Формулировка уравнений двумерной теории упругости в виде краевой задачи для системы Коши-Римана Текст научной статьи по специальности «Математика»

гревается заметнее и в большей степени в результате соударения поршня, штанги и буксы механизма. Температурное поле поверхности задней и передней частей молотка одномерное, а в зоне выхлопных окон двумерное:

=(х,у,т),

где х, у - координаты точек; т - время работы механизма. При одномерном поле сИ/йу=0. Таким образом, экспериментально установлено, что в пнев-моударном механизме существует отвод тепла от рабочего тела в атмосферу.

Рис. 8. Расчетное изменение удельной внутренней энергии воздуха: а) задняя; б) передняя камера

Характер изменения удельной энергии воздуха в камерах виден из рассчитанных по эксперимен-

тальным данным зависимостей (рис. 8). Нижняя ветвь диаграммы характеризует изменение энергии рабочего тела в период уменьшения объема рабочей камеры, а верхняя - при увеличении объема камеры. Из представленных зависимостей следует, что удельная энергия воздуха уменьшается при увеличении объёмов камер.

Заключение

В пневмоударном механизме происходит механическое, тепловое и массоэнергообменное взаимодействие рабочего тела в камерах с внешней средой. Выявлены закономерности изменения параметров рабочих процессов. Установлено, что в камерах протекают процессы с разными показателями политропы. Определены значения показателей термодинамического процесса и относительного энергообмена, что позволяет более обоснованно проводить расчет пневмоударных механизмов.

Доказана возможность создания пневмоудар-ного механизма с низким абсолютным и удельным расходом сжатого воздуха. Показано, что низкий удельный расход воздуха достигнут благодаря применению двух автономных распределительных органов с командными каналами. Особенностями цикла работы созданного механизма являются: отсечка рабочих камер от сети к моменту открытия выхлопного окна, использование внутренней энергии воздуха, максимальное давление газа в задней камере выше сетевого, ассиметрия фаз распределения энергоносителя по камерам, довольно низкое предвыхлопное давление рабочего тела.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 2. Мамонтов М.А. Основы термодинамики тела переменной мас-

1. А.с. 575416 СССР. МКИ Е21С 3/24. Устройство ударного дей- сьг - Тула: Тульское книжное изд"во’ 197(1 - 97 с.

ствия / В.И. Бабуров, А.Н. Глазов, А.Н. Шайтаров, Е.А. Шапо- 3. Горбунов В.Ф., Глазов А.Н., Бабуров В.И. О нагреве пневмати-

валов. - Опубл. в Б.И., 1977, № 10. ческих молотков // Гигиена и санитария. - 1976. - № 8. - С. 109.

УДК 539.3

ФОРМУЛИРОВКА УРАВНЕНИЙ ДВУМЕРНОЙ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ В ВИДЕ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ СИСТЕМЫ КОШИ-РИМАНА

А.А. Светашков, А.В. Махов

Томский политехнический университет E-mail: [email protected], [email protected]

Использованы соотношения между собственными векторами системы уравнений плоской задачи теории упругости в перемещениях. Получена новая формулировка краевой задачи теории упругости в случае заданных на границе напряжений в виде задачи Дирихле для уравнений равновесия в виде системы дифференциальных уравнений первого порядка - системы Коши-Римана.

Введение

Классическая постановка плоской задачи теории упругости, как известно [1, 2], включает в себя уравнения равновесия в перемещениях или в напряжениях (Лямэ и Бельтрами-Мичелла), предста-

вляющих собой системы дифференциальных уравнений в частных производных второго порядка, плюс соответствующие граничные условия. Между тем хорошо известна другая формулировка системы уравнений равновесия, которая в отличие от систем

дифференциальных уравнений Лямэ и Бельтра-ми-Мичелла, имеет первый порядок. В отсутствие объёмных сил данная система записывается как:

1 + X

-ар = Ха2а,

2

1 + 1 2

d2в = -1dm .

