Расчёт пластин с прямоугольным вырезом Текст научной статьи по специальности «Физика»

кость конструкции увеличивается. В точках закрепления затяжек происходят скачки величин тангенциальных и перерезывающих сил, поскольку в этих точках происходит перераспределение внутренних усилий, возникающих в соответствующих сечениях арочной конструкции. Как показывают результаты расчета, существенное влияние на работу затяжек оказывают такие факторы, как характер приложенных внешних сил, условия крепления арочной конструкции, наличие ключевых шарниров.

Библиографический список

1. Кузнецов, И.Л. Арка. А.С. №1244256. М. Кл Е04В1/32. от 29.11.84. Бюллетень № 26 от 15.07.86.

2. Кузнецов, И.Л. Аналитико-численный метод определения напряженно-деформированного состояния и критической нагрузки арок / И.Л. Кузнецов, А.З. Камалов // Известия вузов. Строительство. - 1991. - № 12. - С. 5-19.

3. СНиП 2.01.07-85*. Нагрузки и воздействия / Госстрой России. - М. : ГУП ЦПП, 2001. - 44 с.

D.A. PALMOV, I.L. KUZNETSOV, A.Z. KAMALOV

THE ANALYTICAL-NUMERICAL METHOD FOR THE ESTIMATION OF A STRESS-STRAIN CONDITION OF ARCHES WITH CHORD TIE BARS

An analytical-numerical method is examined for the estimation of stress-strain condition of an arch with chord tie bars. The essence of the method, its implementation in the «ARHOR» program, the comparison of the results with those of other existing programs and carrying out the computational investigations on the influence of chord tie bars on the mode of deformation of an arch are explained.

УДК 624-2007

Н.В. ЗАВЬЯЛОВА, аспирант,

СибАДИ, Омск

РАСЧЁТ ПЛАСТИН С ПРЯМОУГОЛЬНЫМ ВЫРЕЗОМ

Для расчёта плитно-стержневых систем применяется известный метод перемещений А.В. Александрова с использованием одинарных тригонометрических рядов и точных решений теории упругости. Для исследования влияния сосредоточенной нагрузки, действующей в произвольной точке срединной плоскости пластины, предлагаются функции Грина, построенные для пластины с шарнирно опертыми двумя противоположными кромками и различным закреплением двух других. Рассмотрена возможность их применения при расчётах пространственных тонкостенных систем. Решается задача об определении плоского напряженно-деформированного состояния в пластинах с отверстием прямоугольной формы. Применен метод расширения заданной системы совместно с методом компенсирующих нагрузок. Эффективность применения модели Александрова совместно с функциями Грина показана на численных примерах.

© Н.В. Завьялова, 2007

Практический и теоретический интерес представляет рассмотрение систем, состоящих из нескольких пластин, имеющих вырезы, с учётом их совместной работы. Существует два источника концентрации напряжений в конструкциях: места резкого изменения поперечного сечения, надрезы, вырезы, отверстия, места соединений элементов, ребер жесткости и т. п., а также сосредоточенные нагрузки, возникающие при взаимодействии элементов конструкции. Актуально также рассмотрение вопроса о вырезах в стенках складчатых систем.

Исследуем напряженно-деформированное состояние складчатой системы, элементы которой имеют вырезы. Для расчёта тонкостенных пространственных систем, состоящих из жестко соединенных между собой по продольным кромкам прямоугольных пластин, применяется метод, предложенный А.В. Александровым, с использованием тригонометрических рядов Фурье и точных решений теории упругости [1]. Рассмотрим расчет пластины, имеющей вырез, используя основную систему метода перемещений, а также известные методы расширения заданной системы и компенсирующих нагрузок [3]. Для такой пластины в качестве расширенной системы принимается эта же пластина без выреза и представляется набором попарно жестко соединенных между собой узких сплошных пластинок. К расширенной системе, кроме заданной нагрузки, приложим в замкнутой области, совпадающей с вырезом, компенсирующую нагрузку. Компенсирующую нагрузку будем определять из условия, чтобы в расширенной системе нормальные и касательные напряжения на замкнутом контуре, совпадающем с границей выреза, при совместном действии внешней нагрузки и компенсирующих сил равнялись нулю. Тогда напряженное и деформированное состояния расширенной системы за исключением замкнутой области будут такими же, как и в заданной пластинке. Поскольку замкнутый контур оказывается тогда свободным от напряжений, то компенсирующая нагрузка, действующая в замкнутой области, должна быть в целом взаимно уравновешенной. Заметим, что и в известном методе расширения заданной системы, и в методе компенсирующих нагрузок это последнее условие не ставилось.

