Вариант нелинейной теории упругости. Его структура и возможности Текст научной статьи по специальности «Физика»

К.Ф. Черных

ВАРИАНТ НЕЛИНЕЙНОЙ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ. 0 ЕГО СТРУКТУРА И ВОЗМОЖНОСТИ*)

Введение. В работах автора [1-9] была предложена предельно простая (без потери общности) версия общей нелинейной теории упругости, позволяющая получать точные решения двумерных краевых задач (плоская задача, антиплоская деформация, осесимметричная деформация тел вращения). Охарактеризуем ее особенности на примере плоской задачи. Прежде всего это использование развитого автором комплексного подхода, приводящего к более компактным и прозрачным зависимостям.

Комплексный подход. Вводятся комплексные координаты, дифференцирование по ним и комплексные компоненты векторов и тензоров:

£ = Ж°-НХ2, С — ¿х21 Z = Xi +1X2, Z = XI +iX2,X3,

д_ _l(. д \ д = lf д . д \ д( ~ 2 ^dxi 1дх2) ' д{~ 2 + гдх2)'

Ti = ill + ¿22 + 12 — til), T2 = ill — ¿22 + i(tl2 + ¿2l)) T3 = ¿33.

Здесь x®, - декартовы координаты материальной точки до и после деформации. Плоская деформация определяется зависимостями

z = z(C, С), жз = Аж£,

где Л = const - кратность удлинений в направлении третьей координатной оси.

Разрешающие функции. Разрешающая система уравнений. Центральным в предложенном подходе является введение разрешающих функций: разрешающих статических функций (номинальные комплексные напряжения)

{F-1 • <7S}i, {F-1 • JS}2, {F-1 • JS}33

и разрешающих дисторсионных функций (комплексные дисторсии)

dz dz dxz _

К'дс'дЩ' '

определяющих все интересующие нас величины и удовлетворяющие разрешающей системе уравнений: закону упругости

{F-'-J^h _ ЭФ х _ дФ t _ ЭФ

2--д[дфсу {F {F •JS}33-^' (1)

*) Работа выполнена при финансовой поддержке программы Президента РФ (грант № НШ- 21802003.1), Российского фонда фундаментальных исследований (грант № 02-01-01258) и Министерства образования РФ (грант № ЕО 2-4.0-75).

© К. Ф. Черных , 2004

(однородному) уравнению равновесия

ас + да и>

(однородному) статическому граничному условию (рис. 1)

{¿^ • 7Е}1е<?° + • 7Е}ае-<7° = О, (однородному) дисторсионному граничному условию жесткого края

Vе

^ = о.

(3)

(4)

Рис. 1.

Дисторсионное граничное условие (условие жесткого края) имеет существенные преимущества перед геометрическим (заделки), будучи сформулированным в терминах дисторсионных разрешающих функций, входящих в систему разрешающих уравнений. Они более удобны и для практического использования, в частности при рассмотрении в физике твердого тела границы с проскальзыванием. При использовании функций Гурса-Колосова дисторсионное граничное условие однотипно со статическим условием.

Для областей 50+, сопрягаемых по линии имеют место: статическое условие сопряжения

{Г'1 • + • юу+е-**0 = • Щ^е^ + {Р'1 - 2"е

Гр-'Г

и дисторсионное условие сопряжения

л"

,дг

д~с)

(5)

(6)

Соотношения (1)-(6) компактны, прозрачны и формируют разрешающую систему уравнений.

Коль скоро она разрешена, легко определяются и «вторичные» при предложенном подходе величины:

конфигурация деформированной области

поворот окрестности материальной точки и)

_гь> дг/дС, \дг/дС\'

условные напряжения (симметричные напряжения Био)

дг \~1дг

Е° = СГ^ — СГ22 + г2сГ°2 =

ÖZ I I-1

{F-1-JE}2,C7°3 = {F-1. JS}33.

ÖCIÖCI

Истинные напряжения (напряжения Коши) имеют целый ряд недостатков и непригодны для рассмотрения наиболее интересных в приложениях сингулярных проблем. От этих недостатков свободны рассматриваемые условные напряжения.

