Влияние ребер жесткости на напряженно-деформированное состояние около отверстия или трещины в анизотропной пластине Текст научной статьи по специальности «Физика»

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц А Г И Том XIИ 1982

№ 3

УДК 539.3:629.735.33,015.4.023

ВЛИЯНИЕ РЕБЕР ЖЕСТКОСТИ НА НАПРЯЖЕННО-ДЕФОРМИРОВАННОЕ СОСТОЯНИЕ ОКОЛО ОТВЕРСТИЯ ИЛИ ТРЕЩИНЫ В АНИЗОТРОПНОЙ ПЛАСТИНЕ

В. И. Максименко, Ю. И. Хан

Решается задача о распределении напряжений в упругой анизотропной пластине, подкрепленной конечным числом стрингеров и ослабленной эллиптическим отверстием или трещиной. Пластина подвергнута на бесконечности равномерному растяжению под произвольным углом к оси Ох.

Строится общая система сингулярных интегральных уравнений задачи. Предлагается алгоритм численного решения уравнений. Приводятся результаты расчетов.

Многие типовые элементы современных конструкций самолетов и ракет представляют собой панели из композиционных материалов. В первом приближении такие материалы можно рассматривать как однородные анизотропные.

Влияние подкрепляющего набора на распределение напряжений вокруг концентраторов напряжений (отверстий, трещин) в таких панелях представляет большой практический интерес как на стадии проектирования конструкций, так и при анализе остаточной прочности и долговечности.

В данной работе методом функций Грина строится разрешающая система интегральных уравнений задачи об анизотропной пластине, ослабленной эллиптическим отверстием или трещиной и усиленной стрингерами Предлагается эффективный метод численного решения полученных уравнений, приводятся результаты расчетов.

1. Рассмотрим бесконечную упругую анизотропную пластину постоянной толщины к, ослабленную эллиптическим отверстием полуоси которого а и Ь, Пластина подкреплена т стрингерами (рис. 1). Отверстие свободно от внешних усилий. Пусть в некоторой точке г0 пластины действует сосредоточенная сила Реы.

Используя конформное отображение внешности единичного круга т на внешность эллипсов ЛД/ = 1, 2), соответствующих Л при аффинном преобразовании — Кег4-^1ш^, и обратные функции

г; 4- 2* — Д3 — и.? 62

</-</<*/)---------а1»;т- -; 'чК*' У=‘. 2).

запишем комплексные потенциалы ?, (г,) ф'(£,) |1]:

?• (у = Л, 1п (С, - С, 0) - I, Л, 1п -- - я,- Л, 1п -

—г ьу -»ао

V

г/=-^г^; п,= С/=’-2>>

Iх! 1^з—/ ^з-у

где Лу. определяется из системы уравнений

А1 + А ■?' — А! — А ■

РЪ\П О) 2т Н

и-5 Ах + а2 А2 ^ Ах ^2 ^2 =

и■\А1 + А2 — а2 Ау — ^ Л2 = —

Рсов Ш

А

2тЛкап Р (а12 сое о» + Д2д $1п ш)

2 глЬа?

а ц; (1гп ^ > 0) — корни характеристического уравнения

^11 2^1с -^- (2&\<> Лее) 2<22е I1 “Н ^22 ==

(1.1)

(1.2)

2иШ

Р (й16 С05 ш 4- #12 Э1П ш)

Рис. 1

Коэффициенты а^ характеризуют упругие свойства материала. Перемещения, деформации и напряжения в пластине определяются выражениями [1]

и = 2Ке |Ер;|; V - 2Ке Ц;

г., = 2(?е |2 Р, Ф/‘(Су)}; *, = 2Ие 12 Я, Н-у Ф* (Су)} ;

т„=гке (2 о ф*(су)| ; ф‘(у = [®;(Су)]:>; (Су>;

/ 2 ^ (а^, & —.2

(- 1)42Ие £^Ф*(Су) ==к,, *= 1 1/=1 ’ \я ь = о

(1.3)

Р}—'®11Н-/” а]0 Р/ “1" а\Ъ Я}—#12 ^7 “Ь ®22 1 а'“6’

о = ^ + ®2б ~ й66 (У = 1, 2).

