CC BY
23
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ
АЛГОРИТМЫ СУММИРОВАНИЯ БЕСКОНЕЧНЫХ КОМПЛЕКСНЫХ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ Шмойлов В.И. Email: Shmoylov668@scientifictext.ru
Шмойлов Владимир Ильич - старший научный сотрудник, Научно-исследовательский институт многопроцессорных вычислительных систем Южный федеральный университет, г. Таганрог
Аннотация: рассматриваются алгоритмы суммирования бесконечных вещественных и комплексных последовательностей. Показывается, что r/ф-алгоритм позволяет устанавливать комплексные значения расходящихся в классическом смысле бесконечных последовательностей, составленных из вещественных элементов. Для последовательностей частного вида, а именно: для последовательностей значений дробно-рациональных функций, предложены формулировки предела и критерия сходимости, отличные от традиционных определений.
Предложенный для суммирования комплексных последовательностей r/ф ^-алгоритм отличается от r/ф-алгоритма, используемого при суммировании вещественных последовательностей, способом определения аргумента комплексного числа, являющегося значением комплексной последовательности.
Ключевые слова: вещественные и комплексные последовательности, непрерывные дроби, r/ф-алгоритм, r/ф(zj-алгоритм.
ALGORITHMS FOR THE SUMMATION OF INFINITE COMPLEX
SEQUENCES Shmoylov V.I.
Shmoylov Vladimir Ilyich - Senior Research, RESEARCH INSTITUTE OF MULTIPROCESSOR COMPUTING SYSTEMS SOUTH FEDERAL UNIVERSITY, TAGANROG
Abstract: an algorithms for summation of infinite real and complex sequences is considered. It is shown that the г/ф-algorithm allows to establish complex values of divergent in the classical sense infinite sequences composed of real elements. For sequences of a particular type, namely, for sequences of values offractional-rational functions, the formulations of the limit and convergence criterion, different from the traditional definitions, are proposed. The algorithm proposed for summation of complex sequences r/ф^)-algorithm from the r/ф-algorithm used for summation of real sequences by the method of determining the argument of the complex number, which is the value of the complex sequence.
Keywords: real and complex sequences, continuous fractions, r/ф-algorithm, r/ф(z)-algorithm.
УДК 517.524
Введение
Говоря о важности понятия предела, можно привести слова Рихарда Куранта [1]:
«Два понятия, если не считать понятия числа, лежат в основе дифференциального и интегрального исчисления и, вместе с тем, в основе всего высшего анализа: понятие функции и понятие предела».
Число а Е R называется пределом последовательности \ап если для
Vs> 0 3ne е N: \а - ап\ <s Vn > n£. (1)
В книге Э.Т. Уиттекера и Дж. Н. Ватсона «Курс современного анализа» отмечается
[2], что «впервые определение предела, равноценное ныне принятому, было дано Валлисом в 1655 г.».
Последовательность \ап } является сходящейся, если она имеет конечный предел, принадлежащий R. В противном случае, последовательность называют расходящейся
[3]. Для сходимости последовательности \ап } необходимо и достаточно, чтобы она была фундаментальной, то есть для неё выполнялся критерий Коши:
Vs> 0 3n£ : | an - am | <s Vn, m > n£. (2)
В той же книге Э.Т. Уиттекера и Дж. Н. Ватсона теорема Коши, опубликованная в 1821 г., оценивается как «одна из важнейших и основных теорем анализа».
1. Алгоритмы определения значений бесконечных вещественных последовательностей
В 1948 г. таганрогский математик А.З. Никипорец [4] предложил формулу:
sin(n +1)ф 1ф
lim —1-— = е1ф. (3)
n^x sin Пф
Эту формулу можно записать из представления непрерывной дробью:
el ф = 2cosф--1— —1— —1— . (4)
2cosф - 2cosф -...- 2cosф -...
Непрерывная дробь (4) непосредственно следует из формулы Эйлера:
е1ф + е-ф
cosф =---. (5)
Подходящие непрерывной дроби (4) определяются известной формулой:
Pn sin(n + 1)ф
(6)
Qn sin Пф
Из (6) формально можно записать формулу (3). Этот «предел», очевидно, не традиционный, ибо в левой части формулы (3) имеем бесконечную последовательность вещественных чисел, а справа - комплексное число. Предел Никипорца (3) почти полвека оставался странной формальной записью, пока в 1994 г. не был предложен алгоритм суммирования расходящихся непрерывных дробей [5], получивший название r/ф-алгоритма. Это алгоритм формулируется следующим образом:
Непрерывная дробь с вещественными элементами сходится и имеет своим значением в общем случае комплексное число z = г 0е' ф 0, если существуют пределы
Г = lim n n|Pn /Qn|, (7)
n=1
|фоМ lim kn, (8)
n^<x> n
где Рп/ Qn - значение n-й подходящей дроби,
- количество подходящих дробей, имеющих отрицательные значения из совокупности, включающей n подходящих дробей.
