CC BY
28Вестник Сыктывкарского университета. Сер. 1. Вып. 5.2003
УДК 539.3
Об анизотропной нелинейной упругости 1 К. Ф. Черных
При создании предельно простой (но без потери общности) теории упругости наиболее сложным является учет нелинейности и анизотропии. В монографии [1] были рассмотрены орто-тропный и трансверсально-анизотррпный материалы. В статье рассматривается общий случай анизотропии (кристаллы, текстуры, ортотропный и трансверсально-анизотропный материалы). Используется модель редуцированного стандартного материала, позволяющая получать точные решения анизотропных геометрически нелинейных краевых задач.
1. Комплексные зависимости
В работах [1-6] использовались комплексные (прямоугольные декартовы) координаты материальной точки до ((, £) и после (г, г) деформации
£ = + ix\, £ == х\ — 1x^1 г = XI + гжг, з = Х\ — гж2,
дифференцирование по ним
д_1 д .д д _1 д . д . дС 2 дх\ 1 дх% ’ д( 2 дх\^г%дхг
и комплексные компоненты тензора
= ^11 + ^22 + *(^12 ~ ^21)5 Т2 = ^11 ^22 + *(^12 + ^21))
1 Работа выполнена при поддержке программы ’’Государственная поддержка ведущих научных школ РФ” (НШ - 2180.2003.1), гранта РФФИ № 02-01-01258, гранта МО РФ Е 02-4.0-75.
© Черных К.Ф., 2003.
Тз — t^3 + г^2з, Т4 — £з1 + г’^32, Т5 — £33.
(1.1)
При рассмотрении нелинейных анизотропных проблем удобно рассматривать комплексные компоненты тензора деформации Коши- Лагранжа, связанные с комплексными компонентами тензора дисторсии соотношениями [5]:
2. Кристаллические классы и текстуры
Известно, что срцествуют 32 кристаллических класса, отнесенных к 7 кристаллическим системам (сингониям). Все они сведены в табл.1. В третьем ее столбце помещены порождающие элементы симметрии, комбинации которых позволяют получить все преобразования симметрии кристаллического класса. В четвертом столбце помещены порождающие элементы, позволяющие с дополнительным преобразованием инверсии, выполняющимся для рассматриваемого тензора 4-го ранга, добиться того же. В третьем и четвертом столбцах точка сопровождает плоскость симметрии, параллельную оси симметрии, а двоеточие - перпендикулярную ей. Косая черта сопровождает следующую за ней ось симметрии, равнонаклоненную к координатным осям. Кроме перечисленных кристаллических классов имеются 7 классов - текстур, сведенных в табл. 2. При этом во второй строке приведены их порождающие элементы, а в третьей - порождающие элементы, дающие вкупе с преобразованием инверсии все преобразования текстуры. Текстуры, как видно из приведенной таблицы, имеют среди своих элементов симметрии ось симметрии бесконечного порядка (оо). Ортотропными называют материалы, имеющие три взаимно ортогональные плоскости симметрии. Трансверсально-изотропные материалы характеризуются наличием оси симметрии бесконечного порядка. Согласно табл. 2 трансвер сальной изотропией обладают все текстуры.
= д±д±_ + го 3 д(дх°3 д(дх°з д( 8x1’ 5
Таблица 1. Кристаллические классы
Кристалло- графическая система Номер класса по Гроту Класс по номенклатуре Феодоровского института Порождающие элементы симметрии
Трехклинная 1 Примитивный 1 2
2 Центральный 2 1
Моноклинная 3 Аксиальный 2 2
4 Планальный т 2
5 Планаксиалъный 2 :т 2:2
Ромбическая 6 Аксиальный 2:2 2:2
7 Планальный 2-т 2:2
8 Планаксиалъный т-2: то 2:2
Т етроганальная 9 Гидро-примитивный 4 4
10 Примитивный 4 4
И Гидро-планальный 4-то 4:2
12 Аксиальный 4:2 4:2
13 Центральный 4: то 4
14 Планальный 4-то 4:2
15 Планаксиалъный то-4:то 4:2
Ромбоэдрическая 16 Примитивный 3 3
(тригональная) 17 Центральный 6 3
' 18 Аксиальный 3:2 3:2
19 Планальный 3-то 3:2
20 Планаксиалъный 6-то 3:2
Г ексоганалъная 21 Гидро-примитивный 3:то 6
22 Гидро-планальный то-3:то 6:2
23 Примитивный 6 6
24 Аксиальный 6:2 6:2
25 Центральный 6: то 6
26 Планальный 6-то 6:2
27 Планаксиалъный то-6:то 6:2
Кубическая 28 Примитивный 2/3 2/3
29 Аксиальный 4/3 4/3
30 Центральный 2/6 2/3
31 Планальный 4/3 4/3
32 Планаксиалъный 4/6 2/6
Таблица 2. Текстуры
Текстуры 1 2 3 4 5 6 7
ё оо оо : т оо : т т • ос : т оо : 2 оо/оо оо/оо • т
9о оо оо : 2 оо/оо
3. Нелинейная анизотропия.
