На подступах к нелинейной физической мезомеханике Текст научной статьи по специальности «Физика»

На подступах к нелинейной физической мезомеханике

К.Ф. Черных

Санкт-Петербургский государственный университет, Санкт-Петербург, 199034, Россия

В статье применительно к плоской задаче кратко излагается предложенная автором версия (комплексной, анизотропной) нелинейной теории упругости. Излагаются полученные с ее помощью оригинальные результаты по теории трещин и теории дислокаций, существенно отличающиеся от своих линейных аналогов. Подробно рассматривается задача о равновесии включения (зародыша) в матрице.

1. Введение

Автором была разработана предельно простая (без потери общности) версия нелинейной теории упругости [1-7]. Для двумерных краевых задач (плоская задача, антиплоская деформация, осесимметричная деформация тел вращения) предложенная версия дает возможность получать точные решения краевых задач. На макроуровне были рассмотрены проблемы хрупкого разрушения. Было выяснено, что здесь применение линейного подхода обосновано в проблемах, где определяющим является единственный параметр: коэффициент интенсивности напряжений. В более тонких вопросах нелинейный подход дает количественно (иногда и качественно) существенно иные результаты. На микроуровне нелинейный подход был рассмотрен применительно к дефектам в кристаллах. Здесь также были получены новые результаты. В частности, выяснено, что (вопреки классическому линейному результату) две параллельные одноименные краевые дислокации всегда отталкиваются. Наконец, было выяснено, что к рассмотрению сингулярных проблем не пригодны истинные напряжения (напряжения Коши), но пригодны условные напряжения (симметричные напряжения Био).

Ознакомление с работами школы академика В.Е. Панина убеждают автора в возможности и целесообразности применения авторской версии нелинейной теории упругости к проблемам физической мезомеханики. В статье дается краткий обзор полученных ранее результатов автора при микро- и макроподходе к проблеме разруше-

ния материалов, применительно к плоской задаче нелинейной теории упругости. Включены также и новые результаты по анизотропным материалам и межкристал-литным и межфазным границам. Рассмотрена задача равновесия зародыша в материнской матрице, уже относимая к физической мезомеханике.

2. Основные комплексные зависимости

В нелинейной теории упругости широко используются комплексные координаты, дифференцирование по ним и комплексные компоненты векторов и тензоров:

£ = х^ + ix1, £ = Х]° - iX1,

_Э_

эс

і

д

д

дх1 дх2

д

дх1 дх2

Щ + іи2), Щ -іи2), и3,

Т1 = *11 + *22 + і(і12 - *21 )>

Т2 = *11 - *22 + і(*12 + *21^ *33-

Здесь х°, хі — координаты материальной точки до и после деформации; щ — компоненты вектора; іу — компоненты тензора. Ниже символом “0 ” снабжаются величины, отнесенные к недеформированной конфигурации тела.

Использование комплексного метода (развитого в работах автора) сокращает записи зависимостей, делает

г = Х1 + ІХ2, г = Х1 - ІХ2,

© Черных К.Ф., 2002

их более “прозрачными”, облегчает поиск необходимых преобразований и дает возможность довести рассматриваемую задачу “до числа”.

3. Основные зависимости плоской задачи

Обобщенной плоской называют деформацию, при которой [1, 6]

z = z(Z, Z), *3 = X*3- (1)

Здесь X = const — кратность удлинения в направлении третьей координатной оси.

При описании деформации удобно использовать тензор кратности удлинений Л0 с комплексными компонентами

dz

Л1 — Лц + Л 22 _ 2

9Z

, Л зз = Я,

11 22

12

’Ле-* 9Z

(2)

Рис. 1.

Здесь м = ю(£, С) — Угол поворота окрестности материальной точки вокруг третьей координатной оси. При этом

-1

е-“ = —— . (3)

{F4 • J 2}1 = 2

9Z

9Z

{F4 • J X}2 = 2

ЭФ Э(dzldZ) ЭФ

(7)

Главные инварианты тензора подсчитываются по главным кратностям удлинений (А1, X2, X3) с помощью формул

I д = Х1 + X 2 + X 3 = Л1 + X = 2-

{F-1 • J 2}33

9Z

+ Я,

9 ф/ 9Z)

ЭФ

‘эл'

Через этот вспомогательный тензор комплексные компоненты тензора условных напряжений (симметричного тензора Био) выражаются формулами

Пл — Я1Я 2 + (Я1 + Я 2 )Я 3 = A + ЯЛ1

(4)

X0

■ а 11 + а 22 — Re

3z

9Z

— 1

dz

9Z

3z 2 dz 2 dz

9Z 9Z + 2Я 9Z , X2 — ац а 22 + i 2а12

dz

9Z

dz

dZ

— 1

{F-1 • J Z}2, (8)

ґ dz 2 dz 2 Л

9Z 9Z

а 33 = -1 • J Х}33.

Тензор истинных напряжений (тензор Коши) не пригоден для рассмотрения сингулярных проблем [1, 2], наиболее интересных в физике твердого тела, и мы его здесь не рассматриваем.

