Алгоритмы определения значений бесконечных последовательностей Текст научной статьи по специальности «Математика»

7. Баранов М.А. Взаимодействие зарядов в виде размытой сферы и гауссова облака как элементов электронных оболочек. // Международный научный журнал «Символ науки», 2016. Часть 1. № 1. С. 28-33.

8. Баранов М.А. Взаимодействие зарядов в виде неконцентричных размытых сфер как элементов электронных оболочек. // Международный научный журнал «Символ науки», 2016. часть 4. № 3. С. 11-18.

9. Баранов М.А. Взаимосвязь свойств кристаллов с распределением периферийных электронов в оболочках образующих их атомов. // Международный научный журнал «Символ науки», 2017. Часть 2. № 2. С. 15-21.

10. Баранов М.А. Показатели свойств кристаллов со сверхструктурой В2 в рамках модели электронных оболочек в виде размытых сфер // Фундаментальные проблемы современного материаловедения, 2017. Т.14. № 4. С. 470-474.

11. Baranov M.A., Shcerbakov V.M. Simulation of Multicomponent Crystal States as Tool of Forecasting and Programming of Mechanical Properties of Alloys. // Journal of Material Science and Engineering A., 2011. V. 1. N 3. P. 398-407.

12. ГОСТ 2856-79. Сплавы магниевые литейные.

АЛГОРИТМЫ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ЗНАЧЕНИЙ БЕСКОНЕЧНЫХ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ Шмойлов В.И. Email: [email protected]

Шмойлов Владимир Ильич - старший научный сотрудник, НИИ многопроцессорных вычислительных систем Южный федеральный университет, г. Таганрог

Аннотация: рассматриваются алгоритмы суммирования бесконечных последовательностей. Алгоритмы позволяют устанавливать комплексные значения расходящихся в классическом смысле бесконечных последовательностей, составленных из вещественных элементов. Отмечается, что суть r/ф-алгоритма, как и его обобщений, состоит в замене осциллирующих процессов представленными вещественными элементами, комплексными числами, модули и аргументы которых определяются предложенными алгоритмами, причём аргументы комплексных чисел определяются долей «подходящих дробей» с отрицательными значениями. Рассмотрены примеры применения r/ф-алгоритма, R/ф-алгоритма и каскадного R/ф-алгоритма. Эти алгоритмы позволили решить ряд важных задач, в частности, установить, что БСЛАУ с вещественными матрицами могут иметь, в зависимости от коэффициентов матриц, комплексные решения.

Ключевые слова: непрерывные дроби, расходящиеся последовательности, r/ф-алгоритм, R/ф-алгоритм, каскадный R/ф-алгоритм.

ALGORITHMS FOR DETERMINING VALUES DIFFERENT IN CLASSICAL MEANING OF INFINITE SEQUENCES

Shmoylov V.I.

Shmoylov Vladimir Ilyich - Research Fellow, RESEARCH INSTITUTE OF MULTIPROCESSOR COMPUTING SYSTEMS SOUTHERN FEDERAL UNIVERSITY, TAGANROG

Abstract: аlgorithms for summation of infinite sequences are considered. Algorithms allow one to establish complex values of divergent in the classical sense of infinite sequences composed of real elements. It is noted that the essence

The R/p-algorithm, like its generalizations, consists in replacing the oscillating processes with real elements, complex numbers, the modules and arguments of which are determined by the proposed algorithms, and the arguments of the complex numbers are determined by the fraction of "suitable fractions" with negative values.

Examples of the application of the r/y-algorithm, the R/q-algorithm and the cascade R/ф-algorithm are considered. This algorithms made it possible to solve a number of important problems, in particular, to establish that BSLAU with real matrices can have, depending on the coefficients of the matrices, complex solutions and gave a way to find these solutions. Keywords: continued fractions, divergent sequences, r/y-algorithm, R/q-algorithm, cascade R/q-algorithm.

УДК 517.524

Введение

Прежде чем перейти к алгоритмам определения значений бесконечных последовательностей, приведём некоторые определения.

Пусть A - произвольное множество и пусть каждому n е N поставлен в соответствие некоторый элемент а е А. Тогда говорят, что задана

последовательность , а , а

которая обозначается как \а„ } или \а„ •

И^ I п)п=

Последовательности со значениями из Я-множества действительных чисел называются числовыми последовательностями или последовательностями.

Число а е R называется пределом последовательности {а„}, если для

Уе> 0 Зпее N: |а - аи\<Е Уп > Пе, т. е. М аи = а.

п^да

Последовательность называется сходящейся, если она имеет конечный, принадлежащий R, предел. В противном случае, последовательность называют

расходящейся [1].

Обобщая понятия предела, в качестве предела рассматривают не только число, но и какой-либо из символов + да, - да, да. Последовательность называется сходящейся в

К или К, если она имеет предел + да, - да, да.

Для сходимости последовательности необходимо и достаточно, чтобы она была фундаментальной, т. е. для неё выполнялось условие Коши:

Уе > 0 ЗпЕ : | ап - ат | <£ Уп, т > пЕ.

