Аналитическое решение задачи о равновесии прямоугольника в моментной теории упругости Текст научной статьи по специальности «Математика»

□

УДК 539.3 Ю.М. Григорьев

АНАЛИТИЧЕСКОЕ РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ О РАВНОВЕСИИ ПРЯМОУГОЛЬНИКА В МОМЕНТНОЙ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ

Развивается метод аналитического решения задач о равновесии прямоугольника в рамках моментной теории упругости (среды Коссера). Решена плоская задача о равновесии моментно-упругого прямоугольника со смешанными краевыми условиями - на границе заданы нормальные компоненты напряжений, касательные компоненты перемещения и моментные напряжения. Поставленная краевая задача в предположении достаточной гладкости искомых функций сведена к последовательному решению краевых задач внутри прямоугольника для уравнений Пуассона и Гельмгольца. Основой метода является то, что краевые условия позволяют получить задачу Дирихле для вспомогательной функции, пропорциональной дивергенции вектора перемещения. Метод может быть обобщен на случай других краевых условий, на пространственную задачу о прямоугольном параллелепипеде и на задачи о гармонических колебаниях.

Из всего многообразия теорий, учитывающих микроструктуру материалов при механических расчетах, наиболее развитой в общем математическом плане и, как нам кажется, наиболее простой является моментная теория упругости (теория Коссера, несимметричная теория упругости, микрополярная теория упругости) [1, 2]. В этой теории, построенной в рамках механики сплошных сред, элементарная частица сплошной среды наделяется 6 степенями свободы, как твердое тело. Сильное развитие получила связанная моментная теория упругости (теория псевдо-среды Коссера). В ней полагается, что перемещения и вращения микрочастицы среды связаны известным кинематическим соотношением. В последние годы возрос интерес к полной теории Коссера

[3], появились многочисленные обобщения этой теории с учетом анизотропии, неоднородности, связанных полей и др. Однако точных аналитических решений задач для теории Коссера известно совсем мало, особенно для тел конечных размеров.

В работе рассмотрена плоская задача о равновесии моментно-упругого прямоугольника со смешанными краевыми условиями - на границе заданы нормальные компоненты напряжений, касательные компоненты перемещения и моментные напряжения. Поставленная краевая задача в предположении достаточной гладкости искомых функций сведена к последовательному решению краевых задач внутри прямоугольника для уравнений Пуассона и Гельмгольца. Основой метода является то, что краевые условия позволяют получить задачу Дирихле для вспомогательной функции, пропорциональной дивергенции вектора перемещения. Метод может быть обобщен на случай других краевых условий, на пространственную задачу о

прямоугольном параллелепипеде и на задачи о гармонических колебаниях.

1. Постановка задачи

Рассмотрим плоско-деформированное состояние мо-ментно-упругой среды, когда векторы перемещения и И вращения щ точек среды имеют вид:

и = и (X, у) 1 + и( X, у) ],

щ = со( X, у )к.

При такой деформации уравнения равновесия моментной теории упругости [2]

(^ + а) Ди + (Х + ц-а) У(У • и) + 2аУ х щ = 0,

(V + Р)Дщ + (е + и - (V • щ) + 2а\/ х и - 4ащ = 0,

упрощаются, т.к. дивергенция вектора вращения тождественно равняется нулю:

(р+а) Ди + (Х + ц-а)Ч (V • и) + 2аЧ х щ = 0,

(у + Р)Ащ + 2аЧ х и - 4ащ = 0. (1.2)

Будем рассматривать следующую краевую задачу о равновесии моментно-упругого прямоугольника:

(м + б)Аи + (л + м— б)Ч(Ч • и) + 264 х щ = 0, г е Р = {0 < х < а,0 < у < Ь,} В Ат + 264 х и - 4бщ = 0,

>хх1х= а0 = ^М, иу 1х=а,0 = Л±У (У), Мх*\х=а0 = (у), (1.3)

Ууу|у=ь,0 = 5±У(х), их\у--Ь,0 = й±*(х), ^\у,Ь,0 = ту(х),

здесь л, м, б, н + в = В - упругие постоянные моментно-упругой среды, их количество равно 4, краевые функции предполагаются достаточно гладкими и согласованными в угловых точках. Краевые условия означают, что на границе области заданы нормальные компоненты напряжений, касательные компоненты вектора перемещения и моментные напряжения. Будем предполагать, что главный момент приложенных моментных напряжений равен нулю:

а Ь

I(т+у - ту)<±х +| (т+х- т~)ау = 0.

0 0

Теоремы существования и единственности некоторых

задач статики моментной теории упругости доказаны в [3], но такие результаты для смешанной задачи вида (1.3) в этой работе не изложены, они даны в качестве задач. Поэтому для нашей задачи (1.3) необходимо отдельно исследовать такой вопрос.

