CC BY
15
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ
О ПРЕДЕЛЕ И КРИТЕРИИ СХОДИМОСТИ БЕСКОНЕЧНЫХ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ ЗНАЧЕНИЙ ДРОБНО-
РАЦИОНАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ 1 2 Шмойлов В.И. , Коровин Я.С.
Email: Shmoylov661@s cientifictext.ru
1 Шмойлов Владимир Ильич - старший научный сотрудник; 2Коровин Яков Сергеевич - ведущий научный сотрудник, НИИ многопроцессорных вычислительных систем Южный федеральный университет, г. Таганрог
Аннотация: рассматриваются способы определения значений бесконечных вещественных и комплексных последовательностей. Показывается, что r/ф-алгоритмы позволяют устанавливать комплексные значения расходящихся в классическом смысле бесконечных последовательностей, составленных из вещественных элементов. Предложенный для суммирования комплексных последовательностей r/ф ^-алгоритм отличается от r/ф-алгоритма, используемого при суммировании вещественных последовательностей, способом определения аргумента комплексного числа, являющегося значением комплексной последовательности. Если в r/ф-алгоритме аргумент комплексного числа находится из анализа знаков вещественных подходящих дробей, то в r/ф ^-алгоритме используется процедура усреднения значений аргументов. Рассмотрено суммирование непрерывных дробей с комплексными элементами при значениях аргументов q>, близких к п.
Для последовательностей частного вида, а именно - для последовательностей значений дробно-рациональных функций, предложены формулировки предела и критерия сходимости, отличные от традиционных определений. Ключевые слова: суммирование вещественных и комплексных последовательностей, непрерывные дроби, r/ф ^-алгоритм.
ON THE LIMIT AND CRITERIA OF CONVERGENCE OF INFINITE SEQUENCES OF VALUES OF RATIONAL FUNCTIONS Shmoylov V.I.1, Korovin Ya.S.2
1Shmoylov Vladimir Ilyich - Senior Research;
2Korovin Yakov Sergeyevich - Leading Researcher, RESEARCH INSTITUTE OF MULTIPROCESSOR COMPUTING SYSTEMS SOUTH FEDERAL UNIVERSITY, TAGANROG
Abstract: the methods of determining the values of infinite real and complex sequences, which differ from the classical methods based on the direct use of the Cauchy criterion, are considered. It is shown that г/ф-algorithms allow us to establish complex values of divergent in the classical sense infinite sequences composed of real elements. The proposed algorithm for summation of complex sequences r/ф^)-algorithms from the г/ф-algorithm used for summation of a real sequence by the method of determining the argument of a complex number, which is the value of a complex sequence. If in the r/ф-algorithm argument a complex number is used, which is found as a result of the analysis of signs of significant approaches, the r/ф(z) algorithm uses the procedure of averaging the values of the
arguments. Considered the summation of continued fractions with complex elements in the argument values p close to n.
For sequences of a particular type, namely, for sequences of values of fractional-rational functions, the formulations of the limit and convergence criterion, different from traditional definitions, are proposed.
Keywords: summation and complex sequences, divergent continued fractions, r/q(z) algorithm.
УДК 517.524
Введение
Число a E R называется пределом последовательности \an }, если для
Vs> 0 3nEe N: \a - an\ <s Vn > ns. (1)
В книге Э.Т. Уиттекера и Дж. Н. Ватсона «Курс современного анализа» отмечается
[1], что «впервые определение предела, равноценное ныне принятому, было дано Валлисом в 1655 г.».
Последовательность \an } является сходящейся, если она имеет конечный предел, принадлежащий R. В противном случае, последовательность называют расходящейся
[2]. Для сходимости последовательности \an } необходимо и достаточно, чтобы она была фундаментальной, то есть для неё выполнялся критерий Коши:
Vs> 0 3n£ : | an - am | < s Vn, m > ne. (2)
В той же книге Э.Т. Уиттекера и Дж. Н. Ватсона теорема Коши, опубликованная в 1821 г., оценивается как «одна из важнейших и основных теорем анализа». Следует отметить, что теорема Коши часто именуется как теорема Больцано-Коши. Говоря о важности понятия предела, можно привести слова Рихарда Куранта из его классического труда «Курс дифференциального и интегрального исчисления» [3]: «Два понятия, если не считать понятия числа, лежат в основе дифференциального и интегрального исчисления и, вместе с тем, в основе всего высшего анализа: понятие функции и понятие предела».
