Влияние приклеенных ребер жесткости на характеристики остаточной прочности панелей из анизотропных и изотропных материалов Текст научной статьи по специальности «Физика»

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц А Г И Том XVIII 1987

М 2

УДК 629.7.015.4.023.2

ВЛИЯНИЕ ПРИКЛЕЕННЫХ РЕБЕР ЖЕСТКОСТИ НА ХАРАКТЕРИСТИКИ ОСТАТОЧНОЙ ПРОЧНОСТИ ПАНЕЛЕЙ ИЗ АНИЗОТРОПНЫХ И ИЗОТРОПНЫХ

МАТЕРИАЛОВ

В. Н. Максименко, В. Н. Павшок

С помощью функций Грина решается задача о взаимодействии системы приклеенных ребер жесткости с бесконечной анизотропной или изотропной пластиной, ослабленной эллиптическим отверстием или трещиной. Предлагается метод учета упругопластического деформирования материала ребра и клея, а также эксцентриситета расположения ребра. Задача сводится к системе нелинейных интегральных уравнений. Изложен итерационный метод ее численного решения, приводятся результаты расчетов. Полученные результаты позволяют обоснованно подходить к проектированию конструкций с заранее предусмотренной возможностью повреждений и способностью сохранять остаточную прочность до момента обнаружения и ремонта повреждений.

Умение определять напряженно-деформированное состояние пластин, ослабленных отверстиями, трещинами и усиленных приклеенными ребрами жесткости, позволяет обоснованно выбирать вариант ремонта панели авиаконструкции, получившей повреждение типа пробоины или трещины или схему проектирования конструкции с заранее предусмотренной возможностью повреждений и способностью сохранять остаточную прочность до момента обнаружения и ремонта повреждений.

Ниже с помощью функций Грина решается задача о взаимодействии системы приклеенных ребер жесткости с бесконечной анизотропной или изотропной пластиной, ослабленной эллиптическим отверстием или трещиной. Предлагается метод учета упругопластического деформирования материала ребра и клея, а также эксцентриситета расположения ребра. Задача сводится к системе нелинейных интегральных уравнений. Изложен итерационный метод ее численного решения, приводятся результаты расчетов.

1. Рассмотрим бесконечную упругую анизотропную пластину постоянной толщины /г, ослабленную эллиптическим отверстием А = = {(х/а)2+ (у/Ь)2= 1}. Контур отверстия свободен от внешних усилий.

Используя конформные отображения внешности единичного круга на внешность эллипсов Л, (/ = 1, 2), соответствующих Л при аффинном преобразовании г] = х + щу \г = х + 1 у), и обратные функции [1]

(1.1)

запишем комплексные потенциалы, дающие решение задачи о действии единичной сосредоточенной силы е'“(0<;и><[2тс) в некоторой точке / пластины

Здесь и ниже использованы обозначения работы [2].

Перемещение пластины в точке г по направлению е'э определяется выражением [1]

т 1W =Р] cos Ъ + qj sin »; pj = аи - а16 + а,„;

Qj = ®12 !Лу "Ь ^22 I1/ 1 fl26 •

Пусть пластина подвержена действию внешних усилий интенсивности rs(ts) = rs(■»]), распределенных по линиям = {/ = ^(tj) = — + Р* e^s ■*]■> 0<т)<!1; 0<C9s<2tc; s=l, /л}. Положительное

i (О1

направление для rs совпадает с направлением вектора е s .

Тогда выражение для смещения пластины в точке z по направле-

нию получается из (1.2) методом суперпозиции

Аналогично записываются выражения для напряжений и деформаций.

2. Рассмотрим анизотропную пластину с эллиптическим отверстием Л, к которой вдоль отрезков Гв (5=1, т) присоединены посредством склеивающего слоя толщины Д8 подкрепляющие накладки (ребра жесткости). Расчетная схема изображена на рис. 1. Накладки нагружены на своих концах г) = 0 и 1 силами К пластине при-

ложена заданная система внешних усилий.