Инвариантные блоки и базисные инварианты
Приступим к рассмотрению нелинейной анизотропии. Комплексные компоненты тензора Коши-Лагранжа при повороте на угол ш = и>з преобразуются по формулам [5]
гуош _____ гуо гуош _ —г2и гуо гуош ____ —ги/гуо гуои> _ гуо /о л \
Ох — Ох, 02 — е “е ^3* *~/5 ^5 ? 1^*-*-/
так что при любом значении угла поворота вокруг главной третьей координатной оси инвариантными относительно такого поворота являются величины:
СО ГУО ГУО~ГУ О ГУО ГУ О ГУ0~ГУ о 2 /О о\
1) ^2^21 ^3^3? ^2^3 * V
Полученные величины будем называть инвариантными блоками, поскольку (как выяснится ниже) они либо являются инвариантами для кристаллических классов, текстур и анизотропных материалов, либо служат их составными частями (блоками). Для конкретных классов анизотропных материалов, обладающих определенными элементами (преобразованиями) симметрии, совокупности инвариантов могут быть различными комбинациями величин С°, включающими и инвариантные блоки.
Рассмотрим подробнее порождающие элементы симметрии (см. последний столбец в табл.1 и последнюю строку в табл.2).
Так для поворотной оси второго порядка ( 2 ) имеем согласно (3.1) (ш = 27г/2 = 7г) :
Сои/ _ ГУ о ГУ Ои/ _ ГУ О ГУ ои> _ ГУ О ГУ О и/ _ ГУО /о о\
1 — ^1) ^5 “ ^5? '-/2 ” ^2у ^3 — — ^3*
Для поворотной оси третьего порядка ( 3 ):
СГ = С°, СIй1 = С°, С°и = е~'2ж/3с°, С°ш = -е-17г/3С°. (3.4)
Для поворотной оси четвертого порядка ( 4 ) имеем
СОЫ __ ГУ О ГУОЫ _ ГУ О ГУ оси _ ГУ о ГУОШ _ '/^0 /о к\
X — Ох, 05 — и5, и2 — ^3 “ —г^3*
Наконец, для поворотной оси шестого порядка ( 6 ):
С°ш = С°, С°ш = С°, С°ш = е^27Г/6С20, С'*' = (3.6)
При поперечной оси поворота второго порядка (у нас второй координатной оси) (2) путем замены индексов (1 —» —1, 3 —» —3) и на основании формул (1.1) имеем
Для равнонаклоненной к координатным осям оси поворота третьего порядка координатные оси переходят друг в друга, что отвечает циклической перестановке индексов
1 —> 2 ~4 3 —>• 1.
