Граничные интегралы в геометрически и физически нелинейной плоской задаче Текст научной статьи по специальности «Математика»

А. О. Бочкарев

ГРАНИЧНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ В ГЕОМЕТРИЧЕСКИ И ФИЗИЧЕСКИ НЕЛИНЕЙНОЙ ПЛОСКОЙ ЗАДАЧЕ*)

Граничные интегралы - важнейший инструмент в математической физике. Они не только обосновывают многие теоретические результаты, но и служат основой для разработки эффективных численных методов решения краевых задач, таких как, например, метод граничных элементов (МГЭ). Однако в нелинейной постановке построение подобных интегралов сталкивается с рядом существенных препятствий, и главное из них - нелинейность основного дифференциального уравнения. Ранее в [1-3] это препятствие удалось обойти для одного частного случая плоской задачи - редуцированного стандартного закона упругости [4, 5], для которого интегральные представления регулярного решения в форме Сомильяны и граничных потенциалов удалось перенести и адаптировать соответствующим образом из линейной теории в геометрически нелинейную. В общей же (физически и геометрически) нелинейной постановке, казалось было, невозможно в принципе построить подобные линейные суперпозиции сингулярных решений. Однако автором [б] было показано, что линейные суперпозиции определенного вида могут быть осуществлены в терминах энергетически сопряженной пары тензоров номинальных напряжений {Е-1\7Е} и градиента движения ¥ (1 - кратность изменения объема, £ - тензор истинных напряжений). В данной статье завершающее системное изложение этого вопроса дается на основе комплексного метода, получившего широкое распространение в плоской задаче теории упругости.

Совместим с двумерным евклидовым пространством Е2 комплексную плоскость, связанную с декартовой системой координат Оху, и сопоставим материальной точке, занимающей до деформации и после положения %(х,у) и Z(x,y) € соответственно, комплексные переменные £ = х + и г = х + гу. Для тензоров, описывающих напряженно-деформированное состояние упругой среды, будем использовать комплексные компоненты, отнесенные к недеформированной конфигурации

Т\ = txx Н" £уу "Н (^ху ^уг)> -^2 = Ъ&Х 1*уу Ч" ху “Ь Ъух)'

1. Плоская краевая задача, согласно [4, 5], описывается уравнением равновесия элемента среды по области Й С

+ = (1) где а 6 С(й и Г) - комплексная компонента вектора массовых сил, ар- удельная плотность среды до деформации. Упругий закон для изотропного сжимаемого материала определяет алгебраическую зависимость компонент номинальных напряжений от компонент градиента движения

Работа выполнена при финансовой поддержке программы Президента РФ (грант К* НШ-2180.2003.1), Российского фонда фундаментальных исследований (грант № 02-01-01258), а также Министерства образования РФ (грант Я» Е02-4.0-75).

© А. О. Бочкарев, 2004

и задается плотностью энергии деформации

Ф = Ф(|Рі|,|Р2|), (3)

параметрически зависящей от кратности удлинения Л в третьем координатном направ-

лении. Геометрические соотношения для компонент градиента движения

(4)

замыкают уравнение равновесия (1) на основную искомую величину г - положение материальной точки после деформации.

Рассматриваются граничные условия статического типа

1- - {Р-Ч/ЕЬе-") ^ = <тА(!) Є Сфх) (5)

и дисторсионного

f«£erf + 3£e-rf)

\dz dz J

Га

dz

ds

= е"<4>А,(в)єС'(Г2), (6)

fa

где a-h = о^ + iafiy - комплексная компонента вектора условных напряжений, ориентированного нормалью п к контуру Г; і? - угол наклона орта s касательной к контуру Г относительно оси Ох; -д = •в+ш - угол наклона орта s касательной к контуру Г относительно оси Ох\ ш - относительный угол поворота граничного волокна; Aj - кратность удлинения граничного волокна. В частности, .

при заделке: А* = 1, ш = 0;

для жесткой кромки: А| = 1, и = const;

для гибкой нерастяжимой кромки: А* = 1, ш = w(s).

Наряду с основной плоской краевой задачей (1)-(6) будем рассматривать и ей союзную, которая, согласно [4], описывается уравнением неразрывности материальных волокон по области й С Е2

§-*=•• »■> В этом случае упругий закон для изотропного сжимаемого материала определяет алгебраическую зависимость компонент градиента движения от компонент номинальных напряжений