Уравнения равновесия, выписанные в компонентах, выглядят следующим образом:

(р + а)Аих + (А + /и-а)( V • и), х +2асо, у = 0,

< (ц + а)Аиу + (1 + ц-а)(V • и),у —2асо,х = 0, (1.4) ВДю + 2а(иу х - иху) - 4асо = 0.

Здесь и далее индекс после запятой означает частную производную по соответствующей переменной. Уравнения дополняются соотношениями закона Гука для моментной среды [2]:

СТхх =ЯУ- и + 2^их , х

^уу =ЯУ- и + 2Миу , у U,

стху = (М + а)иу, х+(М~а)их, у -2«^э,

стух = (М + а)их, у +(М~а)иу, х +2«^э, (1.5)

^хг = ^ + £Кх = ^,х ,

Муг = ^ + £Ку = B®,у ,

Игх = ^ х ,

Му = (V у.

В терминах напряжений к обычным уравнениям равновесия тела, связывающим четыре компоненты напряжения, присоединяется одно уравнение равновесия моментов.

2. Введение вспомогательной функции

Методы решения задачи о равновесии прямоугольника в классической теории упругости можно разбить на два больших класса - суперпозиции и однородных решений

[4]. Развиваемый здесь метод отличен от этих. А именно поставленная краевая задача в предположении достаточ-

ной гладкости искомых функций и, V и а сводится к последовательному решению скалярных краевых задач внутри прямоугольника. Истоки этого метода лежат в работе Н.Г. Хомасуридзе [5]. В этой работе найдены так называемые согласованные краевые условия для краевых задач моментной теории упругости. Оказывается, из таких краевых условий получаются разные краевые задачи для вспомогательной функции / = (л + 2м) V и, пропорциональной дивергенции вектора перемещения. Дальнейшее развитие этого метода проведено нами [6]. Для случая рассматриваемой здесь задачи для этой вспомогательной функции получается задача Дирихле.

Действительно, преобразуем первое выражение из за-конаГука (1.5):

=ЯУ-и + 2^их х = Ш-и + 2м(их,х + иу,у)-2Миу,у =

= (А + 2я)У • и - 2^Му,у = /0 - 2^Му у,

Отсюда получаем выражение

/0 =СТу + 2^их,х ,

Аналогично будем иметь:

/0 = Ох + 2Миу, у.

Из этих соотношений видно, что из краевых условий нашей задачи находятся и краевые условия для введенной вспомогательной функции/ = (л + 2м) V и. Очевидно, что из уравнений равновесия следует гармоничность этой функции. Таким образом, получаем задачу Дирихле

Л/° = 0,г є Р,

=^(.у)+2 I (21)

/

1х= а,0

/0\ у=ь,0 = 4(х)+2 (х)

Внутри прямоугольника эта задача Дирихле допускает аналитическое решение, например, методом Фурье. После нахождения этой вспомогательной функции она в уравнениях равновесия переносится в правую часть, существенно упрощая дальнейшее решение задачи.

3. Задача для компоненты вращения

Теперь рассмотрим задачу для компоненты вектора вращения. При этом считаем, что вспомогательная функция уже найдена. Вычислим лапласиан от второго уравне-нияв (1.2):

ВААщ + 2аАУ х и - 4аАщ = 0. (31)

Вычислим ротор от первого уравнения в (1.2) и учтем, что ротор от градиента тождественно равен нулю:

+а) АУ х и + 2аУ х (Ух щ) = 0,

выразим отсюда ДУ х и, при этом ротор от ротора распишем по формуле векторного анализа и учтем, что V • щ = 0:

ДУх и =

2а

Дщ = 0.

ц + а

Это выражение подставим в (3.1) и получим следующее уравнение для вращения:

ддщ----4^^ДЩ = 0,

Б(ц + а)

или в скалярном виде

(3.2)

Величина

Щ.

у=ь, 0

т~

Б

щ

х х=а,0

Далее найдем краевые условия для лапласианов от компонент вектора перемещения. Для этого перепишем первые два из уравнений равновесия (1.4) в виде

і и ~ X + ц — а 0

(ц+а)Аих + 2a(o, у =---

(ц+а)Аиу - 2асо,х = -

X + 2ц Х + ц-а X + 2 ц

В этих уравнениях вместо щ, и щ,х подставим их выражения через моментные напряжения из законаГука (1.5):

2а Х + ц-а 0

(ц + а)Аих +~^уг =-----------—----/х,

В Х + 2ц

, ч . 2а Х + ц-а г0

(ц + а)Аиу- — Цхг =------— /у.