В частности, выражение деформации в точке г в направлении, задаваемом углом 0, от действия сосредоточенной силы Ре‘ш, приложенной в точке г0> имеет вид

6* (2, *>, 20, «) = 2Ке|25;(») =

21*е

А;{ СВ)

I) А («)

(1.4)

(■у* (^)

1"" »;<:,) су-Суо СуСумо -1) Су(Су ;м-1) 5у (9) = р} с052 & + Я] Ру Б1П2 я> -|- О эш & соз 9-;

~ С^/)» О ” '»_/ О о).

Выражения для перемещений, деформаций и усилий в случае загрузки по линиям получаются наложением соответствующих решений от действия сосредоточенных сил.

Например, деформация г(г, 0) пластины с эллиптическим отверстием в точке г в направлении 0 от действия внешних усилий, сосредоточенных на линиях 13 = {^(?)) = г*3 + р5е1,)^ (1 4-*))/2(—

— 1 < г) < 1} (5 — 1, яг), интенсивности qs(ts)~gs(ri):

\-л Г I 5 > (й)

(г; &)=£2 Ье 2-4-г

5=1 1/5 “/(V

ИЛИ

-I

Ч А (*Л-)

1 5у (Ь) Лу(»,)

“у Су)

Яу

Су С? (ч) — 1)

(1.0)

(положительное направление g$ совпадает с направлением вектора

В случае, если пластина с эллиптическим отверстием растягивается на бесконечности усилиями р, составляющими угол а с осью х, соответствующие комплексные потенциалы имеют вид

Постоянные В; определяются через значения напряжений на бесконечности:

2. Рассмотрим анизотропную пластину с эллиптическим отверстием I, к которой вдоль отрезков 4(5= 1, т) непрерывно присоединены ребра жесткости. Пластина растягивается на бесконечности усилиями р, составляющими угол а с осью х (см. рис. 1, а = 0).

Будем предполагать, что толщина пластины, а также размер поперечного сечения ребра малы в сравнении с длиной скрепленного участка. Примем модель контакта по линии и будем считать, что ребро работает как упругий одномерный континиум, а пластина находится в обобщенном плоском напряженном состоянии.

Обозначим через £(0 = {&(*)! *£^5 5 = Т7 /я} контактные усилия, возникающие в пластине от ребра. Эти функции — основные неизвестные задачи. Зная их, напряженно-деформированное состояние пластины определяем по формулам (1.3) — (1.6).

Деформация растяжения &-го ребра

где Ек, Еь~РьРь(')-~ модуль упругости и площадь поперечного сечения &-го ребра.

Деформация е*(**) пластины на линии 1Л от действия неизвестных контактных усилий gs(t) (5=1, т) и растяжения (о* + /оу = = ре*а, =0) определяется формулами (1.5), (1.6).

Исходное уравнение задачи получается из условия совместности деформации ребра и пластины на линии контакта

Решение уравнения (2.2) следует подчинить дополнительному условию равновесия ребра

равна Су = С,(<*).

+ ш(2{х.3_;. 8Іп2а-[-5іп2а)], (/—1, 2).

(1.6)

тс=/?8іп2а; хг =/? біп а Сов а; х2 = р со52 ос.

є* (**) = є5 (5=1, т).

(2.2)

(2-3)

Из (2.1)— (2.3) получим следующую систему сингулярных интегральных уравнений задачи для искомых функций gs:

f-'Ml'_7i)Sk(ri)dr, + 2 f^b(5i ^gs(4)d-n=/tm

* Т) ? S=1

1

I gkto)d’n*=Ot (k=zLTni); gk(t) = gA(f\).

