О первом замечательном пределе для эллиптических чисел Текст научной статьи по специальности «Математика»

ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ

О ПЕРВОМ ЗАМЕЧАТЕЛЬНОМ ПРЕДЕЛЕ ДЛЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ ЧИСЕЛ

1 2 3

Шмойлов В.И. , Коровин Я.С. , Иванов Д.Я. Email: Shmoylov656@s cientifictext.ru

1 Шмойлов Владимир Ильич - старший научный сотрудник; 2Коровин Яков Сергеевич - ведущий научный сотрудник; 3Иванов Донат Яковлевич - старший научный сотрудник, НИИ многопроцессорных вычислительных систем Южный федеральный университет, г. Таганрог

Аннотация: рассматриваются способы суммирования бесконечных последовательностей, отличающиеся от классических способов, базирующихся на непосредственном использовании критерия Коши. Эти алгоритмы позволяют устанавливать комплексные значения расходящихся в классическом смысле бесконечных последовательностей, составленных из вещественных элементов. Аналогичные алгоритмы вводятся для суммирования бесконечных последовательностей комплексных чисел.

Установлены формулы первого замечательного предела для так называемых эллиптических чисел. Если значение классического первого замечательного предела равно единице, то аналогичный предел для эллиптических чисел является комплексным числом, модуль и аргумент которого зависят от параметра р. При р =л/2 модуль комплексного числа, являющегося пределом, равен обратной величине основания натурального логарифма, т. е. равен 1/е, а аргумент имеет значение константы ln л/2.

Ключевые слова: первый замечательный предел, суммирование расходящихся последовательностей, R/ф-алгоритм.

ABOUT THE FIRST REMARKABLE LIMIT FOR ELLIPTIC

NUMBERS

1 2 3

Shmoylov V.I.1, Korovin Ya.S.2, Ivanov D.Ya.3

1Shmoylov Vladimir Ilyich - Senior Research; 2Korovin Yakov Sergeyevich - Leading Researcher; 3Ivanov Donat Yakovlevich - Senior Researcher, RESEARCH INSTITUTE OF MULTIPROCESSOR COMPUTING SYSTEMS SOUTH FEDERAL UNIVERSITY, TAGANROG

Abstract: the methods of summation of infinite sequences, different from the classical methods based on the direct use of the Cauchy criterion, are considered. These algorithms allow us to establish complex values of divergent in the classical sense infinite sequences composed of real elements. Similar algorithms are introduced to sum infinite sequences of complex numbers. The formulas of the first remarkable break for the so-called elliptic numbers are established. If the value of the classical first remarkable limit is one, then the analogous limit for elliptic numbers is a complex number whose modulus and argument depends on the parameters < . When < = л/2, the modulus of the complex number being the limit is equal to the reciprocal of the base of the natural logarithm, that is, 1/e, and the argument has the value of the constant log л/2.

Keywords: first remarkable limit, addition of divergent sequences, R/q-algorithm.

УДК 517.524

Введение

Число а eR называется пределом последовательности \йп если для

Vs> 0 3ne e N: \a - an\<sVn > n£, т. е. lim аи = a. (i)

Последовательность \ün |является сходящейся, если она имеет конечный предел,

принадлежащий R. В противном случае, последовательность называют расходящейся[1]. Для сходимости последовательности необходимо и достаточно, чтобы она была фундаментальной, то есть для неё выполнялось условие Коши:

Vs> 0 3nE : | an - am | < s Vn, m > nE. (2)

Первый замечательный предел определяется выражением:

.. sin x ,

lim-= 1. (3)

x—0 x

Положим x = 1 / n. Тогда предел (3) можно записать следующим образом:

г sinl/n

lim-. (4)

n—» 1/n

Вместо n примем так называемые эллиптические числа, которые имеют вид [2]:

sin nw

. (5)

sin w

Подставляя (5) в (4), получим запись первого замечательного предела для эллиптических чисел:

. ( sinw

sinl-

lim-^Wz. (6)

n—ж> sin W

sin nw

Очевидно, что предел (6) - расходящийся в классическом смысле. Однако предел (6) может быть установлен, если воспользоваться R/ф-алгоритмом суммирования бесконечных последовательностей, который будет рассмотрен ниже.

1. Алгоритмы определения значений бесконечных последовательностей 1.1. Алгоритм определения значений непрерывных дробей В 1994 г. для определения значений непрерывных дробей был предложен способ, получивший название «r/ф-алгоритм» [3]. Этот алгоритм формулируется следующим образом:

Непрерывная дробь с вещественными элементами сходится и имеет своим

значением в общем случае комплексное число Z = Г)£ , если существуют пределы

= lim n nl^n /Qn\, (7)

n=1

к

1%1=ж 11т—, (8)

где Рп / ^ - значение п-й подходящей дроби,

кп - количество подходящих дробей, имеющих отрицательные значения из совокупности, включающей п подходящих дробей.

r

0

Следует подчеркнуть, что пределы (7) и (8) последовательностей {гп } и {фп }

понимаются уже в классическом смысле, в соответствие с соотношениями (1), то есть, «по Коши».