у В Х + 2ц у

Проектируя эти уравнения на границу, получаем краевые условия для лапласианов от компонент перемещений:

2а

Аи„

1у=Ъ,0

Аи,

У\х=а,0

Х + ц-а 0

(Х + 2ц)(ц+а) ,х

Х+ц-а 0 (Х + 2ц)(ц+а) ,у

у=Ъ,0

~ту,, Б(ц+а) у

(3.4) -т~.

2а

Б(ц+а)

В уравнение (3.5) вместо щ, подставим его выражение из законаГука (1.5):

Чх =■

ж.

Б

а выражение в круглых скобках в (3.5) представим следующим образом:

иу,хх - их,ух =Аиу - иу,уу - их,ух = Аиу - (V- и), у =Аиу - „ \ _ _/°у ■

Д( А-к 2)ю = 0.

4а/и

по своему физическому смыслу

Поэтому из (3.5) имеем

4а 2а, ( 1

Аа х = -- мх7 + —

,х Б2 Б ч

/0 ~&иу I.

Х + 2ц ’у у)

В(ц + а)

строго больше нуля, поэтому она обозначена как к2. В работе В. Новацкого [1] эта величина обозначена как /'2.

Краевые условия для вращения легко получаются из краевых условий исходной задачи (1.3) и из закона Гука (15):

I т*

В этом выражении на сторонах х = а,0 краевые значения всех слагаемых известны, /а = (л + 2м)V и уже найдена. Поэтому получаем краевое условие:

I 4а + 2а ( 1 0| . I

Дюх =—г тх +—I---------------------/А ~АиА

,хlх=a,0 В2 х В Ц + 2ц , 1х=а,0 у1х=а,0)

Если сюда подставить краевое значение лапласиана из (3.4) и продифференцированное краевое значение для функции , /е = (л + 2м) V и из (2.1), то получаем

Аа

2а

Б(ц + а)

2(ц + 2а) Б

т±х + s±x + 2цсІ I

Совершенно аналогично получаем краевое условие для щ,^ на сторонаху=Ь,0.

В итоге для вращения а получаем задачу типа Рикье:

Д(Д- к 2)ю = 0,

®,х|х=а,0 _

Дюх|

, х 1х=а,0

Аа I

, У\у=Ъ,0 здесь к2 = -

тх.

Б

а

у у=Ъ,0

т„

Б

(3.8)

2а

Б(ц + а) 2а

Б(ц + а) 4ац

2(ц + 2а) Б

2(ц + 2а) Б

тх+ s+x + 2цс!у

Г Г

т±у+ 5 ± + 2цй±х

Б(ц + а)

. Эта задача получена путем диффе-

Теперь можно найти краевые условия для производных от лапласиана вращения. Продифференцируем по х последнее уравнение из (1.4):

ВА®,х + 2а(иу,хх - их,ух ) - ^х = 0. (3.5)

ренцирования исходных уравнении и части краевых условий, поэтому в ее решении могут появиться лишние слагаемые, от которых следует впоследствии избавиться.

4. Задача типа Рикье

Задачей Рикье называют следующую задачу для бигар-монического уравнения [7]:

Гд2 и = 0, г еП, £ = дП,

К = /, М3 = $.

0

х—а

х=а,0

Поэтому мы назвали полученную выше задачу (3.8) задачей типа Рикье. Изучим в общем виде такую задачу. Пусть Щ - область с кусочно-гладкой границей £ = Щ.

Лемма 4.1. Пусть заданы произвольные непрерывные функцииі є С0(Щ), g є С0(Щ) и выполнено условие

|(к 2 і - g )* = 0

£

Тогда решение задачи типа Рикье:

г еО,

= g

(4.1)

а(а- к 2 )и = 0,

ди дп = і £ дДи дп

£ = д&,

(4.2)

в классе функций и е С4(Щ) п С8(Щ) существует и определено с точностью до произвольной постоянной.

Доказательство.

Введем функцию н : Ди = н, тогда для нее имеем вторую краевую задачу для уравнения Гельмгольца:

ди

дп

= і.

(4.3)

£

Г vdV = -1 Г AvdV = -1 $—ds = Дг J к 21 к 21 дп к2

О О £ £

где функции V и м> соответственно решения следующих задач:

Ау = 0

ду

дп

1

=і -1? g,

(А- к 2)^ = 0,

дw

дп

1

= 7Г g ■

(4.3)

£

Доказательство.