1. Алгоритмы определения значений бесконечных последовательностей 1.1. Алгоритм определения значений непрерывных дробей

В 1994 г. для определения значений непрерывных дробей был предложен способ, получивший название «^у-алгоритм» [2]. Этот алгоритм формулируется следующим образом:

Непрерывная дробь с вещественными элементами сходится и имеет своим

значением в общем случае комплексное число 2 = Г^в , если существуют пределы

Т0 = lim n П1 Pn /Qn\, (1)

i

к

Иш-1, (2)

п^да п

где р / ^ - значение п-й подходящей дроби,

кп - количество подходящих дробей, имеющих отрицательные значения из совокупности, включающей п подходящих дробей.

n

Таким образом, можно отметить, что в г/ф-алгоритме используется последовательность, где элементами выступают вещественные значения подходящих непрерывных дробей, т. е. рассматриваются бесконечные последовательности р / ^ .

Применения г/ф-алгоритма и его особенности рассмотрены в работах [3 - 8].

Пример 1.

Логарифмическая функция может быть представлена цепной дробью Лагранжа , ,, 2 2 2 22 22 П2 П2

1п(1 + 2) = - - - - - — --(3)

1 + 2 + 3 + 2 + 5 + ... + 2 + 2п + 1 + ...

В [9] доказывается, что цепная дробь (3) сходится для всех г в г-плоскости с

разрезом вдоль оси от -да до -1.

В табл. 1 приведены результаты определения комплексного значения

логарифмической функции при аргументе 2 = —10. Цепная дробь (3) при 2 = —10

расходится в классическом смысле, поэтому ее суммирование проводилось при

помощи г/ф -алгоритма.

Значения модуля Г и аргумента (р , определяемые с использованием г/ф-

алгоритма, приведены, соответственно, в колонках 3 и 5 табл. 1. Значения модуля и аргумента определялись при учете различного числа подходящих дробей разложения

(4). В колонках 4 и 6 приведены погрешности в определении модуля Г и аргумента Рп комплексного числа 1п (— 9). 1п (— 9) = 1п 9 + ш,

Г =д/(1п9)2 + *2 = 3,83371885..., *

0 уиу) т л = 3,o33/iooj..% = arctg— = 0,96047429 ...'

In9

Таблица 1. Нахождение значений «расходящейся» цепной дроби

1п (— 9)= —

10 10 10 20 20 10п 10п (4)

1 - 2 - 3 - 2 - 5 -... - 2 - 2n т 1 -..."

Номер звена дроби Значения подходящих дробей Значения модуля, Гп Погрешность, Sr = |r0 - rn\ Значение аргумента, Рп Погрешность, sv=\V0 -v\

2 2,50000000 5,00000000 1,16628114 1,57079632 0,61032202

4 5,21739130 3,51960254 0,31411630 1,57079632 0,61032202

8 -3,4907010 3,94809476 0,11437591 1,17809724 0,21762294

16 68,6124279 4,87342347 1,03970462 0,98174770 0,02127340

32 3,51638643 4,81508915 0,98137029 1,07992247 0,11944817

64 12,4589835 3,91971515 0,08599630 1,12900985 0,16853556

128 1,80928126 4,05997068 0,22625183 1,00629139 0,04581709

256 2,90564753 3,80055403 0,03316481 0,96947585 0,00900155

512 6,23154574 3,79767997 0,03603888 0,95720401 0,00327028

16384 0,50107219 3,83254781 0,00117103 0,96084721 0,00037291

32768 0,37151795 3,83283191 0,00088693 0,96055959 0,00008529

65536 0,09734311 3,83337020 0,00034864 0,96041578 0,00005851

На рис. 1 приведены изображения подходящих дробей расходящейся в классическом смысле цепной дроби (4), представляющей 1п(- 9).

150

а)

ln(-9)= 3,8337g"

I, .............Villi- ............1.1.1.1,1 iJ. ..............I ...........,. ,1.1.1.1.1.. ..............1

1.......... ||......... 1......... [I11"....... ÍIVIVI......

Рис. 1. Значения подходящих дробей цепной дроби (4)

1.2. Алгоритм определения значений бесконечных последовательностей

Для суммирования бесконечных последовательностей можно предложить обобщение г/ф-алгоритма. Этот алгоритм, обозначаемый как Я/ф-алгоритм, формулируется следующим образом:

Бесконечная последовательность вещественных «подходящих дробей» /

генерируемая некоторой дробно-рациональной функцией, сходится и имеет своим

гф,

значением в общем случае комплексное число 2 — Г^в

если существуют пределы

üm n П1F / Q,\ =

n^x у j

ж lim — = \фХ

n^X n

(5)

(6)

где Fn / Qn - значение n-й «подходящей дроби»,

kn - количество «подходящих дробей», имеющих отрицательные значения из совокупности, включающей n «подходящих дробей».

