Расчет напряженного состояния клееклепаных слоистых пластин с трещиной Текст научной статьи по специальности «Физика»

_______УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц АГ И

Том XXI 1990

№ 5

УДК 629.7.015.4.023.8:621.792 629.7.015.4.023.8:624.078.1

РАСЧЕТ НАПРЯЖЕННОГО СОСТОЯНИЯ КЛЕЕКЛЕПАНЫХ СЛОИСТЫХ ПЛАСТИН С ТРЕЩИНОЙ

В. Н. Максименко, А. В. Тягний

Методом интегральных уравнений решается задача о взаимодействии клееной и (или) клепаной широкой композитной ремонтной накладки с пластиной, ослабленной трещиной, а также задача расчета поврежденной клееклепаной двухслойной композитной панели. Предлагаются методы учета пластического поведения клея и заклепки, эффекта изгиба панели. Численные примеры иллюстрируют влияние на коэффициент интенсивности напряжений ряда параметров, соединения, дают оценку эффективности различных видов присоединения накладки к пластине. Предложенный метод и полученные результаты позволяют оценивать возможные последствия ремонтных мероприятий, а также остаточную прочность двухслойных повреждений клееклепаных элементов конструкций.

Для обоснования ремонта конструкций с трещинами при помощи клееных и клееклепаных накладок из композиционных материалов (КМ) требуется умение определять напряженно-деформированное состояние (НДС) таких соединений. С другой стороны, при проектировании конструкций возникает необходимость оценить опасность дефектов типа трещин в двухслойных клееных, клепаных и клееклепаных панелях из металлических и КМ.

Ниже с помощью функций Грина решаются задачи определения НДС анизотропной пластины с трещиной и присоединенной посредством клея и (или) заклепок широкой анизотропной накладкой, а также плоской двухслойной клееклепаной панели с трещиной в одном или обоих анизотропных слоях. Предлагается метод учета упругопластического деформирования клея и заклепок, изгиба слоев в зоне повреждения. Задачи сводятся к системе нелинейных интегральных уравнений и дается алгоритм их численного решения. Приводятся результаты расчетов, иллюстрирующие влияние анизотропии материала, толщины и отслоения клея, изгиба панели, длины трещины на коэффициенты интенсивности напряжений (КИН) в её вершинах. Для случая двухслойной клееной панели с изотропными слоями дано сопоставление с результатами расчета МКЭ и данными эксперимента.

1. Рассмотрим бесконечную прямолинейную анизотропную пластину 1 толщиной И.М с трещиной — а < л: < а, у = 0 (рис. 1). По некоторой области £>0 к пластине 1 посредством клеевого слоя толщиной Д присоединена бесконечная анизотропная накладка (пластина 2) толщиной Л(2). Пластины дополнительно скреплены т заклепками диаметром й, поперечные сечения которых с центрами

т ____

в точках 2(г) = л:(,) + гу(г) занимают область £>] = т,

£)0 П А = 0)- К каждой из пластин приложена система внешних нагрузок, действующих в ее плоскости (на рис. 1 показано растяжение пластин в направлениях Ох и Оу). Оценим НДС и прочность такого комбинированного соединения.

Рис. 1

Примем ряд допущений [1—4]. Толщина пластины, клеевого слоя и накладки малы по сравнению с характерными размерами области соединения. Склеивающий слой и заклепки, работая в упругой (упругопластической) области, передают только усилия сдвига. Ослабление пластины и накладки за счет постановки заклепок не учитывается. Заклепочное соединение* рассматривается как упругая (упругопластическая) связь между пластинами по области £)<г) (см. рис. 1), площадью 5 = я^/2/4, аналогичная клеевой, с иной характеристикой жесткости. Усилия, действующие со стороны клея (заклепки) на каждую из пластин считаются объемными, равномерно распределенными по толщине (учет эксцентриситета приложения усилий будет дан в п. 3). Пластина и накладка находятся в обобщенном плоском напряженном состоянии. При прохождении трещины через заклепочное отверстие не учитывается влияние этого отверстия и его заполнение заклепкой. Реальная накладка конечных размеров при моделировании заменяется бесконечной, приклеенной и приклепанной по области Л = £>0 и А-

* Под заклепочным соединением будем понимать любую операцию или способ точечного прикрепления (сварка, склеивание, клепка, болтовое соединение и т. п.) когда размер площадки сцепления мал по сравнению с характерными размерами тела и шагом крепежа.