При преобразованиях отображении в координатных плоскостях га; (г = 1,2,3) имеем (1 -+ -1)
гуотп _ гуо ггЪт _ гуо гуот ________ ~гу о гуот "ту о /о о\
^1 ^1? ^5 “^*-'5? ^2 ^ 2» и3 “**■ ^З'
(2 -+ -2)
/>о»г /то /Топг ________ /"го /тот ^ Т**0 лот — 77 о /<} о\
^1 “^1? ^5 ^2 “ ^ 2» ^3 ^ 3‘ ^**/2
(3 -V -3)
/Тот /то /Гот _ /ТО /тот /то /Тот /“го (о О"»
С/1 — О, , Од — и5, и2 ‘-*-'2 5 и3 “(-/3* 1.01.0^3
Комбинируя принадлежащие рассматриваемым анизотропным материалам порождающие элементы симметрии (см. последний столбец в табл. 1 и последнюю строку в табл. 2), приходим к базовым инвариантам':
• Моноклинной ситонии
ло /то /ю /чо2 /то/т о. /о п\
^'1> (-'5> и2> и3 » и3° 31
• ромбической сингбнии
Гуо гуо г^б . ~Ру б гуо'гу б гу62 I 7^62 гуо'гу о. -|л\
С/5, ^2 > ^ 25 ^2^ 25 ^3 + ^ 3 5 35
• тетрагональной сингонии кристаллических классов 9, 10, 13
/ТО /то /То2 /То/то /^о/т о /Т6/Т62 Л»л91, /О 1 1 \
} 1>2и 2» ^2^3 » ^2 3 5 ^0.11^
• тетрагональной сингонии кристаллических классов 11, 12, 14,
15
• тригональной сингонии классов 16,17
ГУО ГУО ГУО~ГУ О ГУО~ГУ О ГУоЗ ГУО~ГУ о 2. /О 1 о\
^1? ^2^2 ^3^3> ^2 ? ^2 3 5 ^0.10^
• тригональной сингонии классов 18, 19, 20
і^о /70 гуо~гу о гуоЗ і Ту оЗ гуо'гу о
^1) ^5» 2 2? ^2 ' ^ 2 ’ ^3^3?
с|с52 + с;с|г, і(сг”с;а-с50; (з.н)
• гексагональной сингонии классов 21, 23, 25
Со ло гуо'гу о гуо'гу о гуо'гуо2, (о 1 с\
15 ^5? ^2 25 '-'3'-' 3> ^2 3 ) ^0.10;
• гексагональной сингонии классов 22, 24, 26, 27
Со /10 гуо'гу о гуо'гу о рот? о2 і ~гу огуо2. /о і
15 ^5 5 (~'/21^ 2’ ^3^35 2 3 ‘ 2 3 5 ^0.10^
• кубической сингонии
1с = С," + а = с;, + гп + 4, (3.17)
\сГ - і(с; + с;)2 + с5°2 = с;; + + с»2, (зле),
їс‘°2 ~ т^(с^ +с І)1 + с;сі = с;,4г + 4,4, + 4^, (з.івь
- С°г? + С|г?| = 41 + сЙ + сЙ, (3.18)з
ііс = І(с,“2 - с’с;) - ах і + с”с» =
= (С11С22 + С22С33 + С11С33) — (С12 С23 + С1з)' (3.19)
В выражения (3.18), (3.19) входят всего три симметричные комбинации компонент. При этом две из них входят в инвариант I£ .Поэтому можно сохранить лишь комбинации (3.17), (3.19). Далее, имеем четыре кубические инвариантные комбинации
ніс = \(с? - ёѲ)СІ - \с{с{сі + + ?;с|2) =
С11С22С33 + 2С12С23С13 ~ (С33С12 + С11С23 + с22сіз) = ІС<іІі (3.20)
— СцСооСп
(3.21)
-^(С| - с;т2 - с?) = 4,4,4* (3-22)
-^(с? - с°2?а - ~(с2° + г?5)(С|а + с?) + \с°,сїсі =
__ о о2 . о о2 і о о2
— с11с23 "г с22с13 т ^33 12>
содержащих лишь три симметричные комбинации компонент. Выберем из них первые три. Можно показать, что сказанное выше справедливо и для классов 29, 31, 32. Таким образом, инвариантами (3.17), (3.19)— (3.22) обладают все классы кубической сингонии.
Для текстур оо (последняя строка в табл.2), согласно соотношениям (3.2), имеют место вещественные инварианты
— 7 - —
/>о лоліо (Г10С °2 /то/оо2\.