1. Алгоритмы определения значений бесконечных вещественных последовательностей
В 1948 г. таганрогский математик А.З. Никипорец [4] предложил «предел»:
sin(n + 1)p ip
lim—1-— = ep. (3)
sin np
Этот предел, очевидно, не традиционный, ибо в левой части формулы (3) имеем бесконечную последовательность вещественных чисел, а справа - комплексное число. Предел Никипорца (3) почти полвека оставался странной формальной записью, пока в 1994 г. не был предложен алгоритм суммирования расходящихся непрерывных дробей [5], получивший название r/р-алгоритма. Это алгоритм формулируется следующим образом:
Непрерывная дробь с вещественными элементами сходится и имеет своим значением в общем случае комплексное число z = r0e'^0, если существуют пределы
о = lim n П1P /Qn\, (4)
П=1
к
Нт-^, (5)
П П
где Рп/<2И - значение п-п подходящей дроби,
кп— количество подходящих дробей, имеющих отрицательные значения совокупности, включающей п подходящих дробей.
n
Знак аргумента комплексного числа г0е1!ро определяется из распределения значений подходящих дробей. Правила определения знака были установлены на тестовых непрерывных дробях с вещественными элементами, имеющих комплексные значения [6].
Если аргумент ф0, определяемый по формуле (5), окажется равным нулю или л, то значение рассматриваемой непрерывной дроби вещественно: г0 = г0е10 = г0, или г0 = г0еш = —г0. В случае сходимости непрерывной дроби в классическом смысле значение непрерывной дроби, устанавливаемое г/щ-алгоритмом, совпадает с пределом подходящих дробей.
Применения г/щ-алгоритма рассмотрены в работах [7-10].
В г/ф-алгоритме находятся значения последовательностей, элементами которых выступают вещественные подходящие непрерывные дроби. Для суммирования других бесконечных вещественных последовательностей, которые, как и
последовательности подходящих дробей р / ^ }°° , являются последовательностями
значений дробно -рациональных функций, в [11] было предложено обобщение г/ф-алгоритма. Этот алгоритм, названный Я/ф-алгоритмом, имеет формулировку, аналогичную формулировке г/щ-алгоритма.
Если значение бесконечной последовательности {хп }°°=1 не устанавливается
непосредственно Я/ф-алгоритмом, то по вещественной последовательности {хи }°°_х
находится последовательность вещественных «подходящих дробей» / G® ,
которые являются значениями дробно-рациональных функций. Например, если последовательность частичных сумм ряда не суммируется Я/ф-алгоритмом, то по коэффициентам ряда определяется так называемая соответствующая непрерывная дробь, являющаяся, в отличие от ряда, дробно-рациональной функцией. Последовательность подходящих дробей, т.е. последовательность значений дробно-рациональной функции, уже суммируется Я/ф-алгоритмом. Такой алгоритм суммирования был назван в [11] каскадным Я/ф-алгоритмом, обозначаемый как ф-алгоритм.
После того, как описаны алгоритмы определения значений вещественных бесконечных последовательностей, можно возвратиться к формулировке понятия предела, задаваемого выражением (1), и к формулировке необходимых и достаточных условий сходимости вещественных последовательностей, т.е. к критерию сходимости, определяемому формулой (2).
Обратимся к частному, но весьма важному классу бесконечных последовательностей, а именно, - к последовательностям значений дробно-рациональных функций. К таким последовательностям, например, относятся бесконечные последовательности значений подходящих непрерывных дробей. Учитывая рассмотренный выше г/ф-алгоритм, можно привести такую формулировку предела этих последовательностей:
Комплексное число с0 = г0е19° называется пределом вещественной
последовательности \ап значений дробно-рациональной функции, если по этой
вещественной последовательности могут быть построены две сходящиеся последовательности {гп} и Щ}, которые имеют своими пределами, соответственно,
модуль Г и аргумент Щ комплексного числа г0е19°:
Уе> 0 N: |г0 - г\ <£ Уп > пе,
Уб> 0 N: Щ0 -щп| <£ Уп > пе.
Элементы вещественных последовательностей \гп } и (и }, устанавливаются . формулам
п кп
Гп = п П К|, Рп =Я-П-,
V п=1 п
где ап - элементы вещественной последовательности |аи
кп - число элементов вещественной последовать 1рицательные значения из числа п элементов этой последовал
Таким образом, вещественная последовательность \ап ^ значений дробно-
*п }п=1'
кп - число элементов вещественной последовательности, имеющих отрицательные значения из числа п элементов этой последовательности.
Лт
Лп }п=1
рациональной функции имеет комплексный предел с0 = г0е1 ^0, если существуют пределы:
Г_п к,„
г0 = Нш п П1 ап|, Ро = ^11ш —,
где ап - элементы вещественной последовательности |аи ^
кп - число элементов вещественной последовательности |аи , имеющих
п)п=1'
*п }п=1,
отрицательные значения из совокупности, включающей п элементов.
Аналогично, с учётом г/^-алгоритма, можно записать критерий сходимости последовательности вещественных значений дробно-рациональной функции:
Для сходимости вещественной последовательности \ап }™ 1 значений дробно-
рациональной функции к комплексному пределу с0 = г0е1<р0 необходимо и достаточно, чтобы выполнялись условия:
Уе> 0 Зпе е N: \гп - гт| <е Уп, т > пе, Уб> 0 Зпее N: \рп -рт\<£ Уп, т > пе.