Таким образом, сходимость непрерывных дробей устанавливается в два этапа. На первом этапе по исходной последовательности вещественных подходящих

дробей |Рп / Qn} по формулам (7) и (8) находятся две вещественные последовательности {гп } и {фп }.

На втором этапе «по Коши» устанавливаются пределы последовательностей {гп }

fc }

п.

при n ^ ж. Если пределы существуют, то они принимаются, соответственно,

_

за модуль г0 и аргумент ср0 комплексного числа 2 — Г^е . Это комплексное число рассматривается в качестве предела, или значения, исходной последовательности подходящих дробей {Рп / Qn }.

Если аргумент ф равен нулю, то предел последовательности {Рп / Qй} т. е.

значение непрерывной дроби, будет вещественным и оно будет совпадать со значением непрерывной дроби, определяемым в классическом смысле, как предел значений подходящих дробей.

Применения г/ф-алгори™а и его особенности рассмотрены в работах [4 - 9]. 1.2. Шф-алгоритм определения значений бесконечных последовательностей В г/ф-алгоритме суммируются последовательности, т. е. находятся значения последовательностей, элементами которых выступают вещественные значения подходящих непрерывных дробей, т. е. суммируются бесконечные

последовательности {р / ^ . Для суммирования других бесконечных

последовательностей, которые как и последовательности подходящих дробей

{р /}, связаны с дробно-рациональными функциями, в [10] было предложено

обобщение г/ф-алгоритма. Этот алгоритм, обозначаемый как Е/ф-алгоритм, имеет такую формулировку:

Бесконечная последовательность вещественных «подходящих дробей»

/ Оп , генерируемая некоторой дробно-рациональной функцией, сходится и

имеет своим значением в общем случае комплексное число 2 — Г"е Ф", если существуют пределы

= lim n ПК /Gn\, (9)

'о

\ п=1

= ^ lim кп, (10)

п^-да п

где Fn / Gn- значение n-й «подходящей дроби»,

кп - количество «подходящих дробей», имеющих отрицательные значения из

совокупности, включающей n «подходящих дробей».

Элементы последовательности, которые генерируются дробно -рациональными функциями, будем именовать «подходящими дробями», чтобы не столько указать на связь Л/ф-алгоритма с r/ф-алгоритмом, сколько подчеркнуть общность происхождения элементов суммируемых последовательностей, т.е. их связь с

и

дробно-рациональными функциями. В случае Л/ф-алгоритма термин «подходящие дроби» будем брать в кавычки.

1.3. Каскадный R/ф-алгоритм определения значений бесконечных последовательностей

Если значение бесконечной последовательности \хп} не устанавливается непосредственно Л/ф-алгоритмом, т. е. алгоритмом, описываемым формулами (9) и (10), то по вещественной последовательности |хи} строится связанная с |хи}

последовательность вещественных «подходящих дробей» / , порождаемая

дробно-рациональной функцией. Например, по коэффициентам степенного ряда строится так называемая соответствующая непрерывная дробь, последовательность подходящих дробей которой уже суммируется Л/ф-алгоритмом, точнее, - г/ф-алгоритмом.

Алгоритм определения значений бесконечных последовательностей через построение по исходным последовательностям \хп} последовательнос-тей

\Рп / }Ю_1, порождаемых дробно-рациональными функциями, будем называть

каскадным R/ф-алгоритмом[11], имеющим формулировку:

Бесконечная последовательность вещественных «подходящих дробей»

/ Оп , полученная по исходной последовательности |хи}, сходится и

имеет своим значением в общем случае комплексное число 1 = Т^в , если существуют пределы

Г = lim nП|Fn /Gn\,

V n=1

| p0| = л lim —,

n^-да n

где Fn / G - значение n-й «подходящей дроби»,

kn - количество «подходящих дробей», имеющих отрицательные значения, из

совокупности, включающей n «подходящих дробей».

Следовательно, в каскадном Л/ф-алгоритме значение исходной бесконечной последовательности {xn} устанавливается по процедуре, которую представим схемой:

к}да=1 ^{f/Gn}да=1 }дада=1, (}:= ЦГ0ep.

Детально каскадный Л/ф-алгоритм рассмотрен в [12] на примерах суммирования расходящихся рядов. Алгоритмы построения соответствующих рядам непрерывных дробей приведены в [13, 14].

Важно отметить, что аналогично рассмотренным выше алгоритмам суммирования

вещественных последовательностей {xn }и=1, вводятся алгоритмы суммирования

комплексных последовательностей {zn }и=1.

2. Определение значения первого замечательного предела для эллиптических чисел

Как уже отмечалось выше, предел последовательности (6), который можно рассматривать как аналог первого замечательного предела для эллиптических чисел,

не существует в классическом смысле. Будем последовательности (6) имеет комплексное значение:

lim

f

Sin

sinq v sin nq J

sinp

= reim.

полагать, что предел

(11)

Sin np

Установим значение первого замечательного предела для эллиптических чисел при различных значениях р. Используя R/ф-алгоритм, определим модуль r и аргумент

комплексного числа

im

z = re m.