В качестве компенсирующих нагрузок принимаем группы равномерно распределенной нагрузки. Количество компенсирующих нагрузок равняется количеству обнуляемых напряжений и усилий в фиксированных точках контура выреза [3]. Поскольку в модели Александрова нагрузка действует на узловые линии складки, то и компенсирующая нагрузка должна воздействовать на них. Тогда приходится увеличивать количество узловых линий, что приводит к увеличению количества решаемых уравнений. В данной работе предлагается построение функции Грина для исследования плоского напряженно-деформированного состояния и изгиба пластины, что позволяет прикладывать нагрузку в любой фиксированной точке в плоскости пластины. Функция влияния напряжений, перемещений или прогибов называется функцией Грина 0(А, В). Она равна напряжению, перемещению или прогибу в произвольной точке А при действии сосредоточенной силы в фиксированной точке В. Такие функции для пространственных тел называются матрицами Грина.

Аналитическое построение матриц влияния для плоского напряженно-деформированного состояния прямоугольной пластинки, шарнирно закрепленной двумя противоположными кромками и двумя другими защемленными, представлено в [2]. Общая схема построения матриц Грина в задачах поперечного изгиба прямоугольных пластин предложена в [4], [5].

Исследуем плоское напряженно-деформированное состояние прямоугольной пластины. Решение такой задачи сводится к определению функции напряжений Эри Ф(х, у), удовлетворяющей бигармоническому уравнению:

/4Ф „ ё4Ф ё4Ф

ёх4 ёх2 ёу 2

= 0. (1)

Учитывая шарнирное опирание поперечных кромок, функцию напряжений будем искать в виде тригонометрического ряда Фурье:

, ^ . ппх

ф = Хф« вш—, (2)

п=1 1

где фп - функция поперечной координаты у, представляющая амплитудные значения п-й гармоники этого ряда. Находим фп как решение обыкновенного дифференциального уравнения четвёртого порядка:

2 2 4 4

ТУ ^ п П тт п П _

Фп - 2~1^Фп +-^Г Фп = 0. (3)

В дальнейшем индекс п у функции фп опускаем.

Перемещения и или V представим в виде:

да да

^ ппх ^ . ппх

и ип СО8 —, v = ^^ вШ — . (4)

п=1 1 п=1 1

Выразим амплитудные напряжения через функцию ф:

й2ф п2п2 пп йф ...

"• = & • "у = -~ф, тх^' = -Тл' <5)

Этим напряжениям соответствуют следующие выражения для определения перемещений [1]:

1 . / й2ф пп .

и = ^(—гг+^-Ф),

Е пп йу2 /

2 3 (6)

1 I ёф ё ф

v = Е [—“ГГ - (2 + ^) -У ]•

Е п п2 ёу ёу

В работе [4] приведены значения базисных функций ф и их производных в начале координат. Это позволяет сформировать специальные функции в зависимости от условий закрепления продольных кромок пластины с последующим вычислением постоянных С.

Рассмотрим прямоугольную пластину со сторонами /, Ь (рис. 1).

Для заданной пластины с двумя свободными и двумя шарнирно опертыми кромками граничные условия представим в виде:

Оу = 0, Тху = 0. (7)

Тогда выбираем функцию напряжений ф по таблицам в [4], удовлетворяющую заданным условиям.

ф = - РсЛР)С1 + р5^рС2 . (8)

У

О

1

1

Р(х1 УП

1

Р

'м(х т,у т) 1

1

1

/ .

Рис. 1. Схема сплошной пластины при действии сосредоточенной силы в срединной плоскости

Амплитуды продольных и и поперечных V перемещений при действии сосредоточенной силы в срединной плоскости пластины со свободными продольными кромками получим в матричном виде:

[ V'

Л (1 - ц) shв + рсйр(1 + ц) -((1 + ц)р^р + 2^$) " С1'

/ (1 + ц)вshв - 2еИв (1 - ц)shв - РсйР(1 + ц) _С2 _

(10)

Амплитуды напряжений в продольных сечениях пластинки определяем также в матричном виде:

(Т ^

ху

СТ..