Смещения пластин и(л) (г) вдоль оси Ох и v(■n) (г) вдоль оси Оу (г=х+1у, п= 1, 2; здесь и в дальнейшем верхний индекс соответствует номеру пластины), деформации сдвига ■уж(2:)> Уу(г) и касательные напряжения тж(г), ху {г) в клее должны удовлетворять заданной системе внешних нагрузок, приложенных к пластинам и условиям совместности смещений пластины и накладки

Д ^(г);

„«> (?) _ «(2) (*) = ^ (*) д = ,

^(П (г) _ ©(2) (г) _ ^ (г) д = —

У(2);

О*, .у (г)

(1.1)

-у (г)

( Ч(Ях, V 5),

1 С

где б — модуль сдвига клея, у — податливость заклепочного соединения; обобщая результаты [1] на случай пластин из анизотропных материалов, примем

5 , А о / 1 I 1

Е«> уЛ(1)

42>у л<2>

(1.2)

Здесь £3— модуль упругости при растяжении материала заклепки, -Ел У (4!1,)—модуль упругости при растяжении материала пластины (накладки) вдоль направлений Ох и Оу.

Перемещения пластины и накладки представим в виде

и(1) (г) = (г) + иф (г); г>(1) (г) = V?' (г) + ^2) (г);

и(2) (г) == и(2) (г) + ы(22) (г) — шу + н0;

-у(2) (г) = г»12) (г) + ^2) (г) + ах + <о0,

где неизвестные константы ш, и0, юа определяют поворот и перемещения накладки как жесткого целого относительно пластины; и[п)(г), (г) — перемещения от действия неизвестных распреде-

ленных усилий (—1 )п1х, у(г)1Н(П1 со стороны связующего; и™ (г), ч>2П) (г) — перемещения от известных внешних условий (я =1,2).

Если известны аналитические выражения смещений пластины п от действия единичной сосредоточенной силы, приложенной к точке

^х{+1уьв направлении осей Ох—и("*(г, /), V1'? {г, £) и Оу— Иуп)(г, Ь), {), то перемещения (г), ъ[п) (г) представимы в виде (п= 1, 2)

«1л) (г) = (-^Г 11 } Ю + “у* ху |

(1-3)

^Л> Я (2’ 0 (*) + ^ 0 ту (*)] ах( йУг-

Перемещение в анизотропной пластине выражаются через две аналитические функции <рч (г,), ч = 1, 2 [5]

ы(г) = 2Ке |]£/>»<р,(2:»)|; V (г) = 2 Ие |]£ д, <р, (г,)| ;

Рч ----- а16 ”|~ ^22* - ^12 ^16 “Ь ^£2

= х + У,

(1.4)

где [1, — корни характеристического уравнения (1т (*» >> 0), луй(у, 1, 2, 6) — коэффициенты матрицы податливости обобщенного закона Гука материала пластины. Явный вид потенциа-

V2l) (z) в пластине с трещиной (п — 1) и без трещины (« = 2) дан в [5]. Так, например, решение задачи о действии единичной сосре доточенной силы exp {i'ifj) в точке t пластины 1 имеет вид (/=1, 2

т]., — ^ (/у)> и — уу ■— 1, 2, ф-1 — 0, фз — 2 •

Здесь использованы обозначения работы [4].

Выписывая явные выражения и[п)(г), ъ[п)(г) с использованием формул (1.3) — (1.5) и учитывая (1.2), уравнениям (1.1) можно придать вид

Явные выражения 1гц(г, £) (1, /—1, 2) ввиду громоздкости не приводим.