являющегося пределом бесконечной

последовательности «подходящих дробей» {^п / Сп }«=1. В качестве «подходящих дробей» используются выражения

Fl

G„

= sin

^ sin m ^ sin nq

sinp sin np

(12)

Модуль r комплексного числа находится по формуле: r = lim

i

П

sin

sinq v sin nqJ

sinp

sin np

Модуль аргумента ф устанавливается следующим образом:

_ к | ф |— 7 Нт —-,

п^« п

где кп - количество «подходящих дробей», т.е. выражений (12), имеющих

отрицательные значения, из совокупности, включающей п «подходящих дробей». В табл. 1 приведены результаты определения значения предела

последовательности (11) при ф —|т +10 ). В качестве «подходящих дробей»

использовались значения

FlL G.

= sin

sin(^/4 +10~4) Y sin(^/4 +10~4) sinn(n/4 +10)) ' sinп(я74 +10~4)

(13)

при п = 1, 2, ..., 2097152.

В колонке 3 табл. 1 модуль г комплексного числа, являющегося значением предела последовательности (11) при ф — 7 / 4 +10 , определяется следующим образам:

r = lim n П

sin

( sin (я/4 +10 ~4) Y sin (я/4 +10~4)

sin n (я/4 +10"4)) ' sin n (л/4 +10"4 )

В колонке 4 табл. 1 аргумент комплексного числа устанавливаются формулой

_ k | р |= л lim —l ,

n^X n

где kn - количество подходящих дробей (13), имеющих отрицательные значения

из совокупности, включающей n «подходящих дробей».

Из ряда численных экспериментов были сделаны предположения, что значения модуля и аргумента комплексного предела последовательности (11) определяются формулами:

n=1

n

r = lim n\П

" ' ' n= 1

n

í

sin

Л

Sin y y sin ny )

Sin y

Sin ny

1

e

siny '

л

| р |= 8Шр1п—.

В колонках 5 и 6 табл. 1 даны погрешности в определении модуля и аргумента комплексного числа, являющегося пределом последовательности (11) при

р = я/4 +10 "4

Таблица 1. Определение предела последовательности (11) при

y = (л/4 +10 "4 )

Номер «подходящих дробей» Значения «подходящих дробей» Значения модуля, rn Значения аргумента, yn Погрешность модуля, 1 sr = —--rn r ^smy n Погрешность аргумента, Sy = sinyln

2 0,9187095186 0,8792425168 0 0,3862086877 0,3193491232

4 0,0003949285 0,1265983931 0 0,3664354360 0,3193491232

8 -0,001047861 0,1430215066 0,3926990816 0,3500123225 0,0733499583

16 0,0018770508 0,1621148796 0,3926990816 0,3309189494 0,0733499583

32 0,0039948321 0,1849270701 0,2945243112 0,3081067589 0,0248248120

64 -0,004664522 0,2070078944 0,3436116964 0,2860259346 0,0242625731

128 -0,017434796 0,2400136343 0,3681553890 0,2530201948 0,0488062657

256 0,0218246126 0,2712080629 0,3926990816 0,2218257661 0,0733499583

131072 0,7139170329 0,4942918711 0,3118535004 0,0012580420 0,0074956228

262144 0,8964155021 0,4924671175 0,3168748907 0,0005667116 0,0024742325

524288 0,8832004562 0,4932241353 0,3148016198 0,0001903062 0,0045475034

1048576 0,9056935180 0,4930424095 0,3155176772 0,0000085804 0,0038314460

2097152 0,8371441110 0,4930224086 0,3155536299 0,0000114204 0,0037954933

Из табл. 1 следует, что пределом последовательности (11) при р = я/4 + 10 является комплексное число:

lim

sin

Г sin (л/4 +10 ~4) \ sin (л/4 +10 ~4) sinп(л/4 +10)) sinп(л/4 +10 ) В табл. 2 приведены результаты последовательности (11) при у = л/2 +10 4 использовались значения выражения (15).

= 0.4930... e

/0.3155..

(14)

определения значения предела В качестве «подходящих дробей»

F (

= sin

G.

sin(л/2 +10~4) ^ sin п(л/2 +10 ~4)

(л/2 +10 )

sin1 sin n

(15)

при n = 1, 2, ..., 2097152.

Таблица 2. Определение предела последовательности (11) при (р = л / 2 + 10

Номера «подходящих дробей» Значения подходящих дробей Значения модуля, Гп Значения аргумента, р Погрешность модуля, 1 Е = —:--гп г ^тр п Погрешность аргумента, Ер = эш р1п л-р„