'-'5 5 35 ^1<-'2<-' 3 ^ 2*^3 Л
/С = сї + с5°, //С = І(С;2-£'2"С5)-С|С| + С1“С|, шс = і (С?2 - с2°с 5)С? + іодс I + і (С2»С I2 + с ;с302), (з.2з)
равносильные набору (3.2). Этими инвариантами обладает и трансверсально -изотропный материал, имеющий третью координатную ось в качестве поворотной бесконечного порядка. Наличие боковой оси (:2 ) устраняет для текстур оо : 2 третий инвариант. Для текстур же оо/оо имеют место любые поворотные оси, в том числе и равнонаклоненная ось третьего порядка. Совместность с последней приводит для них к замене инвариантов (3.23) на следующие:
1с, ІІСі Шс, (3.24)
справедливые и для гиротропных, и изотропных материалов.
Для ортотропного материала имеют место три элемента симметрии: отображения в плоскостях т, (г = 1,2,3), для которых имеем (см. (3.8)х, (3.8)г, (3.8)з) общие инварианты
СІ С\, Сї + С°г, ёѰ, С|2 + С?, С$С°3, Шс, (У). (3.25)
Из полученных ранее соотношений следует, что для несимметричных материалов базисными являются величины
Сц С*2 5 ^3 5 ^5 і (с11) с22> с33> с121 с135 с2з)- (3.26)
Эти величины инвариантны и для кристаллов тригоналъной сингонии, имеющих несущественные для рассматриваемого тензора четного порядка симметрию инверсии относительно точки.
Естественно, что нами приведены не все, а только изначально-образующие инварианты. Инвариантами являются любые их комбинации, со списком которых можно ознакомиться, например, в [7]. Отметим также, что для практического использования при нелинейном подходе полученных инвариантов, по-видимому, вполне достаточно.
4. Нелинейная плоская задача
Рассмотрим обобщенную плоскую задачу, отвечающую преобразованию комплексных координат
* = г(С,С)» х3 = Ажз,
где А - (постоянная) кратность удлинения в направлении третьей координатной оси.
С учетом этих выражений выпишем базисные инварианты плоской задачи, присоединяя к ним кратность изменения объема 7 = А(|=|| —
|=|=) и заменяя на него инвариант IIIс = При этом из соотношений (3.9)-(3.26) следуют базисные инварианты:
• моноклинной сингонии
С1 С1 С2 (/); (4.1)
• ромбической сингонии и ортотропного материала
С1 СЩ + Щ, С$С°2, (У); (4.2)
• тетрагональной сингонии классов 9, 10, 13
С°, С5°, С2°2, С&1 (7); (4.3)
• тетрагональной сингонии классов 11, 12, 14, 15
СС?, С2" + С|2, С1С°2, (/); (4.4)
• тригоналъной сингонии классов 16, 17
Со по /ю2 I /-г о2 лол о /ю3 / г\,
1? ^5’ 2 ‘ ^ 2 ’ 2’ ^2 >
(4.5)
• тригоналъной сингонии классов 18-20
С?, С5°, С2о2 + С°2, С2°С°, С°23 + С?, (./); (4.6)
• гексагональной сингонии
с;, С1, С1С1, (./); (4.7)
• кубической сингонии
с;, 1С = с? + с;, ив = \(с? - с2°с;) + с;с$, у,
1С?2-|(С? + С;)2 + С|2, [^2-^(С2» + С;)г]С|; (4.8)
• текстур оо, оо : 2 и транверсального материала
а, 1с = с? + С?, Пс = \(С? - С1С\) + С1С1, J; (4.9)
• текстуры оо/оо, гиротропного и изотропного материалов
1С, //с, ///с; (4.10)
• несимметричных материалов и триклинной сингонии
сь с;, с2° (У). (4.11)
5. Стандартный материал (общий случай)
Для стандартного материала [5] в соотношениях предыдущего раздела следует сохранить лишь квадратичные (по компонентам тензора дисторсии) инварианты, используя тем самым инварианты вида
Ф = ВЗ + АгС° + 1/2А2(С° + С°2) + І/2A3(C° -С°2) + А4С° =
.дгдг дгдг. .дгдг дгдг.