Модули гп, гт и аргументы (рп, (рт комплексных чисел Гур1^" и Гте1Рт
устанавливаются по элементам вещественной последовательности {а формулами:
I п I т
Гп = п П Ы, гт = т П\ат\,
=1 \т=1
кп кт
Рп =Я — , Фт =К — ,
п т
где ап, ат - элементы вещественной последовательности }, кп, кт - число элементов вещественной последовательности \а1}, имеющих отрицательные значения, соответственно, из совокупности п и т элементов.
2. Алгоритмы определения значений бесконечных комплексных последовательностей
Если последовательность {zn содержит комплексные числа в показательной
форме, т. е. {zn = Гпе'т" , то существование предела комплексной последовательности {z„ равносильно существованию пределов вещественных последовательностей
модулей \t"n }" и аргументов этих комплексных чисел [12].
Пусть имеется непрерывная дробь с комплексными элементами. Подходящими дробями будет последовательность комплексных чисел:
{Pn(z)/Qn(z)}h = У,rnekn, ...} (6)
По последовательности (6), включающей комплексные числа, представленные в показательной форме, запишем две вещественные последовательность-последовательность модулей Ги последовательность аргументов {k}^
комплексных чисел, составляющих последовательность подходящих исходной непрерывной дроби.
Для определения значений непрерывных дробей с комплексными элементами в [13] предложен алгоритм, обозначаемый как r/^fzj-алгоритм, который формулируется следующим образом:
Непрерывная дробь с комплексными элементами сходится и имеет своим значением комплексное число z = r0elVo, если существуют пределы
Го = lim n Пг,, (7)
V n = 1
I I kl+kl+...+kl
k0 = limJ—!—!—!-!—1, (8)
n^X n
где rn - значение модуля n-й комплексной подходящей дроби,
|k| - абсолютная величина аргумента n-й комплексной подходящей дроби.
Как можно заметить, r/q>(z) -алгоритм отличается от r/т-алгоритма в способе определения аргумента комплексного числа z = r0elVo. Если в r/т-алгоритме аргумент (р0 находится из анализа знаков вещественных подходящих дробей, то есть используется формула (5), то в r/q>(z) -алгоритме аргументы <рп уже имеются в
последовательности комплексных подходящих дробей {rne}и1. Значение
абсолютной величины аргумента ф0 определяется как предел средне арифметических абсолютных величин аргументов <рп при п ^ те, т. е. устанавливается по формуле (8). Модуль r0 комплексного числа z = r0elVo находится в r/т-алгоритме и r/q>(z)-алгоритме по схожим формулам, соответственно, по формулам (4) и (7), как пределы средне геометрических величин «отсчётов». Если в r/т-алгоритме «отсчётами» являются абсолютные величины вещественных подходящих исходной непрерывной дроби, значение которой устанавливается, то в r/q>(z) -алгоритме в качестве «отсчётов» выступают модули rn комплексных чисел rneltPn, являющихся значениями подходящих дробей.
Сравнивая r/^-алгоритм, т.е. формулы (4) и (5), предназначенный для определения значений непрерывных дробей с вещественными элементами, и r/q>(z) -алгоритм, описываемый формулами (7) и (8), ориентированный на решение той же задачи, но
для непрерывных дробей с комплексными элементами, следует указать на принципиальные различия этих алгоритмов.
Если г/р-алгоритм можно характеризовать как «парадоксальный», то г/р(х)-алгоритм вполне традиционный. Парадоксальность г/р-алгоритма заключается в том, что оперируя с вещественной последовательностью этот алгоритм устанавливает, в общем случае, комплексное значение этой последовательности. Предложенный г/р(х)-алгоритм устанавливает комплексное значение непрерывной дроби с комплексными элементами. Этот алгоритм, использующий процедуры усреднения, следует рассматривать, в первую очередь, как алгоритм, ускоряющий сходимость при определении значений непрерывных дробей с комплексными элементами. Эффективность г/р(х) -алгоритма проявляется прежде всего тогда, когда аргументы комплексных частных числителей близки к л. При аргументе р, стремящемся к л, сходимость непрерывной дроби может быть сколь угодно медленной. Проблемы со сходимостью непрерывных дробей с комплексными элементами, имеющими аргументы, близкие к л, легко объяснимы. Так как ет = — 1 , то при р = п непрерывная дробь с комплексными элементами
а,е1р а^е"
Ал е
ап +- 1
?1р1 Г, 01р2 г, а1рп
1 + 1 + ...+ 1 + ... приобретает вид непрерывной дроби с вещественными отрицательными частными числителями:
а, а2 ап
а0 -— — — , 0 1 - 1 -...- 1 -...
которая, по теореме Ворпицкого, опубликованной в 1865 г. [14], расходится в
классическом смысле при ап > 1 / 4.
Таким образом, г/р(х) -алгоритм, - это, прежде всего, алгоритм, весьма
эффективный при суммировании непрерывных дробей с аргументами комплексных
элементов, близкими к л, когда сильны «биения», т.е. имеется большой разброс в
значениях соседних подходящих дробей.