Элементы последовательности, которые генерируются дробно-рациональными функциями, также будем именовать «подходящими дробями», беря этот термин в кавычки, чтобы не столько указать на связь Л/ф-алгоритма с r/ф-алгоритмом, сколько подчеркнуть общность происхождения элементов суммируемых последовательностей.

Несмотря на то, что Л/ф-алгоритм включает в себя r/ф-алгоритм, при определении значений непрерывных дробей для удобства будем пользоваться формулами r/ф-алгоритма.

В качестве иллюстрации областей применимости Л/ф-алгоритма рассмотрим две бесконечные расходящиеся в классическом смысле последовательности:

sin х, sin 2x, sin 3x, ..., sin nx, ...,

ctg x, ctg 2x, ctg 3x, ctg nx, ... .

Используя Л/ф-алгоритм, устанавливаем, что расходящаяся в классическом смысле

бесконечная последовательность {sin lim {sin nxY = 0.

имеет нулевое значение, т.е.

Иной результат получим при определении с помощью Л/ф-алгоритма значения расходящейся последовательности ^ctg nx j0 . В последовательности ^ctg nxj ^ имеются как бесконечно малые значения, так и элементы со сколь угодно большими

значениями. Значением последовательности \ctg nx ( является мнимая единица:

'n=1

0

л

г— 2

(7)

lim \ctg nx}=1- e 2 - г.

Можно сделать важный вывод: комплексные значения могут иметь те бесконечные последовательности вещественных элементов, происхождение которых связано с дробно -рациональными функциями.

Рассмотрим две задачи, решение которых сводится к получению элементов последовательностей, генерируемых дробно-рациональными функциями, и последующим определением значений этих последовательностей при помощи R/ф-алгоритма.

1.2.1. Нахождение корней алгебраических уравнений

Почти столетие известны формулы Эйткена, устанавливающие вещественные корни полинома [10]. Эти формулы записываются отношением ганкелевских определителей, элементы которых находятся по коэффициентам исходного алгебраического уравнения. R/ф-алгоритм позволяет, используя формулы Эйткена, устанавливать, как вещественные, так и комплексные корни полинома.

Пусть имеется алгебраическое уравнение степени n:

xn тахxn-1 т... тссп_хxтап - 0. (8)

Корни уравнения (8) могут быть представлены отношением определителей, элементами которого являются коэффициенты исходного алгебраического уравнения [11]:

- с -с -с - а4 ... -1 -с -с -с

-1 -с -с - с .•• 0 -1 -с -с

0 -1 -с -с . 0 0 -1 -с

0 0 -1 - с . • • 0 0 0 -1

-с - с - с .•• -1 - с -с

-1 -с -с . 0 -1 -с

0 -1 -с . 0 0 -1

Последующие корни уравнения (22) запишутся следующим образом:

с -с -с4 -с5 .

с -а2 -с -с4 .

-1 -ах -с -с .

0 -1 -с -с .

-с -с -с4 .

-с -с -с .

-1 -с -с .

-с -с -с -с4 .

-1 -с -с -с .

0 -1 -с -с .••

0 0 -1 -с .

-с -с -с .

-1 -с -с .

0 -1 -с .

x — -

x — -

2

—а —ар+1 —ар+2 —ар+3 ■■■ —ар— 1 —ар —ар+1 —ар+2

—ар—1 —ар —ар+1 —ар+2 ■■■ —ар— 2 —ар—1 —ар —ар+1

—ар-2 —ар—1 —ар —ар+1 ■■■ —ар— 3 —ар—2 —ар—1 —ар

—ар-3 —ар—2 —ар—1 —а ■■■ р —а р— 4 —ар—3 —ар—2 —ар—1

—а р —а Рн1 —ар+2 ■■■ —ар—1 —а р —а рн1

—ар—1 —а р —ар+1 ■■■ —ар—2 —ар—1 —а р

—ар—2 —ар—1 —ар ■■■ —ар—з —ар—2 —ар—1

(9)

Для комплексных корней уравнения (8), определяемых также формулой (9), необходимо дополнительно использовать Л/ф-алгоритм. Модуль гр и модуль аргумента фр комплексного корня хр = гре19р определяются здесь формулами:

гр =

I т

Иш т п х

■( т)

\ф\ = Я Нш-

к(т)

т

(10) (11)

где - «подходящая дробь» выражения (9),

Лт)

- число отрицательных «подходящих дробей» для р-го корня из т «подходящих дробей».

Например, «подходящие дроби» для корня х2 определяются следующим образом:

х«=1

-а2 -а -а -а2

-а -а2 -1 -а1

|—а2 ' |-ц

-а —а -а -1 -а -а2 -1 -а -а 0 —1 —а

—а —а —а —а —а —а —1 —а

Вычисление подходящих дробей непосредственно по формулам (9) весьма затруднительно при больших размерностях определителей, входящих в эту формулу. Для вычисления формул (9) можно использовать рекуррентную схему, получившую название «алгоритм частных и разностей», или QD-алгоритм Рутисхаузера [12].

Пример 2.