К системе уравнений (1.6) необходимо добавить уравнения равновесия

Если задача симметрична относительно одной (двух) осей координат, материалы обеих пластин — ортотропные и главные направления упругости совпадают с осями координат, то область изменения неизвестных функций можно уменьшить вдвое (вчетверо). Вместо выражения

(1.5) в случае симметрии относительно обеих осей координат необходимо использовать

ЛОВ cpv (2V), определяющих перемещения U^y{z, t), V(x!y{z, t), И2Л)(г),

<Mzv, t„ Ф;.) = Л;^) ln(Cv — rjv) +/їЛ1(ф/)1п(т]і — tv1) + + tit A 2 (фу) In (t)2 — Cv ) ;

(1.5)

+ и(z’ t)zx(t)dxtdyt+ I5k™(z> dxtdyt

D D

- ®y + «о = #1 (z);

+ <°x + v0 — R2 (2);

(1.6)

2

2

£ц (z> 0 = £ (z> 0/^(n); kn (2, 0 =* 2 и(уП) ^hin)'

2

n= 1

2

Я =1

/1=1

Я, (г) = і41) (Z) — uf (г); R2 (2) = vP (2) —142) (2).

(1.7)

jj К(2)У — ^(z)x]dxdy = 0.

«V (*„ хІУ у„ <!»,-) =

= Л, (Ф;) {1п (С,~^) - 1п (С, 4- ч,) + ( — 1)у [іп (с, + ті,) — 1п (с,- Ті!)]} +

+ и А, (ф;-) {Іп (т), —С» ') — 1п (— тії — Сч') + + (-1 у [ІП {-у - СГ1) - ІП (чі - СГ1)]} + + п, л2 (^) |іп (т)2 — сг1) — Іп (— 7)2 — СГ1) + + (- 1/ [Іп (-^ - СГ1) - Іп (чі - СГ1)]} ; 7)у = С< (^ч) ; іч = у ^, j — 1, 2.

Напряжения в пластине/ имеют особенности в окрестностях вершин трещины. Если ^х(г), ^(г) известны, то КИН отрыва К\ (+д) — = Нгп а^(х, 0)У2ъ\х — а\ и сдвига К2 (+«) = Нш х^(л:, 0) V"2тг |л:—«I

х-+±а±0 х-*±а± 0

вычисляются по известным формулам работы [3].

2. При численной реализации уравнений (1.6) —(1.7) область О разбивается на М квадратных ячеек 0(!), каждая площадью 5(г> и с центром в точке 2(0(/= 1, М), причем одной заклепке соответствует одна ячейка площадью 5(/) = 5(/=1, т\ т-^М). Размер ячеек в области £)0 должен быть уменьшен в предполагаемой области увеличения градиента хх(г), ^(г). Неизвестные функции ^х{г), ~у(г) считаются постоянными внутри каждой ячейки.

В этом случае дискретный аналог уравнений (1.6) — (1.7) можно представить в виде системы линейных алгебраических уравнений:

Интегралы, входящие в выражение для коэффициентов М/'1) находятся численно. При применяется дважды (по коор-

динатам х и у) квадратурная формула Гаусса наивысшей алгебраической точности для постоянной весовой функции с N узлами [6]. Принимается N—1 для |2(*>—2(,)|/]/5(г>> 2 и N=2 для | 2(р) — 2(01/^ 2. Если 2:(р> то внутри области интегриро-

вания возникает интегрируемая особенность типа 1п(2^ — <) при

м

1=1

м

/7=1, М;

1=1

м

м

^^>5(0= 0; ^4г)5(г)= 0;

1=1

м

I £>(0

і, І = 1, 2.

I -> г<~р\ В этом случае область £><*> разбивается на четыре квадратные подобласти, при этом точка 2<р) совпадает с одной из угловых точек любой из этих подобластей. Интеграл по каждой и& этих подобластей находится двукратным применением квадратурной формулы Гаусса без выделения особенности при N = 2 -5-3. Подобранные значения N обеспечивают приемлемую точность вычисления интегралов.