Принимая во внимание г/р(х) -алгоритм, можно дать определение предела
комплексной последовательности значений дробно-рациональной функции, которое
отличается от традиционного определения, аналогично тому, как то было сделано
выше в случае определения предела вещественных последовательностей значений
дробно-рациональной функции. То же относится и к формулировке необходимых и
достаточных условий сходимости, т.е. к формулировке критерия сходимости
комплексных последовательностей значений дробно-рациональных функций.
В г/р(х) -алгоритме определяются значения последовательностей, элементами
которых являются комплексные подходящие дроби. Для суммирования других
комплексных последовательностей, которые, как и последовательности подходящих
дробей р (г)/ (, являются значениями дробно-рациональных функций, в
[13], предложено обобщение г/р(г)-алгоритма, который обозначен как К/р(х)-алгоритм. Этот алгоритм имеет формулировку, аналогичную формулировке г/р(г)-
алгоритма.
Если значение бесконечной комплексной последовательности не
устанавливается непосредственно Я/р(х) -алгоритмом, то по комплексной
к }Г=
дробей» {р*к)(*)/О^)}^ дробно-рациональной функции. Например, по коэффициентам ряда с комплексными
последовательности \2п }и1 строится последовательность комплексных «подходящих
2), которые являются последовательностью значений
коэффициентами определяется так называемая соответствующая непрерывная дробь, последовательность подходящих дробей которой уже суммируется Я/рх) -алгоритмом. Алгоритм определения значений бесконечных комплексных последовательностей
через построение по исходным последовательностям последовательностей
{^п^ Ч^ , являющихся значениями дробно-рациональных функций, в
[13] назван каскадным Я/ф(х)-алгоритмом, обозначаемый как Д® / р(г)-алгоритм.
3. Построение последовательностей подходящих непрерывных дробей с комплексными элементами
Рассмотрим вычисление подходящих непрерывной дроби с комплексными частными числителями общего вида. Можно записать:
а2е р ап-2е2 ап-1еФ
" 1 + 1 +...+ 1 + 1 + 1 "
1ф I Ф , I Ф ,
= 1 + _е_ _2е Ф _п-2е _п-1е Ф
1 + 1 +...+
где
гп-1 = 7(1 + _п сОР„)2 + (_п ™Фп)2 , ап1= агЛап _п 5тФп
1 + _п СОЭфп
Продолжая вычисления, получим:
0„ 1 + 1 +...+ 1 + г ,еап- 1 + 1 +...+ г ,еа~!
^п ' п-1 п-2
Чтобы найти комплексное число гп_2е1 Сп-2, надо выполнить операции деления модулей и вычитания аргументов комплексных чисел ап_ 1е1<Рп-1, и гп_ 1е1ССп-1, и провести запись комплексного числа в показательной форме:
= К-2, Фп-1 -ап-1 = а'п-2 > 1 + Г'п-2 2 + Г'-2 Sm а'п-2 = Гп-
Гп -1
При вычислении следующего звена непрерывной дроби выполняются аналогичные операции. Процесс повторяется, пока не будет вычислена вся непрерывная дробь, содержащая п комплексных звеньев, т.е. не установлено комплексное значение подходящей дроби Рп/(п.
Чтобы упростить программу определения значения непрерывной дроби с комплексными частными числителями, следует единицу в знаменателе последнего звена подходящей дроби представить в «общем виде», как 1 е1 0.
Здесь следует остановиться на вычислительном аспекте. Дело в том, что определение значений подходящих непрерывных дробей с вещественными и комплексными элементами требуют существенно разных затрат. Если для вычисления одного звена вещественной непрерывной дроби необходимо выполнения всего двух арифметических операций, - деления и сложения, то при вычислении одного звена, имеющего комплексные элементы, требуется 13 операций, причём, среди этих 13 -ти операций четыре операции связаны с вычислением значений элементарных функций, а именно, - с определением значений косинуса, синуса, арктангенса, а также квадратного корня. Вычисление значений элементарной функции требует выполнения множества арифметических операций.
Ф п-2
_п-2е
п-2
4. Экспериментальная проверка алгоритма суммирования комплексных последовательностей
Запишем ряды и соответствующие непрерывные дроби, представляющие корень
квадратного уравнения X — рх — а = 0.