(1)

Здесь х,у - декартовы координаты; с1а,а=\,2 -сокращённая запись операций дифференцирования

а, .А, а2 .А,

дх

ду

в = а1и +а2у, а = 2 (аV - а2и),

ы=ы(х,у),у=у(х,у) - компоненты вектора перемещений, Я=1-2у, где V - коэффициент Пуассона. Очевидно, что для функций £а(х,у),а=1,2:

1 + Х в Х

г, =----в, г. = Ха

1 2 2

система (1) есть система уравнений Коши-Римана относительно двух гармонически-сопряжённых функций [3].

Однако формулировка уравнений равновесия плоской задачи теории упругости в виде системы (1) практически не используется в упругих расчётах, поскольку не известны граничные условия для функций в(х,у),а(х,у), входящих в (1), а также не известны выражения компонент тензора напряжений и вектора перемещений через указанные функции.

Математический аппарат определения собственных значений и собственных векторов матрицы системы дифференциальных уравнений равновесия плоской задачи теории упругости в перемещениях, предложенный в [4], позволяет восполнить данный пробел.

1. Следствия из соотношений для собственных векторов плоской задачи теории упругости

Согласно [4], собственные векторы <-(«) и У(щ,¥г) плоской задачи удовлетворяют уравнениям

а1<1 + ё2<2 = С,,

а^2 - а2щ = С2. (2)

Здесь Са - некоторые константы. С учётом связи компонент <-,1- и компонент вектора у (у1,у2), удовлетворяющего уравнению Лапласа,

Уа = Х<а + (1 + Х)¥а> а= 1,2>

и разложения вектора перемещений по собственным векторам

и =< +у„ V = <2 +\у2

получаем, что

1^ = У1 -Хи,^2 = У2 -XV,

< = (1 + 1)и - У„ <2 =(1 + Х)v - У2- (3)

Тогда систему (2) можно переписать:

dl У1 + d 2 у2 = (1 + 1)0- C1,

d1 у2 - d2у1 = 1(d1v - d2u) + C2 = 21т + C2. (4)

Из соотношений для собственных векторов плоской задачи теории упругости в форме (2-4) вытекают некоторые важные для дальнейших рассуждений следствия.

Следствие 1. Напряжения равны первым производным от компонент собственного вектора —(% щ).

Для доказательства запишем соотношения закона Гука в виде зависимостей напряжений от первых производных перемещений. Предварительно, для удобства выкладок, умножим компоненты тензора напряжений и компоненты внешних нагрузок на множитель 1/ G, где G - модуль сдвига, т.е. будем использовать a'x=ax1/G, a’=ay1/G, r'xy=rxy1/G. В дальнейшем штрихи отбросим, тогда ох =0 +1(d1u - d2v), ay = 0-1 (d1u - d2v),

Txy =1(dlV + d2u). (5)

С учётом (4) получим:

ax = d1 y1 + d2y2 - 21d2v + C1, ay = d1 y1 + d2 y2 - 21d1u + C1, t y = 21d2u + d1 y2 - d2y1 - C2 =

= 21d1v + d2 y1 - d1 y2 + C2. (6)

В силу гармоничности ya, выполняются соотношения

d1 У1 = d2 У 2 + N1, d2 У1 =-diy2 +N2,

где N1, N2 - константы интегрирования.

Подставляя последние соотношения в (6), получим с учётом (3) искомое утверждение

ах = 2d2 (у2 - 1v) + C1 = 2d2y2 + C1,

ay = 2d1 (y1 - 1u) + C1 = 2 d1y1 + C1,

Txy = ~2d2(У1 -1u) -C2 = -2di(y2 -1v) + C2 =

= -2 d2y1 -C2 = -2 d^2 + C2. (7)

Заметим, что подстановка (7) в уравнения равновесия в напряжениях обращает последние в тождества.

Следствие 2. Компоненты вектора щ на границе равны контурным интегралам от внешних нагрузок.