3. В процессе нагружения в накладке под действием растяги-вающих усилий может образоваться вторичная трещина V— = {р~р0 +. е®Ц — а1<Х<а1, 0<РО}. В этом случае следует воспользоваться выражениями вида (1.5) в местной системе координат, связанной с и и применить соответствующие преобразования для перемещений при переходе от местной системы координат к общей для определения вида и{^у(г, {), /). Вид интеграль-

ных уравнений (1.6), (1.7) при этом не изменится; в окрестности вершин трещины также могут быть определены КИН.

В случае, если приложенные внешние нагрузки значительны,, возникает необходимость учета нелинейного (упругопластического) поведения клеевого слоя и заклепки. Будем предполагать, что закон нелинейного деформирования склеивающего слоя можно описать в виде [7]

(3.1)

Здесь т — касательное напряжение в клеевом слое, которое принимается в качестве эквивалентного напряжениям хх и ху\ у — деформация, сдвига в клее, эквивалентная деформациям у* и У у', связь между т и у задается диаграммой деформирования материала; б — модуль сдвига на линейном участке диаграммы деформирования; б*(т) —переменный модуль сдвига; ах=0/С*(х)-—поправка на пластичность материала клея.

Аналогично представима связь между деформациями и усилиями; в участках соединения, имитирующих заклепочное. Соотношения (3.1) для клея и соответствующие для заклепок, подставленные в исходные условия (1.1), дадут в итоге интегральные уравнения типа (1.6) с нелинейными переменными коэффициентами при внеинтегральных членах. Для решения полученной системы нелинейных интегральных уравнений может быть использован метод упругих решений, описанный для аналогичного случая в [3].

Рассмотрим задачу о двуосном, совместном на бесконечности растяжении двухслойной клееклепаной панели с одним из слоев, имеющим трещину. Данная задача совпадает в постановке с задачей п. 11 в предположении, что область Б бесконечна (что не исключает наличия отслоения в клее по ограниченной области). Следуя [2], можно* показать, что решение этой задачи может быть представлено в виде суммы решений двух задач. Первая задача — о совместном деформировании двухслойной неповрежденной клееклепаной панели (при возможном отслоении) под действием исходных растягивающих погонных усилий Тх = р(х А(1) -\~Рх)^2) , Гу=/?у1)/г(1)-(-/?у)Л(2) на бесконечности. Ввиду отсутствия трещины в пластинах реализуются одинаковые равномерные деформированные состояния. Вторая задача — о действии некоторого равномерного давления р0 на берега трещины в панел»

7—«Ученые записки» № 5

9 Т

исходной конфигурации; она имеет затухающее решение по мере удаления от трещины. Последняя задача представляет интерес с точки зрения оценки остаточной прочности панели.

В нашем случае связь между р0 на берегах трещины во второй задаче и погонными усилиями Тх и Ту дается формулой

с, Тх + с2 Ту '

Ро ^

Д) _ -Л?»

12

12

С8

1

Л(1) й(2> £[2)

Со -------

С2

л<‘>

+

л(2> 42)

7Ч) ч<1) 712 21

1 _ .(1)Л2)‘ 1 ^(2> ^(2) \

1 — ^12 ^21 1 12 21 I

' Н^Е™ + Л(2)£(!2) !

1 —

,(1) .(2) 21 12

Лп)_____ (я) р(п)1р(п)

^21 = ^12 С-ч I С. 1

(3.2)

Г Л<2> £<’) £<2) ’

п = 1, 2.

Здесь предполагается, что материалы пластин — ортотропные и главные направления упругости совпадают с осями координат; Е[п\ Е(2П) — модули упругости пластин в направлениях Ох, Оу, VI?, — коэф-

фициенты Пуассона.

■«£

$• ‘ '

тж мш Ж

ИI г|

Рис. 2

Ъ изложенном выше методе расчета двухслойной клееклепаной пластины предполагается, что панель и составляющие ее слои не обладают изгибной жесткостью. В реальной конструкции при появлении и распространении трещины в одном из слоев за счет перераспределения через клеевой слой внутренних усилий в пластинах возникает из-гибный момент, способствующий дополнительному раскрытию трещины и увеличению КИН. Если одноосному растяжению подвергается двухслойная панель конечной ширины IV, то изгибному моменту сопротивляется составное сечение панели F размером №+ (/г(1> +/1(2)), изображенное на рис. 2 (толщиной клея и ослаблением пластины 1 за счет ллощади поверхности трещины пренебрегаем; ось 0| перпендикулярна плоскости хОу, см. рис. 1). Обобщая метод работы [2] учета изгиба на случай двух склеенных ортотропных пластин, получим следующее выражение для поправочного КИН с учетом изгиба

1 ( «А*1* (А^> + Л(2)) 4*>

Н 7

1

І1.