Знак аргумента комплексного числа определяется из распределения
значений подходящих дробей. Правила определения знака были установлены на тестовых непрерывных дробях с вещественными элементами, имеющих комплексные значения [6].
Если аргумент определяемый по формуле (8), окажется равным нулю или п, то значение рассматриваемой непрерывной дроби вещественно: г0 = г0е10 = г0 или г0 = г0еш = —г0. В случае сходимости непрерывной дроби в классическом смысле значение непрерывной дроби, устанавливаемое г/щ-алгоритмом, совпадает с пределом подходящих дробей.
Применения г/щ-алгоритма рассмотрены в работах [7-10].
В г/ф-алгоритме находятся значения последовательностей, элементами которых выступают вещественные подходящие непрерывных дробей. Для суммирования других бесконечных вещественных последовательностей, которые, как и
последовательности подходящих дробей р / ^ , являются последовательностями
значений дробно -рациональных функций, в [11] было предложено обобщение г/ф-алгоритма. Этот алгоритм, названный R/ф-алгоритмом, имеет формулировку, аналогичную формулировке г/|-алгоритма.
После того, как описаны алгоритмы определения значений вещественных бесконечных последовательностей, можно возвратиться к формулировке понятия предела, задаваемого выражением (1), и к формулировке необходимых и достаточных условий сходимости вещественных последовательностей, т.е. к критерию сходимости, определяемому формулой (2).
Обратимся к частному, но весьма важному классу бесконечных последовательностей, а именно, - к последовательностям значений дробно-рациональных функций. К таким последовательностям, например, относятся бесконечные последовательности значений подходящих непрерывных дробей. Учитывая рассмотренный выше г/ф-алгоритм, можно привести такую формулировку предела этих последовательностей:
Комплексное число г0 = г0е1фо называется пределом вещественной
последовательности \ап ^^ значений дробно-рациональной функции, если по этой вещественной последовательности могут быть построены две сходящиеся последовательности \гп } и |и }, которые имеют своими пределами, соответственно,
модуль г0 и аргумент | комплексного числа г0е1фо: Уе> 0 Зпе е N: |г0 - гп| <£ Уп > п£, Уе> 0 Зпе е N: ||0 -|п| <е Уп > пЕ.
Элементы вещественных последовательностей \гп } и |и}, устанавлива-ются по формулам
Г" к
гп =п П К1, 1п=п—,
Ь=1 п
где ап - элементы вещественной последовательности \ап ,
"п }п=1
кп - число элементов вещественной последовательности, имеющих отрицательные значения из числа п элементов этой последовательности.
Аналогично, с учётом г/ф-алгоритма, можно записать критерий сходимости последовательности вещественных значений дробно-рациональной функции:
Для сходимости вещественной последовательности \ап^ значений дробно-
рациональной функции к комплексному пределу г0 = г0е19° необходимо и достаточно, чтобы выполнялись условия:
Уб> 0 ЗпЕе N: \гп - гт\ <£ Уп, т > п
Уе> 0 N: \фп -фт\ <£ Vn, т > пе.
Модули г„, гт и аргументы (рп, (рт комплексных чисел Г^фп и Г^1 фт
устанавливаются по элементам вещественной последовательности {а; формулами:
Г = п п -1
П1 ап I.
а Г = т ап , 'т '
п=1
т
ПЫ,
т=1
кп кт
9п =Я —, 9т =Л — ,
п т
где а„, ат - элементы вещественной последовательности {а},
/си, /ст - число элементов вещественной последовательности {а}, имеющих
отрицательные значения, соответственно, из совокупности п и т элементов.
2. Алгоритмы определения значений бесконечных комплексных последовательностей
}:
п=1
форме, т. е. = Гпв'9" , то существование предела комплексной последовательности
Если последовательность \т,п содержит комплексные числа в показательной
2равносильно существованию пределов вещественных последовательностей
модулей {' и аргументов {т}^ этих комплексных чисел [12].
'п }п=1 и аргументов {9п }п=1 Пусть имеется непрерывная дробь с комплексными элементами. Подходящими дробями будет последовательность комплексных чисел:
{Рп (2)1 а (Ю}:=1 = У\ Г2е192,..., гпе1фп,...} (9)
По последовательности (9), включающей комплексные числа, представленных в показательной форме, запишем две вещественные последовательности, -последовательность модулей {Г }: и последователь-ность аргументов {т }:
п >п=1 У>п>п=1
комплексных чисел, составляющих последовательность подходящих исходной непрерывной дроби.
Для определения значений непрерывных дробей с комплексными элементами в [13] предложен алгоритм, обозначаемый как г/фф-алгоритм, который формулируется следующим образом:
Непрерывная дробь с комплексными элементами сходится и имеет своим значением комплексное число г = г0е' ^ 0, если существуют пределы
Го = 1т п1 ГГг„, (10)
ф = м + И +...+ Н, (11)
п^: п
где - значение модуля п-й комплексной подходящей дроби, фп | - абсолютная величина аргумента п-й комплексной подходящей дроби.