= ВЛ(э<ас-а?в!) + 2Л‘(эс5с“^а!)+
дгдг дгдг. .дгдг дгдг 2 , .
+2Л’(§с э? + аса?1+лмт ~т)+А>х' {ъл)
где В, Ах, А2, Аз, А4 - положительные постоянные. Подстановка этого выражения в соотношения [5]
{*■->. ./У)},-2-7=^=-, = 2 вф
д(&г/дС) ^ д{дг/д()
1'*/53>3= д(дх3/дх°зу
где ~ комплексные компоненты (вспомогательного) тензора
номинальных напряжений, дает для рассматриваемого сжимаемого материала
№ 1 • J У^}г = 2{В\ + 2А1)— + 4 (А2 + гАз)^=,
и - -т. Яг /72
{-?1”1 • 3= 2(-ВХ + 2А1)-щ + 4(А2 - гАз)-^,
<«■*>
Подстановка же полученных выражений в однородное уравнения равновесия [5]
Щ + ас _
приводит к разрешающему уравнению
3^ г 9^2
(А2 - * Аз) — + 2А1-—= 4- (Аг + г^3)^=2 = (5-3)
Представим его в виде
АЛ, = 0, А = В2 = (5.4)
Сопоставление уравнений (5.3) и (5.4) приводит к значениям корней
-Ах + >/а| - (А\ + А\) -Ах - а/А^ - (А% + А|)
«1 =-----------;----—-----------, а2 =-----------------—----------. (0.5)
А2 + г Аз А2 + г Аз
Расчленим уравнение (5.3), полагая
В\у> — 0, В2г = <р.
Последовательно интегрируя эту систему, находим
V =-Л(С + «1С>, г = + + МС + «2?)-
Ох — &2
Вводя новые аргументы и функции
С1 = С + <*хС, Сг = С + ^гС-.
МС + Ы) = г ф(С1Кь /2(С + ог2с> = / «(ЬМб,
«1 - <*2 У У
имеем
г =/’*((,)+/ Ф<6)<%,
|г-Ф(й), # = Ш- (5-6)
»С1 дС2
Теперь выражения (5.2) могут быть записаны в виде
{.Р-1 ■ ./$> = 2(^ххФ(С1) + МЩ),
, . {/г-1 - 2(Лг|‘гФ(С1) +^ФШ),
{^_1 ■ J = ^[|Ф(Сг) + Ф(Сг)|2 — |<*1Ф(С1) + °2Ф(С2)|2] + 2А3А;
&хх = ”1“ 2Ах + ^(АгМ- 1А3), к\2 = В\ + 2Ах 4- о?х(А2 — *Аз),
4 \
Л?21 = о:х(—+ 2Ах) -4- А2 — *Аз^\ &22 = ос2(—В\ + 2Ах) + А2 + *А3. (5.7)
С учетом выражений (5.6), (5.7) и рис. 5.1 находим [5]: силовое граничное условие
[ЛііФ(Сі) + *і2Ф(Са)]еп +
+ [&2іФ(Єі) +^Ы]е-,у,=
= [<?>,,« (з0) + г<г1/о*о(«°)]е,7°; (5.8)
дисторсионное граничное условие
[Ф(Сі) + Ф(С2)]е,'г - [опФ(Сі) + «2Ф(С2)]е-‘7 = .а*(*°) г д*° •
(5.9)
Коль скоро функции Гурса-Колосова найдены, условные напряжения сг? и угол поворота материальной частицы и подсчитываются по формулам [5]
= (Г?, + в>„ = 2Де[е-‘"((:11Ф(С1) + *и«(6))],
]Г° = »•;, - + <г?г = 2<Г'"(**,Ф(С,) + *я*(С>)),
Ф(С.) + Ф(6) |Ф(Сі)-+*(6)|’
(5.10)
величины в правых частях которых заменяются выражениями из (5.6) и (5.7).
Рассмотрим комплексные ПЛОСКОСТИ С1) С2 с отверстиями, содержащими, соответственно, точки = 0 и Сг = 0, и примем (при больших
С)
Ф(С0 = °о 4- ФоССО) Фо(Сх) = + _7эГ +
41 4.1
Ф(С2) = К + Ф0(С2), Фо(С2) = + -7Т + -м
(5.11)
Ь-2 б-з
а сі
обеспечивающими в рассматриваемых бесконечных областях конечность напряжений, самоуравновешенность нагрузки на контурах отверстий и однозначность смещений.