Рассмотрим решение уравнения

11 1 10 . 1 9.1 8.1 7,1 6.1 5.1 4.1 1 2.1 .1 п /1 <1\

х + — х + — х Н— х + — х + — х + — х + — х + — х Н--х Н--х Н--= 0 (12)

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

с использованием Л/^-алгоритма, в данном случае определенном формулами (10) и (11).

На рис. 2 показаны графики распределения подходящих непрерывных дробей, которые представляют первую пару комплексно-сопряжённых корней уравнения (12).

х = —

—а

10,0 5.0 0.0 -5.0 -10,0

1... lili., lili., lili. lili., llh. lili. lilla |||>. |||и. |||к. |||и. ||Ц. ||И. |||..

■ ' | 1 | ■ 1 | |

III. lili. llh. lili. ||||. |||Ц. ||||>. |||к. ||||. ||||. |||.. |||.. lili. lili,. lili.-

1 | ■ ■ I | |

• ■ ///////

x2= 0.825426601839e0.456940190349

10.0 5.0 0.0 -5.0 -10.0

,|||

II1' 1 1 1 ■ 1 1 1 I 1 1

# # S°J> ^ $ $ ^ jjP ^ jfi j? J jp ¿p jp ^

/VVVVVWb

Рис. 2. Распределение подходящих дробей, представляющих корни х1 и х2 алгебраического

уравнения (12)

В табл. 2 и табл. 3 приведены результаты вычисления первой пары комплексно -сопряжённых корней уравнения (12) при помощи Я/ф-алгоритма.

Таблица 2. Определение комплексного корня х1 уравнения (12) х1 = 0.82542660е

¡0.45694019

Номер дроби, т Значения подходящих дробей, 1 Значение модуля, г1(т> Погрешность модуля Значения аргумента, Погрешность аргумента

256 16.1438920 0.82578544 -0.00035884 0.45695893 -0.00001874

512 1.12363114 0.82695479 -0.00152819 0.45519513 0.00174505

1024 0.45511984 0.82543323 -0.00000663 0.45457128 0.00236890

2048 0.55366821 0.82556416 -0.00013756 0.45590818 0.00103200

4096 0.70661645 0.82556732 -0.00014072 0.45653106 0.00040912

8192 1.02853727 0.82551015 -0.00008354 0.45683201 0.00010817

16384 0.23317196 0.82537790 0.00004869 0.45678714 0.00015304

32768 0.11859800 0.82538162 0.00004497 0.45686104 0.00007914

65536 -0.27577357 0.82540969 0.00001690 0.45694583 -0.00000564

131072 14.1647538 0.82542709 -0.00000048 0.45694017 0.00000001

262144 1.11676519 0.82542906 -0.00000246 0.45693735 0.00000283

Номер дроби, m Значения подходящих дробей, Значения модуля, г (т) г2 Погрешность модуля Значение аргумента, т (т) Погрешность аргумента

256 -14.66418899 0.84445096 -0.01902436 -0.45974526 0.00280507

512 0.35785417 0.82418430 0.00124229 -0.45590394 -0.00103624

1024 1.02636688 0.82477524 0.00065135 -0.45484338 -0.00209680

2048 0.92781850 0.82507065 0.00035595 -0.45606410 -0.00087608

4096 0.77487026 0.82523110 0.00019549 -0.45661301 -0.00032717

8192 0.45294944 0.82535485 0.00007174 -0.45687387 -0.00006631

16384 1.24831475 0.82540610 0.00002049 -0.45680779 -0.00013239

32768 1.36288872 0.82542001 0.00000658 -0.45687141 -0.00006877

65536 1.75726029 0.82542841 -0.00000181 -0.45690303 -0.00003715

131072 -12.6832671 0.82544339 -0.00001679 -0.45694279 0.00000260

262144 0.36472152 0.82542477 0.00000182 -0.45693865 -0.00000153

В табл. 4 приведены результаты определение комплексных корней уравнения (12) при помощи г / -алгоритма.

Таблица 4. Значения комплексных корней уравнения (12)

Номер Значение Погрешность Значение Погрешность

корня, хр модуля, гр модуля аргумента, фр аргумента

Х1 0.82542906 -0.00000246 0.45693735 0.00000283

Х2 0.82542477 0.00000182 -0.45693865 -0.00000153

Хз 0.80311935 -0.00000190 1.00119655 0.00000245

Х^ 0.80311738 0.00000007 -1.00118837 -0.00001062

Х5 0.79344178 -0.00000423 1.53883194 0.00000802

Хб 0.79343545 0.00000210 -1.53883782 -0.00000213

Х? 0.78834470 0.00000251 2.07400603 0.00000278

Х8 0.78834827 -0.00000105 -2.07401399 0.00000517

Х9 0.78576673 0.00000148 2.60803593 0.00000098

Х10 0.78577084 -0.00000262 -2.60804603 0.00000911

Также при помощи Д / -алгоритма был установлен единственный вещественный корень уравнения: х1 1 = - 0. 7849 72 05 . . . .

