О решении плоских задач теории упругости с помощью диагонализованной системы уравнений равновесия Текст научной статьи по специальности «Физика»

Вычислительные технологии Том 12, № 3, 2007

О РЕШЕНИИ ПЛОСКИХ ЗАДАЧ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ С ПОМОЩЬЮ ДИАГОНАЛИЗОВАННОЙ СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ РАВНОВЕСИЯ

А. А. Светашков Томский политехнический университет, Россия e-mail: [email protected]

A method of diagonalization of the differential equations governing the 2D elastic equilibrium in strains is presented. The equivalence of the diagonalized differential equations of elastic equilibrium and the two Cauchi—Riman systems for harmonically connected functions is shown. In the case of the given strains at the boundaries, a set of the boundary conditions for the functions satisfying the Cauchi—Riman system is formulated. Some examples are presented.

Введение

Решение задач теории упругости как аналитическими, так и численными методами сопряжено с проблемой интегрирования системы дифференциальных уравнений в частных производных при заданных условиях на границе [1, 2]. В случае аппроксимации частных производных с помощью конечно-разностного или конечно-элементного метода и перехода к решению системы алгебраических линейных уравнений (СЛАУ) хорошо известны преимущества, которые дают преобразования матрицы СЛАУ, в частности, ее приведение к диагональному виду. Оказывается, что система дифференциальных уравнений равновесия теории упругости допускает приведение к диагональной форме [3, 4] на основе собственных преобразований в дифференциальном виде, минуя процедуру перехода к приближенной СЛАУ. При этом диагонализованная система в новых переменных имеет вид n независимых друг от друга уравнений Лапласа (или Пуассона при наличии объемных сил), где n — размерность решаемой задачи. Сведение к гармонической проблеме облегчает процедуру интегрирования и удовлетворения граничным условиям, поскольку аппарат решения краевых задач для уравнения Лапласа — один из наиболее разработанных в математической физике. Здесь следует назвать аналитические методы, включая методы теории функций комплексного переменного [5, 6], численные методы, в том числе методы конечных разностей, конечных элементов, граничных элементов, а также итерационные методы [7].

Полученный для статических задач теории упругости результат сведения проблемы интегрирования системы уравнений равновесия к трем (двум в плоском случае) уравнениям Лапласа для новых искомых функций является предсказуемым. Для динамических задач

© Институт вычислительных технологий Сибирского отделения Российской академии наук, 2007.

теории упругости [1, 8] хорошо известно, что система уравнений движения эквивалентна п волновым уравнениям относительно скалярного и векторного потенциалов. В этом смысле полученную диагонализованную систему уравнений равновесия (ДСУР) можно рассматривать в качестве статического аналога волновых уравнений динамической теории упругости, в которых отсутствуют инерционные члены.

Однако основной проблемой преобразований как статических, так и динамических задач теории упругости, является формулировка алгоритма, позволяющего решать краевую (или начальную) задачу в единых переменных и при интегрировании уравнений равновесия (движения), и при выполнении граничных условий.

1. Преобразование системы уравнений равновесия

Запишем систему уравнений равновесия (Ляме) в матричной форме [2]:

_ ( + АД \( и \ = ( рХ \

_ V ^ ¿2 + АД Д V ) V рУ ) '

Здесь и = и(и,^) — искомый вектор перемещений; р — плотность материала; ¿а, (а, в = 1, 2) — сокращенный символ операции дифференцирования:

¿1 _ т;— , ¿2 _ ^— , _ ——2 , = ——2 , ¿1^2

дх ду дх2 ду2 дхду

х, у — декартовы координаты; А — упругая константа: А =1 — 2^, где V — коэффициент Пуассона; Д — оператор Лапласа: Д = ¿2 + ¿2; X = ХА/С, У = УА/С, X, У — компоненты вектора объемных сил; С — модуль сдвига.

Формализм записи системы уравнений равновесия (СУР) в виде произведения симметричной матрицы А, составленной из операторов дифференцирования, на вектор перемещений и, распространим на другие операции линейной алгебры: определение собственных векторов и собственных значений. Формально полагая ¿а, Д алгебраическими символами, запишем характеристическое уравнение для матрицы А:

¿2 + АД — ц

+ АД — ц

О.

Раскрывая определитель, получаем

(¿1 + АД — ц) (¿2 + АД — ц) — ^2 = 0'

Учитывая + ¿2 = Д и приводя подобные, имеем квадратное уравнение относительно

ц:

ц2 — ц (2А + 1) Д + А (А + 1) Д2 = О.

