования. № 16 (51). Часть 1, 2018. С. 10-24.

21. Worpitzky J.D. Untersuchungen uber die Entwicklung der mono-dromen und monogenen Funktionen durch Kettenbrüche. // Friedrichs-Gymnasium und Realschuie Jahresbericht. Berlin (1865). Рр. 3-39.

22. Шмойлов В.И. Непрерывные дроби и г/-алгоритм. Таганрог: Изд-во ТТИ ЮФУ, 2012. 608 с.