Пусть толщина пластины и размеры поперечного сечения склеивающего слоя и накладки малы в сравнении с длиной р8 участка соединения Гв (см. рис. 1). Склейка более гибкая, чем ребро и пластина.

Примем ряд упрощающих допущений [3, 4]. Будем считать, что пластина находится в обобщенном плоском напряженном состоянии. Контактные усилия г3 на пластину от накладки передаются по линиям Г., и совпадают со срединной плоскостью пластины. Склейка работает только на сдвиг, а деформация сдвига у и напряжения сдвига т равномерно распределены по поперечному сечению склейки и являются лишь функциями продольной координаты. Напряжениями отрыва, возникающими в зоне склейки, пренебрегаем. Накладки работают только на растяжение—сжатие.

«1= £;) = А} In (С, - е;.) -IjA, In (ё, - С/"1) -

-лДппб-сг1);

Су = Су (Zj); £у = Су(tjY, Aj = Aj (ш).

(1.2)

(1.3)

т

"i(z, &) = 2 рЛ м* Е2> bs]rsiri)drl. (1.4)

.5 = 1 0

Если вдоль линии Гт на некотором участке ДЛИНЫ 8т связь между накладкой и пластиной посредством клеевой прослойки отсутствует (см. рис. 1), то контактные усилия на этом участке будем считать равными нулю. Такой прием позволяет рассматривать случай отслоения подкрепляющего элемента.

В случае, когда трещина приближается к накладке или проходит под ней, а приложенные к пластине внешние усилия значительны, возникает необходимость учета пластической работы склеивающего слоя и ребра [4]. Будем поэтому предполагать, что материал накладок и склеивающего слоя деформируется нелинейно по законам [5]

где аа, — напряжения растяжения и сдвига на диаграммах деформирования материала ребра и клея соответственно; в5(а^), —

величины деформаций на тех же диаграммах; а3{&) = Е*1Е'3(<з3), М*5) = ^/(3*(т5)— поправки на пластичность материала ребра и клея; Ея, — модуль упругости и модуль сдвига на упругом участке диаграммы деформирования; Е*(о8), С*(-сх) — переменные параметры упругости.

Напряжения а&, выражают через погонные контактные усилия г(*)= {г^(£*); $= 1, т\, передающиеся от подкрепляющего элемента к пластине, следующим образом (і = $ + е”5 И £ Г5):

где /^—ширина и площадь поперечного сечения в-го ребра (см. рис. 1). Здесь и ниже использованы обозначения /*[£*(?)]= /*(£)•

(2.1)

в = 1, т,

(2.2)

С учетом (2.1), (2.2) перемещения точек 5-го ребра с точностью до произвольной постоянной С3, определяющей смещение ребра как жесткого целого, можно представить в виде

5

«40 = -^ ]Ч(7Й«ДТ1) *! + £*• (2.3)

о

Перемещение пластины в точке 2 по направлению определяется выражением

и (2, й) = и0 (2, &) + {г, &). (2.4)

Здесь «1(2, Ф) —смещение от действия контактных усилий г(£) —представлено формулой (1.4); «0(2,'&)—смещение от действия системы внешних усилий. Значения и0{г, О) можно определить с помощью известных методов [1], ниже и0(г,-&) будем считать известными.

Исходные уравнения задачи получим из условий совместности перемещений ребра и пластины вдоль линии контакта [3]

*,/- - ^-тт-г-МОМ*), 5=1, т. (2.5)

Условие равновесия ребра в имеет вид 1

К(^ = (^-Я|)/Р„ 8 = ТГ^г (2.6)

и служит для определения неизвестной постоянной С$-

Из (2.5), (2.6) с учетом соотношений (2.3), (2.4) получим следующую систему нелинейных интегральных уравнений относительно неизвестных функций фв(|) =г3(1)/рк (р — некоторое номинальное напряжение)

ТТ1 1

р* (ч ?, (*) + 21 & ч) ** м ^ +

к=1 О

£

+ $ (г, — V) (71) <Р4 (1)) йг, + С* =/, (?),

о

1 рз

3 = —

К* (6. Ч)■

1, тп\

2 2Ие ГД^) У=1

+ I, Ах (в,) 1п ( в?-------------Ъг\ + п} АМ 1п 4

■Л,(*,)1п (С*-ер +

т)1Ь

Л (?) = { ЦР2 «, (1) - Р? а, (0)] - Р11 а, (т|) Л, +

+ ^й0(^Ц;

С/=<Н**0#, е/ = ^ [** О)]; с: = с,А|; ^

(2.7)

Здесь ядра Агав имеют логарифмическую особенность при | = т). Функции «ИЕ). |М£) связаны с ф8(|) соотношениями (2.1), (2.2).