Как можно заметить, г/ф(2) -алгоритм отличается от г/ф-алгоритма в способе определения аргумента комплексного числа г = г0е' ^ 0. Если в г/ф-алгоритме
аргумент ср0 находится из анализа знаков вещественных подходящих дробей, то есть используется формула (8), то в г/р^) -алгоритме аргументы <рп уже имеются в
последовательности комплексных подходящих дробей {^„еРп }и_|. Значение
абсолютной величины аргумента определяется как предел средне арифметических абсолютных величин аргументов <рп при п ^ те, т. е. устанавливается по формуле (11). Модуль г0 комплексного числа г = г0е19° находится в г/р-алгоритме и г/р^)-алгоритме по схожим формулам, соответственно, по формулам (7) и (10), как пределы средне геометрических величин «отсчётов». Если в г/р-алгоритме «отсчётами» являются абсолютные величины вещественных подходящих исходной непрерывной дроби, значение которой устанавливается, то в г/р^) -алгоритме в качестве «отсчётов» выступают модули гп комплексных чисел гпе1!Рп, являющихся значениями подходящих дробей.
Сравнивая г/р-алгоритм, т.е. формулы (7) и (8), предназначенный для определения значений непрерывных дробей с вещественными элементами, и г/р^) -алгоритм, описываемый формулами (10) и (11), ориентированный на решение той же задачи, но для непрерывных дробей с комплексными элементами, следует указать на принципиальные различия этих алгоритмов.
Если г/р-алгоритм можно характеризовать как «парадоксальный», то г/р^)-алгоритм вполне традиционный. Парадоксальность г/р-алгоритма заключается в том, что оперируя с вещественной последовательностью, этот алгоритм устанавливает, в общем случае, комплексное значение этой последовательности. Предложенный г/р^)-алгоритм определяет комплексное значение непрерывной дроби с комплексными элементами. Этот алгоритм, использующий процедуры усреднения, следует рассматривать, в первую очередь, как алгоритм, ускоряющий сходимость при определении значений непрерывных дробей с комплексными элементами. Эффективность г/р^) -алгоритма проявляется прежде всего тогда, когда аргументы комплексных частных числителей близки к п. При аргументе р, стремящемся к п, сходимость непрерывной дроби может быть сколь угодно медленной. Проблемы со сходимостью непрерывных дробей с комплексными элементами, имеющими аргументы, близкие к п, легко объяснимы. Так как ет = —1, то при ^ = п непрерывная дробь с комплексными элементами
а1ер а2ер апер
а + —— —— —— 0 1 + 1 +...+ 1 +...
приобретает вид непрерывной дроби с вещественными отрицательными частными числителями:
а1 а аи а0 —1 ,
0 1 - 1 -...- 1 -...
которая, по теореме Ворпицкого, опубликованной в 1865 г. [14], расходится в классическом смысле при ап > 1/4.
Таким образом, г/р^) -алгоритм, - это, прежде всего, алгоритм, весьма эффективный при суммировании непрерывных дробей с аргументами комплексных элементов, близкими к п, когда сильны «биения», т.е. имеется большой разброс в значениях соседних подходящих дробей.
Принимая во внимание г/р^) -алгоритм, можно дать определение предела комплексной последовательности значений дробно-рациональной функции, которое отличается от традиционного определения, аналогично тому, как то было сделано выше в случае определения предела вещественных последовательностей значений дробно-рациональной функции. То же относится и к формулировке необходимых и
достаточных условий сходимости, т.е. к формулировке критерия сходимости комплексных последовательностей значений дробно-рациональных функций.
В г/9(2) -алгоритме определяются значения последовательностей, элементами которых являются комплексные подходящие дроби. Для суммирования других комплексных последовательностей, которые, как и последовательности подходящих
дробей р (г)/ в (, являются значениями дробно-рациональных функций, в
[13], предложено обобщение г/<р (г) -алгоритма, который обозначен как К/р(2)-алгоритм. Этот алгоритм имеет формулировку, аналогичную формулировке г/<р (г)-
алгоритма.
3. Построение последовательностей подходящих непрерывных дробей с комплексными элементами
Рассмотрим вычисление подходящих непрерывной дроби с комплексными частными числителями общего вида. Можно записать:
Ъ=1+ае19 ' а
а
= 1 + 01е
1 + 1 +...+
а2е9 ап
1 + 1 +...+
п - 2е1 9 2 ап-Хе1Рп1
1 + 1
-2е ап-1е1Рп-1
1 + гп-1еап-1
: х + ¿у : г = д/ х2
апе
+ 1
.2
Аргумент комплексного числа г = х + ¿у устанавливается по формулам: х > 0;
arg г =
аг^ —, х
—
л + aгctg — х
—
-л + aгctg—, х
х < 0, у > 0; х < 0, у < 0; х = 0, у > 0;
Л, х = 0, у > 0; -Л 2 2 Продолжая вычисления, получим:
Д =!+0е
х = 0, у < 0.