1.2.2. Решение бесконечных систем линейных алгебраических уравнений

Решения СЛАУ в общем виде задаются формулами Крамера, т. е. отношением определителей. Следовательно, решения СЛАУ представляются рациональными функциями.

К определению значений бесконечных последовательностей, элементы которой генерируются дробно-рациональными функциями, свелась задача решения бесконечных систем линейных алгебраических уравнений (БСЛАУ) [13 - 15].

Процесс нахождения решения бесконечных систем линейных алгебраических уравнений при помощи -алгоритма состоит из двух этапов.

Рассмотрим БСЛАУ

АХ = В,

(13)

А =

X = [ х2, Х3,..., хп,...] ,

V • ......../

В = [¿1,Ь2,Ьз,...,ьп,...]т, где А - матрица вещественных коэффициентов, Х - вектор искомых решений, В -правая часть системы линейных алгебраических уравнений.

Для того чтобы узнать, "расходится" данная система или нет, решаем одним из классических методов подсистемы смежных порядков, например, порядков 2, 3, 4,... , и строим последовательности, состоящие из их решений, т.е. последовательности вида

{Х ',х( ',...,Х ' {

{Х(2), х,(3), Х(4),

-Н

{

г(») ¥(я + () ¥(»+2)

Хп , Хп , Хп ,

-(т)

}.....

(14)

Если каждая последовательность стремится к некоторому "своему" пределу с ростом размерности т системы, то последовательность корней {х{т ^ ,х!,т),х^, .. .,х^т)}, т ^ да, будет являться искомым решением рассматриваемой БСЛАУ. В случае если пределы последовательностей (14) отсутствуют, требуется использовать уже рассмотренный выше ./ф-алгоритм, что составляет следующий этап решения расходящихся БСЛАУ. Следует отметить, что при решении расходящихся СЛАУ т >> п, что обусловлено .ф-алгоритмом, требующим для определения комплексного числа большого количества вещественных «подходящих дробей». Этот алгоритм позволяет использовать полученные в общем случае "по Гауссу" вещественные решения расширяющейся системы (13) для получения комплексных решений исходной системы, если они имеются.

При решении расходящихся БСЛАУ модуль гр комплексного корня хр находится по формуле

г = Нш

р = 1, 2,

(15)

где - значение вещественной неизвестной , полученное "стандартным"

алгоритмом решения СЛАУ размерности т.

Модуль аргумента фр комплексного корня хр БСЛАУ определяется следующим образом:

к(т)

\ф\ — п Нш—, (16)

количество отрицательных значений , полученных "стандартным"

где

(ГП)

алгоритмом решения СЛАУ из общего количества т значений , найденных из расширяющейся системы.

1.3. Каскадный R/ф-алгоритм определения значений бесконечных последовательностей

Если значение бесконечной последовательности {Хп} не устанавливается .ф-алгоритмом, т. е. алгоритмом, описываемым формулами (5) и (6), то по вещественной последовательности {хи} строится связанная с {хп } последовательность вещественных

«подходящих дробей» {ри / Gи , порождаемая рациональной функцией.

2

п

Алгоритм определения значений бесконечных последовательностей \хп} через построение по исходным последовательностям \хп} последовательнос-тей

/ Сп , порождаемыми дробно-рациональными функциями, будем называть каскадным Шф-алгоритмом, который формулируется следующим образом:

Бесконечная последовательность вещественных «подходящих дробей» / Сп ,

полученная по исходной расходящейся последовательности }, сходится и имеет

n J

Po

своим значением в общем случае комплексное число z = r0e"0, если существуют пределы, устанавливаемые R/ф-алгоритмом, т. е. имеют место пределы:

Г = lim n f\\Fn / Gn\,

"0| = n lim —,

n^: n

где Fn / G - значение n-й «подходящей дроби»,

kn - количество «подходящих дробей» Fn / Gn, имеющих отрицательные значения из совокупности, включающей n «подходящих дробей», последовательности

f / Gn }:=!.

В каскадном Л/ф-алгоритме значение исходной бесконечной последовательности {х„ } устанавливается в два этапа. На первом этапе по исходной последовательности

{xn }, которая не суммируется Л/ф-алгоритмом, строится соответствующая {xn} последовательность подходящих дробей {Fn / Gn}, предел которой находится по формулам (5) и (6).

Проще всего разъяснить смысл каскадного Л/ф-алгоритма на примере суммирования расходящихся рядов.

1.3.1. Суммирование рядов методом цепных дробей

В литературе по цепным дробям давно отмечено [16], что медленно сходящиеся и даже расходящиеся ряды могут быть просуммированы путём преобразования этих рядов в цепные дроби.

Пусть последовательность {xn} ^ составляется из частичных сумм ряда, т. е. имеется последовательность {sn . Для расходящихся рядов последовательность

частичных сумм {sn}: не суммируется Л/ф-алгоритмом непосредственно. Однако,

если известен ряд, то преобразовав этот ряд в соответствующую цепную дробь,

получим новую бесконечную последовательность {Pn / Qn } ^, которая есть ничто

иное, как последовательность подходящих цепной дроби, значение которой может быть найдено г/ф-алгоритмом.