Используя формулу бинома Ньютона, получим ряд
р 1р а а2 2а3 5а4 14а5 42а6 132а7 429а8
х = р Ч Р+а = р+-—^+"Г"—Л+-1---тг+^---Ц-+••• (9)
2 V 2 РРРРРРР Р
Коэффициенты ряда (9) - числа Каталана. Раскладывая ряд (9) в соответствующую непрерывную дробь, запишем:
х=Р=Р+а а а а ■
2 V 4 р + Р + Р + ...+ Р +...
Корень квадратного уравнения
х2 — рх — аер = 0
можно представить рядом и непрерывной дробью с комплексными элементами:
I 2 р 2 Ир 3 /3р с 4 /4р 1 л 5 /5р л^ 6 /6р
Р, Р , ,9еР-а е р , 2а е р 5а е р | Т4- е р 42^ е р
' О V /I +^ = Р + „ 3 + 5 7 + 9 11'
2 V 4 Р Р Р Р Р Р
Р Р2 р аер аер аер ае'р X = —+ + аер = р + -— -— -— -— • (11)
2 V 4 р + р + р + •••+ р + •••
Раскладывая ряд (12) в соответствующую непрерывную дробь, получим:
1 — 1- ер+1-3ейр —1-3 • 5евр+1-3 • 5 • 7еНр —1-3 • 5 • 7 • 9е^р +... = (12)
_т те! пе! .
= 1 + 1 + 1 + 1 + 1 +...+ 1 +...
В табл. 1 приведены результаты определения значений непрерывной дроби (13) с комплексными частными числителями, аргумент которых отличается от п на величину 10_6.
Из второй и третьей колонок табл. 1 следует, что сходимость непрерывной дроби (13) столь медленная, что использование более миллиона подходящих дробей не даёт ни одного верного десятичного знака после запятой ни в определении модуля, ни в определении аргумента комплексного числа, которое является значением непрерывной дроби (13).
х
Таблица 1. Определение значения непрерывной дроби
Юе'(я "10_6) Юе!'(л~ 1о6) ]0е'(я -10")
1 +—- —- —- ■ (13)
1 + 1 +...+ 1 +...
Номер подходящих дробей Метод подходящих дробей г/ *%)-алгоритм
Значения модуля, гп Значения аргумента, (рп Значения модуля, гп Значения аргумента, (рп
1 1 0 1 0
2 9.000000000000 -0.00000111111 3.000000000000 0.000000555555
4 89.00000000000 -0.00000213483 3.071478655640 0.000001089263
8 385.1904761905 -0.00000327434 3.079547125894 0.000001372585
16 740.9556412948 -0.00000454818 3.080272783027 0.000001462023
32 564.5629199469 -0.00000609232 3.080363830250 0.000001646132
64 1124.816742743 -0.00003446399 3.080490236299 0.000005650978
128 3980.962305716 0.003134835737 3.080527514078 0.000081038418
256 1133.201390037 -0.81824764624 3.080526435966 0.018528571102
32768 3.026458179997 -1.54354615458 3.161329380354 1.398690372705
65536 2.779254640355 -1.46309444107 3.161801432626 1.405352778025
131072 3.067317729434 -1.27756072103 3.162041055288 1.408684026512
262144 3.119790804625 -1.55530396928 3.162159067546 1.410350860200
524288 2.858649460873 -1.52288488189 3.162217974804 1.411183696408
1048573 3.606502805294 1.335837844295 3.162248166858 1.411599911586
1048574 2.719786529388 1.440085241575 3.162247712293 1.411599938752
1048575 3.682405934030 1.428897358183 3.162248171542 1.411599955248
1048576 2.757983409749 1.345562797823 3.162247759037 1.411599892270
Использование г/ф(г)-алгоритма, как то видно из четвертой и пятой колонок табл. 1, позволяет установить модуль и аргумент комплексного числа, являющегося значением непрерывной дроби, с точностью пяти - шести десятичных разрядов. Непрерывная дробь (13) представляет корень квадратного уравнения
х2 - х - Юе*»"10-6) = 0. Для сравнения запишем значение расходящейся в классическом смысле непрерывной дроби, которой представляется комплексный корень «близкого» квадратного уравнения х2 — х + 10 = 0:
V 1 Ю 10 10 1 + /Т39 Л 412016.. х = 1--— — =-= 3,162277...е ■
1 1-1 -...- 1 -... 2 Запишем непрерывную дробь с комплексными частными числителями общего вида:
. а2е'* аее'^ апе'*-
1 + — - - --- ■ (14)
1 + 1 + 1 +...+ 1 +...
В табл. 2 приведены результаты вычислений значения подходящих непериодической непрерывной дроби (15) с комплексными частными числителями, имеющими аргумент р = п / 1 2 .
Таблица 2. Определение значения непрерывной дроби ^п/12 ^/'п/12 /12
1 +- - - - • (15)
1 + 1 + 1 +...+ 1 +...
