Предельно-равновесное состояние анизотропной пластины с вырезами и трещинами произвольной формы Текст научной статьи по специальности «Математика»

Том XX

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ ЦАГИ 1989

№2

УДК 539.4.013.3 : 624.073

ПРЕДЕЛЬНО-РАВНОВЕСНОЕ СОСТОЯНИЕ АНИЗОТРОПНОЙ ПЛАСТИНЫ С ВЫРЕЗАМИ И ТРЕЩИНАМИ ПРОИЗВОЛЬНОЙ ФОРМЫ

В. Н. Максименко, А. В. Цендровский

Решается задача об упругом равновесии анизотропной полуплоскости, ослабленной системой вырезов и трещин произвольной формы. Задача сводится к системе сингулярных интегральных уравнений, предлагается эффективный алгоритм ее численного решения. Приводятся результаты расчетов, иллюстрирующие влияние анизотропии материала, контура отверстия или краевой выточки, свободного края пластины на величину коэффициентов интенсивности напряжений в вершинах трещин.

Во многих случаях потеря несущей способности элементов конструкций в процессе эксплуатации определяется наличием в них концентраторов напряжений типа отверстий и трещин. В настоящее время на базе метода интегральных уравнений разработан ряд эффективных алгоритмов оценки напряженного состояния и остаточной прочности таких зон в изотропных плоских панелях (см., например, [1] и обзор работ в ней). Ниже построены специальные представления решения и получены разрешающие сингулярные интегральные уравнения (СИУ) задачи анизотропной теории упругости для бесконечной плоскости или полуплоскости, ослабленной системой вырезов и трещин произвольной конфигурации. Дается алгоритм их численного решения. Эффективность предложенного подхода демонстрируется при решении ряда задач по определению коэффициентов интенсивности напряжений (КИН) в вершинах трещин и концентрации напряжений на контурах вырезов и позволяет рекомендовать его для оценки величины потери прочности и исследования роста усталостных трещин у отверстий в пластинах из анизотропных и изотропных материалов.

1. Рассмотрим упругую пластину из однородного прямолинейно анизотропного материала, занимающую полуплоскость {*>()}. Пластина ос-

/ Й V

лаблена системой внутренних разрезов (трещин) I С, = у I и

I —* | ■

Будем считать, что контуры разрезов (/=1,*)—простые гладкие кривые с началом в точке а, и концом в точке Ь(. Обход замкнутых контуров 1*1 (/ = й 1, т) будем осуществлять так, чтобы область О, занятая пластиной, оставалась слева.

т

отверстий с гладкими контурами

Определим напряженно-деформированное состояние области £) в предположении, что пластина подвержена действию заданной системы усилий вдоль кромки х = 0 и на бесконечности, а на границах отверстий !.;''(/ = £ + 1, т) заданы самоуравновешенные нагрузки Х+(/)+г^(0- Для простоты примем, что берега разрезов свободны от внешних усилий, т. е. (X* (/)+ -\-iYf (0)|с, = 0. и не контактируют между собой. Здесь и далее плюс (минус) относится к предельному значению величин при подходе слева (справа) нормаль п направим вправо при положительном обходе I,.

Напряжения в пластине определяются по формулам

(ст*, txy, Gy) = 2Re | 0ф»(2)| •

(1.1)

Здесь Ф„(2у) — аналитические функции комплексных переменных zv = х -+-— корни характеристического уравнения (Im ((iv) >0),

ацЦ4 — 2ai6H3 + (2 а)2 + а6б)ц2 — а2 ец + Дгг = 0,

а,* — коэффициенты деформаций из закона Гука [2].

Функции <Dv(zv) регулярны в областях D(v), получающихся из области D при аффинном отображении zv = х + |xvy, и должны удовлетворять заданным усилиям на кромке пластины х = 0 и на бесконечности, а так же краевым условиям на контурах отверстий и трещин [2, 3]

a(t) (*,) + &(/) <5f (/i) + Ф* (к) = 0, / 6 с,, а(()Ф1- (и) + ЬЩФ? (/,) + Фt{h) = H+{t), ttc2,

(1.2)

/ M,(t) M,(t)

aW = °o -ЮГ7К - b(t) = b0-

M2(t) ’ M2(t) '

—1*2 , Hi — M*2

Oq = --------------=- , b0 =

Mv(t) = -cosijj — sin\|), H (t)

M-2 M-2 ^2 ^2

(ц2 — p2)-M2(t)

где ^ = ф(/) — угол между нормалью п в точке / е[ и осью X.