Определим суммирование рядов через цепные дроби [17]:

Степенной ряд

c0 + cx + c2x2 +... + cnxn +... (17)

сходится к значению соответствующей этому ряду цепной дроби

1 - 1 + 1 -... + 1 - 1 +...

(18)

которая является производящей функцией, порождающей этот ряд. Коэффициенты соответствующей цепной дроби (18) и степенного ряда (17) связанны соотношениями Хейлерманна - Стилтьеса [18]:

„ _ 'Рп 1 -¥п+1

Ш2п = ,

рп

где и - определители Ганкеля:

¥„ =

Рп+1 -¥п Рп • ¥п+1

(19)

Ро =1 ¥х =1. Числовой ряд

Со + С1 + с2 + ... + сп + ...

суммируется значением цепной дроби (18) при х = 1 .

Вместо формул Хейлерманна - Стилтьеса (19) часто используется более экономичный рекуррентный алгоритм Рутисхаузера. Этот алгоритм формулируется следующим образом:

Для ряда

2 3 п

О* 00 "I- ОС10 X "I- ОС11X "I- ОС12 X "I- • • • "I- ОС| ^ | X "I- • • •

коэффициенты апо соответствующей цепной дроби.

(20)

а + -

^оо '

1-1 + 1-1 + 1 -...- 1

+

1 -.

находятся по рекуррентным формулам:

а

а

аЪу = - а2у+\ + а2*

а

аА —

а

(21)

а5,у = а3л+\ - а4,+ + а4.

а х

а о +

с

с

с

2

с

с

с

с с ,

п п+1

с

с с ,

п п+1

с

2п-1

2п-2

а2.* =

а2п + ¡.V = а2п _ ¡.V + 1 - а2пу + 1 + а2пу . (22)

Таким образом, проблема сходимости степенных рядов может быть сведена к проблеме сходимости цепных дробей. Вместо определения значений

/ Xю

последовательности {£п} ^, где £п - частичные суммы ряда, устанавливается значение последовательности подходящих дробей, соответствующей цепной дроби,

а =

2 п.*

а2п-1.*

построенной по исходному ряду, причем, определение значения последовательности

\Рп / Оп }Г=1 осуществляется

г/ф-алгоритмом.

Здесь следует сделать одно замечание. Исходный ряд должен быть преобразован именно в, так называемую, соответствующую цепную дробь, в частности, по формулам (19) или (22), что гарантирует рациональность подходящих дробей. Если же по ряду построить равноценную, т. е. эквивалентную цепную дробь, то такая «цепная дробь» своими подходящими имеет как раз частичные суммы исходного ряда и их, разумеется, нельзя использовать для суммирования расходящихся рядов.

Пример 3.

Рассмотрим расходящийся ряд Эйлера.

1 + 1!х + 2! х2 + 3!х3 + 4! х4 +... + п! хп +.... (23)

Сходимость ряда (23) будем рассматривать через сходимость соответствующей этому степенному ряду цепную дробь. Найдем соответствующую цепную дробь. Для ряда (23) можно записать:

С = 1, = 1, С = 2, = 6, с = 24, с = 120, с7 = 720,... .

По формулам (19), связывающим коэффициенты ряда и соответствующей цепной дроби, получим

< = 1, <о2 = 1, <=-2, < = 2, <<=-3, < = 3, <<=-4,... .

Подставляя эти коэффициенты в каноническую запись цепной дроби (18), получим

соответствующую ряду (23) цепную дробь:

111 ^|2-чз 114 |П 1 х х 2х 2х пх пх

1+1!х+2!х + 3!х + 4!х +...+п!хп +... = - - - — — — — . (24)

1 - 1 - 1 - 1 - 1 -... - 1 - 1 -... v '

В частном случае при х = 1 имеем:

п п

(25)

1 +1!+ 2!+ 3!+... + п!+... =1 1 1 2 2 - -

1 -1 -1 - 1 - 1 -... - 1 - 1 -...

Используя г/ф-алгоритм, можно найти значение расходящейся в классическом смысле цепной дроби (25). В табл. 5 приведены результаты определения значения цепной дроби (25).

Таблица 5. Нахождение значения «расходящейся» цепной дроби

Ш(\) = е{ 1 112 2 3 3 п п 1 = Е(1) = 3.66893389ег1 0280017; Ц -1-1- 1 - 1 -1 -1 -...- 1 - 1 -...)

г0 = 3.66893389..., ф„ = 1.02800173....

