Изгиб анизотропных пластин при наличии трещин сложной формы Текст научной статьи по специальности «Физика»

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц А Г И Т о м XX 19 89

М 3

УДК 539.219.2

ИЗГИБ АНИЗОТРОПНЫХ ПЛАСТИН ПРИ НАЛИЧИИ ТРЕЩИН СЛОЖНОЙ ФОРМЫ

В. Н. Максименко, Е. Г. Подружин

Применение аналитических методов к проблеме распространения и ветвления трещин в листовых элементах авиационных конструкций при комбинированном воздействии изгиба и растяжения затруднительно из-за недостатка сведений о влиянии изгибных нагрузок на распределение напряжений в окрестности вершин разрезов сложной конфигурации. Обсуждение и обзор работ в этом направлении можно найти, например, в [1—2].

Ниже развивается приложение метода интегральных уравнений к задаче изгиба анизотропных пластин, ослабленных системой гладких и ветвящихся разрезов сложной формы. Предлагается эффективный алгоритм решения задачи для пластин, занимающих плоскость, полуплоскость, квадрант и жестко защемленных или свободно опертых вдоль прямолинейных кромок. Исследуется влияние анизотропии материала, края пластины, геометрии трещины на величину асимптотических значений изгибающих моментов в окрестности вершин трещин. Дается приложение полученных результатов к задачам изгиба: а) анизотропной пластины, ослабленной отверстием с краевым надрезом; б) треугольной консольной пластины.

1. Изгибающие моменты в упругой прямолинейно анизотропной пластине выражаются через две аналитические функции ф,(;г,)[3]

где щ — корни характеристического уравнения 1т|хч>0, Ок] (£, у = = 1, 2, 6) :—цилиндрические жесткости пластины.

При решении граничных задач изгиба пластин методом интегральных уравнений важную роль играют фундаментальные решения (решения при действии сосредоточенной силы). В некоторых случаях

(Мх, Му, Нху)=-2Ие (р.,, гу)Ф,(г„) , , (1.1)

Рч — •Оц + Ои 1*2 + = 012 + -022 !*ч + 2026

гV = Де + Ае ^ + 2£>66 !*„, гУ = Ие г + щ 1т г,

6— «Ученые записки» № 3

81

функции Ф„ (г.,), дающие эти решения, могут быть написаны в явном виде (в элементарных функциях).

Например, если область Д занимаемая срединной плоскостью пластины, совпадает с плоскостью хОу, то

где т —точка приложения силы, значения Лч определены в [3].

В случае полубесконечной пластины ф = {х»0}), жестко защемленной вдоль кромки х=0, имеем:

Если материал пластины ортотропный и главные направления анизотропии совпадают с осями координат, то методом суперпозиции найдем, что для полуплоскости й = {х>-0}, свободно опертой по кромке

а для квадранта 0 = {х, г/>0}, защемленного вдоль кромки х = 0 и свободно опертого вдоль кромки у = 0 или свободно опертого вдоль кромок, икеем соответственно

Исходя из (1.2) — (1.6), найдем Фм(2м) Для указанных областей в случае действия сосредоточенной пары сил с единичным моментом ехр (йр), приложенным в точке т

2. Пусть пластина одного из указанных выше видов (£=1,5) ослаблена разрезами Ь, (/=1, п). Пластина подвержена заданной системе внешних изгибающих усилий. На берегах каждого разреза Ь, задана самоуравновешенная нагрузка в виде нормальных изгибающих моментов т^(1) и обобщенных перерезывающих сил яТ ($). Знак +, (—) относится к левому (правому) берегу разреза Ь, при движении от начала разреза ак концу Ь,. Требуется определить напряженное состояние пластины.

Здесь считаем, что все разрезы гладкие и не пересекаются между собой. Обобщение задачи на случай ветвящихся и краевых разрезов будет дано в п. 3.

Функции Фч& (гч), дающие решение рассматриваемой задачи, представим в виде

Ф, (z,) = E\(Zv, х) = Av In (т, — zv),

(1.2)

Ф„ (Zv) = Е\ (z„ х) = A, In [(xv — 2,)/{i,] 4- А! Sv X X In [(xj — sv + At n, mv In [x2 — m, 2,)/ti2];

(1.3)

, м-3—v —1*1

¿v SLr~

^3—v

x = 0

®,(Z,) = £?(2v, x)=^(zv, x) — El(z„-x),

(1.4)

®v(zv) = Et (zv, x) = £'v(Zv, x) E^(Zv, x); (1.5)