2 -0,000935690 0,0280598757 1,5707963267 0,3398197493 1,1192138472

4 -0,003881580 0,0400455870 1,5707963267 0,3278340380 1,1192138472

8 -0,004920261 0,0414613432 1,5707963267 0,3264182818 1,1192138472

16 -0,005172625 0,0574474962 1,1780972450 0,3104321288 0,7265147655

32 -0,005116524 0,0797386238 1,0799224746 0,2881410012 0,6283399951

64 0,0046199732 0,1066219832 0,9817477042 0,2612576418 0,5301652247

128 0,1276250102 0,1481597701 0,8344855486 0,2197198549 0,3829030691

256 -0,182988281 0,2142799841 1,0185632431 0,1535996409 0,5669807636

131072 0,7401136805 0,3678273654 0,4516135313 0,0000522596 0,0000310518

262144 0,8365503588 0,3681430587 0,4512659888 0,0002634336 0,0003164906

524288 0,0993587650 0,3680608499 0,4510682491 0,0001812248 0,0005142303

1048576 0,6556017364 0,3679185141 0,4514217837 0,0000388890 0,0001606957

2097152 0,8385309030 0,3678687863 0,4515026772 0,0000108387 0,0000798022

Из третьей колонки табл. 2 следует, что модуль комплексного числа, которое является значением предела последовательности (11) при р ^ л/2, равен обратной величине основания натурального логарифма:

г = 1т 1

р^л / 2 -

п^ад

эт ' эт р |

п П п=1 ^ эт пр)

этр

эт пр

= 0.3678794412... = -.

е

(16)

Предел (16) можно записать также в виде:

= Нш и П

И—»ПП 11 -1 -1

БШ

эш л/2

Бт л /2

эт п(л /2) I эт п(л /2)

(17)

Формула (17) имеет теоретический интерес, но непригодна для вычисления константы 1/е из-за имеющихся недопустимых при реализации на компьютере операций «деление на ноль».

Весьма примечателен аргумент предела последовательности (11) при р = л/2. Из данных колонки 4 табл. 2 можно заключить, что этот аргумент равен константе 1п л/2 = 0,451582... .

Итак, можно записать значение комплексного предела последовательности (11) при р = л/2:

1т

р^-л/2

Б1П

Бтр | Бтр

Бтпр) Бтпр

= 0.367879... е'0451582". = Iе' 1П2 .

е

(18)

В табл. 3 и табл. 4 приведены значения комплексных пределов последовательности (11) для эллиптических чисел при углах р, определяемых

-4

выражением р = лп/12 +10 п = 0, 1, 2, ..., 24.

и=1

Таблица 3. Значения пределов последовательности (11) при 0 <y<n

Значения У = л n +10-4 12 Значения модуля, rn Значения аргумента, y Погрешность модуля, 1 Sr = —:--rn r ^siny n Погрешность аргумента, Sy = sin yln

y= 10-4 0,9999998662 0 0,0000008662 0,0000004515

y = л/12 +10 4 0,7718490594 0,1143699523 0,0000390801 0,0025518711

y = л/6 +10 -4 0,6064294838 0,2221096322 0,0000486525 0,0037208274

y = л/4 +10 ^ 0,4930224086 0,3155536299 0,0000114204 0,0037954933

y = л/3 +10 -4 0,4205117131 0,3891128023 0,0000872842 0,0019918694

y = 5л/12 +10 0,3806078200 0,4353794006 0,0000129691 0,0008276827

y = л/2 +10 ^ 0,3679022821 0,4514083014 0,0000228391 0,0001744015

y = 7л/12 +10 ~4 0,3806576008 0,4354168513 0,0000171086 0,0007668563

y = 2л/3 +10 ~4 0,4205501466 0,3891262846 0,0000909127 0,0019332289

y = 3л/4 +10 ~4 0,4930683309 0,3154937088 0,0000352286 0,0037915510

y = 5л/6 +10 ~4 0,6065591961 0,2217545996 0,0000239944 0,0039976436

y = 11л/12 +10 ~4 0,7720351796 0,1143354977 0,0000020916 0,0024990867

y = л +10 ~4 0,9999031925 0,0000464388 0,0001968124 0,0000915971

Таблица 4. Значения пределов последовательности (11) при л< (р<2л

Значения y = ^ n +10 -4 12 Значения модуля, rn Значения аргумента, y Погрешность модуля, „ 1 „ r ^siny-л) n Погрешность аргумента, Sy = sinyh

y = 13л/12 +10 ~4 0,7719259601 -0,1143325016 0,0000378205 0,0025893218

y = 14л/12 +10 ~4 0,6064875834 -0,2219388570 0,0000094470 0,0038916026

y = 15л/12 +10-4 0,4930204821 -0,3155431437 0,0000133470 0,0038059795

y = 16л/12 +10 ~4 0,4205113837 -0,3891202925 0,0000876136 0,0019843793

y = 17л/12 +10 ~4 0,3806102417 -0,4353823967 0,0000105474 0,0008246866

y = 18л/12 +10-4 0,3679028680 -0,4514023093 0,0000234250 0,0001803936

y = 19л/12 +10 ~4 0,3806547518 -0,4354063651 0,0000142597 0,0007773425

y= 20 л/12 +10-4 0,4205531344 -0,3891157984 0,0000879249 0,0019437151

y = 21л/12 +10 ~4 0,4930715671 -0,3154877166 0,0000319924 0,0037975431

y= 22 л/12 +10-4 0,6065516256 -0,2217501055 0,0000315649 0,0040021377

y = 23л/12 +10 ~4 0,7720338519 -0,1143295055 0,0000034193 0,0025050788

y = 2л? +10 ~4 0,9999032054 -0,0000464388 0,0001967995 0,0000915971

Установлено, что первый замечательный предел для эллиптических чисел, т. е. при

замене в (3) n на sin ny, имеет комплексное значение: sin y

lim

n^w

sml - ..

y sin ny) sin ny

siny | siny

1 /sinyln— 1

—e 2 =——

cos(sinyln л) + /sin(sinyln л)

(19)

e

e

Если в (19) y—^ 0, то получим первый замечательный предел:

" f cin ™ Л

sin

lim

y——0

n—w

siny y sin ny )

ътр

sin ny

= 1 • e0 = 1.

