Решение плоских задач теории упругости для полосы с помощью диагонализованной системы уравнений равновесия Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 539.3

РЕШЕНИЕ ПЛОСКИХ ЗАДАЧ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ ДЛЯ ПОЛОСЫ С ПОМОЩЬЮ ДИАГОНАЛИЗОВАННОЙ СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ РАВНОВЕСИЯ

В.М. Замятин, А.В. Махов, А.А. Светашков

Томский политехнический университет, г. Томск E-mail: alexmakhov@mail.ru

Приведена постановка и схема реализации нового метода решения плоских задач теории упругости, основанного на диагона-лизации системы уравнений равновесия. Получены аналитические решения трех плоских задач в напряжениях для нагружения полосы сложной нагрузкой.

Введение

При решении двумерных задач теории упругости [1-4], возникает проблема отыскания двух неизвестных функций (перемещений и, v в направлении координатных осей ОХ, ОУкоторые удовлетворяют системе двух дифференциальных уравнений в частных производных второго порядка - системе уравнений равновесия в форме Ляме [1]. Кроме того, искомые перемещения должны удовлетворять заданным условиям на граничном контуре. В классической постановке задачи теории упругости в напряжениях граничные условия относительно искомых перемещений так же, как и уравнения равновесия, образуют систему двух дифференциальных уравнений в частных производных (в отличие от системы уравнений равновесия система граничных условий имеет первый порядок).

Для решения плоских задач теории упругости предлагается использовать метод, основанный на преобразовании системы уравнений равновесия к диагональному виду [5, 6]. Очевидно, что при таком подходе к отысканию решения появляются некоторые преимущества, облегчающие процедуру интегрирования уравнений равновесия и удовлетворения граничным условиям. Данные преимущества можно использовать как в процессе построения аналитических решений, так и при численной реализации с помощью конечно-разностного, конечно-элементного и других методов. В настоящей работе применяется аналитический метод; результаты сопоставляются с известными решениями, полученными с помощью функции напряжений.

1. Постановка плоской задачи теории упругости для диагонализованной системы уравнений равновесия и схема решения

Рассмотрим основные элементы предлагаемой модификации постановки плоской задачи, основанной на диагонализации системы уравнений равновесия в форме Ляме.

а) Уравнения равновесия в области Вместо отыскания пары функций и=и(х,у), v=v(x,y), удовлетворяющих системе уравнений равновесия Ляме, модифицированная постановка предполагает решение двух гармонических уравнений:

Ав = 0, (1)

Ак = 0. (2)

Здесь в - объемная деформация, которая выражается через перемещения согласно

в = й1и + й2у,

dl =д, й2 =—,

1 йг ду

где к - произвольная гармоническая функция, А -оператор Лапласа

А = й12 + й22,

,2_ д2 Л2 Э2

4 ^ ^ •

б) Граничные условия.

ду2

Для пары новых искомых функций в=в(х,у), к=к(х,у) граничные условия преобразуются в условия вида:

+Txym = Xn °ym +Txyl = Yn ,

(3)

где Хп, У„ - компоненты объемных сил, ох, оу, тху -напряжения; I, т - направляющие косинусы нормали к граничному контуру, имеющему дугу £

I = соб(п, х) = —, т = соб(п, у) = - —.

ds ds

в) Функции, гармонически-сопряженные.

Кроме в=в(х,у) и к=к(х,у), для расчета компонент напряженно-деформированного состояния необходимо задание еще одной пары функций, удовлетворяющих системе Коши-Римана

й1в=ай2т, й2в = -ай1т. (4)

0 2Х

Здесь а =----, т - компонента вектора вращения

1 + X

т = 2(йу- й2и).

Исходя из соотношений (4), функцию ат(х,у), гармонически-сопряженную в(х,у), можно определить в любой точке расчетной области согласно

( х. у)

ат(х, у) = | (-й2в(х, у) йх + йв(х, у) йу) + С1, (5)

где С1 - константа.

Аналогично можно найти функцию %=%(х,у), гармонически-сопряженную к(х,у):

йхк = -ё2%, ё2к = ёх%, (6)

и, таким образом, х(х,у) в любой точке расчетной области:

Х(х,у) = | (ё2кёх- dlкdy) + С2

(7)

где С2 - константа. Далее будем использовать значения СЬС2 равные нулю.