Фч (zv) = ЕЦ (zv, x) E\ (Zv, x) E\ (2,, — x) — Z?i(zv, x) — £l(z„ — x). (1.6)

®v(zv) = M?(zv, x, <p) = dE* [Zv, x-j-s-exp(i<p)l/rfs|i=0-

Ф»* (гч) = Ф?* (2v) + ®U(z„),

(2.1)

где ф!й (г,) — определяют основное напряженное состояние, вызванное внешней нагрузкой в пластине без разрезов, а Ф,1* (г,) — возмущенное состояние, возникающее из-за наличия разреза, ф!* (г,) будем считать известными. Если, например, пластина загружена по некоторой конечной области заданной системой внешних перерезывающих усилий, то Ф°й(г,) получаются наложением соответствующих решений от действия сосредоточенных сил.

Используя аналогию между задачами изгиба и растяжения пластин, представления Ф^й(г,) возьмем, следуя [4], в виде

ф\к (*,) = | А1? [г„ г, ф (х) + те/2] (2.2)

I

где под А* = Лу (т) будем понимать некоторые неизвестные комп-

п

лексные функции на и /...•

/=1

Здесь йэ — элемент длины дуги 1\ ф = ф (х)— угол между нормалью п к левому берегу Ь в точке 1(^1. и осью л. В ином виде представления Ф^г(г,) (к = 2) были получены в [5].

Выбранные таким образом представления Фчй(г„) автоматически обеспечивают выполнение краевых условий на кромках пластины и удовлетворяют заданной системе внешних усилий всюду в Д исключая Ь.

Подставляя предельные значения Ф**(:гч) из (2.1), (2.2) в краевые условия на после некоторых преобразований получим:

а (*) Ф| * (*,) + Ь (0 Фи (¿0 + Ф\к (^= Р, V); (2.3)

«Е£

Л3(()^^-а(0Л1(0+Ь(0Л^); ^ ;

[С(0 + 2± (f)¡

7 2 (О

Рг —

— cos Ф — q2 sin ф

L ¡*2

+

: т± (Í)

J=- sin ф + 42 cos ф \ \ - a (t) Фik (t¡) — b {t) Ф\к (ít) — Ф"А (í2) ;

J (/) ——

2± (t) = Г q±(s0)ds0; a{f)=* Ml (¿) : b(t) = ^MlW~ ;

7 Aí3 (<) ' 7 M2 (í)

^___9iPi QvPi _ ^_Q\Pt Ч2Р1 _ Í2P2

¡*2 f*l ¡*2 ,U1 ’ ¡*2 ¡*2 ’

Aív (¿) = [b eos ф — sin ф ; (v = 1,2).

Здесь C(t)=Cj (t^Lj)—неизвестные действительные постоянные.

Параметризуя контуры {т/ (-»]) | |т)|< 1}, краевым условиям (2.3) можно придать вид

П 1

-1 ^ = 1 -1

+ Н% (I, т]) х* (•»])} =/* 0);

^ (?. ч) =('/, ^ Т /(,!?; Сч) = А [т/ Оч) ]; т (ч) = ¿Фч;

т{ (тг)) — т7! (6)

(2.4)

#2 = -

2 I ¿к)

г2 — *2 6(т) —&(<) -

1п------ + ==-=------=- т. + -=--------X,

т1 — ¿1 ь (о (т2 — г2)

а (¿) а (-с) щтх Ь (т) щ т1 —

.-----------_ — " "Со + —=--------------------- х2 -)-

* (0 (*2 — «1 (х3 — «1*1)

а (т) л2т2 -1 1

Ь (О (т2 — «2 ¿2) 21 1 ’

Ь (¿) (X — 5! *!>

¿2 52

*(<) СЧ—«2*а) 1

’7« ’ X,

1 (в (*) (I

^22 = ------------ 1 '« - ----------

2 I* (0 ¿71

т, — ¿Л а (т) — в (/) т- д(*)6(т)

1п =--= 1 — —------- х„ 4--=— X

ъ-*»1 ЬЮЫ-Ь) Ь(П

Пл ГПл

X--------------^ х2 +

(т3 — т1 <!>

¿1 51

(XI - «1 ¿1)

■ X,

а (<) пх гп\ —

(т2 — /И! ¿1) 2 6 (¿) (т2 — т2 ¿2) 2/

Ь (т) л2 «2

— X,

I = X7 (6) £ ь, ; т = х* (ч) £ ; (У, я=1, Я);

1

/П&) =

Л (О

1

26 (0 2®г *(<)

-1

пут^ Ь (¿)

/«! д (¿) И2 7И2

Т +

Т2 — ОТ! 1, — /Я2 ¿2 -

,х2 ----/^1 х2--------------^2,

^2 (т) ^ } Л-Т[;

Р2(0

/ = х/(|)^1у; т = х/ (т)) £ ¿у ; (./=1, я).