4. Условия сопряжения

В нелинейной постановке успех в решении задач во многом зависит от удачно сформулированных граничных условий и условий сопряжения. Рассмотрим две области комплексной плоскости £0- £0+, разделяемые границей Г0 (рис. 1). Силовое (статическое) условие сопряжения, обеспечивающее непрерывность вектора напряжения, в комплексной форме имеет следующий компактный вид:

[{*■ -1 • 3 2} Л + {^-1 • 3 2}2 е-^° ]- = [•] +. (9)

Следующим является дисторсионное условие сопряжения:

ШЛ — Я1Я 2 Я 3 — J — ЯА—Я

где 3 — кратность изменения объема.

Уравнение движения материальной частицы имеет вид

d{F• JX} + 9{F-1 • JX}2 +

9Z

+ Р

9Z

f1 + if2

(5)

92 z Л 9to

0.

Здесь р0 — плотность недеформированного материала; f1, f2 — компоненты вектора массовых сил;

(р-1 • 3 Х} — компоненты (несимметричного) тензора номинальных напряжений, связанного с плотностью энергии деформации

Ф —Ф

dz dz dz dz

эс, эс, dZ, aZ

,Я

(б)

компактными соотношениями закона упругости

Эг /у0 Эг —/у0 —е —= е

эz эz

=[•]+

(10)

ременной и органически вписываются в комплексный метод.

От обычно используемого геометрического условия сопряжения 7_ = 7 + оно отличается нечувствительностью к смещению как жесткого целого. Это облегчает рассмотрение сдвига вдоль прямолинейной линии скольжения. В ряде случаев дисторсионное условие оказывается однотипным силовому. Наконец, оно формулируется в терминах определяющих функций Эг/ЭZ, Эг/ ЭZ, через которые выражаются зависимости нелинейной плоской задачи.

Далее, соотношения

-

Эг Эг Эг Эг

асэс + эрГ

Эг Эг

жж

—г'2у°

Эг Эг

ЖЖ'

1'2у°

= (•) +,

Э 2

эz2

^ Эг

Ж‘

ЭZЭZ эс

2 е_/2у° 2е

(11)

+ -Эze■^Y °

эс

dY0

= [•]+

являются деформационными условиями сопряжения, обеспечивающими непрерывность удлинения и кривизны общей границы сопрягаемых областей. Они допускают уже перемещение и поворот границы как жесткого целого и, тем самым, позволяют рассматривать взаимные перемещения и развороты кристаллитов.

В физике твердого тела рассматривают и условия на границе с проскальзыванием. На ней полагается непрерывность нормальных напряжения и смещения и отсутствие тангенциального напряжения. Рассмотрение простейшей задачи о сопряжении двух полуплоскостей с различными упругими свойствами показало ограниченность условия с проскальзыванием и преимущества дисторсионного.

Наконец, в физике твердого тела на границе областей с разными упругими свойствами используется так называемое термодинамическое условие сопряжения. Версия автора этого условия имеет вид:

Г°

Эг

Эг

Фегу — (а °, + /а _)— — (а °, + /а _)^&’0 4 V 1 V 2У ЭС V 1 V 1 ЭС

Г°

Эг

Эг

Фегг — (а °, + га _)-----------------------(а °, + га °.)^&’0

4 V 1 V 2' ЭС V 1 V 2' ЭС

(12)

Здесь ау° 1, ау° 2 — компоненты вектора напряжений, отнесенные к (недеформированной) границе Г° (рис. 1). Вопрос о термодинамическом условии сопряжения нуждается в дополнительном исследовании, поскольку механики в аналогичной ситуации его не используют. Отметим, что все перечисленные условия сопряжения формулируются в терминах комплексной пе-

5. Редуцированный стандартный материал

Успех в получении точных решений краевых задач нелинейной теории упругости пришел после введения в рассмотрение новых законов упругости. Так был предложен редуцированный стандартный материал, отвечающий в случае изотропного материала упругому потенциалу

Ф = а*

Эг 2 + а Эг

ЭС ЭС

где а = -

а =----------упругие постоян-

(1 + у)(1 — 2у) ’ 1 + V

ные, причем а* — предварительное всестороннее растягивающее напряжение в плоскости. Для введенного закона все зависимости формулируются в терминах функций Гурса-Колосова Ф(С), ^(С):

г = |Ф(СЖ + }Т(С)С

Эс=Ф(С), Эс=^(С)=т

ЭС ЭС

3 = xд, д = |Ф(0|2 —1^(0|2,

„г’ш Ф(С)

е =|Ф(СЯ, (13)

{^-1 • 3 2}г = 2а*Ф(С),

{^-1 • 3 2}2 = 2аТ(С),

21 = а^1 + а°22 = 2а* |Ф(С)|,

22 = а11 а22 + г2а12 = 2а

Ф(С)Т(С)

|Ф(С)| ’

где ш — поворот материальной частицы.