Рассмотрим граничные условия в напряжениях, которые, как известно, имеют вид:

°xl +Txym = Xn ,

°уШ + Txyl = Yn .

Здесь Xn, Yn - заданные граничные нагрузки, l, m - косинусы углов, которые образует внешняя нормаль к граничному контуру с осями x, y:

l = cos( n, x) = —,

ds

m = cos( n, y) = - —.

ds

(8)

Подставим в уравнения граничных условий соотношения (7), тогда:

2(1а2 -шйх)у2 + С11 + С2т = Xп,

2(тйх - М2 )у1 + Ст - С21 = Уп.

Оператор, стоящий в круглых скобках, есть производная по дуге 5

— . М~ - та., ds 2 1

поэтому 2—Цг = Хп-С + Ст).

-2 Щ = Y - C,m + CJ.

ds

Отсюда, интегрируя по дуге s, находим:

1 M

Щ = — [ (X - C1l - C2m)ds + A,

2 N — M

= — [ (-Yn + C1m - C2l)ds + B.

'У J

Щ

Здесь И, М - произвольные точки на контуре, А, В - константы.

Подставляя в (7), получим:

д м

а х = — Г (Хп - С1 - С2т)ая + С1,

гк> з

ду

д

ау = дУ i(-Y, + Cim - C2l ')ds + C1-дУЪ

Ту = -—J—+Cm-Cl )ds-C2 =

dyN

д M

= -— J (X, -Cl -C2m)ds +C2.

dx N

Два аналитических выражения для касательного напряжения тождественны при любых Cb C2. Для доказательства достаточно использовать равенство

J div F„ds =\(— + — 1 ds = 0,

J 3{ дх ду)

где Fn=Fn(Xn, Yn) - вектор поверхностной нагрузки.

С учётом соотношений (8) граничные значения напряжений преобразуются к виду:

д м

а = — I X ds,

х дуJ и

д

СТу дх

j

M ^ M

j Ynds = - — j Xnds. (9)

T = -

xy ^ I n

ду N дх

Легко убедиться, что подстановка (9) в уравнения равновесия в напряжениях

+ d2Txy = 0.

d2°y + dTxy = °-

обращает последние в тождества.

Таким образом, граничные значения напряжений зависят только от внешних нагрузок.

2. Выражения собственных векторов через перемещения

Найдём решение системы (4), переписав её с учётом (3) в виде:

d^ + d2y2 = в - Cx,

d^2 - d2yx = C2. (10)

Используем

lia n

(11)

Тогда решение (10) в форме Лява [1] будет иметь

вид:

Щ Щ =

— л, ч / C + C2

d—(xyi)- (x + y) 1 2

1 + 1 1

d2( xy—) + ( x + y)

1 + 1

Учитывая (3) получаем: 1

2

C - C

2 M

2

C1 + C2

(12)

lu = уi--—г d—(xyi) + (x + y) ,

1 +1 2

1 C - C

1v = y2--—г d 2( xy1) - ( x + y) \ '■

1 +1 2

(13)

Таким образом, перемещения выражаются через гармонические функции уа посредством (13).

3. Граничные условия для системы уравнений равновесия

Первое граничное условие для функции следует из закона Гука в форме (6). Имеем:

<ух +&У = 2С1 + 2( —1у1 + —2у2)-2Х(а1и + а.у)- (14)

Учитывая (4), получаем:

стх + а у = 2С1 + 2(1 + Х)в-2С1 - 2Хв= 2в. (15)

Следовательно,

в= \(а* +ау).

Или, принимая во внимание (9)

( д M

— j X dsj Yds

д^} n дx J n

дx ■

(16)

' V ^ ^ N )

Для определения второго граничного условия воспользуемся (4)

—ху2 - а2у1 = 2Ха + С2.

В силу гармоничности уа выполняется

d2У. =-dxy2 -N2.