Номер подходящих дробей, п Подходящие дроби Погрешность модуля, С = |Г0 - Гп\ Погрешность аргумента, Ср=р0 -Рп\
Значения модуля, гп Значения аргумента, (рп
1 1 0 0,520876501506 0,062176474567
2 1,982889722747 0,130899693899 0,462013221240 0,068723219332
4 1,654059244935 0,095786678509 0,133182743428 0,033610203942
8 1,544746904062 0,072321403737 0,023870402555 0,010144929170
16 1,522762306582 0,063647634395 0,001885805075 0,001471159827
32 1,520907503457 0,062248718066 0,000031001950 0,000072243499
64 1,520876133968 0,062177176364 0,000000367538 0,000000701796
128 1,520876500005 0,062176474958 0,000000001501 0,000000000391
256 1,520876501506 0,062176474567 0,000000000000 0,000000000000
В колонках 2 и 3 табл. 2 приведены значения модулей и аргументов комплексных подходящих дробей. В колонках 4 и 5 даны погрешности в определении модуля и аргумента комплексного значения непрерывной дроби (15) при учёте различного числа подходящих дробей. Из табл. 2 можно заключить, что комплексная непрерывная дробь (15) достаточно быстро сходится в классическом смысле.
В табл. 3 приведены значения комплексной непрерывной дроби (16) при р = пп/12 , где п = 1, 2, ..., 7.
Таблица 3. Определение значения непрерывной дроби, 0 < р< 7 п /12
Л ер 2ер Ъер пер
1 + — - - - • (16)
1 + 1 + 1 +...+ 1 +...
Значения аргумента, <р = П7Г/12 Количество подходящих дробей Значения модуля, гп Значения аргумента, рп
р = 0 229 1,52513527610 0
р = ж/12 238 1.520876501506 0.062176474567
р = 2п/12 245 1.508116618581 0.124456107170
р = Ъп/12 272 1.486905883830 0.186953317133
р = 4п/12 298 1.457331376614 0.249806478621
р = 5п/12 358 1.419522732648 0.313193660250
р = 6п/12 462 1.373661781351 0.377353386187
р = 7п/12 5063 1.319997901080 0.442612912969
Во второй колонке табл. 3 показано число звеньев комплексной непрерывной дроби (16) при различных значениях аргумента р, обеспечивающее вычисления комплексной непрерывной дроби (16) с точностью 12 десятичных разрядов.
Из табл. 3 следует, что с увеличением значения аргумента р необходимое количество звеньев непрерывной дроби для достижения заданной точности непрерывно увеличивается. Можно заметить, что при р> п/2 наблюдается резкий
рост количества звеньев непрерывной дроби. При <р = 7 и/1 2 значение комплексной непрерывной дроби (16) с точностью 12 десятичных разрядов может быть установлена, если непрерывная дробь содержит более 5000 звеньев.
В табл. 4 показаны результаты определения значения непрерывной дроби (17) с использованием г/<2)-алгоритма, т. е. формул (7) и (8).
Таблица 4. Определение значения непрерывной дроби.
'9л/12 2еВл/!2 т>е'9л/12 /9л/12
1 +- - - - • (17)
1 + 1 + 1 +...+ 1 +...
Номер подходящих дробей Метод подходящих дробей г/<(2)-алгоритм
Значения модуля, гп Значения аргумента, (рп Значения модуля, гп Значения аргумента, рп
256 0.663514297635 -1.05870069711 0.837265491823 0.670327560467
512 0.689906194382 -1.20995415893 0.837495691812 0.713231588715
1024 0.731137679490 -1.32410661043 0.844680723600 0.744762634562
2048 0.781047029410 -1.40792292805 0.856097771826 0.745002459044
4096 0.836166192785 -1.46774285376 0.868206923141 0.739125166274
8192 0.894460690044 -1.50843797536 0.877796822154 0.731014702242
16384 0.954549961983 -1.53346820146 0.883215918724 0.721754601607
32768 1.352056414688 -1.04674505289 0.884555676309 0.713233937056
65529 0.627199153218 -0.20902300086 0.882958204214 0.707037003727
65530 1.236657048906 -1.04732755773 0.882962743507 0.707042196624
65531 0.716705070785 0.003616411167 0.882959932591 0.707031462380
65532 1.075137382497 -1.54540576634 0.882962585893 0.707044255737
65533 0.627201114724 -0.20902287942 0.882957977739 0.707036656186
65534 1.236648033767 -1.04732870070 0.882962516659 0.707041848789
65535 0.716703239431 0.003617400032 0.882959705884 0.707031115220
65536 1.075142578748 -1.54540531226 0.882962359092 0.707043907795
Из нижней части колонок 2 и 3 табл. 4 хорошо видны «биения» в значениях соседних подходящих комплексной непрерывной дроби (17), которые усредняются г/^^-алгоритмом, что можно наблюдать из колонок 4 и 5 этой же таблицы.
Ранее уже отмечалось, что непрерывные дроби (14) с частными комплексными числителями при аргументе <, стремящемся к л, имеют очень слабую сходимость, что проявляется в «биениях» значений соседних подходящих дробей.
Учитывая, что еш = —1 , целесообразно определять, вместо значения непрерывной дроби с комплексными частными числителями вида
, ае'(ж-е) а2е'(ж-е) а3е'(ж-е) апе'(ж-е)
1 + - - - - , (18)
1 + 1 + 1 +...+ 1 +...