Для бесконечной области (при больших С)

Ф(С)=«с+а1+ф 0(С),

Ф с(С) ^ + -3 +...,

Т(С) = Ьс + Ь1 + ВД),

(14)

%(С)=

ь—2

2 + —3 +.... С2 С3

При этом постоянные а0, Ь0 определяются из условий на бесконечности:

2°

а11 + а 22

2а

Ь = 22

ь0 =

2а

2а

О СО о СО . — о со

а11 — а22 — г2а12

2а

(15)

+

Для постоянных а_1? &_1? Ь-2 справедливы выраже-

а—1 =

ь-1 =

= ^1 + iF2 — /аЬе 2п(а* + а)

F1 — iF2 — /а*Ье 2п(а* + а)

/•0*

(16)

1т Ь, = —-Мз

2па

Здесь F1, F2, М3 — компоненты сосредоточенных силы и момента в точке ^ = 0, а величины Ь = д/Ь12 + Ь2 , 0* определяют величину и направление вектора Бюр-герса краевой дислокации. Соотношения (16) определяют нелинейную статико-геометрическую аналогию, позволяющую по найденному для сосредоточенной силы в плоскости решению задачи выписывать решение той же задачи для краевой дислокации и наоборот.

Можно использовать и более общий уточненный редуцированный стандартный материал, для которого

Ф = а*

дz Эz 2

+аз7эГ1'<1Ь (17)

Приведенные редуцированные стандартные материалы позволяют учесть геометрическую нелинейность и получить результаты, существенно отличные от получаемых при линейном подходе.

6. Малосжимаемый материал

Большинство конструкционных материалов (если не рассматривать пористые и ячеистые) малосжимаемы. Это дает возможность предложить модель малосжимае-мого материала. Ее использование приводит к существенным упрощениям. В плоской задаче удается получить решения нелинейных краевых задач в конечном виде.

Рассмотрим упругий потенциал

Ф

1+ У

а (J — 1) + ф

Эz

эс

, Я

У-1

(18)

Здесь а — упругая постоянная. В силу предположенной малой сжимаемости материала определяющая сжимаемость материала величина (У - 1) учитывается здесь простейшим (линейным) образом.

Для введенного малосжимаемого материала

^-1 • У 2)1 =

= Е ГоаЯ , Эф/Э1

= 2аЯ+ . ,,.„1 ,

1+у |Э^ Э£|

(19)

^-1 • У 2)2 =-^-1 • У 2}зз =

Е л дz ----2аЯ^,

1 + V эс

1+ V

а

Эz

эс

Эz

эс

Эф

ЭЯ

+п(С, я ),

(20)

Подстановка этих выражений в однородное уравнение равновесия (5) приводит к соотношениям

('=э/эс)

дх = %(&, Я)

9С £,2(С, Я)’

/ходне £2(С,Я)

4д==/ ЩИ dZ+л"(Z7я).

эс ->эц2(^, Я)

Здесь &(£, X, Я) = £(£, Я) £(£, Я), а Я), П(С>Я) и %(^, Я) — произвольные функции. Разумно распоряжаясь ими и используя зависимости раздела 3, можно получать точные решения (физически и геометрически) нелинейных краевых задач [1, 2].

7. Теория трещин (хрупкое разрушение)

Наиболее сложными, но важными и интересными, в нелинейной теории упругости являются сингулярные проблемы, в которых приходится иметь дело с сингулярными (особыми) точками области, в окрестности которых реализуются сколь угодно большие деформации и повороты. Такие проблемы возникают, прежде всего, в теории трещин. При этом здесь результаты, полученные при линейном и нелинейном подходах, могут существенно различаться (зачастую и качественно).

Так, в простейшей сингулярной задаче для плоскости со свободным от нагрузки прямолинейным разрезом (рис. 2), растягиваемой на бесконечности напряжением а22, в окрестности вершины разреза условные напряжения при нелинейном подходе имеют следующую асимптотику:

а

ф ф

а

г ф

а

22

12

2г0

\2Г у

2ф

эт2 — 2

2 ф0 СОЭ ----

фф

эт—соэ — 22

▲ А V А А ‘ к гг000 22 уС Хф°

А к. V0

Л 4—1 ►

-а 1 г у° О ш X о

Рис. 2.

Решение этой же задачи по линейной теории приводит к асимптотике

а

фф

а

Гф

-'22

12

ф

cos—

2

т 2 ф

2 - cos —

2 Ф cos —

• Ф Ф

sin—cos — 22

Существенно, что здесь напряжения имеют тот же стандартный показатель сингулярности (1/2). Этот общий результат позволил “нащупать” область обоснованного применения линейной теории в сингулярных проблемах: использование линейной теории обосновано в сингулярных проблемах, где определяющим является один (единственный) параметр — коэффициент интенсивности напряжений (а/2г ° )12.

Но в более тонких вопросах, где используется зависимость асимптотики от полярного угла ф, вносимое при учете геометрической нелинейности существенное уточнение этой зависимости показывает необоснованность использования линейной теории. Так, учет нелинейности вносит существенную поправку (около 30 %) в известный критерий хрупкого разрушения Кейли-Тай-сона-Котрелла, определяющий, будет ли разрушение хрупким или вязким.