у

р^йр -(shв + рсйр)

-shв + рсйр -вshв

С

С2

(11)

где Р =

пПУ„

I

0 < у < У/, У/ - координата рассматриваемой точки М(хт,ут) при

действии сосредоточенной силы ¥ в точке Р(х/,у/).

Матрица-столбец произвольных постоянных С вычисляется из условий непрерывности перемещений и статического равновесия в точке в = 2, при

ппу/

£=-

Во втором уравнении (12) правая часть соответствует единичной амплитуде внешнего воздействия.

Введем обозначения для матриц-функций (10) и (11):

^(1 - ц)shв + (1 + ц)рсйр -[(1 + ц)р^йр + 2сЩ] ^

(1 + ц)вshв - 2сйр (1 - ц)shв - (1 + ц)рсйр

г (Р) =

(13)

(т ^

ху

Vе у У

(

Р^ЛР -[р + релр]

-shв + РсЛР -р^Лр

Л

(14)

Зададим сосредоточенные силы, действующие в плоскости пластины, также рядами Фурье по продольной координате:

ппх

008-

I

Ру = У Ууп

ппх

81П-

I

(15)

П=1 П=1

где коэффициенты /хп,, /уп зависят от точки приложения силы Р(х,у) и продольной координаты х/

/хп =ТРх 008‘

ппх

у

/уп = ~¥у 81П-

ппх

у

(16)

I Л I у I у I

При рассмотрении участка левее точки приложения силы ^(Р < £) матрица влияния перемещений имеет следующий вид:

и = £ [ А, [г (Р)Е2 ф"1 (5(&Х • г ©-1 - 5й - к)ґ • г £ - к)-1)-1 ] ] ппу/

1=1 пПУт

, (17)

о -V* е - / , ппЬ

где р = ——, £ =—, к = —-, где у*

координата точки, в которой опре-

I I I

деляется перемещение при приложении сосредоточенной силы в точке с координатой у/, Ь - ширина пластины; ^ - толщина пластины; Е - модуль упругости, Аг-; ВI - диагональные матрицы:

. I .плх . ппхт ,

А, = ^008(—*) 8іп( 7"*”) ^,

I

ппх

(18)

-> 18Ш(-

I

При рассмотрении участка левее точки приложения силы Р(в < £) матрица влияния напряжений имеет следующий вид:

5 = У Г А, [ 5 (в)Ег (^)-1(5 (^ • г (^)-1 - 5 (^-к У • г (^-к )-1)-1 ]], 1.(19)

,=1

На правом участке ^ <р< к перемещения и напряжения можно определять по формулам (17), (19), заменив аргумент в на (в - к).

В качестве примера рассмотрим прямоугольную пластину, поперечные кромки которой имеют простое шарнирное опирание, а продольные - свободны от закрепления (рис. 1). Размеры пластины в плане Ь = 3,28м, I = 3,6 м, толщина Л = 0,2 м, материал пластины - бетон, модуль упругости Е = 12000

МПа, коэффициент Пуассона ц = 0,2. Исследуем плоское напряженно-деформированное состояние при действии сосредоточенной силы Р = 100000 кН в срединной плоскости пластины в точке Р с координатами ху = 1,8 м, уу =

1,64 м. По полученным матрицам влияния перемещений и напряжений, разбивая ширину и длину пластины на 10 частей с шагом 0,1, определяем эффект действия сосредоточенной силы. На рис. 2 приведены эпюры нормальных напряжений оу, полученные по функциям Грина и вычисленные методом конечных элементов. Рассмотрены два продольных сечения (0,2Ь, 0,6Ь). В сечении у = 0,2Ь разница в значениях объясняется тем, что по МКЭ вычисляется среднее значение напряжения по поверхности элемента, а функции Грина позволяют определять значения напряжений в конкретных точках. В сечении у = 0,6Ь значительной разницы не наблюдается.

В результате происходит всплеск напряжений по линии действия нагрузки (0,5/), который при удалении от точки её приложения уменьшается, что соответствует эпюрам нормальных напряжений для сплошных пластин.