Отсюда находим

Ц1 = АД, Ц2 = (1 + А) Д. (2)

Коэффициенты А, (1 + А) пропорциональны квадратам скоростей распространения поперечных и продольных волн в упругом теле. Действительно, квадрат скорости продольных волн есть [1]

С(

,2_ Л + 2С

р

где Л = — ) — постоянная Ляме. Имеем

Л + 2С = 2СТ—Ъ = л (1 + Л)-

Отсюда с учетом обозначений правой части системы (1) получаем искомое утверждение. Аналогично, для скорости поперечных волн имеем

с22 = л^ = Я

Лр р

Для каждого из найденных ^а (а = 1, 2) существуют собственные векторы ф((1, (2) и 0удовлетворяющие

А(а = = ЛД(а,

Афа = =(1 + Л)Д0а, а =1, 2. (3)

Подставляя (3) в (1), получим соотношения для компонент собственных векторов

¿1 (¿1(1 + ¿2(2) = 0,

¿2 (¿1^1 + ¿2(2) = 0; (4)

¿1 (¿102 — ¿201) = 0, ¿2 (¿102 — ¿201) = 0.

(5)

Отсюда следует

¿1(1 + ¿2(2 ¿102 — ¿201

С1, С2,

(6)

где Са — константы.

Рассмотрим разложение искомого вектора перемещений по собственным векторам

и = ф + 0,

и = (£1 + 01, V = (/92 + 02 -

Тогда получаем

Аи = А^ ф + ^ = Аф + Аф = ЛД ф +(1 + Л)Дф = Д

Обозначим новый искомый вектор-функцию у = У(уьу2) как

Лф +(1 + Л) 0

(7)

(8)

у = Л ф +(1 + Л) У1 = Л (1 + (1 + Л) 01,

У2 = Л (2 + (1 + Л) 02-

Следовательно, согласно (8), (9) получаем для новых искомых функций уа а = 1, 2, уравнения равновесия вида

Аи = Ду

Ду1 ДУ2

рХ Р^

(9)

Уа(х,У^ (10)

Связь новых переменных y«(x, y) с компонентами исходного вектора перемещений следует из (6), (7)

(1 + А)(diu + d2v) = Ci + diyi + d2y2,

A (div - d2u) = C2 + diy2 - d2yi. (11)

Из системы (11) с учетом (10) можно получить (1) путем поочередного дифференцирования уравнений (11) по x,y и последующего сложения и вычитания.

Таким образом, уравнения равновесия в новых переменных приобретают диагональный вид. При этом основная проблема реализации преимущества полученного диагонального вида — формулировка граничных условий в тех же переменных.

2. Связь разложения по собственным векторам с теоремой Гельмгольца

Согласно теореме разложения Гельмгольца [9], "для всякой конечной области V, ограниченной регулярной границей Г, в случае если в каждой точке X области V определены дивергенция и ротор поля F (X), то всюду F (X) может быть представлена в виде суммы безвихревого и соленоидального полей". Применительно к вектору перемещений u получаем

u = grad F + rot ü. (12)

Сопоставим (12) с разложением вектора u по собственным векторам (7). Для этого рассмотрим соотношения (5) для компонент собственного вектора ф, которые запишем в виде

d«div фф = Дф«, а =1, 2. (13)

Пусть ф является градиентом некоторой скалярной функции F:

ф = grad F,

ф« = d«F, а = 1,2. (14)

Покажем, что ф в форме (14) является решением (13). Действительно

d«div grad F = ДdaF = d^F, а = 1, 2.

Последнее справедливо в силу перестановочности операций d«, Д. Следовательно,

d« (div grad F - ДF) = 0, а = 1, 2.

В силу div grad = Д получаем тождество. Отсюда следует, что градиент скалярной функции F совпадает с собственным вектором ф, который соответствует собственному значению (1 + А) Д.

Рассмотрим далее однородную систему (4), которую перепишем в виде

dadiv ф =0, а = 1, 2. (15)

Решением системы (15) будет вектор

ф = rot ü

в силу

div ф = div rot оо = 0.

Следовательно, ротор векторной функции оо удовлетворяет тому же уравнению, что и собственный вектор ф, соответствующий собственному значению АД. Отсюда можно сделать вывод о тождественности разложений (7) и (12).

Диагонализованные уравнения равновесия (10) можно рассматривать в качестве статического аналога волновых уравнений динамической теории упругости.

3. Выражения собственных векторов через перемещения

Прежде всего рассмотрим выражения компонент собственных векторов р, ф через и и у. Из (7), (9) легко находим

ifi! = (1 + А) u - yi, ifi2 = (1 + А) v - У2, фг = yi - Аu, ^2 = У2 - Av.

(16)

Тогда систему (11) можно преобразовать к виду

¿хффх + ¿2*ф2 = в - СЬ

¿2ф1 - й\ф2 = —С2. (17)

Здесь в — объемная деформация

в = ¿1и + ¿2ь.