Особенно контрастно различия между линейным и нелинейным подходами проявляются при рассмотрении трещин смешанного типа, подверженных одновременно нормальной и сдвиговой нагрузкам. Здесь выявлено отсутствие излома траектории распространения трещины смешанного типа. В действительности, трещина страгивается вдоль материального волокна, продолжающего разрез. Видимость излома (“наблюдаемого” при линейном подходе) создает большой упругий поворот. Трещина лишь постепенно, плавно разворачивается. Этот теоретический результат подтвержден в эксперименте на резиновой пластине. Выявлен и целый ряд других существенных различий, в том числе:

- Выяснено фактическое совпадение критериев разрушения Ирвина и нормального отрыва (Эрдогана-Си).

- Выявлено качественное различие результата действия на берег трещины “мертвой” (не меняющей направления при деформации) и следящей (например нормального давления) нагрузок.

- Применительно к нелинейному подходу уточнен дискретный критерий разрушения Новожилова.

- Выявлено отсутствие осциляции деформаций и напряжений в вершине трещины между полуплоскостями с разными упругими свойствами.

- Выявлены (и преодолены) трудности применения к сингулярным проблемам методов конечных и граничных элементов.

От макропроблем перейдем к микропроблемам.

8. Дислокации и дисклинации

В работах [1, 2] в нелинейной постановке были рассмотрены краевые и винтовые дислокации, а также клиновая дисклинация. Среди полученных здесь результатов следует, прежде всего, упомянуть взаимодействие краевых дислокаций со свободной поверхностью, с вершиной трещины и между собой.

Так, в задаче о взаимодействии краевой дислокации со свободной прямолинейной границей линейная теория для отстоящей от границы на расстояние I дислокации с параметром Бюргерса Ь дает следующее значение выталкивающей силы:

F =

E b2 1 + v 8л/

Для редуцированного стандартного материала значение в два раза больше:

F =

E b2 1 + v 4п/'

а для малосжимаемого материала, учитывающего парное взаимодействие частиц, имеет место выражение

F=

Eb

(/ v8

(/ v14

имеющее совершенно иную структуру (г0 — атомный радиус).

В задаче о взаимодействии краевой дислокации с вершиной трещины имеем:

- для линейного решения

F=

E_______ь_

1 + v 8nr

- для редуцированного стандартного материала

F=

E_______b_

1 + v 4nr

- для малосжимаемого материала

F=

Eb

-8

-14

(гл — расстояние дислокации от конца трещины по линии скольжения, проходящей через вершину трещины).

В классической задаче взаимодействия двух параллельных прямолинейных краевых дислокаций (рис. 3) имеем:

- для линейной теории

E b(1)b(2) cos 0cos 20

F=

1 -v2

4п

для редуцированного стандартного материала E b(1)b(2) cos 0o

F = -

1 - v2

4n

Л

Л

Рис. 3.

решение (уточненное по сравнению с полученным в [9]) нелинейной плоской задачи о зародыше произвольной формы в нелинейной материнской матрице.

Пусть функция (Я > 0)

С = к(х) = Reiф [X-1 +Ко(Х)],

(21)

к о( X) = сіХ+ ••• + с„ Xп,

конформно отображает бесконечную область 5° + на внутренность единичной окружности комплексной плоскости X- На единичной окружности

Х = а = еіф, а = а-1, а = а-1,

еіу° = ак'(а)/ |к'(а)|,

ак'( а)

Яеі ф

а

(22)

- для малосжимаемого материала

Ь(1) Ь(2)

12

Ґ о\-14

Г

cos 0о.

Отсюда и из рис. 3 усматривается, что при линейном подходе дислокации одинакового знака (Ь(1)Ь(2) > 0) в секторах со значком “+” притягиваются, а в секторах со значком “-” отталкиваются. При нелинейном же подходе (и это “физично”) — везде отталкиваются.

Исключение составляют лишь малые области (г0 < г0), где перестает быть справедливой гипотеза сплошности, использованная при получении приведенных выражений.

Известно, что линейной теории отвечает отсутствие дислокационной дилатации. В нелинейной же для редуцированного стандартного материала она отрицательна, что является одним из известных недостатков модели стандартного материала. Но уже для малосжимаемого материала она положительна. В [1, 2] был также предложен гибридный материал, удовлетворяющий макрозакону сжимаемости материала и микрозакону парного взаимодействия частиц и могущий быть полезным, например, при рассмотрении ядра дислокации.

9. О большеугольных границах

Ближе к мезомеханике проблема большеугольных межкристаллитных и межфазных границ. Сложность полученных зависимостей затрудняет рассмотрение возникающих здесь математических задач, даже при изотропном подходе. В механике твердого деформируемого тела также большое внимание уделяется проблеме разрывных деформаций, тесно связанной с проблемой Эшелби и ее обобщениями [8]. В известных автору публикациях рассматриваются одномерные либо линеаризованные двумерные задачи. Ниже кратко излагается

ак'( а)

+ 1

_а + ко

1

а

Яе* а

к'0( а-1) = с1 +...+псп а1-п.

Здесь и ниже используется функция Е(а), обладающая свойством

Е(а) = Ё (а) = Ё (а-1).