Подставляя эти выражения в соотношения (5.10) и устремляя (ьСг к с» находим
^ ^ = е (кца0 + кхъЪо) + егю (кца0 + к\2Ь0),
Отсюда и следует
= Ме-,.±5!АЕ. (5.12)
2(кцк22 — к\2к2\) 2(А:цА:22 — ^12^21)
6. Плоскость с отверстием. Прямолинейный разрез
Рассмотрим задачу о деформации плоскости со свободным от нагрузки контуром отверстия при заданных на бесконечности напряжениях. Подставляя выражения (5.11) в однородное граничное условие (5.8), приходим к исходному граничному условию
[*пФ(С1) + Щ)]^° + [*21Ф(С1) + *22Ф(С2)]е-*в =
= [кца0 + к12Ъ0\е11° - [к21а0 + к22Ь0)е~%'1<‘. (6.1)
Пусть
С = К(х) = я(х-1 + «о(х))> С1 = «1(х1), XI = «Г 1(С1)*
(2 = К2(Х2), Х2 = «21(С2) (6.2)
- функции, конформно отображающие внутренности единичных кругов |х;| <1 (г = 0,1,2) на комплексные плоскости (0 = (, (г, С2 с отвер-
стиями, и им обратные. С учетом соотношений на единичной окружности а = ехв° [5]
сгк'(сг) = Щ-— + (Тк!0 (сг)) = Щ-а + ак’0(а)),
<7
х«с(х) = С1Х + - + пспхп, г-7о _ д-к'(а) _ Я(-а + <тк'0(а)) _^0 _ а к'(а) _ Щ-а + <тк'0((т))
6 ~ И0-)! И°01 ’ 6 И0-)! И0-)!
и (6.2) запишем условие (6.1) на единичной окружности
л^оМ0-)] + а2ф0[«2И] = ВДИ + 72(сг)]? (6-3)
где
Ах = к,ц(тк'({т) + К21(Т~1К'((Т~1), Л2 = к22ак!(а) 4-
/1(0") = ~(киа0 + к12Ъс)ак'0{а) + (к21ас + к22К)а,
/2(0") = — (&2з<х0 4- к22Ъо)о'кг0(а) 4- (&па<> 4 л-’хг&о)^ (6.4)
Следуя изложенному в [5] методу расчленения граничных условий, приравняем в условии (6.3) первое слагаемое левой части первому слагаемому правой, а второе - второму. Уходя затем с контуров во внутрь областей (т.е. заменяя гг, соответственно, на Хъ Х2 и используя обратные конформные отображения, получаем с учетом (5.11)
Л/А \ I ТЭ Л [^1 (Сх)] тПГг/ /** \ 1 I р (С2)] /£• Г\
Ф(и) = а0 + К Ф(С2) - Оо 4- Л ..:~1 уттт- (Ь-о)
ЛН% (СО] А2[к2 (Сз)]
Для эллиптического отверстия имеем [5]
а + Ь а-Ь _Л ( а + Ь а + ЬЛ
4 = *(Х) =-5-Х +-у-Х - (й=— ™=^).
,=<Ю = ЬЕ*!1, x-l = K-.(c) = i±V2Zi^;
£ .= ж® -|- гж°) Xj = acos^°, .Zj = 6sin#0. (6.6)
Представим, далее, в том же виде
(k — 4- ix^k\ cos 9°, х°2^ = sin в0, (к = 1,2) (6.7)
где согласно (5.6)
а(к) = (1 + ак)а, = (1 - ак)Ь. (6.8)
При этом соотношения (6.6) заменяются следующими:
А ч (1 + ак)а + (1 -ак)Ь , (1 4- ак)а - (1 - ак)Ь
Ск = Кк(Хк) =------------2----------** +--------—2--------------
Xfc = ч\Ск) =
.-1/А \ _ Cfe ~ л/С* - (1 + Ofc)2« + (1 - ajt)2b2
(1 4- afc)a 4- (1 - <*fc)fe
,_x _ Cfc + y/Q ~ (1 + <*k)2a2 + (1 - a*)2*»2
X* (1 + Gfc)a + (1 — ak)b {k 1,2)’ (6'9)
Напомним, что постоянные а0, Ь0 подсчитываются по формулам (5.12). Затем следует найти из соотношений (6.5) $((1), Ф(Сг) ивоспользоваться соотношениями'(5.5), (5.2), (5.6) и (5.10).