Для решения системы (17) относительно фа воспользуемся функцией Лява [1, 10]:

С = (1 + А) У вdx - 2Ау wdy,

П = (1 + А) У вdy + 2^шdx. (18)

Здесь ш = ш(х,у) — элементарное вращение:

2ш = ¿1ь - ¿2и. (19)

Функции С,П, входящие в (18), являются гармонически сопряженными и удовлетворяют системе Коши—Римана [6, 10]:

¿1С = ¿2П = (1 + А) в, -¿2С = ¿1п = 2Аш. (20)

Тогда с учетом (20) решение системы (17) может быть записано в следующем виде:

ф1 = 2(ТТА) с + 1 хв + ',

ф2 = - Т"+дХШ + ¿2/'. (21)

Здесь f' — произвольная гармоническая функция.

Пользуясь (16), можно выразить (11) и через компоненты собственного вектора ф:

1^2 - = 2ш,

1 + ^2 = 0- (22)

Тогда решение системы (22) с учетом (20) приобретает следующий вид:

¥>1 = - "¿Г®0 + 11^'

¥2 = 2ХП + хш + ^''- (23)

Здесь ^ — произвольная гармоническая функция. Перемещения «'V найдем согласно разложению (7):

и = + * = 2(ТТА«- ¿Лхв +11"" + л'

V = ¥2 + ^2 = + Т+Ахш + (2 (Г + Л - (24)

Найденные выражения перемещений (24) совпадают с точностью до обозначений с известным решением Лява [10], если принять f = f' +

Зная выражения = 1, 2, можно с использованием (9) найти выражения ком-

понент вектор-функции у, входящих в ДСУР (10):

У1 = " С + (1Л

У2 = 2 П + 12^ (25)

Заметим, что решение (25) можно получить и путем непосредственного интегрирования системы (11) относительно уа.

Докажем, что перемещения, определяемые по (24), удовлетворяют системе уравнений равновесия (1). Прежде всего покажем, что из (24) следует

11и + = в.

Для доказательства используем (20) и будем иметь:

1 1 ^ 1 ~ 1 -гг1

+ А) 11

11и = 2(ТТЛ)^ - 2Ав - 2Ах11в + l2f'

12v = 2Л + т+Л +^'

Складывая два последних выражения, приводя подобные, получаем с учетом Дf = 0:

х

11« + 12V = в + —--— [-(1 + А)110 + 2А^ш].

2А(1 + А)

Функции в, ш в отсутствие объемных сил удовлетворяют системе уравнений равновесия

11в = т-Лд12Ш'

12в = - Т2Лд11Ш' (26)

Отсюда получаем равенство нулю выражения в квадратной скобке. Точно таким же способом можно показать, что для перемещений из (24) выполняется

d\v — d2u = 2и.

Проверим выполнение первого уравнения равновесия (1) для случая отсутствия объемных сил. Имеем

Л — 2 1

d^u = di в — — xdi в,

2Л 2Л

diu =--d2w--- xd2e.

2 1 + Л 2 2Л 2

Отсюда получаем

д" =— 2лхДв + Л2Л2 die — ттл^-

Поскольку в — гармоническая функция, в силу (26) получаем

АДм = -d1в.

Последнее выражение совпадает с первым уравнением системы (1). Аналогично доказывается выполнение второго уравнения равновесия для перемещений, определяемых по (24).

4. Об эквивалентности диагонализованной системы уравнений равновесия и системы Коши—Римана

Докажем важное для дальнейших рассуждений утверждение.

Необходимым условием выполнения ДСУР (10) при отсутствии объемных сил являются условия гармонической сопряженности функций в,^ и к,х (справедливости систем Коши — Римана).

Для доказательства рассмотрим решение для уа(х,у) в виде (25). Первые производные от уа с учетом (18), (20) можно выразить через вторые производные от функции f:

dlУ1 - d2У2 = - d22) f, dl У1 + d2Уl = 2dld2f.

Обозначим

к = (di — d2) f = 2d?f = — 2d2f,

X = 2did2f. (27)

Функции к, x, как легко проверить, удовлетворяют системе Коши—Римана:

diK = —d2X,

d2K = d1x. (28)

Выразим первые производные от гармонической функции / через к, х:

¿1/ = J (¿1/¿ж + ¿у) = 2 У (к^х + Х^у) ,

¿2/ = J (¿1^2/+ ¿2/¿у) = 2 / — кйу) -

Подставим найденные выражения ¿а/ в соотношения (20), учтем также (18):

2у1 = I [(1 + Л)0 + к] ¿ж + У (—2Л^ + х) ¿у, 2у2 = J (2Л^ + х) ¿ж + У [(1 + Л)0 — к] ¿у. (29)

Интегралы (29) не зависят от пути интегрирования. Действительно, должно выполняться

¿2 [(1 + Л)0 + к] = ¿1 (—2Л^ + х) , ¿2 (2Л^ + х) = ¿1 [(1 + Л)0 — к)].