Применив принцип наложения к системе / сосредоточенных сил Р, приложенных в точках (хуь уу), можно найти полные перемещения и и V вдоль Ох и Оу соответственно, а также касательные и нормальные напряжения. Полученные результаты показывают, что используемый метод расчёта может быть применен для расчёта складчатых конструкций с вырезами методом компенсирующих нагрузок.

Исследуем напряженно-деформированное состояние прямоугольной пластины с прямоугольным вырезом. Если компенсирующую нагрузку выбрать произвольной, то, ввиду того, что в процессе решения будет обеспечено равенство нулю напряжений только в фиксированных точках замкнутого контура, на отрезках между ними для уравновешивания компенсирующей нагрузки будут возникать значительные напряжения, которые для пластины с вырезом будут представлять уже дополнительную нагрузку. В результате напряженное состояние пластины с вырезом не будет соответствовать задан-

ной нагрузке. Ввиду того, что разложение разрывных (ступенчатых) функций в ряды Фурье сопровождается явлением Гиббса, группы компенсирующей нагрузки должны располагаться на некотором удалении от контурных точек, в которых обнуляются напряжения. Схема нагрузки вдоль горизонтальной границы выреза представлена на рис. 3, а, вдоль вертикальной границы действует нагрузка, представленная на рис. 3, б.

Рис. 3. Схема компенсирующей нагрузки

Расчетная схема пластины с вырезом дана на рис. 4. Размеры пластины: длина I = 3600 мм, ширина Ь = 3280 мм, толщина к = 200 мм. Размер прямоугольного выреза: а = 720 мм, й = 2100 мм. Материал пластины - бетон, модуль упругости Е = 12000 МПа, коэффициент Пуассона - ц = 0,2. Для расчёта плоского напряженного состояния рассмотрим пластинку как складку с четырьмя узловыми линиями, разделяющими её на 3 элемента - узкие пластинки шириной С = 440 мм, С2 = 2300 мм, С3 = 740 мм. При этом второй элемент содержит вырез. Вдоль продольной кромки в срединной плоскости пластины действует нагрузка q = 1 кН/м.

У

111 11 лінійні II Н и II

с 1

г? (

с с

С:

/

Рис. 4. Расчетная схема пластины с вырезом

Расширенную систему принимаем в виде сплошной пластины. Компенсирующую нагрузку прикладываем в областях, совпадающих с вырезом заданной системы, и определяем из условия, чтобы суммарные напряжения на контурах выреза от совместного действия компенсирующей и внешней заданной нагрузки равнялись нулю [4].

аГ =а£ +(^Гх +БГхо)Х = 0, (20)

где Х - искомый вектор компенсирующей нагрузки;, ар - нормальные и касательные напряжения на контуре от действия внешней нагрузки; ^Гх - матрица нормальных и касательных напряжений на контуре от единичной компенсирующей нагрузки; ^Гх0 - матрица влияния напряжений на границе в пластинке с защемленными продольными кромками определяется по матрице Грина для плоского напряженного состояния.

В результате вычислений получены нормальные и касательные напряжения. На границе выреза напряжения при совместном действии внешней и компенсирующей нагрузки равны 0. На рис. 5 приведены эпюры нормальных напряжений в пластине с прямоугольным вырезом.

Рис. 5. Эпюры напряжений в пластине с прямоугольным вырезом:

а - напряжения ах в сечении //6; б - напряжения ау в сечении Ь/5

Сжимающие нормальные напряжения ох при переходе от верхнего волокна к нижнему плавно изменяются на растягивающие. Напряжения оу при приближении к вырезу практически равны нулю.

Разработанная методика исследования плоского напряженно-

деформированного состояния пластины с вырезом методом перемещений совместно с функциями влияния метода расширения заданной системы и компенсирующих нагрузок, вероятно, может быть применена при расчёте плитностержневых систем с вырезом на устойчивость.

При исследовании устойчивости начального состояния пластин, нагруженных в срединной плоскости, дифференциальное уравнение изгиба пласти-

ны содержит, кроме бигармонического оператора, сумму произведений мембранных напряжений на вторые частные производные функции прогиба.

Б(

дх4

) + (О

-2т

)к = 0. (21)

дх2ду2 ду4 дх2 ду2 дхду'

При решении задачи энергетическим методом для вычисления работы мембранных напряжений начального состояния учитывают нелинейные поправки к деформациям срединной поверхности, зависящие только от функции прогибов пластинки [6].