Тогда получим

N — C

—d. y2 = d2 y. + N2 = —Ат +—^(17)

Далее выразим ту через т, используя соотношение Txy =-Щ^2 + C2 '

С учётом (12) находим

1 C — C

d,w2 =-d.d2( xy.) +—2-L.

12 1+ Х 1 2 1 2

Тогда

Txy 1 + 1

^2 (ХУх) -(С2 -С1) +С2 =

2

= --—- ёхё 2( хух)+сх.

1 + А

Выразим последнее соотношение через а посредством (17). Имеем

ёхё 2 (хух) = хё 2 Ух),

Ы2 — С2 N 2 + С2

ё2 ух = -Аа —N^2 +—2------- = -Аа------2-----.

I о N2 + C2 -x I Am +----------2-------2

Следовательно, d1d2( xy1) = d1

C2 + N 2

= -Ad, (xm)---2-----

1 2

Окончательно получаем для тху

2A N2+C

ту =------d, (xm) + C, +—2-----

x 1+ A 1 1

Рассмотрим

1+ A

1+ A

d 1(xm) = m + xd1m = m---------------xd26.

2A

(18)

(19)

Здесь учтено одно из уравнений системы (1). Сопоставляя (18 и 19), находим:

( х + А х + АС N2 + с2 х + Аа в

ах( ха) =-----т----------Сх---—- = а —— ха2в.

2A

2A

2A

Отсюда

2A

N2 + C2

m = 1+ A (т + xd26) + 1+ AC1 + 1'2 ' .

2A xy 2 2A 1 2A

Используя (9), получаем выражение для m=m(x,y) на границе:

m = -

' д 2 M ^ —г i Xnds -

1+ A x ду2 1 ” д M + — iYds

2A д2 M f Yds I dxdy I j 1

1 + A„ N2 + C2 +-----C +- 2 2

2A

2A

Заметим, что (20) можно переписать в другой форме, если использовать соотношение:

— I X ds + — I Y ds = 0.

dxJ n cyS n

Таким образом, функции 9,a>, удовлетворяющие в области системе уравнений (1), на границе полностью определяются через заданные нагрузки согласно (16, 20). Таким образом, для системы (1) краевая задача относительно в, о есть задача Дирихле.

4. Определение компонент

напряжённо-деформированного состояния

По найденным из решения краевой задачи, определяемой (1, 16 и 20), функциям в, а необходимо рассчитать компоненты напряжений и перемещений. Сначала найдём выражения функций уа через в, о. Для этого используем (11 и 17). Имеем:

dxyx = ~^в, d2yx = -Аа.

Следовательно,

yx = 1 +A Iedx-Ajmdy. (21)

Аналогичным образом получаем:

y2 = 1 + A \edy + A^dx. (22)

Интегралы в (21, 22) не зависят от пути интегрирования в силу условий Коши-Римана в виде системы (1).

Для определения перемещений используем (11, 12 и 17). Тогда получим:

А А X в Cx + C2

Au =-y. хв +—x--------2( x + y),

1+ A 1 2 2

Av = у 2 + тАа ха- °2^ °x (x + у I (23)

x + A 2

Для перемещений в форме (23) выполняются уравнения равновесия Лямэ.

Напряжения определим из закона Гука в форме (6), учитывая (11, 17 и 18):

2A

ax =-xd 2а + C2 = - xd£ + C2,

x x + A 22 x 2

ay = 2в + xdß - AC1 - C2,

2A A, ^ n Nx + C2 ту =-------- dx (xm) + C1 +—1----2

1+ A

1+ A

(24)

Найденные напряжения удовлетворяют уравнениям равновесия в напряжениях, в чём можно убедиться дифференцированием выражений (24) с учётом связи первых производных от в,а посредством системы уравнений равновесия (1).

Таким образом, все компоненты напряжённо-деформированного состояния выражены через в, а. Задача решена.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Ляв А. Математическая теория упругости. - М.-Л.: ОНТИ НКТП СССР, 1935. - 674 с.