Переходя на комплексную плоскость X с помощью преобразований

X(С, с) = X[ к(X), к(х)] = г (X, X),

получаем с учетом соотношений (21), (22) и условий сопряжения (9), (10) систему двух условий сопряжения:

{Е_1 • JХ}^+ (а, а)аК(а) +

+ {Е 1 • УХ}2 (а, а)ак'(а) =

= Яеіф

1

-а + — к0 а

1

чал<

{Е4 • У X}

аа

+ Re

- іфо

1

'а + —ко а

1

{Е4 • У Х}у

11

аа

-1

эс

= Яещ°

\у+

(а, а)ак'(а) +

(а, а)ак'(а) =

1

-а + — кп

Эz

э?

ТУ-

11

аа

+ Re

-і фо

-а+—к0 а

1

чалі

дг

эГ

аа

Приравнивая в выписанных равенствах первые слагаемые левых частей первым строкам правых частей, а вторые — вторым и переходя от контура к области (т. е.

а

\-

+

а

заменяя а на X), находим искомые выражения для величин, определяющих напряженно-деформированное состояние матрицы, через соответствующие величины во включении:

{Е-1 • 12}Г (X, X) =

Яе,ф

— -Г+к0

X

------V—

(яЛ (

dz

1 _1_

х’ X

= O(| X Р4).

X к'(%)

( (1 Y\

— X 2 + к0

{F -1 • J Е}2 1 1

V—( 1 1 ^ XX

V

Из этих соотношений и (22) усматривается, что в выражениях (23) наибольшую сингулярность имеют слагаемые

(1 >

{F -1 • J X},

{F-1 • JZ}V+ (X, X) =

X 2 k'(x)

= O( |X

1—n+p,

) (i = 1,2),

Re

,ф°

X 2 k'(x)

(

— X + ко

{F -1 • J Z}

V—(

1 _1_ XX

1

—1

эс

(az T+ эс

Re

X 2 k'(x)

= O( |x|

1—n+p >

1 (X, X) = (23) —/ (1 > Г dz у (1 11

- 1 ко Vх; ы Vх, xJ

}ф°

X2 k'(x)

(

2 _,( 1 W dz Y—( 1 1 ^

-X +k(

X

A

XX

/■ 'Ч \V+

dz

V У

Rek

(X, X) =

(

X k'(x)

-X2 +k(

X

(^i—1 эс

XX

Выявим ограничения, накладываемые на напряжения, деформации, повороты и вид граничного контура. Пусть в бесконечно удаленной точке физической плоскости Z = тс, величины области Sимеют следующие полюсы (нули):

{f-1 • J z}—(Z, Z) = о(| qP1),

{F-1 • JZ}—(Z, z) = O(|ZP2),

(Y

d-—1 (Z, Z) = o(| ZРз),

V J

= o(|ZP4) (p, > 0).

С учетом соотношения (21) в точке X = 0, отвечающей Z = тс, имеем:

{F -1 • J Z}

V—

{F -1 • J Z} 2

—(

1 _1_ XX 11

dz

эс

—1

V

X, X

XX

= 0(| XР1), = 0(| XР2),

= 0(1 XРз),

X 2 k'(x)

= O( X

1—n+p4

).

Из конечности напряжений, деформаций и поворота в области ^ °+ следует, что здесь показатели степени должны быть неотрицательными. Отсюда и находим требуемое неравенство:

Р > п - 1 (р = тп^, Р2, Рз, Р4}). (24)

Пусть здесь р = 0, т. е. во включении имеет место однородное напряженное состояние. Тогда из первого неравенства следует значение п = 1, отвечающее его эллиптической форме. Таким образом, применительно к плоской задаче доказана рассмотренная автором [8] обратная нелинейная теорема Эшелби: однородно деформированное включение имеет эллиптическую форму.

В случае знака строгого неравенства в (24) напряжения на бесконечности отсутствуют. При знаке же равенства

р = п - 1 (25)

появляется возможность удовлетворить условиям на бесконечности (деформировать матрицу). Это наиболее интересный для приложений случай деформированной матрицы. Для него равенства р = 0 и п = 1 взаимообусловлены и справедливы прямая и обратная нелинейные теоремы Эшелби1: во включении эллиптической формы реализуется однородное деформированное состояние и наоборот.

Отметим, что проделанные преобразования проведены без потери общности. Неравенство (24) является необходимым условием, налагающим совместное ограничение на вид граничной линии (постоянная п) и на поведение напряженно-деформированного состояния включения на бесконечности (постоянная р). Выраже-

1 Представляется, что прямая и обратные теоремы Эшелби справедливы для нелинейной механики и физики (трехмерного) деформируемого твердого тела.

X

V

X

X

ния (23) можно рассматривать как своеобразное аналитическое продолжение напряженного состояния из конечной области в бесконечную. При этом никак не конкретизуются вид материала и форма включения. При учете же функциональных связей между деформациями и напряжениями появляются дополнительные ограничения на упомянутые величины.

Замечание. Для простоты изложения выше функция к0 (X) была принята в виде (21). Все проделанное выше остается в силе и при других формах этой функции, удовлетворяющих требованию в точке X = 0:

к 0 (X) = О(хп).