Функции Фу(2у) представим в виде

2

Ф,(г.)= £ Ф¥/(г,). (1.3)

/=|

Здесь ФУ|(г„) определяют основное напряженное состояние, вызванное внешней нагрузкой на кромке х = 0 и м бесконечности в полуплоскости (х > 0) без разрезов и отверстий, а ФУг(^) —возмущенное состояние, возникающее из-за наличия разрезов и отверстий. ФУ|(гу) можно построить известным образом [2].

Исходя из решения задачи о действии сосредоточенной силы в анизотропной полуплоскости со свободным краем и используя принцип суперпозиции, будем разыскивать Фуг(2у) в виде

«МО— » Г Г^т)^ 1

2л*/ 3 ^ ту — гу Х1__51^ Т2_т^ / ’ [

где <ву(/) = {(ОуД/) I / ^ / = 1, т) — неизвестные комплексные функции на

£, ЙТу = АМт)й(5 (^5 — элемент длины дуги /,).

Так построенные функции Фу2(гу) автоматически удовлетворяют условиям Ох=== Тху== 0 на кромке 1 = 0 и затухают на бесконечности. Следовательно, выбор Фу(2у) в виде (1.3), (1.4) обеспечивает выполнение краевых условий на крае х = 0 области О и на бесконечности.

Следуя [3], находим, что неизвестные комплексные функции соу(<) на С| связаны соотношением

Рассматривая замкнутые контуры (/ = &+1,т) как трещины, отделяющие конечную область с границей от остальной части упругой полу-

плоскости, положим, что условие (1.5) выполняется и на С2.

Подставляя предельные значения функций Фу(2у) из (1.3) в краевые условия (1.2), получим с учетом (1.5) после некоторых преобразований систему сингулярных интегральных уравнений (СИУ) относительно искомых функций 0)1 (/)

Искомые функции о)| (0 следует подчинить дополнительным условиям однозначности смещений при обходе каждого контура I^ и отсутствия вращения области внутри замкнутых контуров Ьр (р = к-\-\,т) как жесткого целого [3, 4]:

юг (0 = — а(/)<|>1 (0 — й(/)а)1 (/).

(1.5)

I I

Ь(1){ т2-<2)

а(т) п2т2 ТЩ т2 —т2/2

ЙТ2| , > (1.6)

Ь(т)а(р йт

Ь(() 2

м = + *(0 Фп(и) + Ф^Д]},

б(/) = о, /6 с,,’б(0 = я+(0, <ес2.

^ <0,1; (т) йт!0, /= 1,т,

(1.7)

1т^ С(т)Ш|,(т)ЙТ|^ = 0, р= /г+ 1,т, С(т) = Си сое ф(т) -+- С2г вт г|э(т),

^11 = ^1—°ом1 — ^оЦг. С2г =-------------=—Ь ——Н —

М-1 1*2 Иг

(1.8)

Система (1.6) совместно с дополнительными условиями (1.7), (1.8) дает решение поставленной задачи.

Влияние края полуплоскости определяется слагаемыми, содержащими /у, лу. Полагая /у = п, = 0 в (1-4), (1.6), приходим к разрешающим уравнениям задачи для бесконечной анизотропной пластины, ослабленной отверстиями и трещинами произвольной формы.

При /у = пу = 0 и отсутствии трещин (С\ = 0) из (1.6) — (1.8) получаются уравнения работы [4]. ___ ________

2. Пусть2 = т'(Ю (1£1<1,/=1,Л) и г = т'(Ф) (0<д<2л; / =/г + 1, т) параметрическое уравнение контуров (/= 1 ,т) с указанным направлением обхода. После замены переменных (г=т — к)

*>,(;; =о)[т'Ш], / = Т7^_

Ф,(*>) = <о[т'"+'(0)], /= 1, г

уравнения (1.6) — (1.8) примут нормализованную форму:

-I

1=1 —I

г 2я

+ АЦЪ’ л) %(л)} + X 5 М?/(£. л) ф/(«) +

1= 1 о

+ А*! (|, Л) • фДа)} йа. = ^;(|),

Ач)1 • £+Т|(п^;'Л!(й8'|) • '=ь*;

(£,а) — *„[^(6)т*+'(«)] . 1-Т7; Р= 1.2,

/=1 -1

г 2я

+ 13?, (О, ц) ф/Сл)} <*Л + £ $ {(Ф. а) ,ф/(«) +

/=1 0

+ Щ,(О, а) ф,(а)} йа = в1 (д),

^(д,л) = *Р[т*+,(#).т,(л)]^-. / — "Г*, р = 1,2,

<2.1)

I

$ 4>Лл)т'| (л)^л = о, /= 1,й,

(2.1)

— I

О

2л

' ^ ф;(т) С[т*+/(а)] т^+/(а) е?а = О, /= 1,г.