дФ

F\ = 2e~iarg & 1‘У1^1 р2 — 2ei*x&{F~1'JT%3

<*>

0|{F-472}a|

и задается плотностью дополнительной энергии деформации

Ф = Ф (|{F-VS}i|, |{P-VS}2|) =

1 ИМ

= о (1^11 \iF~lj^\ + 1*21 KF~^Sb|) - Ф (Xl,X2) К }

при условии, что нелинейная алгебраическая система уравнений

|{*-^гь| = 2;аФ

{F-VE}! > {f-4/еь )>

{F-4/ЕЬ J {F-xJ^2 )•

ад’ |l^ ~ d\Fi\

разрешима относительно компонент градиента движения

i«i=*i(

Ifil = х2 (

Замыкается уравнение неразрывности (!') на комплексную функцию напряжений </?, определяемую дифференциальным соотношением

{F-VS}! = 2^, {F-VS}2 = -2^,

в силу которого она тождественно удовлетворяет однородному уравнению равновесия (!)• •

В терминах новых величин рассматриваются и граничные условия статического типа на контуре Ti С Г

dip ds

(4')

■id

= -icTft(s) G C7(ri)

(5')

и дисторсионного на контуре Гг С Г

i (Fieid + F2e~iS

Г2

(6')

Решения г € С2ф.) П и Г) краевой задачи (1)-(6) и у> € С2ф.) П и Г) - ей союзной (1')-(6') - будем называть регулярными. Заметим, что оба регулярных решения - и г, и ср - при одних и тех же граничных условиях описывают одно и то же напряженно-деформированное состояние статики сплошной упругой среды. ,

2. Формулы типа Грина - ключ к построению искомых интегральных представлений регулярных решений основной плоской краевой задачи и сопряженной. Ради простоты изложения положим, что область й ограничена простым замкнутым гладким контуром Г.

Для основной плоской краевой задачи (1)-(6) рассмотрим два набора функций:

1) {Р Ч7£}| , {Р Ч/Е}^ € С1(Г2) П С(й и Г), удовлетворяющие статичес-

кому граничному условию (5) при абсолютной интегрируемости по О, выражения Э^'Ч/Е}^ д! + дг ’

2) г™ € С1 (ПиГ).

Тогда для данной задачи справедлива формула типа Грина

_(2) /+ ар-уд*11'

/

+

dS =

(7)

В частности, если оба набора функций соответствуют одному и тому же регулярному решению краевой задачи (1)—(6), то формула типа Грина (7) с учетом вещественности левой части принимает вид (

^ I (^{Р-УЕЬ + =

^ /■_ о [ . • ^

= Ке I гсгпйё + Яе I грайБ. t 1 й

В случае же линейности закона упругости (2) получаем известный результат [1, 2]

12Фс18 = Ше Jzahds + Re J zpadS. (9)

Ъ г й

Аналогично для союзной плоской краевой задачи (1/)-(6/) также рассмотрим два набора функций:

1) <рМ Є С1 (Пи Г),

2) ^(2), Є С1(Гі) П С(й и Г) удовлетворяет дисторсионному граничному усло-

• дР^ д~Р^

вию (6;) при абсолютной интегрируемости по Сі выражения ---------------ф-. Тогда для

союзной краевой задачи справедлива своя формула типа Грина

ІГІ

( дР}2) дР(22))

I 1 2 1 +

дг дг

+

dS= (Г)

= -г- I (рМ (р^е-- + Р?е") ds = -і! 1рЫе-*т\{р(1л.

г г

В частности, если оба набора функций отвечают одному и тому же регулярному решению краевой задачи (1')-(6/), то формула Грина (7;) с учетом вещественности ее левой части принимает вид

\ I ({Р-УЕ}^! + {^-Ч/£}2^2) dS =

Й Г . Г ■ (8')

= — і іре = Іш іре

ґ г

В случае же линейности закона упругости (2') опять получаем известный результат

^2Фс^ = 1т ! (9')

й Г

Хотя приведенные формулы типа Грина (7)-(9) и (7/)-(9') для основной и союзной плоских краевых задач соответственно выполнены в общей (физически и геометрически) нелинейной постановке, тем не менее они сохраняют структуру классических

формул типа Грина линейной теории [7]. Тем самым они позволяют перейти уже к конструктивным гранично-интегральным соотношениям и прежде всего к теореме взаимности типа Бетти.

Пусть и уД2) являются регулярными решениями соответственно краевой задачи (1)-(6) (с однородным уравнением равновесия) и ей союзной (1,)-(6/) для одной и той же области Й, но при своих граничных условиях. Подстановка этих решений в формулы типа Грина (7) и (7') приводит к интегральным равенствам

1у’(^а){у-чпэ[1>+гка2,^‘1л??))<й = / 2<2)41)«.

= -if ¥,(1)е-«,г’л'2,(й й г

с одинаковыми левыми частями, и, следовательно,

0 = У г^сг^сИ + г £ е~г^1 *(1з =

<10)

У У ав

t г

что и представляет собой теорему взаимности типа Бетти, связывающую интегральным соотношением граничные значения регулярных решений краевой задачи и ей союзной.