Проиллюстрируем сказанное на примере описывающего геометрическую нелинейность редуцированного стандартного материала (раздел 5), для которого выражения (23) принимают вид:

а+Фо+ (X) = Ке Ф (^2 )) а-Г0-(X-1),

X к (X)

фО+ (X) = ^ (-Х2 + к0(х-1))^-(X-1),

X к (X)

Яегф (-X2 + к0(х 1)).

(26)

а+^ о+ (X) = а-Ф у- (X-1),

X к/(х)

?•*(X) = ^ I-); +к0(х~ » Ф--(X-!).

X к (X)

Нетрудно видеть, что записанная система совместна при следующей связи между упругими постоянными

а+ = а-, а+ = а-. (27)

Пусть

Ф° (х 1) = а0 + а1 X +... + aaX9,

(28)

(29)

^ (X ) = Ь» + Ь{х +... + Ь~X?,

Ф°+ (X) = «0++ФГ (X),

Фо + (X) = а+х + а+х2 + •••,

(X) = Ь0+ + ^0°+ (X),

%о+(X) = Ь1+X+Ь+х2+....

Полагая во втором и четвертом выражениях из (26) X = 0 и используя выражения (22), находим

а+ = Ф°+ (0) =

= -Яеф ncnb9“х1-n+9 =-Яе,ф пспЬ ~, Ь0+=То+ (0) =

= -Яе'ф ncnа-х1-n+9 = -Яегф пс^а-

(30)

при условии Эшелби (25), которое здесь принимает вид п - 1 = 9. (31)

Рассмотрим наиболее интересный в приложениях случай эллиптического включения (зародыша) с однородным напряженно-деформированным состоянием, отвечающем значениям п = 1, 9 = 0. Для него имеем

к'л,.-1ч X2 к'(х) х 2

кo(X ) = т, -----------— = mX -1

Яе1ф

а - Ь а + Ь

где а, Ь — полуоси эллипса. Так что

Фо+ (X) = Ь

2 1 ^0 ,

mх -1

т-X2 —-2 7 а0 . тх -1

(32)

Из соотношений (30) следует

е'Ф° _ - е'Ф° _

а0 = -—Ь0+, Ь0 =-—а

Ят Ят

(33)

Что касается постоянных а+, Ь+, то они определяются из условий на бесконечности. При отсутствии поворота на бесконечности:

а+ =фо+ (0) = Ф+ («,) =-

22

2а+

(34)

Ь+ =То+ (0) = Т+ (<~) =

а

-а2Г + 12а'

12

2а+

Деформационный же поворот ю°- и условные напряжения во включении определяются из соотношений (13), (15) при замене в них символа “^” на “-”:

^1 _ аи + а 22

2а*

2а*

а0 ,

^2 _ а11 а 22 + ^2а12 = а0 Ь0

2а

2а

(35)

Для возвращения на физическую плоскость £ для матрицы следует в (26) воспользоваться обратным конформным отображением

X = к-1(С) =

С-л/С2 - 4Я2т

2Ят

1 = С + -у/С2 - 4Я2т

х = 2Я ’

а затем последними двумя выражениями в (13).

Отметим, что термодинамическое условие сопряжения (непрерывность свободной энергии [9]), имеющее в нашем случае следующий вид

/[(а+ + а+)Ф+№+ (О -

- (а- + а-)Ф-(С)Т-(О

е 1у = 0,

выполняется, не внося дополнительных ограничений.

Полученные зависимости дают возможности получать точные решения рассматриваемой проблемы для произвольных материалов включения и матрицы. Известно, что двойникование и мартенситные превращения кристаллов инициируются зародышами новой фазы (двойника). Поскольку последние малы, естественно считать напряженно-деформированное состояние в них однородным. Таким образом, изложенное в этом разделе позволяет ограничиться рассмотрением эллиптического зародыша.

10. Анизотропная плоская задача

При рассмотрении анизотропных проблем удобно использовать комплексные компоненты тензора деформации Коши-Лагранжа С° =Л°2, имеющие для плоской задачи следующий вид:

со = 2

С2 = 4^,, с =

2 эсэс 5

/Эх1 л2 дх3

(36)

Для кристаллических классов (сингоний), текстур, ортотропного и трансверсально-изотропного материалов имеют место следующие базисные инварианты: для моноклинной сингонии

со, с;, С2, (J)

(с11, с22, с33, с12), для ромбической

с;, с;, с2+со, с1с°1,(. J)

(с11, с22, с33, с12 ),

для тетрагональной (классы 9, 10, 13)

(37)

(38)

с;, с;, с22, с2 с2, (J)

(с11 + с22, с33, (с11 - с22) , с12 , (с11 - с22)с12),

(классы 11, 12, 14, 15)

со, с;, с22 + с22, с2 с2,( J)

(с11 + с22, с33,(с11 - с22) , с12),

для тригональной (классы 16, 17)

(39)

(40)

со, с;, с2 с2, с23, (J)

(с11 + с22, с33,(с11 - с22) + 4с12,(с11 - с22) с12),

(42)

(43)

(44)