г) Формулы для компонент напряженно-деформированного состояния.

По найденным из решения двух краевых задач типа Дирихле функциям в, к и по определению функций аа и %, гармонически-сопряженных в, к, можно рассчитать напряжения в расчетной области:

ах =в --2[хё1в -уё2в] + к, ау =в+ 1[хё1в-уё2в]-к,

Тху =--2[ хё2в+уё1в] + !■

(8)

Перемещения и, V упругого тела можно рассчитать по напряжениям (8), пользуясь стандартными соотношениями [2].

Таким образом, реализация модифицированной постановки плоской задачи теории упругости, определяемая соотношениями (1-8), имеет некото-

рые отличия от классической постановки. Основное преимущество предлагаемой модификации заключаются в том, что уравнения равновесия имеют диагональный вид (1, 2). Действительно, уравнения (1, 2) представляют собой дифференциальные уравнения в частных производных второго порядка, а не систему уравнений равновесия в форме Ляме.

Для иллюстрации метода рассмотрим следующие задачи.

2. Нагружение пластины сложной нагрузкой

Пластина размером Н, Ь подвергается действию напряжений, эпюры которых представлены на рис. 1.

Для решения необходимо записать аналитические выражения граничных напряжений. Сначала получим вид функции У„(х,у). а) Рассмотрим граничные значения ау на верхней

и нижней гранях, обозначив их через ар

\3

, т = 1;

при у= -

при у =

И

аа =1 аИ = 2а[ И у 4 12

И

2

аа = -1 аИ =-2а[ И у 4 {2

т = -1.

Здесь я=еош1.

Объединяя два последних выражения, получим

аау = 2ау т\

±и ■ у=±2

б) Рассмотрим вклад У„(х,у) в касательных напряжений на правом торце. Согласно эпюре гра-

ничного г„ имеем:

•V

а

И

1 I з

+—аИ

2

У

ах -‘“■щщщи шшшщщ - 2

1 +~1

,"4-М 4

^0 ЙГ У

-4 •4- Рр

1

°у 1 а

1 1 • 4 1 1

Тху, шшшшшшш! - 2 J

а

—аЪИ2 2

Рис 1. Эпюры нагружения пластины сложной нагрузкой

2

3

3

И 3 и I 2 ^ Л И

при у = — т = — аЬ И = -6аЬ I — 2 ^ 2 12

И 3 ЬИ2 6 Ь (И Л

при у = — т = — аЬ И = -6 аЬ 1 — 1 ;

2 ^ 2 12]

пРи у = 0 тху = О.

Значит, зависимость ту от по торцу выражается:

тху =-6 аЬу'■

Далее учтем изменение ту от левого торца к правому. Поскольку на левом торце (х=0, /=-1) тху=0, а на правом (х=Ь, /=1), тху=-6аЬу2, то получаем:

тху =-6 аху'■

Таким образом, функция У„ имеет вид:

У = а(2 у Зт - 6 ху2/ )■

Аналогичным образом рассчитывается аналитическое выражение для Хп:

Хп(х, у) = а[(6х2у - 4у3)/ - 6ху2т]■

Зададимся функциями в(х,у) и к(х,у) вида:

в(х, у) = А(3 х2у - у3), (9)

к(х, у) = В(3х2у - у3), (10)

где А и В - неизвестные константы, которые необходимо найти. Функции (9, 10) соответственно удовлетворяют условиям (1, 2), то есть являются гармоническими.

Функция х(х,у) определяется из (10) с помощью (7) (для упрощения записи здесь и далее, координаты х,у будем опускать):

Х= В( х3 - 3ху 2) (11)

Данная функция тоже является гармонической.