Выражения Ма, Аг5*, /* при к=. 1, 3, 4, 5 здесь ради краткости не приводятся.

Для замыкания системы уравнений необходимо к (2.4) присоединить условия однозначности тангенциальных смещений и прогибов при обходе каждого контура

* : I 1 _____

| Х/С'Й'ИСч) ^ = -А- [ Ы + | РЛъ) "2(?)) йч , (2.5)

-1 -1 -1

Х=( 1-р2'А) /А а1-р1

V “1 / \ “1

1 - Р« и ?1 я

1 — 1*2 “ I — а1 “• Р1

Re J Xj fa) [xi (4) — -у ^ (t|) - 4 fa) *ci (*)) drt =

(2.6)

Л(1) ЛМц)

It I Ml (T))

(7]) df\, M 1,2 (^) = Ml,2 h)] .

Условия (2.6) служат для определения постоянных С3-.

3. Согласно допущений относительно разрезов (2.4), (2.5) — система сингулярных интегральных уравнений, индекс которор равен +1 [6]. Решение системы (2.4) при дополнительных условиях (2.5) в классе функций

где yj — ограниченные, непрерывные по Гельдеру на [—1, 1] функции, существует и единственно [6].

Обычным образом сводим решение системы (2.4), (2.5) к решению системы линейных алгебраических уравнений относительно С3 и приближенных значений искомых функций xj(r]) в чебышевоких уз^лах QJ) = cos [л (2i— 1)/2Аг/], (i = 1, Ny), где Nj — число узлов на контуре Ly Теоретические оценки сходимости численного решения даны, например, в [7].

Определив и используя асимптотические представления

где верхний знак берется при с = аа нижний при с — Ь], по формулам (1.1) находим распределение моментов в вершине с и имеющие значение в механике разрушения коэффициенты интенсивности изгибающих и крутящих моментов

Здесь r=\t—с |; с — вершина трещины; £ — точка, лежащая на касательной к Ь, проведенной через вершину с и являющейся продолжением трещины; Мп, НПъ — изгибающий и крутящий моменты в площадке параллельной касательной к вершине.

В случае, когда разрезы Ьр (р= 1, в; вся) исходят из одной точки ар = а (ветвящаяся в — звенная трещина), следует считать постоянные

lj (rl) = Xf fa) (1 — Ч2) 2,

Ф, (г,) == + ¿\± Ц(l)/(zv - с.) } *,

Х{ = х/ (=р 1), xl = F°2(+\)-а(с) x/(+iy+6(c)x/(+l),

kx = 11m Mn (t)-/г , k2 = lim Hnx (t)Y r .

СР = С. Для определения С вместо (2.6) при / = р имеем условие одно-

значности прогибов при обходе V = и 1„:

р=1

Ке Щ | ХР Ы [ ^ (ч) — — $ Сч)— у т2 (ч)

Р=1 —1

*Р1 (ч) ¿ч) —

= —Ие Г Щ .}

>¿1 -1

Дополнительные условия (2.5) при / = р тоже не выполняются и должны быть заменены на условие однозначности тангенциальных смещений при обходе

5 1 Л 1 5 1

5] |)Ср(Ч) ^ (ч) *1 “ А Л | Е2 (ц) (7]) ¿7] + ±- Л | ^2 (Ч) (Ч) <*Ч ■

р=1 -1 Р=1 -1 Р=1 -1

Если непересекающиеся разрезы (р = 1, я) выходят концами ар на кромку пластины, то условия (2.5), (2.6) при ¡=р также следует отбросить, а постоянные С, в (2.3) следует положить равными нулю.

В обоих случаях в соответствующих ядрах &/*(£> (/=1,2; к =

= 1,5) интегральных уравнений (2.4) появятся неподвижные особенности при |=т] = — 1, а функции %Р(£) будут иметь в точке £ =—1 особенность отличную от корневой. Характер этой особенности определяется из анализа интегральных уравнений задачи (2.4) [8] или методом работы [9].