0

Номер Значения Значения Погреш Значения Погреш ность,

звена дроби подходящей дроби модуля, гп ность, В = \Г0 - Гп\ аргумента, Фп Вф =ф0 -Фп|

4 5.43656365 3.23260009 0.43633380 0.00000000 1.02800173

6 1.08731273 3.84423102 0.17529713 0.39269908 0.63530265

16 1.26199375 4.12365173 0.44717838 0.78539816 0.24260357

32 -3.22229391 3.21557146 0.45336243 0.88357293 0.14442880

64 -5.44198600 3.40441763 0.26451626 0.98174770 0.04625403

128 3.40902451 3.44911711 0.21981677 1.03063508 0.00283335

256 2.26696092 3.60976107 0.05917282 1.04310693 0.01510519

512 2.46414684 3.65055907 0.01837481 1.04310693 0.01510519

1024 1.67450019 3.69927410 0.03034020 1.02163120 0.00637053

32768 -1.02199219 3.66736597 0.00156791 1.02728775 0.00071397

65536 1.98286910 3.67009386 0.00115907 1.02968460 0.00168286

131072 5.57106207 3.66798677 0.00094711 1.02721585 0.00078588

Можно построить соответствующую цепную дробь, используя не ряд, а значения элементов суммируемой последовательности |хи}, когда непосредственно предел этой последовательности Л/ф-алгоритмом не устанавливается.

1.3.2. Построение соответствующих цепных дробей по элементам последовательности

Если имеется последовательность частичных сумм ряда

к}и=1 • = s2, S3sn

то автоматически восстанавливаются коэффициенты ряда, порождающего эту последовательность:

к + (s2 -si) + (s3 -s2) + •••+ (sn --Vi) + ••• = C1 + C2 + c3 + ••• + Cn + •••• (26)

Преобразовав ряд (26) в соответствующею цепную дробь по формулам Хейлерманна - Стилтьеса (19) или по формулам Рутисхаузера (22), получаем новую

последовательность, состоящую из подходящих дробей / Qn , установить значение которой, т.е. найти lim P / Q , можно, используя r/ф-алгоритм. В этом

- п ' п

методе суммирования последовательности {>п }и1, как и в методе, рассмотренном

ранее, определение предела выполняется не непосредственно К/ф-алгоритмом, а через построение соответствующей ряду цепной дроби, т.е. используется каскадный К/ф-алгоритм.

Рассмотрим метод решения СЛАУ, базирующийся на классическом итерационном алгоритме решения СЛАУ, а именно, на алгоритме Якоби, или методе простых итераций. В этом методе суммирование рядов, которые строились для каждой

г(к)

неизвестной по значениям , получаемых в процессе итераций, производилось через построение для этих рядов соответствующих цепных дробей. Этот метод решения СЛАУ в [19] назван методом цепных дробей. Пусть имеется система стандартного вида

Ах = Ь, (27)

где А = (а^ ). - матрица пхп, х = (х1,...,хп)Т и Ь = (Ь},...Ьп)Т.

Система (27) преобразовывается к виду, соответствующему методу простых итераций

х(к+1) = Бх(к) + с, к = 0,1,2,... ,

где х - вектор неизвестных, В и с - некоторые новые матрица и вектор, соответственно.

Можно считать значения итераций каждой неизвестной х{ частичными суммами ряда, который сходится, когда сходится итерационный процесс, и расходится, - в противном случае. Зная частичные суммы ряда, легко найти элементы ряда, первый

из которых будет равен р(о) = х(о), а последующие р(к) = х(к) - х(к-1), то есть можно рассматривать ряд

р(о) + pf)+ р(2)+... + р(к) +.... (28)

частичная к - я сумма которого совпадает со значением х(к). Ряд (28) может сходиться медленно и даже расходиться. Для суммирования ряда (28) будем использовать соответствующие цепные дроби. После того, как найдены коэффициенты соответствующей цепной дроби, можно просуммировать ряд (28), то

есть для каждого х_1 получим его значение.

Записывая ряд (28) и соответствующую ряду цепную дробь в модифицированных обозначениях, получим:

х,. = + а(.'° + а^ + + ... + «к +... =

«') «') «') «') «') (29)

— а.(') + ° ,° а3,0 а2и ,0 а2и+1,0

= а°'° 1 - 1 + 1 "... - 1 + 1 ".... Коэффициенты непрерывной дроби (29) находятся по рекуррентным формулам Рутисхаузера (22). Этот метод решения даёт возможность находить комплексные корни систем, имеющих вещественные матрицы. Заключение

Предложенные алгоритмы позволяют определять значения расходящихся в классическом смысле бесконечных последовательностей. Оказалось, что бесконечные последовательности с вещественными элементами могут иметь как вещественные, так и комплексные значения.

Последовательности, порождаемые дробно-рациональными функциями, в

частности, последовательности подходящих непрерывных дробей jp / Qn , будем

называть «последовательностями 1-го рода». Последовательности, не связанные с дробно-рациональными функциями, к которым относятся, в частности,

последовательности частичных сумм рядов {sn , будем называть,

«последовательностями 2-го рода». Следует отметить, что именно последовательности первого рода, составленные из вещественных элементов, могут иметь комплексные значения.

R/q-алгоритм позволил решить ряд важных задач, в частности, установить, что БСЛАУ с вещественными матрицами могут иметь, в зависимости от коэффициентов матриц, комплексные решения и дал способ нахождения этих решений [20]. Это проясняет ситуацию с расходящимися разностными схемами.