С учетом (26), (28) получаем справедливость данного утверждения. Теперь производные от уа можно записать как

¿1у1 = 1 [(1 + Л)0 + к] , ¿2у1 = 2 (—2Л^ + х) , ¿1у2 = 2 (2Л^ + х) , ¿2у2 = 1 [(1 + Л)0 — к] .

Тогда оператор Лапласа от функций уа будет иметь вид:

2Ду1 = ¿1 [(1 + Л)0 + к] + ¿2(—2Л^ + х) = 0, 2Ду2 = ¿1 (2Л^ + х) + ¿2 [(1 + Л)0 — к] = 0.

Равенство нулю правых частей следует из (26), (28). Утверждение доказано. □

Рассмотрим также вопрос о том, как преобразуется исходная система уравнений равновесия (1) на собственных векторах. Для этого докажем следующее утверждение.

Система дифференциальных уравнений в частных производных второго порядка (1) для собственных векторов ф, 0 преобразуется к системе дифференциальных уравнений первого порядка (26). Действительно, рассмотрим собственный вектор ф и его компоненты (а, определенные по (23). Согласно (3) имеем

А ф = ЛД ф.

Вычисляя оператор Лапласа от компонент ( а и учитывая гармоничность /, находим

— (1 + ЛН0

А ф = ^ 2Л^ Точно таким же способом рассчитаем

(1 + ЛН0

А0 = (1 + Л)Дф - , — ^

С учетом (26) можем записать

- 2А^2ш

А 1 2А^ш ( = / ^ +

Аф V (1 + А)^2в

Поскольку искомый вектор и есть сумма р, ф, получаем

ли = А (р + фф) = ( -22лА^++(1™ ) =0.

Здесь равенство нулю имеет место в силу (26). Утверждение доказано. □

Таким образом, представление решения системы (1) в виде разложения по собственным векторам понижает на единицу порядок дифференциальной системы уравнений. Здесь возможно провести некоторую аналогию с алгебраическими системами уравнений, в которых упрощение структуры алгебраической системы происходит при умножении матрицы на ее собственный вектор.

5. Следствия из соотношений для собственных векторов

Из соотношений для собственных векторов плоской задачи теории упругости в форме (17), (22) вытекают некоторые важные для дальнейших рассуждений следствия.

Следствие 1. Напряжения с точностью до производных от гармонической функции равны первым производным от компонент собственного вектора ф.

Для доказательства запишем соотношения закона Гука в виде зависимостей напряжений от первых производных перемещений. Предварительно, для удобства выкладок, умножим компоненты тензора напряжений и компоненты вектора граничных нагрузок Хп, УП на множитель А/С, т.е. будем использовать

' = А ' = А ' = А Х = АХ =

°х = °"х, = аУ, Тху = Г1 Тху, Хп = Г1 Хп, УП = ^ уп-

С С С С С

В дальнейшем штрихи опустим. Тогда закон Гука запишется в виде

ах = в + А(^1м - ¿2^),

аУ = в - А(^1 и - ¿2^), (30)

Тху = А(^ + ¿2«)-

Учитывая (11), получаем

^х = ¿1У1 + ¿2У2 - 2А^2^ + С1,

ау = ¿1у1 + ¿2у2 - 2А^1м + С1, (31)

Тху = 2А^2« + ¿1У2 - ¿2У1 - С2 = 2А^ - (¿1У2 - ¿2У1) + С2.

Теперь в соотношениях (31) для напряжений выделим производные от компонент собственного вектора —а, определенные согласно (16). Тогда соотношения закона Гука принимают следующий вид:

ах = 2^-2 + к + Сь

Оу = 2^1 — к + Сь (32)

Тху = — 24-01 + х — С2 = —2^102 + х + С2

Подстановка полученных выражений для напряжений в однородную систему уравнений равновесия

¿10х + ¿2 Тху = О, ¿20у + ¿1Тху = О

обращает последние в тождества.

Следствие 2. Граничные значения напряжений не зависят от функций к, х-Для доказательства рассмотрим граничные условия для напряжений, которые, как известно, имеют вид

ох1 + Тху т' ,

о у т + Тху / = У« (33)

Здесь Хп, У« — заданные на границе напряжения:

X _ А X V _ А у

/,т — косинусы углов, которые образует внешняя нормаль к граничному контуру:

/ = сов(п, х) = —, ао

т = сов(п,у) = — , (34)

ао

О — дуга граничного контура.