На рис. 1 показано распределение значений модуля г комплексного числа _ р

1 = Те от угла р в выражении (11), представляющем первый замечательный предел для эллиптических чисел.

r А

1.0

1.8

0.6Ц

1.0« 0.8- \

0.4-1

0.3679 0.20

л/6 л/3 л/2 2л/3 5л/6 л 7л/6 4л/3 3л/2 5л/3 11л/6 2л y

Рис. 1. Распределение значений Т(р).

Таким образом, установлена зависимость модуля г комплексного предела последовательности (11) от угла р:

т (р) = ——.

При р = я/2 модуль комплексного предела последовательности (11) имеет значение, равное обратной величине числа е:

'(л/2) =1 = 0,3678794412....

При р =0 модуль г имеет единичное значение, т.е. совпадает со значением классического первого замечательного предела.

На рис. 2 показано распределение значений аргумента р .

Ф 0.6

0.4515

0.40.20 -0.2-0.4-0.4515 -0.6-

Рис. 2. Распределение значений р (р) Зависимость аргумента р комплексного предела от угла р определяется формулой

р(р) = 8Шр1п

При р =л/2 аргумент р комплексного предела последовательности (11) имеет значение константы:

л

р(л/2) = 0,451582705... = 1п -

Принимая во внимание комплексный предел последовательности (11), модуль которого при л/2 равен 1/е, рассмотрим «обратный» предел:

ъхпр

lim -

п—да

Sin пф

f ■ Y Sinp

Sin

(20)

vSin пфу

Значения предела последовательности (20) при различных значениях ф определим,

используя Л/ф-алгоритм. В данном случае модуль r и аргумент ф искомого

ф

комплексного числа Z — Ye устанавливаются формулами

Y — lim i П

п—1

Sinrn .1 Sinrn -—: Sin

Sin Пф

Sin Пф

k„

| ф |—л lim —-,

п—да П

где kn - количество «подходящих дробей»

G,

Slnф

: Sin

Sin Пф

Sinrn

Sin Пф

(21)

имеющих отрицательные значения, из общего количества n «подходящих дробей» (21).

В табл. 5 приведены результаты определения значения предела

последовательности (20) при ф —л/4 +10. В качестве «подходящих дробей»

использовались значения выражения

Fn Sin (ж/4 +10 ) . ( Sin(^/4 +10~4 )|

— —-h—'-п : Sin -\—:-4

G„ Sin п(л/4 +10 ~4) ^ Sin п(л/4 +10 ~4))

при n = 1,2, ..., 2097152.

В колонке 3 табл. 5 модуль r комплексного числа, являющегося значением предела последовательности (20) при ф= л/4 + 10-4, определялся формулой:

y — lim п

п—да \

П

п—1

Sin (л/4 +10 ~4 ) . ( Sin (л/4 +10~4 )|

—V— -л: Sin -V—:-А

in п(л/4 +10~4 ) ^ Sin и(л/4 +10~4 )

В колонке 4 табл. 5 показаны результаты определения аргумента комплексного числа по формуле

_ к | р |= л 1ш ——,

п^ю п

где кп - число выражений (21), имеющих отрицательные значения, из общего числа п «подходящих дробей».

Для определения погрешности в определении модуля и аргумента комплексных чисел, являющихся значениями пределов последовательности (20), использовались формулы:

„ sin®

sr = е г\

s( =

Таблица 5. Определение предела последовательности (20) при ( = ж/4 +10-

4

Номера «подходящих дробей» Значения «подходящих дробей» Значения модуля, rn Значения аргумента, (n Погрешность модуля, s = esin( - r sr е ' n Погрешность аргумента, s( = sin(-()ln ж-(п

2 1,0884833341 1,1373426339 0 0,8909157549 0,3193491232

4 2532,1038858 7,8989944141 0 5,8707360251 0,3193491232

8 -954,3244657 6,9919554311 -0,3926990816 4,9636970421 0,0733499583

16 532,75062865 6,1684652392 -0,3926990816 4,1402068503 0,0733499583

32 250,32340695 5,4075371384 -0,2945243112 3,3792787495 0,0248248120

64 -214,3842210 4,8307336420 -0,3436116964 2,8024752531 0,0242625731

128 -57,35656332 4,1664299728 -0,3681553890 2,1381715838 0,0488062657

256 45,819828045 3,6872060108 -0,3926990816 1,6589476219 0,0733499583

131072 1,4007229885 2,0230961872 -0,3118535004 0,0051622016 0,0074956228

262144 1,1155541125 2,0305924283 -0,3168748907 0,0023340393 0,0024742325

524288 1,1322457919 2,0274758031 -0,3148016198 0,0007825858 0,0045475034

1048576 1,1041262635 2,0282230911 -0,3155176772 0,0000352977 0,0038314460

Из табл. 5 следует, что значение предела последовательности (20) при

( = ж/ 4 +10

-4

имеет комплексное значение:

lim

sin (ж/4 +10-4 ) . ( sin (ж/4 +10-4 )

-т—-h: sin -V—:-А

sin п(ж/4 +10-4 j у sin п(ж/4 +10-4 j

4J ^

4 >

V

= 2,0282.. e

-Ю.Э155..