С учетом (9-11) распишем напряжения (8):

ах=(\А+3В]х 2 у -(IА+В ) у3’

а у =[ 2 А - 3В ] х2 у + (2 А + В ) у 3>

Тху =[-| А - 3В ] ху2 +|-3А + В ) ^ (12)

Рассмотрим левую границу пластины, х=0. Здесь /=-1, т=0, соответственно

Хп = 4 ау3,

У = 0, (13)

а граничные условия (3) преобразуются так:

-ах = Х„,

-т = У ■

ху п

(14)

Подставляя в (14) функции из (12) и (13) и решая полученные уравнения, получаем, что

Учитывая (15), напряжения (12) будут иметь следующий вид:

ах = (-6А +12 а)х2у - 4 а у3, ау = (12А -12 а)х2у + (-2 А + 4 а)у3, тху = (-9А -12 а) ху2 + (-4А + 4 а) х3^ (16)

Теперь рассмотрим правую границу пластины, х=Ь. Здесь /=1, т=0, соответственно

Хп = а(6Ь2 -4у3),

Уп =-6 аЬу2, (17)

а граничные условия (3) будут выглядеть так:

ах = Хп ,

тХу = Уп ■ (18)

Подставляя в (18) функции из (16) и (17) и решая полученные уравнения, получаем, что

А = а, (19)

далее, по (15) с учётом (19) определяем, что

В = — а.

2

(20)

Таким образом, обе неизвестные константы найдены. Расписывая (9, 10) с учётом (19, 20), получаем, что в и к имеют вид:

в = а(3 х2у - у3),

к = 3 а(3 х2у - у3) (21)

Теперь определены все функции, необходимые для нахождения напряжений. Подставляя функции (21) в (8), получаем:

ах(х, у) = 6 ах2 у - 4 ау3, ау (х, у) = 2 ау3, тху(х у) = “6 аху2- (22)

Сравним полученное решение с классическим, которое можно рассчитать с помощью функции напряжений. Для данной задачи функция напряжений выглядит следующим образом [4]:

ф = а | х2 у3 - у соответственно, напряжения будут следующие:

ах = ё22ф = 6 ах2 у - 4 а у3 а у = ёхф = 2 а у3, тх = -ёхё2(р =-6 аху2 ■

(23)

В = 4 а--------А^

2

Видно, что соответствующие функции в (22) и в (23) попарно совпадают.

3. Нагружение пластины, силами, распределенными по линейному закону

Пластина размером Н, Ь подвергается действию напряжений, эпюры которых представлены на

рис. 2. Аналогично предыдущей задаче определяется, что нагрузка в функции координат имеет вид: Хп (х, у) = 0, Уп (х, у) = 6тж

У

—^тттттттттПТТТТШИПП

+6 аЪ

И

X

->

т м { |

--.^птМТтМШТЯШ +6 аЪ

(26)

т = О,

ху >

(28)

при этом, учитывая (26) на рассматриваемой границе, ах и ту принимают вид:

^3 ^ (29)

(30)

а = у| 2 В+В

тху = у |- 2 А - СI ■

Объединяя (27) с (29) и (28) с (30), получаем, что

(31)

3 1

В =— В, С =— А, 2 2

и, с учётом этого, функции из (26) принимают следующий вид

ах = 0,

а = 2Ах + 2В у,

тху =-2Вх

(32)

Теперь рассмотрим верхнюю границу пластины. Для этой границы у = ^, I = 0, т = 1, а функции (3) имеют следующий вид:

(33)

(34)

ау = 6 ах,

т = 0,

ху >

при этом, учитывая (32),

Рис. 2. Эпюры нагружения пластины силами, распределенными по линейному закону

Для решения данной задачи зададимся гармоническими функциями в и к в виде:

в = Ах + Ву,

к = Сх + Ву, (24)

где А, В, С, Б - константы, которые будет необходимо найти. По (7) находим, что

Х= Вх - Су (25)

Все три функции, как легко показать, являются гармоническими.

Используя (8) получаем следующий вид для напряжений:

а, = х ^ 2 А + С Л + у ^ 2 В + В

ау=х (2А - С ]+у (2В - В

а = 2Ах + 2В—, у 2

тху = -2 Вх

(35)

(36)

Объединяя (34) и (36), получаем, что В=0, и, учитывая это при объединении (33) и (35), получаем, что А=3а.

3

Из (31) теперь находим, что С = а, В = 0^

Подставляя значения найденных констант в (32), находим, что

ах = 0,

а = 6 ах, т = 0^

ху

(37)

Рассмотрим левую границу пластины. Для этой границы х=0, /=-1, т=0. С учётом этого, из (3) получаем:

ах = 0, (27)

Сравним полученное решение с классическим. В задаче для треугольной нагрузки бигармониче-ская функция напряжений имеет вид ф=ах3 соответственно, напряжения будут следующие:

ах (х, у) = ё22ф = ё22 (а х3) = 0, ау (х, у) = ё12ф = ё12(ах3) = ё1(3 ах2) = 6 ах,

ту (х, у) = -ё1ё2ф = -ё1ё2(ах3) = 0^ (38)

Таким образом, напряжения, рассчитанные по (37, 38), совпадают между собой.