3. С целью учета эксцентриситета Кэ между нейтральной осью накладки 5 и линией ее контакта с клеевым слоем (см. рис. 1) будем рассматривать накладку как стержень, подверженный внецентренному растяжению. Считая, ради простоты, что поперечное сечение подкрепляющего элемента симметрично относительно центральной оси, перпендикулярной к плоскости пластины, перемещению ребра можно придать вид [6]

^(0 = 11 +№)2] «40-

Здесь 18= (Л/^)^2— радиус инерции поперечного сечения накладки 5 относительно центральной оси, параллельной плоскости пластины, а ы8(0 определено формулой (2.3). В частности, для накладки с постоянным по длине прямоугольным поперечным сечением (кв/18)2 = 3. Интегральное уравнение задачи сохраняет вид (2.7), где У?8 следует заменить на [1+ (х8А'в)2]и^8.

Если задача симметрична относительно оси х (пластина ортотроп-ная и главные направления анизотропии материала совпадают с осями координат, а геометрия задачи и внешняя нагрузка таковы, что неизвестные контактные усилия кососимметричны относительно оси х), то разрешающая система интегральных уравнений задачи (2.7) упрощается и сводится к определению неизвестных контактных усилий г(£) на частях Г8, расположенных в верхней полуплоскости (явный вид уравнений здесь не приводится).

Если положить в (1.1), (1.2) одну из полуосей эллиптического отверстия равной нулю, получим решение задачи о бесконечной анизотропной пластине с прямолинейным разрезом Ь, усиленной приклеенными накладками. Например, если Ь — 0, то £ = {|х|<а; у = 0} и ядра уравнений (2.7) примут вид

а а 2 :

(6, Ч) = -4^ Е 2 Ие\Т1 (»,) [- А, (»,) 1п - ф- А, (&,) I (£ ф+

^ /=1

+ 1,7^1$, ?г) + п, АЖ) I (</, т,

I (г, /) = {1п [г -)- V г2 — а2 ] — 1п \У— а2 V& — а* + — «2]}/2.

В предельном случае а/й->-0; р^, | йз | <С~А (я= 1, т) интегральные уравнения (2.7) дают решение задачи для анизотропной полуплоскости (х>0) с приклеенными накладками [7].

Если жесткость склеивающего слоя растет (0/Л-»-оо), то из (2.7) предельным переходом получим, аналогично тому, как это делалось в [7], систему интегральных уравнений работы [2], дающих решение рассматриваемой задачи для случая непосредственного соединения подкрепляющего элемента с пластиной.

Осуществляя аналогично {7] предельный переход в (1.1) — (1.4),

(2.7) в параметрах анизотропии (ц.—М-1—Нз-^О), получим разрешающие уравнения задачи для случая изотропного материала пластины (здесь не приводятся).

4. Система нелинейных интеральных уравнений (2.7) решается с помощью метода упругих решений [5]. Неизвестные функции представим в виде

ъ (?) = 2 П ^ 0); а* (5) = Е (6); Р, (?) = Е Р*^ (?). (4- О

где I* (?) — функции, непрерывные на интервале [О, 1] и линейные на каждом интервале %}] (0 = $, < 12 < ... < ^ =1), ($,) = Ьк},

а 8Й; — символ Кронекера. Систему (2.7) заменяем системой линейных алгебраических уравнений относительно неизвестных

Коэффициенты при в системе (4.2) вычисляются в замкнутом

виде через а*, р*.