Ниже в случае краевых и ветвящихся трещин применяется развитая для плоских задач упрощенная процедура решения [2]. Искомые функции разыскиваем по-прежнему в виде (3.1), но вместо (2.5) при ¡ = р подчиняем их условиям %Р(—1) =0 (р=1, 5—1) — для ветвящихся трещин, и %р(—1) =0 (р=1, 5) —в случае краевых трещин. Такой упрощенный способ решения дает вполне удовлетворительные результаты для внутренних вершин трещин. При необходимости анализа напряжений в угловой точке (точке ветвления) ар решение следует искать в виде, верно отражающем характер особенности в точке сйр, и использовать более сложные квадратурные формулы Гаусса—Якоби.

4. Потенциальные представления и предложенные алгоритмы оказались эффективным инструментом решения задач изгиба анизотропных пластин с трещинами сложной формы.

Ниже приводятся результаты для пластин из трех ортотропных материалов (кривые 1—3 соответственно) с различной степенью анизотропии (главные направления анизотропии Ех и Е2 совпадают с осями координат х и у):

1)^,/£,2=1, [ч,2=+ 0,034 + ¿-0,999 (почти изотропный материал);

2) ЕХ)Ь\ = 3, и„2 = + 0,520 - ¿-1,209; 3)£']/£2 = 25, щ.2 = + 1,358 + + ¿•1,776.

Рассмотрим неограниченную пластину, изгибаемую на бесконечности равномерно распределенными изгибающими моментами интенсивности = рМ, М^ — дМ и ослабленную трещиной в виде:

а) дуги полуокружности L = {x(tj) =/?-ехр (i^i/hKl); б) ветвящегося трехзвенного разреза, состоящего из прямолинейных участков Lh2={x1-2(ri) = — l1 + exp ИХ(1 + *)И.(ч + 1)| Ы<1}> (0< < 8 < 0,5), ¿з = т3 (■»]) = /3 tj | | т]! < 1}; в) трехзвенного разреза, состоящего ИЗ Дуг ОКруЖНОСТИ ¿1,2= {'С1,2(Ч) =/?-ехр [+ ia (1 -f* 7j) ] | h|< 1) и прямолинейного отрезка Ls = {х3 (7j) = /? 4- d (1 + т))/2 | | ч\ |< 1}.

На рис. 1 для случая а) при р = 0, q=* 1 представлены результаты расчетов K=kJ(VRM.) в зависимости от угла tp, образованного главным направлением анизотропии материала пластины £\ с осью х. Сплошные (штриховые) линии соответствуют вершине разреза т]=1 (—1). При ® отличном от 0 и и/2 распределение напряжений в вершинах "»¡=4; 1 не является симметричным. С увеличением степени анизотропии EJE2 расхождение между значениями К в вершинах '»1 = 4; 1 растет и достигает максимума при <ря=1г/3.

Для случая а) при р — 1, <7 = 0 согласно точному решению для изотропной пластинки (v = 0,25) асимптотические представления для моментов Mt на левом берегу разреза L при 9- = щ/2 -+ ± к¡2 имеют вид Mt ~ К*М VR/r, где г — расстояние от точки на берегу разреза до соответствующей вершины, а /С* = — 0,4222 [10]. Соответствующие результаты расчетов для материала 1 и 9 = 0 уже при Л/= 16 чебышевских узлах дают К* = — 0,4227, что свидетельствует о хорошей сходимости численного алгоритма.

Все последующие численные результаты были получены при JV=16 чебышевских узлах на каждой гладкой трещине. Увеличение числа узловых точек не меняет результаты расчеты в первых двух значащих цифрах.

На рис. 2 для случая: б) и р — 0, <7=1 представлены зависимости К\ = kxj(M i/72), К2 = k2l(M 1/72) (сплошные и штриховые линии соответственно) в вершине хх(1) верхнего наклонного разреза Li от 8 при l2jl1 = 0,5, 9 = 0. Анизотропия материала и угол а = и8 наклона трещин ¿ii2 существенно влияют на распределение напряжений в вершине разрезов Z.i>2. При увеличении угла а значения К\ падают. При а-*0 величина Кх стремится (как и в аналогичной задаче плоской теории упругости [2]) к вырожденному значению. Для случая в) {р=0, <7=1, а = 0,49тг) на рис. 3 приводятся значения К— к.хУ2\(МУR-\- d) в вершине прямолинейной трещины х3 (1) в зависимости от % = ajR. Результаты расчетов для материала 1 (кривая /) с точностью 1% совпадают со значениями К в вершине прямолинейной трещины, исходящей от контура кругового отверстия в изотропной пластине [11]. Сплошные (штриховые) линии относятся к случаю 9 = 0, (тс/2). Для относительно коротких трещин (d<.0,5 R) существенное влияние на К оказывает степень анизотропии материала и ориентации направления максимальной изгибной жесткости £>и. Уровень напряжений в вершине разреза значительно повышается, когда направление Du совпадает с плоскостью изгиба (9 = тс/2). Данные материала 1 занимают промежуточное положение между соответствующими значениями К для существенно анизотропного материала при 9 = 0, (тс/2).