В случае наличия в пластине выреза область выреза рассматривается отдельно. Необходимо, чтобы выполнились граничные условия на границе выреза. Для такой выделенной области также составляется матрица геометрической жесткости со всеми условиями, принятыми для расчёта пластины в целом.

Пусть начальное состояние пластины характеризуется мембранными напряжениями с0, с0, т°ху. На возможных перемещениях и, V, ^ будет совершаться работа внутренних напряжений начального состояния. Деформации, соответствующие возможным перемещениям, будем определять с учётом нелинейных поправок [6]:

1

ду ) I ду

—т+ Ї дм I21

дх J V дх

)

ду ? 'дм ? 1

ду

(22)

У ху =-

д 2и

д 2у

дхду дхду дхду

В случае шарнирного опирания пластины по коротким кромкам для вариаций нелинейных составляющих деформаций запишем следующие выражения:

«8"

дх

д5м

«8" =

дх

^ дм V д5м 1

д5у

дх

ду )\ду

(23)

дх

д5м

д5м

дх

Запишем уравнение возможной работы, полностью определяющее матрицу жесткости, в виде:

_0 г_н

■°у«8у

т0у5унху ) = Жт )Г 2 .

(24)

Интегрирование ведется по площади срединной поверхности Б, к -толщина пластинки; 2 - вектор амплитуд перемещений узловых линий; Ъ2 -вариации вектора 2; ЛГ - геометрическая матрица жесткости.

2Т = (и V w 0)Т . (25)

Для пластины с вырезом интегрирование будем вести по площади области выреза V. Тогда с учетом выреза получим следующее выражение:

к{(а05е( +а«5е; + т0у5унху ) - к{(а05е( +а0,бе^ + т0у5унху ) = МТЯГг . (26)

Перемещения срединной плоскости пластины разложим в тригонометрические ряды Фурье.

Найдем вариации нелинейных поправок к деформациям:

58» =£ У ЫТ \\цг? Ж, + V! Vj ] ] ^008 ^ ^

і і

N N I „2

1 '

58Н =ЕЕ5г,Г ^=8іп^, (27)

N NГ ( ■ ■'12

О н I іТСх„тТ„ • . ]ПХ . 1ПХ „ <т„т П I П „

5уху = // 5^,. < 008 Ж, Ж, 8ІП-----+ 8ІП-Ж, Ж, 008--------\ij-Z,.

1ху 1 1 I 1 1 I I 1 1 I у 12 1

В формулах (27) штрихом обозначено дифференцирование по относи-

іпу і%у

тельным координатам р, =---------, р , =-.

I I

Мембранные напряжения в начальном состоянии определим по амплитудам Z0 гармоник перемещений узловых линий:

ппх

—10 _ <?п<7о •

Сх =У 5xZn 8ІП

I

ппх

а0у =у ^8т^, (28)

„0 V чп 70 ™о ;ПХ Тху =У ^ху-^п 008-

1

где Бхп, Буп, Б,уП - матрицы-функции влияния напряжений при плоском напряженном состоянии п-й гармоники, зависящие от поперечной координаты у;

7 0 ^

2п - вектор амплитуд перемещений продольных кромок пластинки, соответствующий п-й гармонике, определяется предварительным расчетом складки на статическую нагрузку для начального состояния, устойчивость которого подлежит исследованию.

СП _ 5х = I • ппу ппу . ппу ■ ппу ]

ід СЛ ь к р ^ ° xV 8ІП 1 °хЖ 8ІП 1 °х© 8ІП 1 1

с^П 5 у = I . ппу ппу . ппу ■ ппу)

1°уи 8ІП 1 ° yV 8ІП 1 ід СЛ у \э °у© 8ІП 1 1

N ? * Со ппу ппу ппу ппу

Тхуи 008 1 Т xyV 008 1 ТхуЖ 008 1 Тху© 008 1

В уравнениях (29) компоненты матрицы-строки Бхп, Б", Бхуп представляют напряжения, вызванные соответствующими перемещениями.