значение «близкой» к дроби (18) непрерывной дроби с вещественными частными числителями
^ а^ОБЛ-е) а2соБ(л-е) a3cos(л:-s) ап соБ(л-е) + 1 + 1 + 1 +...+ 1 +... (19)
Важно подчеркнуть, что значение непрерывной дроби (19) с отрицательными частными числителями устанавливается г/р-алгоритмом, т.е. по формулам (4) и (5). В табл. 5 показаны результаты определение значения непрерывной дроби
л е 2е 3е пе
1 + —
1 + 1 + 1 +...+ 1 +... Значение непрерывной дроби (20) устанавливалось при помощи г/ р-алгоритма. Таблица 5. Определение значения непрерывной дроби
, еж 2еж 3еж пе'ж .,123 п
1 +- - - - = 1 -- - - - • (20)
1 + 1 + 1 +...+ 1 +... 1 - 1 - 1 -...- 1 -...
Номер дробей Значение подходящих дробей Значения модуля, гп Значения аргумента, <Рп Погрешность модуля, ег = \ г0 ~ гп \ Погрешность аргумента, ^(р = \<Ро-<Рп\
6 0.8 0.9634924839 0.5235987755 0,0113997039 0,285630165
7 -1 0.9819038280 0.4487989505 0,0298110480 0,360429990
8 1.0999999999 0.7380067500 0.7853981633 0,2140860300 0,023830777
9 -0.099999999 0.7996963982 0.6981317007 0,1523963818 0,111097239
16 -3.916986301 0.9739112400 0.5890486225 0,0218184600 0,220180318
32 0.8110498174 0.9650974510 0.6872233929 0,0130046710 0,122005547
16384 0.6608277991 0.9522572889 0.8047646708 0,0001645089 0,004464269
32768 0.3796436177 0.9491878163 0.8094624870 0,0029049637 0,000233547
65536 -0.053295710 0.9523364630 0.8114758367 0,0002436830 0,002246897
131072 126.52378543 0.9519677791 0.8076648532 0,0001250009 0,001564087
262144 1.2737116453 0.9525187939 0.8102893985 0,0004260139 0,001060459
Из данных колонки 2 табл. 5 следует, что значения подходящих непрерывной дроби (20) осциллирует, т. е. непрерывная дробь (20) является расходящейся в классическом смысле. Комплексное значение непрерывной дроби (20) определяется по подходящим дробям г/р-алгоритмом, что можно видеть из колонок 3 и 4 таблицы.
В [15] установлено, что непрерывная дробь (20) имеет связь с функцией Прима Г (а,х) и дополнительной функцией ошибок ег [ с (х) :
1 2 3 4 п /0.80922894. ¿л/2ё 42 е / ж 1 — — — — — = 0,95209278.. е ' 4 =--7-г-=--7—
1 - 1 - 1 - 1 1 гГI,- II еф{ 1
2' 2)
Заключение
Выше уже отмечались принципиальные различия между г/р-алгоритмом, ориентированным на определение значений вещественных последовательностей, и г/р(х) -алгоритмом, который предназначен для суммирования комплексных последовательностей. Рассмотренный г/р(х) -алгоритм - это, в первую очередь, алгоритм ускорения сходимости комплексных последовательностей, связанный с процедурами усреднения.
Непрерывные дроби с частными числителями, имеющими комплексные значения, при аргументах р, стремящихся к ж, могут сходиться сколь угодно медленно. Было показано, что г/р(х) -алгоритм эффективно устанавливает значения подобных
комплексных непрерывных дробей, соседние подходящие дроби которых имеют значительный разброс.
Принято считать, что вещественные бесконечные последовательности могут иметь только вещественные значения. Это, однако, оказалась не так. Введённые в вычислительную практику г/р-алгоритмы позволяют устанавливать для бесконечных последовательностей, состоящих из вещественных элементов, как вещественные, так и комплексные значения [16 - 18]. Таким образом, в оценке сходимости или расходимости вещественных последовательностей надо проявлять осторожность.
Суть г/р-алгоритма, как и его обобщений, состоит в замене бесконечных осциллирующих вещественных последовательностей, расходящихся в классическом смысле, комплексными числами, модули и аргументы которых находятся по элементам последовательностей этими алгоритмами, что в некотором смысле объясняет природу таких абстракций, как комплексные числа.