19 а2е19
1 + 1 +...+
1
вп
Чтобы найти комплексное число г„ _ 7е'
, ае1р а2е19
= 1 — —-
+ г ,е11
п -1
1 + 1 +...+гп-е1
р'<Рп-1
,' «п- 1
привести запись комплексного числа в показательной форме:
а
п-1
г
гп-2, рп-1 -ап-1 =ап-2, 1 + г'-2^а' + = г^е
п-1
При вычислении следующего звена непрерывной дроби выполняются аналогичные операции. Процесс повторяется, пока не будет вычислена вся непрерывная дробь, содержащая п комплексных звеньев, т.е. не установлено комплексное значение подходящей дроби Р„/ <2И.
Чтобы упростить программу определения значения непрерывной дроби с комплексными частными числителями, следует единицу в знаменателе последнего звена подходящей дроби представить в «общем виде», как 1 е' 0.
а
п-2
Здесь следует остановиться на вычислительном аспекте. Дело в том, что определение значений подходящих непрерывных дробей с вещественными и комплексными элементами требуют существенно разных затрат. Если для вычисления одного звена вещественной непрерывной дроби необходимо выполнения всего двух арифметических операций, - деления и сложения, то при вычислении одного звена, имеющего комплексные элементы, требуется 13 операций, причём, среди этих 13-ти операций четыре операции связаны с вычислением значений элементарных функций, а именно, - с определением значений косинуса, синуса, арктангенса, а также квадратного корня. Вычисление значений элементарных функции требует выполнения множества арифметических операций.
4. Экспериментальная проверка алгоритма суммирования комплексных последовательностей
Раскладывая ряд в непрерывную дробь, получим [15]:
1 -1-вр +1-3в' 2р —1-3 • 5вг3р +1-3 • 5 • 7в'4р —1-3 • 5 • 7 • 9в,5р +... =
1 1в,р 2в,р 3в,р 4в,р пв,р
= - - - - - - . (12)
1 + 1 + 1 + 1 + 1 +...+ 1 +...
В табл. 1 приведены результаты вычислений значений подходящих непериодической непрерывной дроби (13) с комплексными частными числителями, имеющими аргумент р = п / 1 2 .
В колонках 2 и 3 табл. 1 приведены значения модулей и аргументов комплексных подходящих дробей. В колонках 4 и 5 даны погрешности в определении модуля и аргумента комплексного значения непрерывной дроби (13) при учёте различного числа подходящих дробей. Из табл. 1 можно заключить, что комплексная непрерывная дробь (13) достаточно быстро сходится в классическом смысле.
Таблица 1. Определение значения непрерывной дроби
1+вы/12 2вп/12 3вг>/12 пв'ж/12
1 + 1 + 1 +...+ 1 +...' (13)
Номер подходящих дробей,п Метод подходящих дробей Погрешность модуля, £г = |Г0 — Гп| Погрешность аргумента, £р=\Р0 — Рп|
Значения модуля, гп Значения аргумента, (рп
1 1 0 0,520876501506 0,062176474567
2 1,982889722747 0,130899693899 0,462013221240 0,068723219332
4 1,654059244935 0,095786678509 0,133182743428 0,033610203942
8 1,544746904062 0,072321403737 0,023870402555 0,010144929170
16 1,522762306582 0,063647634395 0,001885805075 0,001471159827
32 1,520907503457 0,062248718066 0,000031001950 0,000072243499
64 1,520876133968 0,062177176364 0,000000367538 0,000000701796
128 1,520876500005 0,062176474958 0,000000001501 0,000000000391
В табл. 2 приведены результаты определения значения непрерывной дроби (14) с аргументом р .
Таблица 2. Определение значения непрерывной дроби
рЛ\жП2 1 + -'
¿11я712 о 111ж/12 о ЯЬг/12 111ж/12
e 2e 3e ne
1 + 1 + 1 +...+ 1 +... (14)
Номер подходящих дробей, n Метод подходящих дробей Погрешность модуля, £г = |Г0 _ Гп| Погрешность аргумента, £р=\Р0 ~Рп\
Значения модуля, гп Значения аргумента, (рп
1 1 0 0.036322847374 0.726890526803
2 0.261052384440 1.439896632895 0.775270462934 0.713006106092
4 0.543769282935 0.301794915602 0.492553564439 0.425095611200
8 1.094443132324 0.178583342038 0.058120284949 0.548307184764
16 1.716397457051 1.243407123132 0.680074609676 0.516516596329
32 0.895774097618 0.451486184785 0.140548749756 0.275404342017
64 0.869655734988 0.834504279422 0.166667112386 0.107613752619
128 0.957071508219 0.753605446230 0.079251339155 0.026714919427
256 1.058588467193 0.714805924331 0.022265619818 0.012084602471
512 1.040838584713 0.727149410212 0.004515737338 0.000258883409
1024 1.036705193241 0.726812332181 0.000382345866 0.000078194621
2048 1.036330115778 0.726900081593 0.000007268403 0.000009554790
4096 1.036322931999 0.726890561844 0.000000084624 0.000000035041
8192 1.036322847293 0.726890526840 0.000000000081 0.000000000037
В табл. 3 и табл. 4 приведены результаты определения значений комплексной непрерывной дроби
, е,р 2е,р 3е,р пе,р
1 +- - - --(15)
1 + 1 + 1 +...+ 1 +...