Законы упругости. Получению точных решений двумерных краевых задач способствовало введение (в плоской задаче) двух законов упругости. Первым из них был учитывающий геометрическую нелинейность редуцированный стандартный материал, для которого

* (dz Л (dz Л dz dz .. „Л

(äc ) (ас ) +°5с5с+т(

£(l-i/)

К =

Е

Е

(1 + и)(1 - 2i/)' 0 (1 + и)' ' 4(1 + v) (1 - 2и)

7 =

ч).

dz

dz

_-1 = Ф(0,^ = Ф(0,

{F-1 • JE}j = 2<т*Ф (С), {F-1 ■ JS}2 = 2аФ (С), вторым - малосжимаемый материал, для которого

dz\

АО

(а-постоянная, 7 = — ||| ^-кратность изменения объема). Здесь относитель-

ное изменение объема (</ — 1) учтено простейшим (линейным) образом. Второе слагаемое (функция своих аргументов) учитывает деформацию сдвига. Этот (практически общий для конструкционных материалов) закон упругости учитывает геометрическую и физическую нелинейности. Разрешающие функции связаны здесь следующими соотношениями:

Е

2аХ +

П(|б*/0С1,А)1 \dz/dQ

dz_

dC

• 7Е}2 = (п (\дг/дС\, А)

д(р(\дг/д(\,\) д\дг/дС\

пдг 2 дх VI]

Нес дС

1 + и

Оба варианта дают возможность получать точные решения двумерных краевых задач (плоская задача, антиплоская деформация, осесимметричная деформация тел вращения) и рассматривать анизотропные материалы (композиты, кристаллы, текстуры). Отметим, что в разрешающей системе уравнений (1)-(6) лишь первое из них является нелинейным. Но для редуцированного стандартного материала и оно линейно. Таким образом, для редуцированного стандартного материала разрешающая система уравнений линейна при геометрической нелинейности задачи в целом. Это дает возможность решать геометрически нелинейные задачи всеми методами, используемыми в линейной теории.

Метод расчленения граничных условий. Статически и дисторсионно определимые задачи. Для решения краевых задач был предложен элементарный метод расчленения граничных условий, более общий, чем традиционно используемый в линейной плоской задаче метод интегралов типа Коши, применимый к нелинейным задачам в случае отсутствия функций Гурса-Колосова. Суть его состоит в следующем. Пусть удалось представить (расчленить) граничное условие в виде

(а, а) + 1?2 а) = /1 (а, а) + /2 (а, а),

где входящие в него величины являются граничными значениями искомых (Р1(Х,Х),ЩХ,Х)) и заданных (Мх,х), Мх, х)) функций, регулярных в рассматриваемой области, непрерывных вплоть до контура и удовлетворяющих условиям на бесконечности. Тогда можно принять

(х> X) = /1 (Х> X) I (X, X) = Н (х, X) ■

Проиллюстрируем его на двух примерах: плоскости с отверстием и с жестким включением общего вида. При конформном отображении внешности отверстия (включения) плоскости С на внутренность единичного круга плоскости х

С = к(Х) = + Ых)], к0(х) = С1Х + с2Х2 + ... + с„хп

и обозначении

X (С () =х (к (х) , Ш) = X" (х, х)

находим [6-10] для плоскости с отверстием

• л}; (х) = , • лК Ы = ■

1 - X2«о Ш 1 - X ко (х)

Полученные с помощью метода расчленения выражения не зависят от свойств материала (определяющих соотношений, не обязательно закона упругости). Их уместно

называть решениями статически определимых задач. При этом определяются и напряжения. Дисторсионные разрешающие функции находятся здесь из определяющих соотношений (не обязательно закона упругости).

Для плоскости с жестким включениемимеем аналогичные выражения

(х) " 1 =

ар + Ьрх2

1 - Х2«о (х)

+ а0х2

Х2*ю (х)

также не зависящие от свойств материала - решение дисторсионно определимой задачи. Статические разрешающие функции и условные напряжения находятся из определяющих соотношений (не обязательно закона упругости). Входящие в полученные выражения постоянные определяются напряжениями на бесконечности:

а о

г0оо '11

Ооо 22

2<Т*

2(7*

Ъо

2а

'22 2а

12

Сопряжение областей с разными материалами. Прямая и обратная обобщенные теоремы Эшелби. Метод расчленения был распространен и на случай сопряжения областей с разными материалами. Здесь условия статико-дисторсионного сопряжения (5), (6) приводят к связи значений разрешающих функций в области 50-(включение) и 5го"1" (матрица):

1 ~ Х2&о(х)

{.Р-УЕК-ОГ1,*-1) {^../Ек-ег1,*-1)

(Эг/ЭС-1

-'К (Х"1)

(вг/ёс-!)"

у-1

в инверсионно сопряженных точках х и (рис. 2). На эти соотношения следует смотреть как на дисторсионно-статическое продолжение разрешающих функций через линию сопряжения Г°. Проделанное продолжение не связывалось с аналитичностью разрешающих функций.

® зС/'

У\

А* \

1 0 1

Рис. 2.