Подставим в уравнения (33) соотношения (32). Получим

2(/4 — т^)-2 = X« — /(к + С1) — т(х + С2), —2(1^2 — т^1)-1 = У« — т(—к + С1) — /(х — С2). (35)

Оператор, стоящий в левой части, есть производная по дуге О:

А = «2 — т*.

аО

Интегрируя (35) по О от 0 до О1, где О1 — произвольная точка на контуре, находим

2

-2 = 2 I (X™ — /к — тх — /С — тС^ ао,

о

1

—1 = 2 (-Кг - тк + ¿х + тС - /С^ dS.

2 _ о

Теперь, зная выражения для —можем найти напряжения согласно (32):

д Г ~ 5 /•

Ох = тт- XradS + к + С1 - — (/к + тх + /С + тС2) dS, ду У ду ]

оо

д Г ~ д [

Оу = -— - к + С1 + — (-тк + ¿х + тС - /С2) dS.

оо Воспользуемся соотношениями для направляющих косинусов (34) и перейдем от интегрирования по дуге к интегралам по х и у. В результате в последнем выражении слагаемые, не содержащие интегралов от поверхностных нагрузок, обращаются в ноль, и мы получаем

д Г ~ д Г ~

Ох = д^ у Оу = - — у (36)

оо Совершенно аналогично вычисляются два выражения для тху, определяемые по (32):

Гху = дУ / ^ = - дХ / (37)

оо

Равенство в (37) следует из условия равновесия на границе:

51 .

+ I dS = 0.

дх ду

Таким образом, напряжения в области согласно (32) зависят от пары сопряженно-гармонических функций к,х, а на границе определяются только значениями поверхностных напряжений.

6. Граничные условия для функций к, х

Ключевым моментом в построении решений плоской теории упругости с помощью ДСУР является формулировка граничных условий. В случае задания на границе области напряжений последние не зависят от пары сопряженно-гармонических функций, однако для расчета напряженного состояния в области согласно (32) необходимо определение к, х. При формулировке граничных условий для ДСУР возможны два варианта преобразований:

а) напряжения выражаются через функции уа = уа(х, у) согласно (21), (25), (32);

б) напряжения выражаются через функции в,^ с использованием (21), (32). В этом случае целесообразно использовать систему уравнений равновесия в виде (26).

В обоих случаях напряжения в области будут зависеть от к и х. Однако случай (б) более предпочтителен для реализации, поскольку компоненты напряженного состояния

будут в итоге зависеть от двух пар сопряженно-гармонических функций в,^ и к, х, удовлетворяющих системе Коши—Римана, тогда как в варианте (а) получаем зависимость от пары гармонических функций уа(ж, у) плюс две аналитические функции к, х- Использование в решении функций, удовлетворяющих системе Коши — Римана, позволяет отыскивать с точностью до константы сопряженную функцию по известной — путем вычисления интеграла, который не зависит от пути интегрирования.

Подставим выражения фа из (21) в соотношения закона Гука (32), используем (26), тогда

ох = —ж^в — к + С1,

оу = 2в + ж^в + к + С1, (38)

Тху = —т^г^ — ж^в — х + С2.

1 + А

Обозначим а = 2А/(1 + А), тогда система (26), записанная в виде

^2в = —(39) есть система Коши—Римана для функций в,а^. Из (38) имеем

в = 2(ах + Оу) + С1.

Из (36) получаем граничное условие для в = в(ж,у):

вг = 2(^2^х — ^Яу) + С1. (40)

Здесь обозначено

Ях = J Яу = J

о о

При известном из (36) значении напряжения ох на границе находим граничное условие для функции к = к (ж, у):

кг = — (4Ях + ж^в) + С1. (41)

Здесь производная ^1в вычисляется исходя из значения в на границе Г, определяемого по (40). Заметим, что из (40), (41) можно получить граничное условие для оу в виде (36). Рассмотрим граничное условие для тху (37). Имеем

а^(ж^) — х + С2 = ^2Яу = — ^1Ях. (42)

Третье граничное условие связывает функции а^ и х. Однако для определения двух пар сопряженно-гармонических функций в,^ и к, х достаточно двух граничных условий.

Действительно, в силу (39) имеем граничное представление для а^ в виде полного интеграла:

(х,у)

а^ = (—^^ж + ^^у). (43)

о

Используем (40) и получим

(х,у)

= J (—d2Rx + d1d2Ry) dx + (d1d2Rx — d2) dy.