Рассмотрим подробнее плоскость с прямолинейным разрезом, для которого в предыдущих зависимостях следует положить 6 = 0. При этом из соотношений (6.6)-(6.9) следует:
Я=-, т =
1; кк(хк) - М— + 'х*)> "хМхк) = Хк,
КХк ■'
Хкк'{хк) = ) = я(хк------);
Уь \Уь/ \ У *•/
Хк
(к - у/Ск ~ С1 + аь)
2П2
х-. = а + л/й-(1 + ^);°г (4 = 1|2).
(1 + (Ук)а (1 +' о к)»
С учетом этого находим из (6.4) и (6.5)
' “ 4 7 С1
(6.10)
,, „ ч 1 ( к22
Ф(Сг) — о0 + -1 а0 — -р—
41
Н\х~
к
21
\л/С? — (1+ а02а2
________С1_____________
х/С? - (1 + сц)2а2
- 1
1
(6.11)
■22
Ш
Получим необходимые при рас-£ смотрении трещин асимптотические формулы для условных напряжений в окрестности правого конца разреза (рис. 6.1). Имеем согласно выраже-
Х1 ниям (5.6) при а > г°
Рис-6Л Ск = С + ак(к = (1 + ак)а+
+г°[(1 + ак) сое (р° -(- г(1 - ак) вт у0) ~ (1 + ак)а,
~ О + ак)2а2 = у/((к + (1 + ак)а)((к - (1 + ак)а) ~
~ л/2(1 + ак)а^г°[( 1 + ак) соэср0 + г(1 — ак) эт^0] (к = 1,2).
Отсюда и из выражений (6.11) следует асимптотика для функций Гурса-Колосова '
1/2
ф(о/ \ 'fe) • (6Л2)
2\ к22- к12 ) ycos^ + ibf^sin^0 \2г /
Остается, подставляя величины (5.6), (5.2) в (5.10), найти асимптотические выражения условных напряжений, имеющих, как не трудно видеть, стандартную особенность т = 1/2. При этом входящие в полученные выражения постоянные В, Ai, А2, Аз, А± определяются сопоставлением линеаризованных выражений (5.10) с законом Гука для рассматриваемого анизотропного материала.
Литература
1. Черных К.Ф. Нелинейная сингулярная упругость. Часть1. Теория. СПб: Изд-во С.-Петерб. ун-та, 1999. 276 с. ISBN 5-7997-0118-6.
2. Черных К.Ф. Нелинейная теория упругости в машиностроительных расчетах. JL: Машиностроение, 1986. 336 с.
3. Черных К.Ф. Введение в анизотропную упругость. М.: Наука, 1988. 192 с.
4. Черных К.Ф. Введение в физически и геометрически нелинейную теорию трещин. М.: Наука, 1996. 288 с.
5. Chernykh K.F. An Introduction to Modern Anisotropic Elasticity. USA. N.Y.: Begell Publishing House. 1998. 248 p.
6. Черных К.Ф. Нелинейная сингулярная упругость. Часть 2. Приложения. СПб: Изд-во С.-Петерб. ун-та, 2000. 195 с. ISBN 5-7997-0181-Х.
7. Теодосиу К. Упругие модели дефектов в кристаллах. М.: Мир, 1985. 352 с.
Summary
Chernykh K.F. On anisotropic nonlinear elasticity
In article the common case of anisotropy is considered (for example, crystal, texture, orthotropic and transversally anisotropic materials). The model of reduced standard material is used. It allows to get the exact decision of anisotropic geometrically nonlinear boundary value problem.
Санкт-Петербургский университет
Поступила 30.09.2002