о

Здесь б,р символ Кронекера, т(т)) = йт/йг\.

Согласно допущений относительно I ядра А^, В?(, Т7/, й, непре-

рывные функции и /,(|, |) Ф О, £/(Ф, О) Ф 0. В этом случае [5] искомые 2л — периодические функции ф/(Ф) е Н [0, 2л] при 1=1, г, а г|),(|) при /=1 ,к имеют вид

Для интегралов по разомкнутым и замкнутым контурам имеют место квадратурные формулы [1,6]

где Ф(а), Л1(0, Р), 2я — периодические функции, б— произвольное действительное числй*. Они справедливы для регулярных интегралов при любых | и д и для сингулярных интегралов (К(£, л)> М(&, а) имеют особенность Коши при | — г), Ф = а) при

где М\ — произвольное, а М2 — четное натуральное число.

Используя приведенные выше соотношения (2.2), (2.3), систему интегральных уравнений (2.1) сведем к системе линейных алгебраических уравнений относительно приближенных значений ИСКОМЫХ функций ф,(#), 1|)/(|) в узловых точках а*, цр.

►

(2.2)

2я

М,

(2.3)

£ = £/■ = совд-, (г = 1.М,—1),

= ^±1л + б, (5= 1 ,М2),

Если значения ^;(лр), ф/(ос*) найдены для рассматриваемой задачи, то на основании формул (1.1), (1.4), (2.2), (2.3) можем определить с заданной точностью значения комплексных потенциалов Ф„(г„) и напряжения в любой точке ге/). Используя асимптотические формулы в окрестности с = т'(±1) концов разреза Ь, [3]

Фу (г.) = 2-3/2< { Т т( (± 1) / (г, - с,)}1/2, ю?, = \|>-(± 1), <!)§,-= — а(с)(л°ч — Ь(с)а>°ч,

по формулам (1.1) находим асимптотическое распределение напряжений в вершинах трещин.

Полученные выше представления решения (1.4) и разрешающая система сингулярных интегральных уравнений задачи (1.6) справедливы и в случае выхода разреза на край пластины лт=0 или пересечения разрезов в точке ар, если их уточнить известным образом [1, 3]. Возникающие при этом интегральные уравнения, кроме особенностей в ядре Коши, будут иметь неподвижные особенности. Так как методы численного решения сингулярных интегральных уравнений с неподвижными особенностями развиты пока еще недостаточно, ниже для краевых и ветвящихся трещин применялась упрощенная процедура решения [1, 3], основанная на описанном алгоритме для внутренних трещин. Этот способ дает вполне удовлетворительные результаты для внутренних вершин краевых трещин. Если необходимо исследовать распределение напряжений вблизи точки а, выхода разреза на край пластины или пересечения разрезов, то решение надо искать в виде, верно отражающем особенность в угловой точке, и использовать более сложные квадратурные формулы.

3. Изложенный алгоритм был реализован на ЭВМ. Его эффективность демонстрируется ниже на примере решения задач о полуплоскости и бесконечной пластине с круговым или квадратным вырезом и внутренней или краевой трещиной.

Численные результаты приводятся для ортотропных материалов, имеющих следующие характеристики:

1. Е\/Ег = 1; Ц1= 1,02 г; ц2 = 0,98 г (почти изотропный);

2. Е\/Еч = 3; = 2,2712 г; ц2 = 0,7626 г;

3. Е\/Е2 = 10; ц, = 5,0773 /; ц-2 = 0,6228 I

(соответственно кривые 1 — 3 на рисунках). Здесь приводятся для случая, когда главное направление анизотропии с модулем Е\ совпадает с осью х.

Рис. 1—3 и таблица иллюстрируют данные расчета коэффициента интенсивности напряжений отрыва К| = Пт ап~\^ (Р — некоторый номинальный

параметр, имеющий размерность длины; r=\t — c |; с — вершина трещины; / — точка, лежащая на продолжении касательной к трещине, проведенной через вершину с) в вершинах' трещины, а рис. 4 напряжения оу в вершине эллиптической выточки для случая равномерного одноосного растяжения орто-тропной пластины усилиями а" = 1. Зависимости для К1 и оу представлены сплошными (пунктирными) линиями, если главное направление анизотропии,

соответствующие Е|, образует с осью х угол ф = 0(у).