Пусть заданные во включении (области 5° ) выражения для разрешающих функций на физической плоскости при £ —> оо удовлетворяют условиям '

• ЛЗ}Г(С,С) = С(|СГ), • ^}2"(С,0 = 0(|СГ),

- О'К'Я = 0(|С|Р2)' =

Из полученного равенства следуют (для произвольного материала) прямая и обратная обобщенные теоремы Эшелби: во включении эллиптической формы п = 1 реализуется однородное напряженно-деформированное состояние р = 0 и, обратно, однородное напряженно-деформированное состояние включения определяет его эллиптическую форму.

Проделанные преобразования были проведены для любого материала, не обязательно упругого. Были получены [7-9] точные решения (при произвольном материале) для следующих наиболее интересных в физической мезомеханике случаев: 1) равномерно нагруженное включение (зародыш новой фазы в матрице); 2)включение, нагруженное сосредоточенной силой (способствующее преодолению энергетического барьера при возникновении новой фазы); 3) включение, содержащее краевую дислокацию. Сформулирована также статико-дисторсионная аналогия, по которой статическим величинам и соотношениям отвечают соответствующие, дисторсионные.

В целом же в работах автора и его учеников [1г-9] введены статические и дисторсионные разрешающие функции, для которых получена предельно простая, без потери общности, разрешающая система уравнений, дающая возможность получать точные решения двумерных краевых задач. При этом подходе перемещения, поворот и напряжения являются как бы «вторичными» величинами, определяемыми после решения основной задачи. Введены формулируемые в терминах разрешающих функций новые типы граничных условий и условий сопряжения (дисторсионные, жесткого края, деформационные, термодинамические), более удобные, чем традиционные, и решающие специфические задачи. Так, в физике твердого тела дисторсионные условия сопряжения успешно заменяют условия на границе с проскальзыванием. Деформационные же условия сопряжения, не реагирующие на жесткие смещения и повороты, удобны при рассмотрении разориентированных кристаллитов. Изложенное в последнем разделе полезно при изучении зародыша новой фазы в материнском кристалле (бесконечном и конечном), а также при двойниковании и мартенситных превращениях. Выявлены случаи получения точных решений задач для произвольного (не обязательно упругого) материала либо частей решения (статически и дисторсионно определимые задачи). Предложенный ранее автором (1951 г.) в линейной плоской задаче метод расчленения граничных условий (простой и более общий, чем метод интегралов типа Коши, применяемый и в случаях отсутствия функций Гурса-Колосова) распространен на нелинейные двумерные краевые задачи (антиплоская деформация, осесимметричная деформация тел вращения), анизотропные материалы и случаи сопряжения областей. В линейной теории упругости известна статико-геометрическая аналогия. В нелинейной же механике твердого деформируемого тела прослеживается статико-дисторсионная аналогия, проявляющаяся в однотипности выражений для статических и дисторсионных разрешающих функций и отвечающих им соотношений. Проделанное позволило получить точные решения актуальных двумерных нелинейных задач (в том числе краевых) теории упругости и физики твердого тела. Эти результаты существенно (численно и даже качественно) отличаются от своих линейных аналогов. Из соотношений разрешающей

системы (1)-(6) только первое является нелинейным относительно искомых разрешающих функций. Так что задачи, разрешимые для любого материала (без привлечения уравнений состояния), являются (по существу) линейными. К таким же относятся и задачи, при решении которых используется редуцированный стандартный материал. В этом смысле задачи, в которых применяются статически либо дисторсионно определяемые решения, уместно называть полулинейными. Особенностями предложенного подхода являлись: 1) отказ от использования уравнений совместности; 2) отказ от использования смещений (отыскиваются комплексные координаты материальной точки после деформации); 3) введение новых граничных условий и условий сопряжения; 4) введение новых типов (нелинейных) уравнений упругости; 5) последовательное развитие и использование комплексного метода; 6) возможность рассмотреть созданным аппаратом актуальные проблемы физической мезомеханики (двойникование, фазовые переходы); 7) определение путей распространения полученного на неупругие материалы.

Некоторые конкретные результаты Помимо рассмотренной в настоящей работе плоской задачи, получены новые результаты по созданным простым версиям общей теории, антиплоской деформации, осесимметричной деформации тел вращения, комплексным инвариантным интегралам (./-интегралам), оболочкам и тонким слоям (антиоболочкам). Упомянем наиболее интересные результаты.