(классы 18, 19, 20)

со, с;, с2 с 2, с23 + с23,( J)

(с11 + с22, с33,(с11 - с22) + 4с12,

(с11 - с22) - 12(с11 - с22 )с12 ), для гексагональной

со, с;, с2 с 2, (J)

(с11 + с22, с33,(с11 - с22) + 4с12), для кубической

1С _ со + с;, 2 со 2 -1 (с2 + с2 ис _ 1 (со 2 - с2 с2 )+со с;,

1 с 2с; -116 (с2 + с2 ^ с;,( J)

(с11 + с22 + с33 , с112 + с22 + с33 ,

с11с22 + с22с33 + с33 с11, с11с22с33, J) для ортотропного материала

со, с;, с2+с 2, с2 C2,(J)

(с11, с22, с33, с12 , J) для трансверсально-изотропного материала

со, с;, с 2 с 2, (J)

(с11 + с22, с33,(с11 - с22) + 4с12,

Приведенные величины названы базисными инвариантами, поскольку с их помощью можно получить (возводя в степень, перемножая и комплексно сопрягая) все инварианты. В этом смысле их можно назвать “первичными”. В приведенных зависимостях символом (/) обозначен “вторичный”, но часто более удобный инвариант (кратность изменения объема), связанный с “первичными” соотношением J = д/со2 - с2с2°. При нелинейном подходе, по-видимому, вполне можно ограничиться выявленными наборами базисных инвариантов.

Для стандартного материала из выписанных выше инвариантов следует сохранить лишь квадратичные (по компонентам тензора дисторсии) инварианты, рассматривая тем самым упругие потенциалы вида:

ф = BJ+А1со + а2 (с2 + с2°)+а3с; =

(4;)

(46)

= вх

+ А24

^ дz дz дz дz ^

эс дС дС

^ дz дz дz дz ^

эс э^+э^эс

+ А12

+ (47)

+ А3Х2,

где В, Ао, А2, А3 — (положительные) упругие постоянные. Этим выражениям согласно (7) отвечают:

д7 ^7

{Е -1 • J X}! = 2(Х + 2 Аі)— + 8 А2 -=,

дС ЭС

имеем

{Е -1 • J 2} = 2(- БХ + 2 Аі) + 8 А2

д7

эс ’

(48)

■ Эz )Э^

Эz Эz дz дz

эс эс-

\ /

Подстановка же полученных выражений в однород ное уравнения равновесия (5) приводит к разрешаю щему уравнению

{Е _1 • J Х}33 = Б

+ 2 А3Х.

-+ Аі

і + А2

2 дС2 1 дСдС 2 дС2

= 0.

(49)

А2 = 0,

При этом согласно соотношениям (37)-(46) в полученных зависимостях следует положить:

для тетрагональной, тригональной, гексагональной сингоний и трансверсально-изотропного материала

(;0)

для кубической сингонии

А2 = 0, А3 = 2Ао. ^1)

Рассмотрим вначале случай ромбической сингонии и ортотропного материала. Для этого представим отвечающее ему разрешающее (полное) уравнение (49) в виде

D1D2 z = 0, ^2)

п э д д д

Dl = —=■ - ао —, D2 = —=■ - а 2 —.

1 эс 1 эс 2 эс 2 эс

Сопоставление уравнений (49) и (52) приводит к корням

а — -

- А1 +-\[А1- 4 А2

2 А,

а =

- А1 - ■\[А1- 4 А2

(53)

2А

вещественным при Ао > 2А2.

Расчленим уравнение (52), полагая D1ф = 0, D2z = 0.

Последовательно интегрируя эту систему, находим

ф = //(С + аоС),

z = /КС + сф + /2(С + а 2 д, а1 - а2

где /1, /2 — произвольные функции своих аргументов. Вводя новые аргументы и функции

С1 — С+а^, С2 — С+а2с, /1(С+«1С)

а1 - а2

:/ф(СЛ,

(54)

/2(С + а 2 С) = /^(С 2^С 2,

/ф^Л +/^(С 2^С 2, (55)

(56)

= Ф(С1), ^ — Т(С2),

д^1 дС 2

дг

ЭС

дг

= Ф(С1) + Т (С 2),

(57)

= —а^) + а 2 ^(С 2).

дд

Теперь выражения (48) с учетом (7) могут быть записаны в виде

{Е-1 • J 2} = 2(^ИФ(С1) + к12Т(С 2)),

{Е-1 • л:}2 — 2(к21Ф(С1) + к22^(С 2)), (58)

{Е-1 • JХ}33 = Б(|Ф^) + |Т(С2)|)2 -- [а^) + а 2^ (С 2)] + 2 А3Х,

где

кц = 2А1 + 4а1 А2 + БХ, к12 = 2 А1 + 4а 2 А2 + БХ, к22 = 2А1а2 + 4 А2 - БХа2, к21 = 2А1а1 + 4 А2 - БХа1.

(59)

Согласно (9) силовое условие сопряжения записывается в виде

[(*„Ф(С1)+*12 ^ (С 2)) е,у° +

+ (*21Ф(Со) + *22^(С2>) е-,Г ] -= [•] +.