с аргументами р = пп/ 1 2 , где п = 0,1 ,2 ,. . ., 1 1 ,1 3 ,1 4,. . .,24.
Таблица 3. Значения непрерывной дроби (16) при р = п77"/ 1 2 , где и=0,1,.. .,11
, ер 2ер 3ер пер 1 + —
1 + 1 + 1 +...+ 1 +... (16)
Значения аргумента, <р = П7Г/12 Количество подходящих дробей Значения модуля, гп Значения аргумента,
р = 0 225 1.525135276160 0
р = ж/12 232 1.520876501506 0.062176474566
р = 2ж/12 243 1.508116618581 0.124456107169
р = 3л/12 257 1.486905883830 0.186953317133
р = 4л/12 296 1.457331376615 0.249806478621
р = 5л/12 349 1.419522732648 0.313193660250
р = 6л/12 464 1.373661781350 0.377353386187
р = 7л/12 538 1.319997901080 0.442612912967
р = 8л/12 817 1.258871606910 0.509427096099
р = 9л/12 1405 1.190749430342 0.578431288920
р = 10л/12 3008 1.116272961880 0.650511248849
р = 11л/12 11446 1.036322847375 0.726890526803
Таблица 4. Значения непрерывной дроби (17) при р = п77"/ 1 2 , где и=13,14,.. .,24
, ер 2ер 3е 'р пе'р
1 +- - - - • (17)
1 + 1 + 1 +...+ 1 +...
Значения аргумента, <р = П7Г/12 Количество подходящих дробей Значения модуля, гп Значения аргумента,
р = 13л/12 11137 1.036322847375 -0.726890526803
р = 14л/12 2971 1.116272961881 -0.650511248850
р = 15л/12 1360 1.190749430342 -0.578431288919
р = 16л/12 805 1.258871606910 -0.509427096100
р = 17л/12 538 1.319997901080 -0.442612912967
р = 18л/12 430 1.373661781350 -0.377353386187
р = 19л/12 347 1.419522732648 -0.313193660250
р = 20л/12 296 1.457331376614 -0.249806478621
р = 21л/12 247 1.486905883830 -0.186953317133
р = 22л/12 239 1.508116618581 -0.124456107170
р = 23 л/12 228 1.520876501506 -0.062176474566
р = 2л 225 1.525135276160 0
На рис. 1 и рис. 2 показаны зависимости, соответственно, модулей аргументов комплексных значений непрерывной дроби (15) от аргумента р частных числителей.
Рис. 1. Зависимость модулей г комплексных значений непрерывной дроби (15) от аргумента ф
частных числителей
<Р
0,8092
Рис. 2. Зависимость аргументов ф комплексных значений непрерывной дроби (15) от аргумента ф частных числителей
Во вторых колонках табл. 3 и табл. 4 приведено число звеньев комплексной непрерывной дроби (15) при различных значениях аргумента ф, обеспечивающее вычисления комплексных непрерывных дробей с точностью 12 десятичных разрядов. Из табл. 3 и табл. 4 следует, что с увеличением значения аргумента ф (0 < ф < п) необходимое количество звеньев непрерывной дроби для достижения заданной точности непрерывно увеличивается, причём, резкое увеличение длины непрерывных дробей наблюдается при ф, стремящемся к п.
На рис. 3 показана зависимость числа звеньев п непрерывной дроби (15) от аргумента ф.
Ранее уже отмечалось, что непрерывные дроби (15) с частными комплексными числителями при аргументе ф, стремящемся к п, имеют очень слабую сходимость, что проявляется в «биениях» значений соседних подходящих дробей.
4000 3000200010000
п/2
3п/2
Рис. 3. Зависимость числа звеньев непрерывной дроби (15) от аргумента ф.
В табл. 5 приведены результаты вычислений непрерывной дроби (18) при ф = п ■ 0,001.
0
п
Таблица 5. Определение значения непрерывной дроби
еИм-0М1) 2ег'(^-0001) зе (^-0.001) пе1(ж-0.001)
1 +--- - - ■ (18)
1 + 1 + 1 +...+ 1 +...