У М Е,/Ег = 1 £,/£* = 0

Ч> = = 0 Я> = л/2

В А В А В А

10 1,225 1,101 1,220 1,108 1,175 1,077

0,5 20 1,254 1,110 1,234 1,114 1,179 1,078

30 1,254 1,110 1,237 1,115 1,179 1,078

10 2,380 1,260 2,400 1,292 2,069 1,228

0,9 20 2,056 1,263 2,111 1,280 2,044 1,236

30 1,919 1,271 1,984 1,277 2,051 1,240

На рис. 1, 2 приводятся результаты расчетов зависимости Кь для вершин трещины А и В соответственно (см. обозначения на рисунках) от X = = //(/г — /?) при Я/к = 0,75; '$=1/2. Нижние кривые 1, 3 соответствуют задаче о бесконечной пластине (а=оо), а верхние случаю полуплоскости при а = Л — Я. При а = оо полученные результаты для пластины из материала 1 совпадают с данными работы [7]. Как видно из рисунков, при а= оо относительно высокие значения К1 наблюдаются только на конце трещины В, на интенсивность напряжений в вершине А контур отверстия существенно не влияет. В случае полуплоскости влияние края пластины приводит к значительному повышению величин К1 в обоих вершинах разреза. При увеличении степени анизотропии материала значения К1 уменьшаются. Если ф = л/2, то зависимости К| проходят ниже соответствующих графиков при Ф = 0, исключая случай, представленный на рис. 2 («ижние кривые 3), где с приближением вершины трещины к контуру выреза картина меняется.

На рис. 3 приводятся значения К| в зависимости от А, = !)(/? для трещины, развивающейся от края полуплоскости по направлению к контуру кругового отверстия при Л = р = /. В случае с материалом 1 полученные результаты совпадают с данными работы [7]. Из графиков видно, что при Ф=л/2 значения К1 ниже, чем при ф = 0, а с приближением конца трещины к контуру отверстия резко возрастают.

1 ______I___I_Illlll.l_______I___I__I till 11

10 t/r Рис. 4

Рис. 4 иллюстрирует зависимость ау от t/r (г — минимальный радиус закругления, t — глубина выточки) в вершине полуэллиптической выточки. Выточка получается с помощью разреза по дуге эллипса, обе вершины которого выводятся на край полуплоскости. В случае с материалом I полученные результаты совпадают с данными работы [8]. Если главное направление анизотропии с модулем упругости Е\ ориентировано вдоль оси х(у), то значения ау лежат ниже (выше) соответствующих значений для изотропного материала.

Рассмотрим задачу о растяжении усилиями а“ бесконечной пластины с центральным «квадратным» вырезом со стороной 2а и прямолинейной трещиной L\ = {т(£) = xi + 1Ъ\\Ъ \ < 1}. *1>0 вдоль оси Ох. Параметрическое уравнение контура выреза бралось в виде L2 = {т(Ф) = 1,2а[exp ( — гв) —

—fexp (3/0) ] | О < Ф < 2л} [9]. В таблице приводятся значения Ki (Р = 1/2)

в левой и правой вершинах А к В разреза в зависимости от числа точек коллокации М = Mi = Af2 (М\\ Л12 — число точек коллокации на трещине и вырезе соответственно), у = // (*| — а), а = I. Приведенные в таблице данные иллюстрируют хорошую сходимость представленного выше численного алгоритма уже при М = 30, как для «изотропного» материала, так и для материала со значительной степенью анизотропии {Е\/Е2 = 10). С приближением концов разреза к контуру выреза, сходимость метода несколько ухудшается.

Расчеты показывают, что в задачах, представленных на рис. 1—4, значения Кь ау перестают меняться в первых трех значащих цифрах уже при М1 = М2 ^ 20.

ЛИТЕРАТУРА

1. С а в ру к М. П. Двумерные задачи теории упругости для тел с трещинами.— Киев: Наукова думка, 1981.

2. Лехницкий С. Г. Теория упругости анизотропного тела. — М.:

Наука. 1977.

3. Максименко В. Н„ Цендровский А. В. Определение коэффициентов интенсивности напряжений для трещин сложной формы в анизотропных пластинах. — ПМТФ, 1986, № 6.

4. Krenk Steen. Stress concentration around holes in anisotropic sheets. — Appl. Math. Modelling, 1979, vol. 3, N 2.

5. Г a x о в Ф. Д. Краевые задачи. — М.: Гос. изд. физ.-мат. лит., 1958.

6. С h a w 1 а М. М., Ramakrishnan Т. R. Numerical evaluation of integrals of. periodic functions with Cauchy and Poisson type kernels. —

Numer. Math., 1974, 22, N"4.

7. С а в p у к М. П., Панасюк И. В. Растяжение полуплоскости, ослабленной отверстиями и трещинами. — Прикладная механика, 1986, т. 22, № 1.

8. Петерсон Р. Коэффициенты концентрации напряжений. — М.: Мир,

1977.

9. Мусхелишвили Н. И. Некоторые основные задачи математической теории упругости. — М.:. Наука, 1966.

Рукопись поступила 6/1 1988 г.