(22)

Модуль комплексного числа (22) равен обратной величине модуля комплексного числа 0.4930.. е'°'Э155", которое является пределом выражения (11) при (= ж/4 +10-4. Аргумент комплексного числа (22) совпадает по модулю с аргументом комплексного числа (14), но имеет отрицательное значение.

В табл. 6 приведены результаты определения предела последовательности (20) при (=ж/2 + 10-4. В качестве «подходящих дробей» использовались значения выражения

Fn sin (ж/ 2 + 10-4) . ( sin (ж/ 2 +10-4 V

- _ -7-П : sin -'--

G„ sin п(ж /2 +10- j у sin n

при n = 1, 2, ... 2097152.

(ж/2 + 10-4 j j

Таблица 6. Определение предела последовательности (20) приф = л/2 + 10

Номера «подходящих дробей» Значения «подходящих дробей» Значения модуля, rn Значения аргумента, ф Погрешность модуля, £ = е"'Шф — r r п Погрешность аргумента, = sin(—ф)1п л — фп

2 -1068,729160 35,638076595 -1,5707963267 32,919794767 1,119213621

4 -257,6269853 24,971540529 -1,5707963267 22,253258701 1,119213621

8 -203,2412432 24,118851964 -1,5707963267 21,400570135 1,119213621

16 -193,3254219 17,407198997 -1,1780972450 14,688917169 0,72651454

32 -195,4451701 12,540973895 -1,0799224746 9,8226920667 0,628339769

64 216,45147008 9,3789288997 -0,9817477042 6,6606470713 0,530164999

128 7,8354548036 6,7494705145 -0,8344855486 4,0311886861 0,382902843

256 -5,464830829 4,6667914591 -1,0185632431 1,9485096306 0,566980538

131072 1,3511437855 2,7186666732 -0,4516135313 0,0003848447 0,000030826

262144 1,1953852980 2,7163353378 -0,4512659888 0,0019464905 0,000316716

524288 10,064537328 2,7169420496 -0,4510682491 0,0013397788 0,000514456

1048576 1,5253162772 2,7179931464 -0,4514217837 0,0002886820 0,000160922

2097152 1,1925618916 2,7183605596 -0,4515026772 0,0000787312 0,000080028

Из третьей колонки табл. 6 следует, что модуль комплексного числа, которое является значением предела последовательности (20) при р ^ я/2, равен числу е:

r = lim

<р^л / 2

п-^да

п

Sinp sin Пф

Sin

С smф ^

= 2,718281828... = е.

v Sin Пф;

Аргумент комплексного числа, являющегося пределом последовательн-ости (20), при ф, стремящемся к л/2, как то следует из данных колонки 4 табл. 6, равен константе ln л / 2, взятой со знаком «минус», т.е. ф = —0,451582... = — ln л / 2. Запишем значение комплексного предела последовательности (20) при ф=л/2:

lim

ф^л/2, п^да

Sinp sin Пф

: sin

^ sinф ^ sin Пф

—i ln— л . л

= е ■ е 2 = e(cosln--i sin ln —)

2 2

В табл. 7 и табл. 8 приведены значения комплексных пределов (20) для эллиптических чисел при значении углов р, определяемых выражением

р = Яп + 10"4, п = 0, 1, 2, ... 24. 12

п

Таблица 7. Значения пределов последовательности (20) при 0 <ф<ж

Значения Ж 1Л-4 ф =— и +10 4 12 Значения модуля, гп Значения аргумента, ф Погрешность модуля, £ = >пф _ г Вг е 'и Погрешность аргумента, Вф = 8Ь(-ф)Ь Ж-фи

ф = 10 -4 0,999999999... 0 0 0

ф = ж/12 +10-4 1,2955900998 -0,1143699523 0,0000655947 0,0025518711

ф = ж/6 +10 -4 1,6489963411 -0,2221096322 0,0001322849 0,0037208274

ф = ж/4 +10-4 2,0283053719 -0,3155536299 0,0000469830 0,0037954933

ф = ж/3 +10-4 2,3780550427 -0,3891128023 0,0004935027 0,0019918694

ф = 5ж/12 +10-4 2,6273763892 -0,4353794006 0,0000895244 0,0008276827

ф = ж/2 +10-4 2,7181130657 -0,4514083014 0,0001687490 0,0001744015

ф = 7ж/12 +10-4 2,6270327923 -0,4354168513 0,0001180775 0,0007668563

ф = 2ж/3 +10-4 2,3778377155 -0,3891262846 0,0005139198 0,0019332289

ф = 3ж/4 +10-4 2,0281164643 -0,3154937088 0,0001448942 0,0037915510

ф = 5ж/6 +10 -4 1,6486437041 -0,2217545996 0,0000652148 0,0039976436

ф = 11ж /12 +10-4 1,2952777623 -0,1143354977 0,0000035092 0,0024990867

ф = ж +10-4 1,0000968168 -0,0000464388 0,0001968118 0,0000915971

Таблица 8. Значения пределов последовательности (20) при ж < ф<2ж

Значения ф = Ж и +10-4 12 Значения модуля, гп Значения аргумента, фи Погрешность модуля, 8т(ф- ж) Вг = е - ги Погрешность аргумента, Вф = 8И1(-ф)1п Ж-Ф„