Подставим (28) и (27) в уравнение (26) и запишем левую часть двойной суммой:

(30)

1 j

l

, (31)

где Rj — квадратные матрицы-блоки полной матрицы геометрической жесткости Rr. Матрица Rj представляется следующим выражением:

J ccsjjx [Wf Wj + Vf Vj ] dy - J ccSjnSX [Wf Wj + Vf Vj ] dy -

0 c

+}sssj„s;z°n [w;tw'j ] dy - Jsssjjjx \w;tw'j ] dy+

0c

+J ccSnSX [W?W'j ] dy - J SSSnSX [W?W'j ] dy +

0c

+J ccSnjSyZ: \WT Wj ] dy - J ccSjSXyzO\w:tWj ] dy

0c

где c, d — расстояния до начала и конца выреза по оси Оу, соответственно. Произведения, стоящие перед квадратными скобками в подынтегральных выражениях, являются скалярными функциями поперечной координаты, произведения в квадратных скобках — квадратные матрицы-функции восьмого порядка — также зависят от поперечной координаты. Суммирование производится по числу гармоник, учитываемых в статическом расчёте по определению мембранных напряжений начального состояния. В (31) интегралы по продольной координате обозначены следующими выражениями: i g

г inx jnx . ;nx , г inx jnx . ;nx ,

ccsii„ = I cos-cos-sin-dx - I cos-cos-sin-dx;

IJ; J l l l J l l l

0 a (32)

l g

f . inx . inx . ;nx , f . mx . j nx . ;nx

sssi; = sin--------sin-------sin——dx - sin----------sin-----sin—

IJ; J l l l 1 l l l

0 a

dx,

где а, g - расстояния до начала и конца выреза по оси Ох, соответственно. Если в сечение не попадает вырез, то вычисления производятся по формулам

(31), (32) как для сплошной пластины на участке от 0 до I.

Для случая с одним вырезом на участке а < х < g получаем:

, cos(n + ] + /)л-1 - cos(n + ] + /')— + cos(n + ] + /')—

™,п = -4- (--------------------------------------------------т-4-+

4п п + ] +1

cos(; + j - I)n-1 - cos(; + j -1) + cos(; + j -1) 'na

; + j -1

С08(и - 7 + І)п - 1 - С08(и - 7 + І) — + С08(и - 7 + і) —

+-----------------------------------------------------------— +

и - 7 + і

С08(« - 7 - і)п -1 - С08(и - 7 - І) — + С08(и - 7 - і) —

+------------------------------------------------------------1—).

И - 7 - і

- - С0$>(п + /' - 7 )— + 1 + С08(п + /' - 7) — - С08(п + / - 7)—

= —(------------------------——:—1--------------------- +

4п п + г - 7

- С08(п - г + 7)- +1 + С08(п - г + ])— - С08(п - г + ])—-+-------------------------------- ----------------— +

п - г + 7

С08(п + 7 + г)—-1 - С08(п + 7 + г)— + С08(п + 7 + г) —

+-------------------------------------------------— +

п + 7 + г

С08(п - 7 - г)- -1 - С08(п - 7 - г)— + С08(п - 7 - г)—

+------------------------------------------------1—).

п - 7 - г

Выполним численное интегрирование следующим образом. Предварительно произведем суммирование по числу гармоник п для фиксированной точки поперечного сечения, в результате получим для данной точки с координатой у приведенные в интегральном виде мембранные напряжения, соответствующие г-му, 7-му номерам гармоник:

С1} =Х с7Х0;

п

V =^ ••• еп7°-

° у / ^ уп х п ?

” 0 (33)

Тхц =Е ^^7°;

п

Туц =1 с^Б:у.70.

п

Таким образом, достаточно вычислить по (33) приведенные напряжения, характеризующие напряжения целых продольных волокон и зависящие только от координаты у и от номеров гармоник г',7. Исключим в (32) суммирование по п и с учётом (33) запишем элементы матрицы геометрической жесткости в следующем виде:

Я г и'п2И

Я,, =—

| С,, \№Т ж, + V!V, ] ф - | С , [жт ж, + V! Г, ] 4у

0 с

+к К ж, ] 4У -I ї..

0с Ь 4

+| ТХ1] [жТЖ', ] 4у-| Т

Ж'Т Ж',

ж! ж).

ж? ж,

] ТУ, [ж'тж ] 4У

. (34)

Глобальная матрица геометрической жесткости ЯГ состоит из квадратных блоков Я/. Размерность каждого из них равна размерности матрицы реакций Я. і-й гармоники. Алгебраическая система уравнений для определения критического параметра нагрузки X имеет вид в матричной форме:

(Я -ХЯГ )2 = 0, (35)

где Я - квазидиагональная матрица реакций с блоками Я. на главной диагонали; ЯГ - блочная матрица с блоками Я,г; 2 - матрица-столбец, состоящая из блоков 2,.