Для решения системы (4.2) применяем следующий итерационный процесс. Положив вначале а8(|)=рв(|) = 1 и разрешая систему (4.2) относительно <р*, находим нулевое приближение для ф8(1), дающее упругое решение задачи. Вычисляя затем по формулам (2.2) напряжения в накладке и клеевой прослойке и снимая соответствующие им деформации с диаграмм растяжения и сдвига (2.1), определяем значения а5(|й) —а£, Р^($*) = Р|. Подставляя далее найденные величины а£, р* в систему (4.2) и решая ее, получаем решение, являющееся первым приближением для фв(|). Уточняя значения а8(|), рв(£) в узловых точках ? — получаем второе приближение и т. д. Расчет продолжаем до тех пор, пока результаты в некотором приближении не будут близки к соответствующим результатам в предыдущем приближении.

5. Рассмотрим пластину из изотропного (£ = 276,1 ГПа; у = 0,25) или ортотропного (£1 = 276,1 ГПа; £2 = 27,61 ГПа; 012= 10,35 ГПа; ^12=0,25) материалов, ослабленную эллиптическим отверстием Л или прямолинейным разрезом £ = {|л:|<а, у = 0} и усиленную вдоль отрезков Г8 = {|г/|<а*, х = 1в} приклеенными накладками с одинаковой относительной жесткостью и$=Е1И,а3(Е$Р3)~1 = 0,4. Относительная жесткость клеевой прослойки У8 = 03й8а3(Е 1НА3)~1 = 0,5 при 5=1, т). Пластина растягивается на бесконечности равномерными усилиями р вдоль оси у. Предполагается, что главное направление анизотропии Е1 совпадает с осью у, а относительная длина накладок ав/а= 10.

На рис. 2 приведены результаты расчетов напряжений <уу в вершинах (±а, 0) эллиптического отверстия Л в ортотропной пластине, подкрепленной двумя (сплошные линии) или четырьмя (штриховые) симметрично расположенными приклеенными накладками, в зависимости от /[/1|2=±/; /з>4= ± (/ + а/2)] при различных значениях отношения полуосей эллипса 6/а = 0,5; 1; 2 (кривые 1, 2, 3).

<?*(&= 1, ДГ; х=1, т):

т г 1

А ( к ^к

+ Е 2 а*Л .(1 ■- Ф^(ч) ^ (ч) Ц ?? + с* = Л $); (4 2>

/яЛ \П = 1 0

)

J_____L

7 1,5

Рис. 2

J_______J

L/a

На рис. 3 и 4 представлены значения поправочного коэффициента интенсивности напряжений (КИН) отрыва в вершинах трещины (отношение КИН в вершине трещины в подкрепленной пластине к соответствующему КИН в пластине без подкрепления)

К (+а) = Нш — д/— ; г = \х — а |

■*-*±(а+0) р X а

в ортотропной (сплошные линии) и изотропной (штриховые) пластинах, подкрепленных одной накладкой (к = 1). Предполагается, что под накладкой по участку |г/|<б произошло отслоение клеевого слоя от пластины. Цифрой 1 обозначены кривые для неповрежденного подкрепления: цифрой 2— для разорванной посредине накладки. Формулы для вычисления К приведены в [2].

Рис. 3 иллюстрирует зависимость К(±а) от I (расстояние между центром трещины и осью накладки). Длина участка отслоения прини-

малась равной длине трещины (8 = а). Значения К в обеих вершинах трещины в случае разорванной накладки значительно увеличиваются по сравнению со случаем не-разорванной накладки. Таким образом, повреждение накладки делает конструкцию более восприимчивой к разрушению.

На рис. 4 дана зависимость К(±а) от длины участка отслоения клеевого слоя. С увеличением длины отсоединения клеевой прослойки под неразорванной накладкой эффективность подкрепления заметно уменьшается.