К такому пониманию г/р-алгоритма и его обобщений привело осмысление результатов решения БСЛАУ, причём, так называемых расходящихся БСЛАУ, когда СЛАУ с вещественными матрицами n-го и (п+1)-го порядков, дают существенно различные наборы решений {х,}. Однако, если по этим не сходящимся вещественным решениям устанавливать при помощи Я/р-алгоритма комплексные решения, то, оказывается, что полученные комплексные решения удовлетворяют с высокой точностью исходной физической задаче, описываемой последовательностью СЛАУ с вещественными матрицами, возрастающей размерности [19 - 21]. Здесь можно обратиться к известному американскому математику Корнелию Ланцошу, автору книги «Applied analysis» [22], описывавшего процедуру, которой должен придерживаться естествоиспытатель. Эта процедура, по Ланцошу, включает три этапа:
- физический процесс переносится в область чисел;
- с помощью формальных операций над этими числами получаются определённые математические результаты;
- полученные результаты переносятся обратно в мир физической реальности. Впрочем, о подобном механизме познания философы писали задолго до Ланцоша. На г/р-алгоритмы и их обобщения надлежит смотреть как на инструменты Анализа,
которые, правда, пока несколько выбиваются из классических рамок. Будем исходить из того, что со временем эти алгоритмы, постоянно расширяя сферы своего применения, перейдут из разряда «парадоксальных» в стандартные. Неоспоримо, что вопросы определения значений бесконечных вещественных и комплексных последовательностей, то есть, вопросы сходимости, являются базовыми в математическом анализе, и это обстоятельство оправдывает усилия в их углубленном изучении.
Список литературы /References
1. Уиттекер Э.Т., Ватсон Дж.Н. Курс современного анализа. Часть первая. М.: Физматгиз, 1963. 344 с.
2. Бесов О.В. Лекции по математическому анализу. М.: МФТИ, 2004. 327 с.
3. Курант Р. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Т. 1. М.: Наука, 1967. 704 с.
4. Шмойлов В.И. Непрерывные дроби. В 3 т. Том 3. Из истории непрерывных дробей. Нац. акад. наук Украины. Ин-т приклад. проблем механики и математики. Львов, 2004. 520 с.
5. Шмойлов В.И. Суммирование расходящихся цепных дробей. Львов: ИППММ НАН Украины, 1997. 23 с.
6. Шмойлов В.И. Непрерывные дроби. В 3 т. Том 1. Периодические непрерывные дроби. Нац. акад. наук Украины. Ин-т приклад. проблем механики и математики. Львов, 2004. 645 с.
7. Шмойлов В.И. Непрерывные дроби. В 3 т. Том 2. Расходящиеся непрерывные дроби. Нац. акад. наук Украины. Ин-т приклад. проблем механики и математики. Львов, 2004. 558 с.
8. Кириченко Г.А., Шмойлов В.И. Алгоритм суммирования расходящихся непрерывных дробей и некоторые его применения. // Журнал вычислительной математики и математической физики, 2015. Т. 55. № 4. С. 559-572.
9. Шмойлов В.И. Непрерывные дроби и г/-алгоритм. Таганрог: Изд-во ТТИ ЮФУ, 2012. 608 с.
10. Козлов В.В. Об одной формуле суммирования расходящихся непрерывных дробей. // Докл. РАН. Том 474. Номер 4, 2017. С. 410-412.
11. Шмойлов В.И. Алгоритмы определения значений бесконечных последовательностей. // Вестник науки и образования. № 16 (51). Часть 1, 2018. С. 10-24.
12.Маркушевич А.И. Краткий курс теории аналитических функций. М.: Наука, 1966. 388 с.
13. Шмойлов В.И., Коровин Я.С. Определение значений бесконечных комплексных последовательностей. // Вестник науки и образования. № 4 (58). Часть 1, 2019. С. 10-23.
14. Worpitzky J.D. Untersuchungen uber die Entwicklung der monodromen und monogenen Funktionen durch Kettenbrüche. // Friedrichs-Gymnasium und Realschuie Jahresbericht. Berlin,1865. Pp. 3-39.
15. Шмойлов В.И., Коровин Я.С. Иванов Д.Я. Непрерывные дроби и суммирование рядов. Ростов-на-Дону: Изд-во ЮФУ, 2018. 524 с.
16. Шмойлов В.И., Коровин Я.С. Формулы Эйлера и пределы Никипорца. // Вестник науки и образования. № 18 (54). Часть 1, 2018. С. 5-20.
17. Шмойлов В.И., Коровин Я.С. Непрерывные дроби. Библиографический указатель. Ростов-на-Дону: Изд-во ЮФУ, 2017. 382 с.
18. Шмойлов В.И., Коровин Я.С., Иванов Д.Я. О первом замечательном пределе для эллиптических чисел. // Вестник науки и образования. № 2 (56). Часть 1, 2019. С. 6-21.
19. Шмойлов В.И. Расходящиеся системы линейных алгебраических уравнений. Таганрог: Изд-во ТТИ ЮФУ, 2010, 205 с.
20. Шмойлов В.И., Коровин Я. С. Решение систем линейных алгебраических уравнений непрерывными дробями. Ростов-на-Дону: Изд-во ЮФУ, 2017. 383 с.
21. Шмойлов В.И., Коровин Я.С., Иванов Д.Я. Алгоритмы определения комплексных решений БСЛАУ с трёхдиагональной матрицей. // Вестник науки и образования. № 9 (45), 2018. С. 6-18.
22. Ланцош К. Практические методы прикладного анализа. М.: Физматгиз, 1961. 524 с.