Элементы матрицы Я. определяются как реакции при изгибе и плоском напряженном состоянии прямоугольной пластины с шарнирно опертыми поперечными кромками и заданными «единичными» смещениями её продольных кромок по закону синуса и косинуса і-й гармоники.

Для определения критического параметра нагрузки X необходимо, чтобы выполнялось условие:

аег [ я -хяГ ] = о.

2 2

Введем обозначение Х = —2— Р , тогда, определив параметр Хтт, полу-

/

чим значение Ркр.

Р = Ш1П

кр _

2 2 П П

(П = 1, 2, ...).

Таким образом, разработанная методика расчёта пластин с прямоугольным вырезом позволяет определить критические нагрузки в задачах устойчивости, а также исследовать напряженно-деформированное состояние плитностержневых систем, в составе которых могут быть пластины, имеющие концентраторы напряжений.

Библиографический список

1. Расчет сооружений с применением вычислительных машин / А.Ф. Смирнов, А.В. Александров, Б.Я. Лащенников [и др.]. - М. : Стройиздат, 1964. - 380 с.

Вестник ТГАСУ № 4, 2007

115

2. Кадисов, Г.М. Матрица Грина в задаче о плоском напряженном состоянии прямоугольной пластинки / Г.М. Кадисов, Н.В. Завьялова // Строительная механика и расчёт сооружений. - 2006. - № 3. - С. 2-6.

3. Завьялова, Н.В. Применение метода компенсирующих нагрузок к расчёту балок с перфорированной стенкой / Н.В. Завьялова // Межвузов. сб. трудов студентов, аспирантов и молодых ученых. - Омск : СибАДИ, 2005. - Вып. 2. - Ч. 1. - С. 125-128.

4. Кадисов, Г.М. Применение матриц Грина в задачах строительной механики прямоугольных пластин / Г.М. Кадисов // Строительная механика и расчёт сооружений. -2006. - № 5.

5. Кадисов, Г.М. Свободные колебания пластинок с различными закреплениями продольных кромок / Г.М. Кадисов //Труды Всероссийской научно-технической конференции. -Омск : СибАДИ, 2006. - С. 139-144.

6. Кадисов, Г.М. Динамика и устойчивость сооружений : учебное пособие / Г.М. Кади-сов. - Омск : Изд-во СибАДИ, 2000. - 268 с.

N.V. ZAVYALOVA

THE CALCULATION OF PLATES WITH RECTANGULAR HOLE

Green’s functions are suggested for analysis of plane-stressed state of rectangular plates with different boundary conditions. The possibility of their application at the calculation of freedimensional thin-walled system is considered. The problem of evaluating the plane stress-strain state in plates with rectangular holes is formulated. The method of extending the given system with mutually balanced compensating loads was used. The numerical example is presented.

УДК 535.2

A.И. АНТОНОВ, канд. техн. наук, доцент,

B.И. ЛЕДЕНЕВ, докт. техн. наук, профессор,

А.М. МАКАРОВ, аспирант,

ТГТУ, Тамбов

ИССЛЕДОВАНИЯ ДЛИНЫ СРЕДНЕГО СВОБОДНОГО ПРОБЕГА ЗВУКОВЫХ ЛУЧЕЙ В ПРОИЗВОДСТВЕННЫХ ПОМЕЩЕНИЯХ С ОБОРУДОВАНИЕМ

Одной из основных акустических характеристик звуковых полей помещений, влияющих на распределение в них звуковой энергии, является средняя длина свободного пробега звуковых лучей. Наличие в производственных помещениях технологического оборудования приводит к рассеянию звуковой энергии и, соответственно, к изменению средней длины свободного пробега. В работе для оценки изменений средней длины пробега лучей и анализа влияния на нее параметров помещения, характеристик рассеивающих звук предметов и других факторов произведено компьютерное моделирование звуковых процессов на основе метода прослеживания лучей.

В настоящее время в существующих методах расчета энергетических характеристик отраженных шумовых полей производственных помещений

© А.И. Антонов, В.И. Леденев, А.М. Макаров, 2007