2. Лейбензон Л.С. Краткий курс теории упругости. - М.-Л.: ОГИЗ ГТТЛ, 1942. - 304 с.

3. Лаврентьев М.А., Шабат Б.В. Методы теории функций комплексного переменного. - М.: Наука, 1965. - 716 с.

4. Светашков А.А. Собственные преобразования системы уравнений теории упругости // Известия вузов. Физика. - 2004. -№ 10. - С. 98-101.

УДК 622.24.05

МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРЕПЯТСТВИЯ ТИПА УПРУГОСТЬ-МАССА

А.П. Слистин

Юргинский технологический институт ТПУ E-mail: [email protected]

Установлены аналитические зависимости прохождения волн через препятствия, обладающие одновременно упругостью и массой. Получены численные результаты, имеющие хорошее совпадение с экспериментальными данными (ошибка <7 %).

Реальный ударный инструмент представляет собой совокупность последовательно расположенных конечных участков (штанг), имеющих в общем случае скачки площади поперечного сечения, сое динений штанг, их стыков. Любое изменение параметров ударного инструмента можно рассматривать как некоторое препятствие для распространяющейся волны.

Принимая во внимание возможность разложения произвольной волны в ряд Фурье, далее будет рассматриваться прохождение через препятствие простейших гармонических волн. Падение продольной волны на препятствие вызывает появление отраженной волны, бегущей навстречу падающей, и формирование волны за препятствием. В дальнейшем будем обозначать величины, относящиеся к участку ударного инструмента до препятствия индексом 1, а относящиеся к участку после препятствия индексом 2.

Пусть падающая на препятствие гармоническая

Dio = V • А„,

А„ = W • Du.

(2)

отраженная

волна имеет вид и1п=В1п-е‘ы-К11\ и1о=В1о-е1(а-К11), а сформированная за препятствием -и2п=В2п-е‘{а,-к2). Пусть зависимость продольной силы в падающей волне имеет вид Р1„=Д„-е‘(“'-К1г), в отраженной волне - Р1о=Б1о-е'{а-к1) и в прошедшей волне - Р1п=Вгп-е‘ы-К2). Тогда, принимая во внимание, что Р=Е8(ди/д1), амплитуды волн связаны соотношениями

Bi„ =-

iK1E1S1

, Bio =

D

iK1E1S1

, B2„ =-

D

iK2E2S2

, (1)

То есть знание амплитуды падающей на препятствие волны и коэффициентов отражения и прохождения дает возможность определить амплитуды отраженной и прошедшей волн. Основная задача, рассматриваемая в работе, заключается в отыскании коэффициентов отражения и прохождения по известным свойствам препятствия.

Границу раздела между участками, составляющих препятствие, будем считать резкой. Это не обязательно означает реальный скачок свойств в молекулярном масштабе; переход от свойств одного участка к свойствам другого, происходящий непрерывно в слое, тонком по сравнению с длиной волны, действует на волну, падающую на слой, так же, как и резкий скачок свойств. В качестве характерной толщины слоя можно взять величину А0. То есть для волн А>А слой толщиной А0 и менее можно считать резкой границей.

В монографиях [1, 2] рассмотрено влияние на распространение волн простейших типов препятствий.

где к- волновое число, Е - модуль Юнга, £ - площадь поперечного сечения.

Обозначим У=В1/Б1п - коэффициент отражения, Ж=Въ/Б1п - коэффициент прохождения. Отметим, что в практике расчетов находят применение коэффициенты прохождения и отражения по перемещению (скорости) и силе. В данном случае рассматриваются соответствующие коэффициенты по силе. Тогда

Рис. 1. Схема препятствия типа упругость-масса

При забивании труб в грунт удар бойком обычно наносится по пластине, прикрепленной тем или иным способом к торцу трубы. Из требований прочности пластина имеет значительную толщину и, следовательно, массу. Контакт боек-пластина обладает упругостью. Сама пластина под воздействием удара прогибается, что создает дополнительную упругость. Указанное взаимодействие