Кш

Кй

"Я*™-

Л ч§ь<1х(&

Л * (?) йх

(3.3)

о. -Л(2)<І<0,

\е^1е0, 0<Є<Л(І>.

Здесь / — приведенный момент инерции составного сечения (см. рис. 2) относительно нейтральной оси О'х', и(£) —редукционный коэффициент; Е0 — произвольный модуль упругости; — КИН отрыва, определенный из решения задачи о давлении ро на берегах трещины в бесконечной двухслойной поврежденной панели; Кю = РоУ™/(я/УР)— КИН отрыва при растяжении усилиями р0 пластины шириной с трещиной длиной 2а; |о — определяет положение нейтральной оси относительно произвольно выбранной системы координат ОхуЪ,.

4. Алгоритм численного решения уравнений (1.6) был реализован на ЭВМ в виде пакета программ. Ниже приводятся некоторые результаты численных исследований.

На рис. 3 изображена схема симметричной относительно осей Ох и Оу задачи для двух склеенных изотропных пластин (область О бесконечна) с трещиной в одной из них; сплошными линиями представлены результаты расчета поправочного КИН к\ = К\1рйУъа. Упругие постоянные пластин £ = 71,0 ГПа, v=0,33, клея (7 = 0,414 ГПа, толщина каждой пластины /г = 0,0016 м, толщина клея указана на рисунке. В рассмотренном диапазоне длин трещин погрешность найденных значений КИН не превышает 1%' (по сходимости результатов), если в расчетах учитывается область склеивания не менее, чем И' — {|х | •< 1,2 а, |г/1 <0,025 м}, М^>20К {К — численно равно полудлине трещины в мм). Здесь же приведены обозначенные квадратными значками и кружками результаты работы [2], полученные методом конечных элементов при тех же исходных предпосылках. Оба метода дают практически одинаковые результаты (относительная ошибка не превышает 3%), однако в предлагаемом методе интегральных уравнений количество вводимой информации значительно меньше, чем в методе конечных элементов, что позволяет легче и быстрее проводить численные исследования конструкции с изменяющимися параметрами (рост трещины, появление и развитие отслоения в клее и т. п.).

На рис. 4 квадратиками и кружками представлены значения поправочного КИН, полученные в работе [2] при испытании на растяжение двух одинаковых панелей. Каждая панель состоит из двух достаточно длинных пластин, шириной №=0,150 м, в одной из пластин —

центральная трещина, толщина клея А = 0,381 -10-3 м; остальные данные совпадают с данными предыдущей задачи. Значение р0 в формуле /г* = /<11р0 Vъа получено согласно соотношениям (3.2). При определении КИН расчетным методом рассматривалась возможность возникшего из-за концентрации напряжений в клее отслоения эллиптической формы, характеризуемого отношением Ь/а (см. рис. 4). Для каждого' из вариантов отслоений в зависимости от длины трещины были рассчитаны значения к\ и с помощью формул (3.2) — &1 с учетом изгиба (см. табл.). Изображенные линиями на рис. 4 результаты расчета к\ показывают, что наиболее точное совпадение с опытными значениями дает учет изгиба и отслоения Ь/а = 0,1. Отслоение такой формы и размера наблюдалось в эксперименте [2].