Рис. 5 иллюстрирует влияние длины зоны отслоения на величину деформации сдвига в клеевом слое в конце зоны отслоения у*=,у(б) в случае упругой (кривые )) и упругопластической (кривые2) работы материала клея и подкрепляющего элемента. Материал пластины изотропный, р = 50 МПа. Диаграмма упругопластического деформирования клея и накладки соответствуют материалам клея БМ-73 и алюминиевого сплава 7075-Т6 [4]. Сплошными линиями изображены кривые для случая, когда учитывалось, что накладка прямоугольного поперечного сечения присоединена к пластине с эксцентриситетом, штриховыми линиями — без учета эксцентриситета и формы ребра. Итерации прекращались, когда выполнялось условие | -^(0 — -^(1—1) | <--■ е-уСО^ где 7(г> — зна-

V7! N = 5 ЛГ= 15 5= II ю СП

0,4 0.5 0,814 0,815 0,816 0,816 0,816 0,816

5 0,448 0,454 0,456 0,456 0,456 0,457

50 0,320 0,333 0,334 0,339 0,337 0,339

4 0,5 0,879 0,880 0,882 0,882 0,882 0,882

5 0,764 0,778. 0,785 0,786 0,787 0,787

50 0,669 0,702 0,720 0,730 0,727 0,731

40 0,5 0,968 0,970 0,972 0,972 0,972 0,972

5 0,930 0,943 0,949 0,951 0,951 0,952

50 0,897 0,914 0,923 0,931 0,928 0,932

чение у* на i-u шаге итерационного процесса (см. п. 4). Расчеты показали, что для данной композиции при е=10~2 достаточно 3—8 итераций. Из графиков следует, что при отслоении клея значения у* (8) резко возрастают на промежутке 0<6<а/4, а затем убывают. Поэтому процесс отслоения клея должен происходить лавинообразно до достижения некоторых определенных размеров зоны отслоения б*, когда величина у* становится меньше критической.

Результаты расчетов по исходным параметрам работы [4] совпадают с расчетными данными и согласуются с экспериментальными данными упомянутой работы.

Расчеты показали хорошую сходимость итераций. В таблице приводятся значения К(±а) для задачи, изображенной на рис. 5 (s=l), при различных значениях относительных жесткостей U\, Vi в зависимости от количества и характера расположения узлов на половине участка присоединения (в предположении, что ребро и клей деформируются упруго, длина отслоения равна длине трещины). Участок склеивания Si<|i/|<ai разбивался либо равномерно расположенными узлами £г = 1 ->г (b1ja1 — 1) 1 , i «= 1, N , либо узлами — 1+ — 1)

( cos ^ тс j + ^ (г=1, N) со сгущением у концов участка.

Очевидно, что уменьшение параметров (Js, и сгущение узлов разбиения в окрестности концов участков склеивания улучшает сходимость решения.

ЛИТЕРАТУРА

1. Лехницкий С. Г. Анизотропные пластинки.—М.: Гостехиздат,

1957.

2. М а к с и м е н к о В. Н., Хан Ю. Н. Влияние ребер жесткости на напряженно-деформированное состояние около отверстия или трещины в анизотропной пластине. — Ученые записки ЦАГИ, 1982, т. 13, № 3.

3. Максименко В. Н., Фильштинский Л. А. Передача нагрузки от ребра жесткости к анизотропной оболочке в случае наличия между ними склеивающего слоя. — Прикладная механика, 1978, т. 14, № 8.

4. Свифт Т. Анализ разрушения клеевых панелей с трещинами. — Теоретические основы инженерных расчетов. — Труды Амер. об-ва инж.-мех., сер. D, 1978, т. 100, № 1.

5. Писаренко Г. С., Можаровский Н. С. Уравнения и краевые задачи теории пластичности и ползучести. — Киев: Наукова думка,

1981.

6. Ф и л о не н к о-Б о р о д и ч М. М., Изюмов С. М., О л и-с о в Б. А., М а л ь г и н о в Л. И. Курс сопротивления материалов, ч. I.—■

М.: ГИФМЛ, 1961.

7. Максименко В. Н., Судаков Н. С. Взаимодействие приклеенного ребра жесткости с пластиной из композитного материала. — Механика композитных материалов, 1983, № 3.

Рукопись поступила 4/XII 1985 г.