Номер подхо дящих дробе й Метод подходящих дробей г/<р@ -алгоритм Погрешность модуля, ег = |Г) - т Погрешность аргумента, е=| <Ро-
Значения модуля, гп Значения аргумента, <Рп Значения модуля, гп Значения аргумента, (рп
1 1 0 1 0 0.0479072180 0.8092294339
2 0.0009999999 1.5702963267 0.0316227759 0.7851481633 0.9204700060 0.0240812705
4 0.5000006718 0.0012499984 0.1778279711 0.3930115811 0.7742648108 0.4162178527
8 1.0999998887 0.0007227266 0.9653666677 0.7847990717 0.0132738857 0.0244303621
16 3.9167745032 3.1275701571 0.9745366062 0.7844284085 0.0224438242 0.0248010253
32 0.8110513339 0.0021276475 0.9481764560 0.6910441230 0.0039163259 0.1181853108
64 0.1962387835 0.0202701525 0.8443232900 0.8268425219 0.1077694918 0.0176130880
128 0.3451817344 0.0134466991 0.8804623467 0.8049543298 0.0716304351 0.0042751040
256 2.0599029302 0.0127459878 0.9103598296 0.8089095289 0.0417329522 0.0003199049
512 6.5374296172 0.0849566222 0.9325393361 0.7874495153 0.0195534458 0.0217799185
1024 4.6290090986 0.0793678124 0.9379893993 0.7974078286 0.0141033826 0.0118216052
2048 0.5601094362 3.0272898117 0.9579288284 0.8125424805 0.0058360464 0.0033130466
4096 0.9294053628 2.9929020742 0.9571137573 0.8090739552 0.0050209753 0.0001554786
8192 0.8078275326 0.0400207554 0.9550725316 0.8059505309 0.0029797496 0.0032789029
На рис. 4 показаны последние сто значений модулей гп комплексных чисел гпе1<Рп, которые определяются непосредственно из вычислений непрерывной дроби (18). Из графика, показанного на рис. 4, можно видеть значительные различия в значениях гп с соседними номерами, что не позволяет установить модуль комплексного числа, представляемого непрерывной дробью (18). На рис. 4а показаны значения модулей комплексного числа, установленных по г/ф^-алгоритму, т.е. по формуле (10). Из 4 колонки табл. 5 следует, что гп, определённый «усреднением», т.е. с использованием г/ф^-алгоритма, имеет значение 0,9550725316..., что незначительно отличается от модуля «точного» комплексного значения, как показано в колонке 6 табл. 5.
Рис. 4. Значения гп дроби (18) по подходящим
Рис. 4а. Значения гп дроби (18) по г/ф@-алгоритму
На рис. 5 представлены значения соответствующего непрерывной дроби
фи, аргументов комплексного числа, (18), полученные по подходящим непрерывной дроби (18). Так же, как и в случае с модулями гп, имеет место «биение» величин ~ф с соседними индексами п. На рис. 5а приведены величины фп , установленные г/фф-алгоритмом, т.е. по формуле (11). Усреднённые по формуле (11) значения аргументов ф комплексного числа, соответствующей непрерывной дроби (18), имеет величину 0,808874., что незначительно отличается от аргумента «точного», комплексного значения ф, как можно видеть из колонки 7 табл. 5.
Рис. 5. Значения <рп дроби (18) по Рис. 5а Значения <Рп дроби (18)по г/Ф(г)-
подходящим апгоршпму
Численные эксперименты показали, что г/ф(2)-алгоритм «работает», т.е. находит комплексные значения непрерывной дроби (19),
1 +1- ±£- £1- И!- , (19)
1 + 1 + 1 +...+ 1 +...
даже если е = 0. Это объясняется тем обстоятельством, что константа п представляется с некоторой неустранимой погрешностью из-за конечной разрядной сетки компьютера. Непреднамеренное введение в запись непрерывной дроби (20) незначительной «комплексности» оказывается достаточно для функционирования г/ф(2) -алгоритма. В табл. 6 приведены результаты определения значений непрерывной дроби (20) с использованием г/ф(2)-алгоритма, т.е. с использованием формул (10) и (11).
Таблица 6. Определение значения непрерывной дроби
1+2£_ £е_ (20)
1 + 1 + 1 +...+ 1 +...