4. Расчёт плотины треугольного профиля

Плотина, подвергающаяся нагрузке от давления воды, имеет треугольное сечение, как показано на рис. 3. Способом, использованным в предыдущих двух задачах, определяется, что нагрузка в функции координат имеет вид:

Хп(х,у) = 7у1 + 7 tg2(а)хт,

Уп(х,у) = (-2 ^2(а) х-7 tg2(а) у) т + 7 tg2(а) х1

Здесь а=сош1, у=сош1

0

Ъ

Как и в предыдущей задаче, зададимся гармоническими функциями в и к в виде (24). Функция X в этом случае будет иметь вид (25), а напряжения

- (26). Как и в предыдущем случае, необходимо найти значения констант А, В, С, Б.

Рис. 3. Эпюры нагружения плотины

Рассмотрим вертикальную поверхность (левую границу) плотины. Для этой границы х=0, /=-1, т=0. Из (3) определяем, что

ах = YУ, (39)

ту = 0, (40)

при этом, ах и тху на рассматриваемой границе, принимают вид (29, 30). Объединяя попарно (39) с (29) и (40) с (30), получаем, что

В = у- - В, С = -1 А, (41)

2 2

и, с учётом этого, функции из (26) принимают следующий вид

ах = 7^ а у = 2 Ах + у (2В -у),

тху = х(-2 В +ГУ (42)

Теперь рассмотрим наклонную поверхность (правую границу) плотины. Для этой границы распишем: х=—ус1ё(а), /=зт(а), т=со8(а). Компоненты объемных сил Хп и У„ здесь равны нулю. С учетом этого, граничные условия в форме Коши будут иметь следующий вид:

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Ляв А. Математическая теория упругости. - М.: ОНТИ НКТП СССР, 1935. - 674 с.

2. Кац А.М. Теория упругости. - СПб.: Лань, 2002. - 208 с.

3. Розин Л.А. Задачи теории упругости и численные методы их решения. - СПб.: Изд-во СПбГТУ, 1998. - 532 с.

4. Жемочкин Б.Н. Теория упругости. - М.: Госстройиздат, 1957. -256 с.

ах 8т(а) +тху со8(а) = 0,

ау ео8(а) +тху 8т(а) = 0^ (43)

Рассмотрим первое уравнение системы (43). Подставляя в него функции из (42), получаем: у у Бт(а) - (-2 В + /) у С^(а)со8(а) = 0,

откуда получаем, что

В = -^2(а) -1) (44)

Далее рассмотрим второе уравнение системы (43). Подставляя в него функции из (42), получаем: -2Ау С^(а)со8(а) + у(2В -y)cos(а) -

- у (-2 В + у) ^(а) 8ш(а) = 0, откуда с учетом (44) получаем, что

А = ~У tg3(а)■ (45)

По (41) и (44) определяем, что В = -^2(а)-1),

С=Yгtg3(а),

В = 4(1 + 3tg2(а))■ (46)

Подставляя (45) и (46) в (26), получаем: ах = 1 y, ау =-2ху tg3(а) -у^2(а),

тху = х 7 tg2(а)■

Сравнение данных результатов с классическими показало их полное совпадение.

Вывод

Показано, что в отличие от классической постановки плоской задачи теории упругости в случае заданных на границе напряжений, модифицированная постановка позволяет разделить (для каждой из двух искомых функций) процедуру определения решения, удовлетворяющего уравнению равновесия в области и граничным условиям типа Коши на контуре. Метод проиллюстрирован на аналитических решениях плоских задач. Результаты показали полное совпадение с решениями, полученными с помощью классического метода.

5. Светашков А.А., Махов А.В. Формулировка уравнений двумерной теории упругости в виде краевой задачи для системы Ко-ши-Римана // Известия Томского политехнического университета. - 2005. - Т. 308. - № 6. - С. 136-140.

6. Светашков А.А. О приведении системы дифференциальных уравнений пространственной теории упругости к диагональному виду // Известия вузов. Физика. - 2005. - № 11. -С. 116-120.