о

В силу

dlRx = —d2Ry

имеем

(х,у) Яг

= J (—d2Rx — d2Ry) dx + (—d2Ry — d2Ry) dy = —Д ^ (Rxdx + Rydy). (44) оо

Функции к, х также удовлетворяют системе Коши—Римана, поэтому

( х,у)

X = J (d2кdx — d1кdy). (45)

о

Покажем, что х, определяемая по (45), удовлетворяет граничному условию (42). Для доказательства подставим в (45) значение функции к из (41):

(х,у)

X = J [— (d2Rx + xd1d2в)dx + + d1в + xd2в)dy] . (46)

о

Преобразуем сначала интеграл /1, содержащий производные от Rx:

(х,у) (х,у)

11 = d2 J (—d2Rxdx + d1Rxdy) = d2 J [(—d1Ry — 2в)dx — d2Rydy)] =

оо

(х,у)

= —d2Ry — 2^ d2вdx. (47)

о

Рассмотрим интеграл /2, содержащий производные от в, включая последнее слагаемое (47):

(х,у)

12 = J [xd1(—d2вdx + d1 вdy) + d1вdy — 2d2вdx] ,

о

с учетом (39) получаем

(х,у)

12 = а J (xd1dw + dw + d1wdx) = ^^^ о

Отсюда с учетом выражения для 11 находим

X = —d2Ry + ^^^

Последнее выражение совпадает с (42).

Функции 0,к,аш и х определяются через полные интегралы (40), (41), (43), (45). Рассмотрим, например, интеграл (45). Условие полного дифференциала для (46) записывается

—¿^¿2Ях + ^¿20) = ¿^¿^2 Лх + ¿10 + ж^2 0).

Или, приводя подобные:

2^10 + ¿3Дх + + ж^1Д0 = 0. (48)

Последнее слагаемое обращается в нуль в силу гармоничности 0. Преобразуем члены, содержащие Дх, используя (40):

¿3Л = ¿2(20 + ¿1^у).

Отсюда

¿3Л + ¿2 ¿2 Л = 2^20 + ¿1^Лу + ¿2 ¿2 Лх = 2^20 + ¿^(¿2^у + ¿1Лх) = 2^0.

Сумма производных в круглых скобках обращается в ноль в силу (37). Возвращаясь к (48), получаем искомое утверждение. Покажем, что интеграл (44) также не зависит от пути интегрирования. Условие полного дифференциала в этом случае записывается так:

Д^2Ях — = 0.

Преобразуем последнее равенство к следующему виду:

¿2(4Ях — ) + ^(¿2Лх — ) = ¿220 + ¿220 = 2Д0 = 0.

Последнее равенство выполняется в силу гармоничности 0. Заметим, что полученные условия полноты интегралов позволяют отыскивать сопряженные функции аш, х в любой внутренней точке упругого тела.

Легко видеть, что напряжения, определяемые с помощью (38) и граничных условий (40), (41), (44), не будут зависеть от упругих констант, и таким образом гарантируется выполнение известной теоремы Леви [10].

7. Использование функции напряжений

Решение Лява [1, 10] для плоской теории упругости кроме соотношений (18), (24), связывающих объемную деформацию 0 и вращение ш с перемещениями и,^, содержит также выражение для функции напряжений, которое запишем в виде

Ф = 1+-Л же + 2/. (49)

Здесь Ф — функция напряжений Эри, £ — определяется (18), / — произвольная гармоническая функция, через которую выражается к, х по (27).

Непосредственной проверкой, используя (38), можно убедиться в том, что напряжения связаны с Ф известными соотношениями [1, 10]:

ах = ¿2Ф, оу = ¿2Ф, тху = — ¿^2Ф. (50)

Связь с функцией напряжений можно использовать для формулировки других видов граничных условий (эквивалентных ранее найденным) относительно двух пар сопряженно-гармонических функций. Рассмотрим интегралы от напряжений с учетом

(49), (50):

У (охау — Тхуах) = 42Ф = —аж^ + 24/,

J (оуаж — Тхуёу) = 4Ф = + + 24/. (51)

При интегрировании учтено известное [11] условие о том, что однородная система уравнений равновесия в напряжениях служит условиями полного дифференциала для первых производных Ф. Последнее можно проверить по-другому, используя выражения правых частей (51). Действительно, из (51) имеем

(х,у)

Ф = У (—аж^ + 24/)йу + |ж© + + 24/^ аж.

о

Условие полного дифференциала

/ £

4(—аж^ + 24/) = 4 1 ж© + --- + 24/

1+А

выполняется в силу (28), (39). Используем теперь граничные условия для Ф, которые с точностью до констант можно представить в следующем виде [2]:

4Ф = Ях, 4Ф = — Д. (52)

Отсюда, в частности, следует

((х,у)

Фг = У (—Даж + длу).

о

Последний интеграл не зависит от пути интегрирования в силу

—4Ду = 4Дх.