ф = 13ж/12 +10-4 1,2954610307 0,1143325016 0,0000634743 0,0025893218

ф = 14ж/12 +10-4 1,6488383723 0,221938857 0,0000256838 0,0038916026

ф = 15ж/12 +10-4 2,0283132979 0,3155431437 0,0000549089 0,0038059795

ф = 16ж/12 +10-4 2,3780569054 0,3891202925 0,0004953654 0,0019843793

ф = 17ж/12 +10 -4 2,6273596719 0,4353823967 0,0000728071 0,0008246866

ф = 18ж/12 +10-4 2,7181087368 0,4514023093 0,0001730780 0,0001803936

ф = 19ж/12 +10-4 2,6270524541 0,4354063651 0,0000984157 0,0007773425

ф = 20ж/12 +10-4 2,3778208225 0,3891157984 0,0004970267 0,0019437151

ф = 21ж/12 +10-4 2,0281031532 0,3154877166 0,0001315830 0,0037975431

ф = 22ж/12 +10-4 1,6486642814 0,2217501055 0,0000857921 0,0040021377

ф = 23ж/12 +10-4 1,2952799899 0,1143295055 0,0000057368 0,0025050788

ф = 2ж +10-4 1,0000968039 0,0000464388 0,0001967989 0,0000915971

Установлено, что первый «обратный» замечательный предел для последовательности (20) имеет комплексное значение:

1ш

ятф . i ятф -—: ят|

ят иф

ят иф

. -/8Шф1п— . _ ^йт^ 2 _

со8|зтф1пж 1 - г'ят! ятф1пж

(23)

Если р стремится к нулю, то имеем вещественное значение предела последовательности (23):

lim

р-0

Sinp

-: sin

sin пр

Y

sinp v sin np J

= 1 • e г0 = 1.

На рис. 3 показано распределение значений модуля r от угла р в выражении (20), которое представляет первый «обратный» замечательный предел для эллиптических sin пр

чисел, т.е. чисел вида

sinp

Рис. 3. Распределение значений Г(р)

Зависимость модуля г комплексного предела последовательности (20) от угла р определяется формулой

Г (р) = е81пр. (24)

При р =ж/2 модуль комплексного предела последовательности (20) имеет значение, равное числу е:

т{ж/2) = 2,718281828... = е.

При <р = 0 модуль г имеет единичное значение, т.е. совпадает со значением первого замечательного предела.

На рис. 4 показано распределение значений аргумента р от угла р в выражении (20), представляющем первый «обратный» замечательный предел для эллиптических чисел.

Рис. 4. Распределение значений <п (<)

Зависимость аргумента р комплексного предела от угла р определяется формулой

р(р) = _ sinрln ж / 2.

При <р = п / 2 аргумент комплексного предела последовательности (20) имеет значение:

<(п/2) = -0.451582705... = -1п п/2.

Заключение

Л/ф-алгоритм, который является обобщением г/<-алгоритма, используется для определения значений расходящихся в классическом смысле бесконечных последовательностей вещественных «подходящих дробей» / Оп }, генерируемых дробно-рациональными функциями. Установлено значение бесконечной последовательности, которую можно рассматривать как запись первого замечательного предела для так называемых эллиптических чисел:

lim

n^w

Sin

f ■ \ Sinp

Sinp

^ Sin np

71

1 iSinpln—

e 2, 0 < p<—.

Sin np

В [15] было определено значение второго замечательного предела для эллиптических чисел:

Sinnp

lim

( Sin p Л SinP ip . . . . ,—

1 +-— = ee p = e(coSp + i Sin p), 0<p< —.

v sin npj

А.З. Никипорец установил [16], что предел отношения эллиптических чисел равен комплексной единице:

| Sin(n + 1)p Sinnp\_y^ Sin(n + 1)p _ ip

lim I-:-I = lim-= e

Sinp Sinp ) Sin np

Аналогично записываются параболическая и гиперболическая единицы:

lim rni=1,

n^w n

sh(n + 1)u u

lim—--— = eu.

sh nu

Необходимо отметить, что определение результатов вычислений, связанных с последовательностями, включающими эллиптические числа, затруднительно без использования алгоритмов суммирования расходящихся в классическом смысле последовательностей. Таким образом, следует заключить, что R/p-алгоритм открывает широкие перспективы применения эллиптических чисел в вычислительной математике.