Для сравнения эффективности вариантов присоединения ремонтной накладки к поврежденной пластине рассмотрим соединение, схематично изображенное на рис. 5. Пластина из композитного ортотропного материала (£$1) = 53,84 ГПа, Е^ = 17,85 ГПа, 012 = = 8,64 ГПа, Vl2> = 0,25, направление £{15 может совпадать с одной из осей координат; = 0,002 м) с трещиной подвержена растяжению усилиями ,<?>. К пластине симметрично относительно центра трещины присоединена композитная накладка (Е(Р = 27,61 ГПа,. Еу'^ = 276,1 ГПа, 6$ = 10,35 ГПа, у($ = 0,25, /г(2) = 0,002 м) одним из трех способов: посредством заклепок, клеевым и клееклепаным.

ъ а кин а, мм 5 10 15 20 25

0.0 к\ X 0,786 0,803 0,618 0,666 0,516 0,593 0,450 0,553 0,402 0,528

0,1 0,800 0,817 0,644 0,691 0,549 0,626 0,484 0,588 0,440 0,570

0.2 * 'У* 0,812 0.828 0,667 0,713 0,578 0,654 0,520 0,625 0,478 0,611

0,3 X 0,823 0,838 0,687 0,732 0,605 0,680 0,551 0,656 0,511 0,645

Заклепки диаметром d = 0,004 м предполагаются в расчете абсолютно жесткими (qXi у 0), расстояние между любыми двумя ближайшими заклепками в направлениях Ох и Оу равно 0,02 м. Клеевое соединение (0 = 0,26 ГПа, Д = 0,2*10_3 м) имеет форму прямоугольника с размерами 0,04 мХ0,08 м. Область соединения (в первом квадранте) разбивалась на 65 элементов, что обеспечивало погрешность менее 1%.

Результаты расчета k* = K-iip^ У ка представлены на рис. 5. Линия 1 соответствует клепаному соединению, линия 2—клеевому, кружки — клееклепаному (все — для Я}1’ = Е^) и линия 3 — клеевому (для Eii) = Ex)). Как следует из графиков, клеевое соединение значительно эффективнее чисто клепаного. Дополнительное крепление клеевого соединения даже жесткими заклепками незначительно понижает КИН (до 8% при а = 0,015 м). Здесь же пунктирной линией показаны результаты расчета клепаного соединения, полученные с помощью программы расчета многослойных клепаных панелей [4]. Наблюдается их хорошее качественное и количественное соответствие. Некоторое занижение полученных результатов — до 9% при а = 0,013 м, — объясняется, по-видимому, различными схемами моделирования заклепки. Поворот главных осей упругости пластины 1 на я/2 (кривые 2 и 3) дает значительное снижение КИН, что можно объяснить относительным увеличением модулей £у2) и G по сравнению с уменьшившимся в три раза модулем Е{у .

Больший подкрепляющий эффект достигается, когда накладка полностью закрывает трещину. В случае выхода трещины за накладку эффект подкрепления падает.

Хорошее совпадение с данными эксперимента, простота и эффективность предложенного подхода позволяют рекомендовать его для оценки живучести плоских элементов конструкций, имеющих клеекле-ланые соединения.

ЛИТЕРАТУРА

1. Swift Т. The effects of fastener flexibility and stiffener geometry •of the stress intensity in stiffened cracked sheets. •— Prospects of Tracture Mechanics. — Delft: tNordhoff International Publishing, 1974.

2. P а т в а н и М. М. Исследование напряжений в клееных слоистых конструкциях, ослабленных трещинами. — Ракетная техника и космонавтика.— 1979, т. 17, № 9.

3. Максименко В. Н., Павшок В. Н. Расчет подкрепленной пластины с трещиной в случае нелинейной работы накладок и склеивающего слоя. — В кн.: Прочность и аэроупругость авиационных конструкций. — Казань: Изд-во КАИ, 1988.

4. Максименко В. Н. Влияние приклепанных ребер жесткости на развитие трещин возле отверстия.— ПМТФ. 1988, № 2.

5. С а в и н Г. Распределение напряжений около отверстий. — Киев: Наукова думка, 1968.

6. К р ы л о в В. И. Приближенное вычисление интегралов. — М.: Физ-матгиз, 1959.

7. Писаренко Г. С., Можаровский Н. С. Уравнения и краевые задачи теории пластичности и ползучести. — Киев: Наукова .думка, 1981.

Рукопись поступила 12/VII 1989 г.