Насколько известно, в литературе до сих пор не рассматривалась возможность комплексных решений СЛАУ и БСЛАУ, имеющих вещественные матрицы. Очевидно, что без учёта комплексных решений попытки создания общей теории БСЛАУ, которые ведутся уже более полутора веков [21], заведомо обречены на неудачу.

Суть r/ф-алгоритма, как и его обобщений, состоит в замене бесконечного осциллирующего процесса, представленного вещественными «подходящими дробями», комплексным числом, модуль и аргумент которого находятся этими алгоритмами [22].

На r/^-алгоритм, как и его обобщения, следует смотреть как на инструменты Анализа, которые, правда, пока несколько выбиваются из классических рамок. Будем исходить из того, что со временем эти алгоритмы, постоянно расширяя сферы своего применения, перейдут из разряда «парадоксальных» в разряд «стандартные».

Список литературы /References

1. Бесов О.В. Лекции по математическому анализу. Ч. 1. М.: МФТИ, 2004. 327 с.

2. Шмойлов В.И. Суммирование расходящихся цепных дробей. Львов: ИППММ НАН Украины, 1997. 23 с.

3. Шмойлов В.И., Слобода М.З. Расходящиеся непрерывные дроби. Львов: Меркатор, 1999. 820 с.

4. Шмойлов В.И. Непрерывные дроби. В 3 т. Том 1. Периодические непрерывные дроби. Нац. акад. наук Украины, Ин-т приклад. проблем механики и математики, Львов, 2004. 645 с.

5. Шмойлов B.И. Непрерывные дроби. В 3 т. Том 2. Расходящиеся непрерывные дроби. Нац. акад. наук Украины, Ин-т приклад. проблем механики и математики, Львов, 2004. 558 с.

6. Кириченко Г.А., Шмойлов B^. Алгоритм суммирования расходящихся непрерывных дробей и некоторые его применения. // Журнал вычислительной математики и математической физики, 2015. Т. 55. № 4. С. 559-572.

7. Шмойлов B.И. Непрерывные дроби и г/-алгоритм. Таганрог: Изд-во ТТИ ЮФУ, 2012. 608 с.

S. Козлов B.B. Об одной формуле суммирования расходящихся непреры-вных дробей. // Докл. РАН. Том 474. Номер 4, 2017. С. 410-412.

9. Джоунс У., Трон B. Непрерывные дроби. Аналитическая теория и приложения. Пер. с англ. М.: Мир, 1985. 414 с.

1Ö.Aitken A. On Bernoulli's numerical solution of algebraic equations. Proc. Roy. Soc., Edinburgh, Ser. A, 4б (1925/2б). 2S9-3Ö5.

11. Шмойлов B.И. Решение алгебраических уравнений при помощи гф-алгоритма. Таганрог: Изд-во ТТИ ЮФУ, 2Ö11. 33Ö с.

12. Рутисхаузер Г. Алгоритм частных и рахностей. М.: ИИЛ, 1960. 93 с.

13. Шмойлов B^. Расходящиеся системы линейных алгебраических уравнений. Таганрог: Изд-во ТТИ ЮФУ, 2010. 205 с.

14. Шмойлов B.И., Коровин Я.С. Непрерывные дроби. Библиографический указатель. Ростов-на-Дону: Изд-во ЮФУ, 2017. 382 с.

15. Шмойлов B.И., Коровин Я.С., Иванов Д.Я. Решение расходящихся систем линейных алгебраических уравнений. // Вестник науки и образования. № 9 (45), 2Ö1S. С. 18-3Ö.

16. Шмойлов B.И. Непрерывные дроби. В 3 т. Том 3. Из истории непрерывных дробей. Нац. акад. наук Украины, Ин-т приклад. проблем механики и математики, Львов, 2004. 520 с.

17. Шмойлов B.И. Определение значений расходящихся цепных дробей и рядов. Львов: ИППММ НАН Украины, 1997. 70 с.

1S. Шмойлов B.И., Коровин Я.С. Иванов Д.Я. Непрерывные дроби и суммирование рядов. Ростов-на-Дону: Изд-во ЮФУ, 2018. 524 с.

19. Шмойлов B.И., Коровин Я. С. Решение систем линейных алгебраических уравнений непрерывными дробями. Ростов-на-Дону: Изд-во ЮФУ, 2017. 383 с.

2Ö. Шмойлов B.И., Коровин Я.С., Иванов Д.Я. Алгоритмы определения комплексных решений БСЛАУ с трёхдиагональной матрицей. // Вестник науки и образования. № 9 (45), 2Ö1S. С. 6-1S.

21. Фёдоров B.M. Бесконечные системы линейных алгебраических уравнений и их приложения. Новосибирск: Наука, 2011. 311 с.

22. Шмойлов B.И. Коровин Я.С. Пределы Никипорца и некоторые их приложения. // Вестник науки и образования. № 13 (49), 2018. С. 6-2Ö.