С учетом (51), (52) сформулируем граничные условия вида

—аж^ + 24/ = Д 1

1 + А

ж© + —Ц- + 24 / = —Д. (53)

Легко убедиться, что найденные ранее выражения граничных условий получены дифференцированием (53). Первое уравнение (53) можно получить другим способом, учитывая (38). Действительно, преобразуем выражения ох,Тху к виду

ох = — аж4^ — к,

= аж^ (жш) — х

и, подставляя их в (33), получаем

а а^

Откуда

+ ттху = — — (ажш) — (/к + тх) = ХГ„

йх

—ажш = + У (/к + о

Учитывая (34) и представление функции 2^2/ через полный дифференциал

24/ = J (хаж — каУ),

о

получаем искомый результат. Второе уравнение (53) можно получить точно таким же способом.

8. Примеры решения простейших одномерных и двумерных задач

С использованием двух пар сопряженно-гармонических функций в, ш и к, х схема решения плоских задач теории упругости в напряжениях принимает следующий вид.

1. Граничная задача для в = в(ж,у) (задача Дирихле). Уравнение равновесия в области и граничное условие:

Дв = 0, вг = 2(4Ях — ).

2. Определение сопряженно-гармонической функции ш = ш(ж,у) по в(ж,у):

(х,у)

аш(ж, у) = J (—^2важ + ^вау) + с. о

Последнее соотношение справедливо для любой точки области.

3. Граничная задача для к = к(ж, у) (задача Дирихле). Уравнение равновесия в области и граничное условие:

ж

Дк = 0, к|г = — + ж^1вг) = — — — ).

4. Определение х = х(ж,у) по к:

( х,у)

х(ж,у)= у (¿2каж — ^1кау) + с'.

о

5. Определение компонент напряженного состояния по (38).

В рассмотренных ниже примерах А — Д константы С, С' полагались равными нулю.

А. Простое растяжение (сжатие) полосы

Пусть прямоугольная полоса (рис. 1) подвергается действию равномерно распределенной по двум граням растягивающей нагрузки интенсивностью q = 2a = const. Граничные напряжения зададим следующим образом:

Xn = 0, Yn = 2am,

где m = cos(n,y). Суммарные напряжения, действующие вдоль осей x,y, будут равны

Si x

Rx = 0, Ry = J YndS = J(—2a)dx = — 2ax. 0 0

Здесь интеграл по дуге заменен интегралом по x, поскольку mdS = — dx. Гармоническая функция в должна согласно (40) удовлетворять условию

Ог = a.

Полагая в = вг в области, найдем aw по (43):

(x,y)

aw = / (—d2edx + diedy) = 0.

Расчет граничного условия для к по (41) дает нулевое значение. Принимаем х = 0 по (45). Тогда выражения для напряжений будут

ах = 0, = 2а, тху = 0.

Б. Задача о растяжении полосы нагрузкой, распределенной по треугольному закону (рис. 2)

Граничные напряжения задаются следующим образом:

Погонная нагрузка

Xn = 0, Yn = 6axm.

Rx = 0, Ry = —3ax2

0

Граничное условие для в по (40):

вг = 3аж.

Функция в = 3аж удовлетворяет гармоническому уравнению. Найдем аш по (43):

аш = 3ау.

Для функции к согласно (41) имеем граничное условие

кг = — 3аж.

Принимаем к(ж, у) в области, равной кг, поскольку эта функция удовлетворяет гармоническому уравнению. Значения х(ж, у) по (45) имеют вид

х(ж,у) = 3аУ-

Отсюда получаем напряжения

ох = 0, оу = баж, тху = 0.

В. Случай, когда к полосе приложены нормальные и сдвиговые напряжения (рис. 3)

Граничные условия следующие:

Хп = — 2ажт, УП = 2а(ут — ж/),

где /,т определяются по (34). Вычисляем Ях,Яу:

Граничное условие для в

Ях = аж2, Яу = —2ажу.

вг = ау.

Рис. 3

Получаем 0(ж,у) = 0Г. Тогда

(х,у)

аш(ж,у) = У (—¿20^ + ¿10dy) = —аж. о

Граничные условия для к по (41)

кг = 0.

Полагаем к = кг, Х = 0, тогда

Ох = 0, Оу = 2ау, тху = — 2ау.

Г. Другой способ задания растягивающих и сдвиговых напряжений (рис. 4) Граничные напряжения:

Хп = 2а(ж/ — ут), 1П = ажу/, Дх = 2ажу, Ду = ау2.

Отсюда находим

0 = 0г = аж, аш = ау.

Граничное условие для к:

кг = —3аж, Х = 3ау.

Напряжения:

ох = 2аж, оу = 0, тху = —2ау.

Д. Изгиб моментами, приложенными к боковым граням (рис. 5)

Имеем

Хп = 6ау/, Щ = 0, Дх = 3ау2, Ду = 0.