-i

(2.4)

)

Здесь Ak($, v}), Kks{l, *)), fk(5) — функции, определяемые формулами

Sjfik) Д>*(8*)

A.(S.4) = (4-S)p»Re|i u. -w_c?(9

s 11 Ps |Ц »;tt*,(5)i

. tjft) (5)

+

«/ ^2 (#*)

c* (?) [cf (5) (■*])—l ] cf №) [c) (e)c| (I) -1]

\ D lv Г h A1 (&*)

T[) = Pa Re\2i~^

, (£ =£ s);

(y5i “Hv©]

+

Л; A2 (&a)

ЛИ-2Re £

«/ (£) tt, (5) 1(4-1!

P*[l ~sgn Cl —5)1 . *EkFlFB® '

X

X

/=i -Avft]

[£ (^3_/ sin 2a + 2 COS2 a) -f itf (2jx3_^ sin3 a) -{-sin 2a]

««‘а-у-МК/ЮР

— p [(an cosa-}- a12sin a) cos2 (ai2cosa-{~

-f #22 sin a)sin2 + (#16 cos a + a26 sin a) sin cos dfe].

3. Решение уравнений (2.4) имеет вид [2]

(2.5)

(3.1)

Используя обобщенные квадратурные формулы Гаусса [3], уравнения (2.4) заменяем системой т X N линейных алгебраических уравнений относительно приближенных значений искомых функций ££(?) в чебышевских узлах:

N т

rw2L +к»ъ, .,•)}£?Ы=Л(У;

i = l JS=1

/=1

4f=c°s—^-*, (/ = 1, iV);

cos -jj- те, (У=1, ДГ—1).

(3.2)

Полагая а = 0, получим решение задачи об анизотропной пластине, усиленной т стрингерами и ослабленной вдоль отрезка [— Ь, Ь\ оси у разрезом (трещиной), свободным от внешних усилий. Аналогичная задача, когда ребра расположены параллельно оси х и приклеены к пластинке, рассматривались в [4].

При а — 0 напряжения имеют особенность в окрестности концов разреза. Для вычисления коэффициентов интенсивности

ч,2= Пт ох(0, v)

у —► ± Ь

имеем следующую формулу [см. (1.3), (1.5), (l.6)J:

I 2

Р D IV sin 2а + 2 cos2 а)

wr*e\h---------------------------

г

,2

yrifs J

My (8J (&,)

A (#j)

Ol)

*"1

+

+

(3.3)

4. Ниже приводятся результаты расчетов на БЭСМ-6 пластины из стеклопластика с параметрами анизотропии £,/£2= 3; £‘1/С=6,24; у1 = 0,24, ослабленной круговым отверстием (е = = 1) или раз-

резом (г = 0) и подкрепленной вдоль отрезков /у={—р/2<х$<С?!%; ух = Ь5}, («=1, 2) двумя стрингерами одинаковой жесткости

и = Е1 рЬ/(Е0 £0). Пластина растягивается на бесконечности равномерным усилием р вдоль оси л-. Предполагается, что главное направление анизотропии Ех образует угол ср с осью х.

Табл. 1 иллюстрирует распределение напряжения аь}р на контуре кругового отверстия при приближении симметрично расположенных стрингеров {р2== — Ьх), Для различных а = 0; 1; 10;

)* — Ь^'Ь— 1,1; 1,5; 2; р/6=1 и 10. Ввиду симметрии решаемой задачи распределение напряжений показано на четверти окружности 0 <0 < тс/2. В расчетах принято <р = 0.

На рис. 2 представлена зависимость контактных усилий взаимодействия ребра с пластиной ё{^)=-{рЬк1р)~х от относительной

-У

-0.5

V'