3. Элементарные сингулярные решения являются теми кирпичиками, из которых строятся интегральные представления регулярных решений. Введем в рассмотрение элементарные решения для дифференциальных уравнений рассматриваемых плоских краевых задач.

Предположим, что функция двух точек г^р\Й, Й{) по Й и по удовлетворяет дифференциальному уравнению равновесия

■ + = о, (11)

. о ?

где 8(2, £1) - двумерная обобщенная функция Дирака, т.е.

б(г, £,) = о (г ф £.), | цг, го<й = П; | ?

Механический смысл комплексной величины Р = Р% + iP.fr выясняется после интегрирования уравнения (11) по произвольной части Й С Е2, содержащей точку Й\ и ограниченной простым замкнутым контуром Г: .

Другими словами, рассматриваемая часть Е2 находится в равновесии при действии на нее заданной внешней сосредоточенной силы с комплексной компонентой Р = +1Р%.

Таким образом, функция удовлетворяет однородному уравнению равнове-

сия и по 2, и по всюду в Е2, где 2! ф и является по ним регулярной в любой конечной части Е2, не содержащей 2И\ или % соответственно! Вблизи же особой точки элементарное решение дает сингулярность уравнению равновесия: .

8{Р-\1Ц[р) ял?-1.г™(р)

дг

др-кгц?’ 1 \ ч + —эг~^ = 0(лтгр) (*->*>■

(13)

Аналогично введем в рассмотрение элементарное решение уравнения неразрывности. Предположим, что функция двух точек 7,{) по 2 и по 7,\ удовлетворяет

дифференциальному уравнению

^--^-*ы(г,г1) = о. (1Г)

Механический смысл комплексной величины Ь — Ьй + выясняется также после интегрирования уравнения (11') по произвольной части й С Е2, содержащей точку 2И\ и ограниченной простым замкнутым контуром Г:

I ^_ _ I ^= i у. ^ = о ^

гей гей гет

То есть любая простая замкнутая дуга Г в Е2, проведенная вокруг точки претерпевает разрыв, выражаемый комплексной компонентой Ь = + 1Ьу. Таким образом,

функция (Й, удовлетворяет однородному уравнению неразрывности и по 2, и по 2\ всюду в Е2, где Ъ и является по ним регулярной в любой конечной части Е2, не содержащей или 2 соответственно. Вблизи же особой точки элементарное решение дает сингулярность уравнению неразрывности:

{130

дг дг

Конкретный вид элементарных сингулярных решений г^р\Й,Й\) и опре-

деляется видом упругого потенциала (3) и плотности дополнительной энергии (3') соответственно. Отыскание этих решений представляет собой самостоятельную задачу. Такие элементарные решения были построены для ряда упругих потенциалов первого порядка (стандартного [8] и малосжимаемого [9] материалов).

4. Интегральное представление регулярных решений, как уже отмечалось выше, по сути есть линейная суперпозиция элементарных сингулярных решений. Выведем данные соотношения для рассматриваемых краевых задач.

Подставим в формуле Грина (7) вместо величин, отмеченных индексом выражения, отвечающие элементарному решению уравнения равновесия (11), а

вместо указанных индексом - отвечающие регулярному решению г\ = г(Ё\) краевой задачи (1)-(6) (с однородным уравнением равновесия). -

Рассмотрим первое слагаемое в левой части полученного соотношения - I. По-■ скольку элементарное решение по удовлетворяет однородному уравнению равновесия (1) всюду в Е2 за исключением точки Ё £ А, то интегрирование в / по области

. . ^ й может быть сведено к интегрированию по кругу сколь угодно малого радиуса е с центром в точке 2:

= /„(1 2^ ей

/

(р) л/г?-1 \ . -

Далее, искусственно вводя в сомножителях (14) регулярное решение г = г(2) и учитывая асимптотику сингулярного решения (13), получим

|21-г|<е

0( 1/\к-Ц2)\

/ (;

—г|<е

= 0(Ц.-Ю + * / 4Гл-<ш-ц>-1Р.

('в£з^+вЕ^з£1^= (15)

; V ^1 дг1

\г1-г\<е

\&\-г\=е

Устремляя в (15) е -> 0 (£х —► 1), приходим к следующему виду формулы Грина (7):

-*р+\ I (рх{р-1^;р) + р2{р-1^р))й5= I гкт^м. (16)

Подставляя те же решения, и 21, в формуле Грина (7') сразу имеем

| I +Р2{Р-УЕ}^Р))^ = -г I ср[Р)е-^Х,с1з. (17)

В выражениях (16) и (17) подчеркнутые слагаемые в левых частях представляют собой один и тот же интеграл по области П. Вычитая из второго выражения первое и беря у полученной разности комплексное сопряжение, получаем в произвольной точке % € С1 искомое интегральное представление регулярного решения краевой задачи (1)-(6) через ее граничные значения:

* = ¥ / ~ ^ / г1*/Г)<й- • (18)

2\ €Г 2,1^1

Подобное интегральное представление можно вывести и для регулярного решения союзной краевой задачи. Подставим в формуле Грина (7') вместо величин, отмеченных индексом М, выражения, отвечающие регулярному решению 1р\ — ц>{2\) краевой за-

• дачи (1/)-(6/), а вместо указанных индексом - отвечающие элементарному решению ' Й\) уравнения неразрывности (11;)’ 19

Аналогично предыдущему рассмотрим первое слагаемое в левой части полученного соотношения - V. Элементарное решение по удовлетворяет однородному уравнению неразрывности (1') всюду в Е2 за исключением Й £ й, и интегрирование в V по области Й также может быть сведено к интегрированию по кругу сколь угодно малого радиуса е с центром в точке . .

/«(¥-¥)* <■« ‘\Ь-г\<£ 4 '

Далее точно так же вводим в сомножителях (14') регулярное решение <р = ц>{2) и учитываем асимптотику сингулярного решения (13'):

'8Р[Ь) _ дР{2Ь)' дг дI

с№+

0(1/|£-£1|2)|

- / (15,)

/

|г!-г|<е

Г _

= 0(|^1 — £|) — йк = 0(|£ — £1!) — 1срЬ.

|1г-г|=е'

Устремляя в (15') е -> 0 (£1 -* £), приходим к следующему виду формулы Грина (7;):

£Г

-%ц>Ь (^{р-УЕЬ + = -г У (16')

Подстановка тех же функций и <р(ь) в формулу Грина (7) непосредственно дает | I (Р1(£'){Р-У2}1+^){Р-УЕ}2)^= I гЮалМ. (17')

Как и в предыдущем случае, подчеркнутые слагаемые в левых частях выражений

(16') и (17') представляют собой один и тот же интеграл по области П. Аналогично,

вычитая из второго выражения первое и деля полученную разность на гЬ, получаем в произвольной точке 2 6 й интегральное представление регулярного решения союзной краевой задачи (1')-(6') через ее граничные значения

V3 = = J (И — = J (18')

ггег г 16Г

Полученные в общей (физически и геометрически) нелинейной постановке интег-

• ральные представления регулярных решений плоских краевых задач (18) и (18') явля-

* ются аналогами представления регулярных решений в форме Сомильяны в линейной

теории. Они могут служить как для аналитического исследования, так и для развития численных методов решения (как, например, МГЭ).

Summary

Bochkarev А.О. Boundary integrals in a geometrically and physically nonlinear flat problem.

In geometrically and physically nonlinear elasticity theory the general integratal ratio similar to Green’s formulas, Betti’s theorem, and also representation of regular decisions in Somilian’s form with reference to flat boundary problems are formulated. .

Литература

1. Бочкарев А. О. О применении метода граничных элементов к геометрически нелинейным задачам теории упругости // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 1: Математика, механика, астрономия. 1996. Вып. 3 (№ 15). С. 62-64.

2. Бочкарев А. О. Граничные интегралы в плоской задаче геометрически нелинейной теории упругости // Численное моделирование физико-механических процессов. Прикладные проблемы прочности и пластичности: Межвуз. сб., Нижегородский ун-т им. Н. И. Лобачевского. М., 1998. Вып. 58. С. 158-166.

3. Бочкарев А. О. Прямоугольная пластина с разрезом в геометрически нелинейных задачах механики разрушения // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 1: Математика, механика, астрономия. 1998. Вып. 4 (№ 24). С. 62-64.

4. Черных К. Ф. Введение в физически и геометрически нелинейную теорию трещин. М., 1996. 288 с.

5. Черных К. Ф. Нелинейная сингулярная упругость. Ч. 1: Теория. СПб., 1999. 276 с.

6. Бочкарев А. О. Граничные интегралы и МГЭ в плоской задаче геометрически нелинейной упругости // Нелинейные проблемы механики и физики твердого тела / Под ред. К. Ф. Черных. СПб., 1999. Вып. 2. С. 177-189.

7. Купрадзе В. Д. Трехмерные задачи математической теории упругости и термоупругости. М., 1976. 664 с.

8. Бочкарев А. О. Элементарное решение плоской упругой задачи для стандартного закона (1-го порядка) // Нелинейные проблемы механики и физики твердого тела / Под ред. К. Ф. Черных. СПб., 2001. Вып. 4. С. 5-12.

9. Бочкарев А. О. Элементарное решение плоской упругой задачи для одного малосжи-маемого материала // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 1: Математика, механика, астрономия. 2002. Вып. 3 (№ 19). С. 62-64.

Статья поступила в редакцию 19 октября 2004 г.