Граничное условие для 0:

0г = 3ау.

Далее находим:

аш = — 3аж, кг = —6ау, X = —бах.

В итоге компоненты напряжений принимают следующий вид:

ах = 6ау, <7у = тХу = 0.

Все найденные в задачах А — Г решения для компонент тензора напряжений совпадают с точностью до обозначений с решениями, полученными с помощью функции напряжений [12].

Е. Сосредоточенная нормальная сила

Рассмотрим напряжения в полуплоскости у > 0, вызванные сосредоточенной силой Р, перпендикулярной к границе у = 0. Данная задача была решена Фламаном (1892 г.). Рассмотрим решение на основе краевой задачи для одной гармонической функции. Зададимся общим решением гармонического уравнения для в в виде

0 = , г2 = ж2 + у2, А = сопэ^

а функцию к положим равной нулю во всей полуплоскости. Тогда

¿10 = — 2АХУ,

7 х = —= 2А——,

у3

7 у = 20 + ж^10 = 2АГ1.

Функцию аш, сопряженно-гармоническую 0, найдем с помощью

(х,у)

. С (ж2 — у2К 2жу п аш = —А / -4-аж +--— ау.

о

Подынтегральное выражение является полным дифференциалом некоторой функции. Вычисляя криволинейный интеграл по ж, у, объединяя полученные выражения и беря каждый из одинаковых членов, входящих в оба интеграла, по одному разу, получим

аш = АГ2.

Теперь рассчитаем тху:

2Ажу2

Тху = аш — ЖЙ20 = —Г4— •

Постоянную А найдем, следуя методике, изложенной в [10]. Вычислим равнодействующую силу элементарных сил, распределенных на поверхности полуцилиндра, описанного около оси О^, и приравняем ее — Р. Имеем

п/2 п/2

у , х

—р = I Упга^ = ^7уГ + ТхуX) га ^.

-п/2 -п/2

Подставляя полученные выражения ay, тху, найдем

A = - P.

п

Таким образом,

0\г = - -

2P x2y

п г4

2Py3

п г

4

2Pxy2

' xy

пг

что совпадает с решением, полученным с помощью функции напряжений.

9. Выводы

1. Получено диагональное представление дифференциальных уравнений равновесия плоской теории упругости в перемещениях.

2. Получены собственные значения и соотношения для собственных векторов матрицы системы уравнений равновесия; доказана тождественность разложения искомого вектора перемещений по собственным векторам и разложения Гельмгольца.

3. Найденные выражения собственных векторов через перемещения позволяют получить зависимость напряжений через пару сопряженно-гармонических функций и сформулировать граничные условия для искомых функций.

4. Показано, что решение краевой задачи теории упругости в напряжениях сводится к решению двух задач Дирихле для гармонических функций. При этом две другие функции, через которые выражаются компоненты тензора напряжений, находятся как сопряженно-гармонические.

5. Приведены решения нескольких одномерных и плоских задач теории упругости, полностью совпадающие с решениями, найденными с помощью функции напряжений.

Список литературы

[1] Ляв А. Математическая теория упругости. М.; Л.: ОНТИ НКТП СССР, 1935. 674 с.

[2] Розин Л.А. Задачи теории упругости и численные методы их решения. СПб.: Изд-во ГТУ, 1998. 532 с.

[3] Светашков А.А. Собственные преобразования системы уравнений теории упругости // Изв. вузов. Физика. 2004. № 10. Приложение. С. 98-101.

[4] Светашков А.А. О приведении системы дифференциальных уравнений пространственной теории упругости к диагональному виду // Изв. вузов. Физика. 2005. № 11. Приложение. С. 116-120.

[5] МусхЕлишвили Н.И. Некоторые основные задачи математической теории упругости. М.: 1956. 708 с.

[6] Лаврентьев М.А., Шават Б.В. Методы теории функций комплексного переменного. М.: Наука, 1987. 688 с.

[7] Шешенин С.В. Об одном типе итерационных методов для решения некоторых задач механики деформируемого твердого тела // Изв. РАН. Механика твердого тела. 1997. № 2. С. 21-26.

[8] Поручиков В.Б. Методы динамической теории упругости. М.: Наука, 1986. 328 с.

[9] Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров. М., 1968. 720 с.

[10] ЛЕЙВЕНЗон Л.С. Краткий курс теории упругости. М.; Л.: ОГИЗ ГТТЛ, 1942. 304 с.

[11] Кац А.М. Теория упругости. СПб.: Лань, 2002. 208 с.

[12] Жемочкин Б.Н. Теория упругости. М.: Госстройиздат, 1957. 256 с.

Поступила в редакцию 24 марта 2006 г., в переработанном виде — 6 февраля 2007 г.