В нелинейной теории трещин: Линейная теория обоснованно применима в задачах, где определяющим параметром является один (единственный) коэффициент интенсивности напряжений. Учет нелинейности вносит существенную поправку (около 30%) в известный критерий хрупкого разрушения Кейли Тайсона Котрелла, определяющий, будет ли разрушение хрупким или вязким. Выявлено отсутствие излома траектории 4 распространения трещины смешанного типа, фактическое совпадение критериев разрушения Ирвина и нормального отрыва (Эрдогана Си). Применительно к теории трещин впервые установлена непригодность истинных напряжений в сингулярных проблемах. Выявлено качественное различие результата действия на берег трещины «мертвой» (не меняющей направления при деформации) и следящей (например, нормального давления) нагрузок. Применительно к нелинейному подходу уточнен дискретный критерий разрушения Новожилова. Обнаружено отсутствие осциляции деформаций и напряжений в конце трещины между полуплоскостями с разными упругими свойствами. Рассмотрена нелинейная комплексная теория инвариантных интегралов (в том числе и применительно к угловым вырезам и включениям). Полученные инвариантные интегралы позволили избежать использования теории скачков Адамара при построении термодинамического условия сопряжения. Полученный здесь химический потенциал структурно отличается от использованных ранее. В нелинейной постановке модифицированным методом граничных элементов рассмотрены трещины в конечных областях. Использован также модифицированный применительно к указанным нелинейным проблемам метод конечных элементов.

В теории дислокаций и дисклинаций и физической мезомеханике: Рассмотрены нелинейные краевые и винтовая дислокации, а также клиновая дисклинация в кристаллах. При изучении взаимодействия прямолинейных дислокаций с границей области, с концом трещины и между собой полученные точные решения соответствующих задач показали существенные, порой качественные их отличия от линейных аналогов. Так, например, было выяснено, что параллельные прямолинейные дислокации одного знака (вопреки известным из линейной теории классическим результатам) везде отталкиваются. В отличие от линейного подхода, нелинейный обнаруживает (положительную)

дилатацию дислокаций (дислокационное разрыхление материала). Из закона для ма-лосжимаемого материала получен гибридный закон, удовлетворяющий макрозакону сжимаемости материала и микрозакону взаимодействия частиц. Он может быть полезным и при исследовании ядра дислокации. В нелинейной постановке рассмотрен вопрос о межкристаллитных и межфазных болынеугловых границах. Рассмотрен круг вопросов, связанных с равновесием зародыша (произвольной формы и материала) с (бесконечной и конечной) материнской матрицей (также произвольного материала). Установлена для двумерных проблем связь между этой задачей и обобщенными (прямой и обратной) теоремами Эшелби.

В проблеме сосредоточенных сил и моментов: Выявлена непригодность истинных напряжений вследствие их независимости от величины сосредоточенных воздействий и завышенной сингулярности. Решены единообразным путем обобщенные задачи Фла-мана (для сосредоточенных сил и моментов, приложенных к границам областей общего вида). Изучена краевая дислокация на границе кристалла (кристаллита) - так называемая ступенька. Рассмотрены сосредоточенные силы и моменты в полуплоскости.

Созданный аппарат может быть полезен при построении (нелинейных, анизотропных) механики деформируемого твердого тела и физики твердого тела. Уже полученные результаты свидетельствуют о своевременности и реальности решения этой «сверхзадачи».

Summary

Chernykh K. F. Variant of nonlinear elasticity theory. Its structure and potential.

In the author's works the most simple (without loos of generality) version of general nonlinear elasticity theory which allows receiving exact solutions two-dimensional boundary problems (plain problem, anti-plain deformation, axisymmetric deformation of rotational bodies) is suggested. Peculiarities of the approach proposed axe shown on the example of the plain problem. Complex approach which allows receiving more compact and pellucid dependences is used. In addition to a plane problem considered here new results over created simple versions of general theory, antiplane deformation, axisymmetric deformation of rotational bodies, complex invariant integrals, shells and thin layers (antishells) are obtained. Some interesting results in nonlinear theory of cracks, in dislocations and disclinations theory and physical mezomechanics are obtained.

Литература

1. Черных К. Ф. Нелинейная теория упругости в машиностроительных расчетах. Л., 1986.

2. Черных К. Ф. Введение в анизотропную упругость. М., 1988.

3. Черных К. Ф. Введение в физически и геометрически нелинейную теорию трещин. М., 1996.

4. Chernykh К. F. Nonlinear theory of anisotropic elasticity. New York, 1998.

5. Черных К. Ф. Нелинейная сингулярная упругость. Ч. 1. Теория. СПб., 1999. 276 с.

6. Черных К. Ф. Нелинейная сингулярная упругость. Ч. 2. Приложения. СПб., 1999. 195 с.

7. Черных К. Ф. Комплексная нелинейная теория упругости // Успехи механики. 2002. Т. 1,№ 4. С. 121-161.

8. Черных К. Ф. На подступах к нелинейной физической мезомеханике // Физическая мезомеханика. 2002. Т. 5, № 2. С. 5-15.

9. Черных К. ф. Нелинейная упругость (теория и приложения). СПб., 2004.

Статья поступила в редакцию 19 октября 2004 г.