Номер подхо дя-щих дробе й Метод подходящих дробей г/ф(х) -алгоритм Погрешность модуля, ег = ко -г Погрешность аргумента, еф=\фо -9Г
Значения модуля, гп Значения аргумента, <Рп Значения модуля, гп Значения аргумента, <Рп
1 1 0 1 0 0.0479072180 0.8092294339
2 0.0000000000 1.5707963267 0.0000000110 0.7853981633 0.9520927708 0.0238312705
4 0.5 0.0000000000 0.0001051968 0.3926990816 0.9519875851 0.4165303522
8 1.0999999999 0.0000000000 0.9841478182 0.7853981633 0.0320550362 0.0238312705
16 3.9169863013 3.1415926535 0.9839649319 0.7853981633 0.0318721499 0.0238312705
32 0.8110498174 0.0000000000 0.9526302064 0.6872233929 0.0005374245 0.1220060409
64 0.1961880102 0.0000000000 0.8438043675 0.8344855486 0.1082884143 0.0252561147
128 0.3451380985 0.0000000000 0.8799880892 0.8099418560 0.0721046927 0.0007124221
256 2.0601483429 0.0000000000 0.9098263223 0.8099418560 0.0422664595 0.0007124221
512 6.5661780758 0.0000000000 0.9320740003 0.7853981633 0.0200187815 0.0238312705
1024 4.6477990121 0.0000000000 0.9350839853 0.7976700097 0.0170087965 0.0115594242
2048 0.5589596479 3.1415926535 0.9562896596 0.8130098175 0.0041968776 0.0037803836
4096 0.9291584026 3.1415926535 0.9581942119 0.8107088463 0.0061014299 0.0014794124
8192 0.8074850893 0.0000000000 0.9557658131 0.8057234088 0.0036730312 0.0035060250
16384 0.6608277991 0.0000000000 0.9520086366 0.8047646708 0.0000841453 0.0044647630
В [15] установлено значение непрерывной дроби (20) при ф = п и показано, что непрерывная дробь (20) имеет связь с функцией Прима Г (а,х) и дополнительной функцией ошибок ег/с (х):
1 2 3 4 П „ /0.80922894. _ г>/2ё V2е / п
1 -± ~ П И И = 0,95209278... е"
1 - 1 - 1 - 1 -...- 1 -... „( 1 1 1 ,( /
Г( 2,- 21 еЛТ2
Из колонок 6 и 7 табл. 6, в которых показана погрешность в определении модуля гп и аргумента рп, видно, что значение непрерывной дроби (20) при помощи г/ф(х)-алгоритма установлено с высокой точностью.
Определим значение непрерывной дроби (21), которая совпадает с непрерывной дробью (20), но уже при использовании другого алгоритма, а именно, - г/ф-алгоритма, т.е. формул (7) и (8). В табл. 7 приведены результаты вычислений.
Таблица 7. Определение значения непрерывной дроби
, е/п 2е/п 3е/п пе/п 12 3 п
1 +- - - - = 1 — - - - • (21)
1 + 1 + 1 +...+ 1 +... 1 - 1 - 1 -...- 1 -...
Номер подходящих дробей Значения подходящих дробей Значения модуля, гп Значения аргумента, рп Погрешность модуля, ег = 1 г0 — гп 1 Погрешность аргумента, £<р = 1 Ро-Рп 1
8 1.0999999999 0.7380067500 0.7853981633 0,2140860300 0,0238307767
16 -3.916986301 0.9739112400 0.5890486225 0,0218184600 0,2201803175
32 0.8110498174 0.9650974510 0.6872233929 0,0130046710 0,1220055471
64 0.1961880102 0.8518835421 0.7853981633 0,1002092379 0,0238307767
128 0.3451380985 0.8859621930 0.7853981633 0,0661305870 0,0238307767
256 2.0601483429 0.9060506948 0.7976700097 0,0460420852 0,0115589303
512 6.5661780758 0.9311201937 0.7792622402 0,0209725863 0,0299666998
1024 4.6477990121 0.9345366736 0.7946020481 0,0175561064 0,0146268919
2048 -0.558959647 0.9563158185 0.8114758367 0,0042230385 0,0022468967
4096 -0.929158402 0.9581853388 0.8099418560 0,0060925588 0,0007129160
8192 0.8074850893 0.9558687720 0.8057234088 0,0037759920 0,0035055312
16384 0.6608277991 0.9522572889 0.8047646708 0,0001645089 0,0044642692
Из данных колонки 2 табл. 7 следует, что значения подходящих непрерывной дроби (21) осциллируют, т. е. непрерывная дробь (21) является расходящейся в классическом смысле. Комплексное значение непрерывной дроби (21) определяется по подходящим дробям г/ф-алгоритмом, что можно видеть из колонок 3 и 4 таблицы.
На рис. 6 показаны значения подходящих непрерывной дроби (21).
Рис. 6. Значения подходящих непрерывной дроби (21)
На рис. 6 а и 6 б показаны графики модулей гп и аргументов фп, установленные г/ф-алгоритмом, т.е. формулами (7) и (8).
Рис. 6 а. Значения гп дроби (21) по r/ф- Рис. 6 б. Значения (рп дроби (21) по r/ф-
алгоритму алгоритму
Заключение
Введённые в вычислительную практику r/ф-алгоритмы позволяют устанавливать для бесконечных последовательностей, состоящих из вещественных элементов, как вещественные, так и комплексные значения [16 - 18]. Суть r/ф-алгоритма, как и его обобщений, состоит в замене бесконечных осциллирующих вещественных последовательностей, расходящихся в классическом смысле, комплексными числами, модули и аргументы которых находятся по элементам последовательностей этими алгоритмами, что в некотором смысле объясняет природу таких абстракций, как комплексные числа.