R/p-алгоритм, позволил решить ряд важных задач [17, 18], в частности, установить, что СЛАУ и БСЛАУ с вещественными матрицами могут иметь, в зависимости от коэффициентов матриц, комплексные решения и дал способ нахождения этих решений [19 - 22]. Это проясняет ситуацию с расходящимися разностными схемами.

Суть r/p-алгоритма, как и его обобщений, состоит в замене бесконечных осциллирующих вещественных и комплексных последовательностей, расходящихся в классическом смысле, комплексными числами, модули и аргументы которых находятся по элементам последовательностей этими алгоритмами, что в некотором смысле объясняет природу таких абстракций, как комплексные числа. Комплексные числа, как известно, длительное время называли «мнимыми» числами.

На r/p-алгоритм, как и его обобщения, надлежит смотреть как на инструменты Анализа, которые, правда, пока несколько выбиваются из классических рамок. Будем исходить из того, что со временем эти алгоритмы, постоянно расширяя сферы своего применения, перейдут из разряда «парадоксальных» в стандартные.

Список литературы /References

1. Бесов О.В. Лекции по математическому анализу. Ч. 1. М.: МФТИ, 2004. 327 с.

2. Шмойлов В.И., Слобода М.З. Расходящиеся непрерывные дроби. Львов: Меркатор, 1999. 820 с.

3. Шмойлов В.И. Суммирование расходящихся цепных дробей. Львов: ИППММ НАН Украины, 1997. 23 с.

4. Шмойлов В.И. Непрерывные дроби. В 3 т. Том 1. Периодические непрерывные дроби. Нац. акад. наук Украины. Ин-т приклад. проблем механики и математики. Львов, 2004. 645 с.

5. Шмойлов В.И. Непрерывные дроби. В 3 т. Том 2. Расходящиеся непрерывные дроби. Нац. акад. наук Украины, Ин-т приклад. проблем механики и математики. Львов, 2004. 558 с.

6. Шмойлов В.И. Непрерывные дроби. В 3 т. Том 3. Из истории непрерывных дробей. Нац. акад. наук Украины, Ин-т приклад. проблем механики и математики. Львов, 2004. 520 с.

7. Кириченко Г.А., Шмойлов В.И. Алгоритм суммирования расходящихся непрерывных дробей и некоторые его применения. // Журнал вычислительной математики и математической физики, 2015. Т. 55. № 4, С. 559-572.

8. Шмойлов В.И. Непрерывные дроби и г/-алгоритм. Таганрог: Изд-во ТТИ ЮФУ, 2012. 608 с.

9. Козлов В.В. Об одной формуле суммирования расходящихся непрерывных дробей. // Докл. РАН. Том 474. Номер 4, 2017. С. 410-412.

10. Шмойлов В.И. Коровин Я.С. Пределы Никипорца и некоторые их приложения. // Вестник науки и образования. № 13 (49), 2018. С. 6-20.

11. Шмойлов В.И. Алгоритмы определения значений бесконечных последовательностей. // Вестник науки и образования. №16 (51). Часть 1, 2018. С. 10-24.

12. Шмойлов В.И., Коровин Я.С., Иванов Д.Я. Непрерывные дроби и суммирование рядов. Ростов-на-Дону: Изд-во ЮФУ, 2018. 524 с.

13.Джоунс У., Трон В. Непрерывные дроби. Аналитическая теория и приложения. Пер. с англ. М.: Мир, 1985. 414 с.

14. Рутисхаузер Г. Алгоритм частных и разностей. М.: ИИЛ. 1960. 93 с.

15. Шмойлов В.И., Коровин Я.С. Формулы Эйлера и пределы Никипорца // Вестник науки и образования. № 18 (54). Часть 1, 2018. С. 5-20.

16. Никипорец А.З. Разложение обобщённых формул Эйлера в цепные дроби. В кн. Шмойлов В.И., Коровин Я.С., Иванов Д.Я. «Непрерывные дроби и суммирование рядов». Ростов-на-Дону: Изд-во ЮФУ, 2018. С. 372-426.

17. Шмойлов В.И. Решение алгебраических уравнений при помощи г/ф--алгоритма. Таганрог: Изд-во ТТИ ЮФУ, 2011. 330 с.

18. Шмойлов В.И., Коровин Я.С. Непрерывные дроби. Библиографический указатель. Ростов-на-Дону: Изд-во ЮФУ, 2017. 382 с.

19. Шмойлов В.И. Расходящиеся системы линейных алгебраических уравнений. Таганрог: Изд-во ТТИ ЮФУ, 2010. 205 с.

20. Шмойлов В.И., Коровин Я. С. Решение систем линейных алгебраических уравнений непрерывными дробями. Ростов-на-Дону: Изд-во ЮФУ, 2017. 383 с.

21. Шмойлов В.И., Коровин Я.С., Иванов Д.Я. Алгоритмы определения комплексных решений БСЛАУ с трёхдиагональной матрицей. // Вестник науки и образования. № 9(45), 2018. С. 6-18.

22. Шмойлов В.И., Коровин Я.С., Иванов Д.Я. Решение расходящихся систем линейных алгебраических уравнений. // Вестник науки и образования. № 9 (45), 2018. С. 18-30.