Аналогично формулируются и другие условия сопряжения.

С учетом (8) записываются условия на бесконечности

= I- + Ь\ (*11а0 + *12Ь0) +

|а0 + Ь0| а0 + Ь0 + |---=Л-(*11а0 + *12Ь0)>

К + *01

— 1

а0 + Ьо

2 К + Ьо|

ао + Ьо

2(к 21 а0 + к 22 Ь0)>

е —

ао + Ьо

Отсюда находим

= е™ (к22Г~ - к12 2(к11 к22 - к12 к21)

Ь0 —

е-ю (-к21^1“ + кпХ2~)

(60)

2(*11*22 *12 *21 )

Приведенные зависимости показывают, что унифицированное решение для кристаллов ромбической син-гонии и ортотропного материала сводится к краевой задаче на двух комплексных плоскостях. Для двух этих

материалов решения отличаются лишь значениями упругих постоянных. Последние определяются сопоставлением линеаризованных соотношений (58), (59) с законами Гука для упомянутых материалов.

Для кристаллов тетрагональной, тригональной, гексагональной, кубической сингоний, текстур и трансвер-сально-изотропного материала разрешающее уравнение (49) приводится с учетом условий (50), (51) к гармоническому уравнению

d 2 z

эсэс

= 0.

(61)

Так что рассмотрение этих материалов несущественно отличается от проведенного для изотропного материала. Существенно, что и здесь имеют место унифицированные решения, различающиеся для перечисленной группы решений лишь значениями упругих постоянных.

Из соотношений (18) и (36)-(46) усматривается, что для использования модели малосжимаемого материала при рассмотрении анизотропных материалов “пригодны” лишь базисные инварианты С, С, С2С2° и J. Прежде всего, с учетом соотношений (4) и (37) находим

dz

dZ

+

dz

dZ

= 4

dz

dZ

-(J - 1)k

C2C2 = 16

dz 2 dz 2 = 16 dz 2 dz

dZ dZ dZ dZ

4 -R( J -1)

В силу предположенной малой сжимаемости материала в записанных выражениях можно опустить малые члены в фигурных скобках, рассматривая тем самым инварианты:

дz 2 2

эс я,

2

д/с2с2° + 4X-2 = 4 C5 = X2,

j = X

dz

dZ

2, X,

( dz 2 dz 2 N

dZ dZ

Примем в (18) а = B,

(

Ф

= Y

dz

dZ

Л

, X

A1C1o + A2,j C2C2o + 4X-2 + a3c;

= Y

(A1 + A2)

, A3X2

При этом Эф

d|dz/ dZ| дф

= 8( Ai + A2)

dz

dZ

—=2 a3x+ Al +A2

dX \ 3 X2

Остается использовать соотношения, приведенные в разделе 3. При этом, как и выше, найденные решения краевых задач являются универсальными для всех анизотропных задач, при условии, конечно, что мы ограничились использованием базисных инвариантов Cl, C°5,

c2c2o и j.

11. Заключение

Автором был рассмотрен и случай стандартного анизотропного материала. К сожалению, довести решение “до числа” не удалось по чисто “технической” причине: автор не сумел найти необходимые для этого значения упругих постоянных для тетрагональной и других сингоний. В статье рассмотрена лишь плоская задача. Возможности изложенного подхода значительно шире [1-7]. Так, аналогично рассмотрена антиплоская деформация. Рассматривается осесимметричная деформация тел вращения. Используется модель малосжимаемого материала. Созданный математический аппарат, полученные при микро- и макроподходах результаты [1, 2], а также рассмотренная выше задача о равновесии зародыша в матрице делают возможным и целесообразным рассмотрение (при анизотропном подходе) проблем нелинейной физической мезомеханики.

Литература

1. Черныгх К.Ф. Нелинейная сингулярная упругость. Часть 1. Теория. - С.-Пб., 1999. - 276 с.

2. Черныгх К.Ф. Нелинейная сингулярная упругость. Часть 2. Приложения. - С.-Пб., 1999. - 195 с.

3. Черныгх К.Ф. Нелинейная теория упругости в машиностроительных расчетах. - Л.: Машиностроение, 1986. - 366 с.

4. Черныгх К.Ф. Введение в анизотропную упругость. - М.: Наука, 1988. - 190 с.

5. ЧерныгхК.Ф., Литвиненкова З.Н. Теория больших упругих деформаций. - Л.: Изд-во Ленингр. ун-та, 1988. - 190 с.

6. Черныгх К.Ф. Введение в физически и геометрически нелинейную теорию трещин. - М.: Наука,1996. - 288 с.

7. Chernykh K.F. An introduction to modern anisotropic elasticity. -USA: N.Y. Begell Publishing House, 1998. - 282 p.

8. Черныгх К.Ф. Несколько замечаний к задаче Эшелби // МТТ. -1994.- № 4. - С. 47-49.

9. Черныгх К.Ф. О большеугольных границах (плоская задача) // Нелинейные проблемы механики и физики деформируемого твердого тела. - С.-Пб., 2000. - Вып. 3. - C. 14-34.