К такому пониманию r/ф-алгоритма и его обобщений привело осмысление результатов решения БСЛАУ, причём, так называемых расходящихся БСЛАУ, когда СЛАУ с вещественными матрицами n-го и (п+1)-го порядков, дают существенно различные наборы решений {х,}. Однако, если по этим несходящимся вещественным решениям устанавливать при помощи Л/ф-алгоритма комплексные решения, то, оказывается, что полученные комплексные решения удовлетворяют с высокой точностью исходной физической задаче, описываемой последовательностью СЛАУ с вещественными матрицами возрастающей размерности [19 - 22].
Непрерывные дроби с частными числителями, имеющими комплексные значения, при аргументах ф, стремящихся к п, могут сходиться сколь угодно медленно. Было показано, что r/q>(z) -алгоритм эффективно устанавливает значения подобных комплексных непрерывных дробей, соседние подходящие дроби которых имеют значительный разброс. Рассмотренный r/p(z) -алгоритм - это, в первую очередь, алгоритм ускорения сходимости комплексных последовательностей, связанный с процедурами усреднения.
Список литературы /References
1. Курант Р. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Т. 1. М.: Наука, 1967. 704 с.
2. Уиттекер Э.Т., Ватсон Дж.Н. Курс современного анализа. Часть первая. М.: Физматгиз, 1963. 344 с.
3. Бесов О.В. Лекции по математическому анализу. М.: МФТИ, 2004. 327 с.
4. Шмойлов В.И. Непрерывные дроби. В 3 т. Том 3. Из истории непрерывных дробей. Нац. акад. наук Украины, Ин-т приклад. проблем механики и математики. Львов, 2004. 520 с.
5. Шмойлов В.И. Суммирование расходящихся цепных дробей. Львов: ИППММ НАН Украины, 1997. 23 с.
6. Шмойлов В.И. Непрерывные дроби. В 3 т. Том 1. Периодические непрерывные дроби. Нац. акад. наук Украины. Ин-т приклад. проблем механики и математики. Львов, 2004. 645 с.
7. Шмойлов В.И. Непрерывные дроби. В 3 т. Том 2. Расходящиеся непрерывные дроби. Нац. акад. наук Украины. Ин-т приклад. проблем механики и математики. Львов, 2004. 558 с.
8. Кириченко Г.А., Шмойлов В.И. Алгоритм суммирования расходящихся непрерывных дробей и некоторые его применения. // Журнал вычислительной математики и математической физики, 2015. Т. 55. № 4. С. 559-572.
9. Шмойлов В.И. Непрерывные дроби и г/-алгоритм. Таганрог: Изд-во ТТИ ЮФУ, 2012. 608 с.
10. Козлов В.В. Об одной формуле суммирования расходящихся непрерывных дробей. // Докл. РАН. Том 474. № 4, 2017. С. 410-412.
11. Шмойлов В.И. Алгоритмы определения значений бесконечных последовательностей. // Вестник науки и образования, № 16 (51). Часть 1. 2018. С. 10-24.
12.Маркушевич А.И. Краткий курс теории аналитических функций. М.: Наука, 1966. 388 с.
13. Шмойлов В.И., Коровин Я.С. Определение значений бесконечных комплексных последовательностей. // Вестник науки и образования. № 4 (58). Часть 1. 2019. С. 10-23.
14. Worpitzky J.D. Untersuchungen uber die Entwicklung der monodromen und monogenen Funktionen durch Kettenbrüche. // Friedrichs-Gymnasium und Realschuie Jahresbericht, Berlin (1865), pp. 3-39.
15. Шмойлов В.И., Коровин Я.С., Иванов Д.Я. Непрерывные дроби и суммирование рядов. Ростов-на-Дону: Изд-во ЮФУ, 2018. 524 с.
16. Шмойлов В.И. Инверсные непрерывные дроби. // Вестник науки и образования. № 13 (67). Часть 1, 2019. С. 6-19.
17. Шмойлов В.И., Коровин Я.С. Непрерывные дроби. Библиографический указатель. Ростов-на-Дону: Изд-во ЮФУ, 2017. 382 с.
18. Шмойлов В.И., Коровин Я.С., Ершов В.В. Классические ортогональные полиномы и непрерывные дроби. // Вестник науки и образования. № 11 (65). Часть 2. 2019. С. 6-18.
19. Шмойлов В.И. Расходящиеся системы линейных алгебраических уравнений. Таганрог: Изд-во ТТИ ЮФУ, 2010. 205 с.
20. Шмойлов В.И., Коровин Я. С. Решение систем линейных алгебраических уравнений непрерывными дробями. Ростов-на-Дону: Изд-во ЮФУ, 2017. 383 с.
21. Гузик В.Ф., Ляпунцова Е.В., Шмойлов В.И. Непрерывные дроби и их применение. М.: Физматлит, 2015. 298 с.
22. Шмойлов В.И., Коровин Я.С., Иванов Д.Я. Алгоритмы определения комплексных решений БСЛАУ с трёхдиагональной матрицей. // Вестник науки и образования. № 9 (45), 2018. С. 6-18.