J

К ^ 7 1 ll : Y 1

Hi/ VN «-А К \1

Рис. 2

Я/Ь < А X 0° 9° 1—( со о 27 0 со <т> о 45° 54° 63° 72° 81° с о *1

1,1 0 -0,56 -0,51 -0,37 -0,14 0,17 0,59 1,15 1,85 2,57 1,90 1,16

I -0,56 -0,52 -0,38 -0,15 0,15 0,57 I, II 1,81 2,57 2,27 1,81

10 -0,57 -0,53 -0,39 -0,18 0,12 0,50 1,02 1,72 2,58 3,13 3,31

I 0 -0,57 -0,53 -0,39 -0,19 -0,09 0,46 0,94 1,59 2,46 3,41 3,86

1,5 I -0,57 -0,53 -0,39 -0,19 0,09 0,46 0,95 1,61 2,50 3,45 3,90

10 -0,58 -0,53 -0,40 -0,19 0,10 0,47 0,97 1,66 2,57 3,53 3,99

0 -0,58 -0,53 -0,40 -0,19 -0,09 0,45 0,95 1,64 2,55 3,54 4,01

2 I -0,58 -0,53 -0,40 -0,19 -0,09 0,46 0,96 1,65 2,57 3,54 4,01

10 -0,58 -0,53 -0,40 -0,19 0,09 0,47 0,97 1,67 2,59 3,56 4,03

0 0,03 -0,05 0,10 0,16 0,21 0,25 0,25 0,20 0,16 0,02 0,00

1,1 I -0,08 -0,06 0,00 0,09 0,20 0,31 0,41 0,47- 0,57 0,47 0,39

10 -0,40 -0,36 -0,25 -0,07 0,17 0,47 0,83 1,23 1,77 1,92 1,92

0 -0,12 -0,09 -0,02 0,07 0,18 0,27 0,35 0,41 0,46 0,50 0,52

10 1.5 I -0,21 -0,18 -0,10 0,02 0,16 0,31 0,48 0,67 0,90 1,12 1,23

го -0,45 -0,41 -0,29 -0,12 0,12 0,42 0,80 1,32 2,00 2,71 3,04

0 -0,28 -0,25 -0,16 -0,03 0,12 0,29 0,46 0,69 0,95 Г,19 Г,ЗГ

2 I -0,34 -0,31 -0,21 -0,06 0,12 0,33 0,59 0,91 1,31 1.73 1,92

10 -0,49 -0,45 -0,33 -0,И 0.10 0,43 0,85 1,43 2,18 2,97 3,34

жесткости ребра и~0, 1, 10. Ребра расположены симметрично (Ь2~ — Х= 1,1; р/Ь—10; <р = 0. Сплошная линия соответствует случаю кругового отверстия, а пунктирная—прямолинейному разрезу (трещине).

На рис. 3 и 4 представлены зависимости поправочного коэффициента к\ = кх1каа (А*, — коэффициент интенсивности напряжения отрыва для пластины, ослабленной одной трещиной) от длины ребра р и расстояния й от вершины трещины до ребра. В расчетах

принято Ь2 = — 9 = 0; и = 0,

1, 10. На рис. 3 сплошная линия

Рис. 3

Рис. 4

соответствует с! = 0,1, нунктирная <2 = 0,2. На рис. 4 р = 2, сплошные линии соответствуют <р —0, а пунктирные <р = тс/2.

Результаты расчетов показали хорошую сходимость алгоритма. В табл. 2 приводятся для сравнения значения в пластине, ослабленной прямолинейной трещиной единичной длины и подкрепленной симметрично расположенными ребрами жесткости

Таблица 2

с V // = 10 N = 20

0 0,23613 0,23062

од I 0,33637 0,33001

10 0,58037 0,57573

0 0,65601 0,65601

1.0 I 0,66838 0,66835

10 0,69466 0,69464

(см. рис. 3) при <2 — 0,1; 1, V =.0; 1; 10, <р = 0, р — 2 для случая, когда в системе (3.2) принималось ЛГ= 10; 20. С уменьшением с! и увеличением и точность несколько снижается.

1. Лехницкий С. Г. Анизотропные пластины. М., Гостех-издат, 1957.

2. Мусхелишвили Н. И. Сингулярные интегральные уравнения. М., „Наука", 1968.

3- Erdogan F., Gupta G. D,, Cook T. S. Numerical „solution of singular integral equations. In. „Meehan, fracture. I Methods of analysis and solutions of crack problems”. Ed. G. C. Sih, Leyden, Noord-hoff Int. Publ. Co., 1973.

4. Arin K- Several intact о г broken stringers attached to an orthotropic shut with a crack. Eng. Fract. Mech., vol. 1, N 1, 1979.

Рукопись поступила lOjXH 1980