Рассмотрим анизотропную полуплоскость, защемленную вдоль линии х = 0 и ослабленную трещиной в виде: г) прямолинейного разреза L = {х (у]) = </+ / ехр (г ф) (тг) + 1) | | Yj | ^ 1}, загруженного по берегам изгибающими моментами постоянной интенсивности М; д) ломанного двухзвенного разреза с прямолинейными участками

Рис. З

¿, = {^(4) = ¿(71 + 1) I h|<l}, Lt = {t2 (tj) = 21 [1 + exp (2iuг/3) X X(4+l)]|h|<l}.- В случае д) часть пластины D*, ограниченная трещиной и защемленной кромкой х = 0, загружена поперечной распределенной нагрузкой интенсивности q (х, у). Случай д) для конечной части полуплоскости можно рассматривать как задачу изгиба треугольной консольной пластины от действия распределенной поперечной нагрузки q (х, у). Такие задачи возникают при расчете напряженно-деформированного состояния оперенья реактивных снарядов, тонких крыльев малого удлинения, лопаток турбин.

На рис. 4 для случая г) (<р = 0) изображена зависимость величины К— kx y^KMY'l) в ближайшей к линии жесткого защемления вершине а от угла ориентации разреза ф и расстояния от линии жесткого защемления % = d/2/. Влияние границы на величину К начинает заметно сказываться на расстоянии порядка длины трещины. При изменении \ (приближении к защемленной кромке) величина К существенно уменьшается: при 5 -* оо К-*■ 1 (точное решение для бесконечной пластины [2]).

Рис. 5

На рис. 5 для случая д) (ф = 0) представлены результаты расчета изгибающих моментов Мх в сечении заделки (х = 0, \=у/Ь^[0, 1]) треугольной консольной пластины (О*) от действия равномерно распределенной поперечной нагрузки. Напряжения представлены в безразмерном виде М = Мх/Мх, где Мх — моменты в сечении заделки, определенные по балочной теории. Результаты расчета для материала I хорошо согласуются с данными эксперимента [12] (кружочками на

графике) и расчета на основе МКЭ (треугольники ца графике) [12] для изотропных пластин. С увеличением Ei/E2 Л1жтах в сечении заделки возрастает (для материала 3 почти на 35% выше, чем для материала 1).

ЛИТЕРАТУРА

1. Бережницкий Л. Т., Делявский М. В., Панасюк В. В.

Изгиб тонких пластин с дефектами типа трещин. — Киев: Наукова думка,

1979.

2. Савчук М. П. Двумерные задачи теории упругости для тел с трещинами. — Киев: Наукова думка, 1981.

3. Лехницкий С. Г. Анизотропные пластинки. — М.: Гостехиздат,

1957.

4. Максименко В. Н., Цендровский А. В. Определение коэффициентов интенсивности для трещин сложной формы в анизотропных пластинах. — ПМТФ, 1986, № 6.

5. Любчак В. А., Фильштинский Л. А. Изгиб полубесконеч-ной анизотропной пластины, ослабленной криволинейными разрезами. — Прикладная механика, 1982, т. 18, № 10.

6. В е к у а Н. П. Системы сингулярных интегральных уравнений и некоторые граничные задачи. — М.: Наука, 1970.

7. Белоцерковский С. М., Лифанов И. К. Численные методы в сингулярных уравнениях. — М.: Наука, 1985.

8. Erdogan F., Gupta G. D., Cook T. S. Numerical solution of singular integral equations. — In: Meehan, fracture. Vol. I Methods of analysis and selutions of crack problems.— Leyden: Nordhoff Int. Publ. Co.,

1973.

Ojikutu O., Low R. D., Scott R. A. Stress singularities in laminated composite wedges.— Int. J. of solids and Struct., 1984, v. 20, N 8.

10. T a m a t h e O. Flexural problems of a thin plate with curved crack. — Ingr. Arch., 1967, 35, N 5.

11. Rooke D. P., Cartwrigth D. J. Compendium of stress intensity factors. — London: Her Majesty’s Stationery office, 1974.

12. Somashekar B. R., Pratrap G. Stress singularities in swept cantilever plates. — J. Aeron. Soc. Lndia, 1983, vol. 35, N 2.

Рукопись поступила 4/II 1988 г.