Действительно, пусть функции V и м> удовлетворяют условиям леммы. Тогда, выполняя дифференцирования, имеем:

Д(Д-к 2)и = Д(Д-к 2)(v + w) = Д(Дv + Д^ - к ^ - к 2 w) = = Д[-к2V + (Д - к V] = -к2= 0,

т.е. выражение (4.5) удовлетворяет искомому уравнению. В точках граничной поверхности имеем:

(А- к 2 ^ = 0, дv _ дп 3 g,

которая однозначно разрешима. Затем для самой функции и получается вторая краевая задача для уравнения Пуассона:

Ди = V, г еП,

ди _ д дп дп

сУ

дп дп

1

1

дАи

дп

= — (Ау + А^) = к2 — = g,

д_

дп

дп

Покажем, что выполняется условие разрешимости этой задачи:

(4.4)

- п 3

Действительно, преобразуем в этом равенстве интеграл в левой части, используя уравнение для функции V и теорему Остроградского-Гаусса:

т.е. условие (4.4) выполнено в силу (4.1). Таким образом, задача (4.3) разрешима и, как известно, ее решение определено с точностью до произвольной постоянной. Лемма 4.1. доказана.

Для приложений будет полезной следующая

Лемма 4.2. Пусть заданы произвольные непрерывные функции/е С°(Щ), g е С°(Щ) и выполнено условие (4.1). Тогда решение задачи типа Рикье (4.2) в классе функций и и е С4(Щ) п С8(Щ) имеет вид (4.5) и = V + w,

т.е. краевые условия также выполняются. Лемма доказана.

Задача типа Рикье (4.2) является обобщением задачи Неймана на уравнение четвертого порядка Д(Д -к2)и = 0, условие (4.1) обобщает условие разрешимости задачи Неймана.

Можно показать, что для полученной нами задачи (3.8) в силу условий непрерывности вспомогательной функции и равенства нулю главного вектора моментных напряжений условие вида (4.1) выполняется. Заметим, что тем самым из задачи (3.8) компонента вращения определяется с точностью до произвольной постоянной. Эта постоянная должна быть определена однозначно из условия выполнения третьего уравнения равновесия в (1.4).

5. Задачи для компонент перемещения

Если считать известными вспомогательную функцию и компоненту вращения щ, то для компонент вектора перемещения из уравнений равновесия (1.4) получаем уравнения Пуассона:

Л + ц-а г0 Аи„ =-----------—--------1 ,х-2а<о,у,

(ц + а)(Л + 2ц)

Л + ц-а г0

Аиу =------------ ---------1 ,у +2асо,

у (ц + а)(Л + 2ц) у

Теперь найдем краевые условия для компонент вектора перемещений. Для этого выпишем равенство:

£

і

0

их х = V- и -иуу

х,х у,у Л+ 2ц

- и

У, У

(5.1)

, 1 >;-^У

Іх=а>° Л + 2ц^ х у

(5.2)

Краевые значения их на сторонах у = Ъ,0 известны из условия исходной задачи (1.3).

Совершенно аналогично получим краевое условие для и на сторонах у = Ъ ,0:

,, 1

и

У, У

у=Ъ ,0 Л + 2ц

Ґ

s±y-Лd+-\ у

(5.3)

Краевые значения иу на сторонах х = а,0 также извест-ны из условия исходной задачи (1.3).

В итоге для нахождения компонент вектора перемещения получаем смешанные краевые задачи для уравнения Пуассона:

. Л + ц-а ,0

Аих =----------------------1 , х - 2асо, у,

(ц + а)(Л + 2 ц) у

1 '4

(,0 Л + 2 ц

. Л + ц — & „0

Аи., =---------------------------1 , у +2асо, х.

у (ц + а)(Л + 2 ц) у

1

(5.4)

y, у

у=ъ,0 Л + 2 ц

s±y-Лd±x

иу|х= а,0 СІу ■

Решения таких задач однозначны и могут быть найдены методом Фурье.

Из структуры краевых задач (3.8) и (5.4) видно, что краевые условия исходной задачи выполнены. Разберемся с произволом в определении вектора вращения. Известно, что условиям равновесия моментной теории упругости всегда удовлетворяют поля перемещений и вращений вида [2]:

и = г х С1 + С 2, щ = кС1 ,

(5.5)

Краевые значения для/ известны - (2.1), на сторонах х = а,0 краевое значение иу известно, т.к. по условию решение ищется в классе функций и е С3(Р), то, дифференцируя это краевое условие, мы получаем краевое значение для функции и. Таким образом, из равенства (5.1) получаем краевое условие для и на сторонах х = а,0, выраженное через краевые функции исходной задачи:

где С1, С2 - произвольные постоянные. Это аналог перемещения «как твердое целое» в моментной теории упругости в случае плоской деформации. В частности, задача о равновесии моментно-упругого тела с заданными на границе силовыми и моментными напряжениями разрешима с точностью до такого перемещения «как твердое целое» [2]. В нашем случае для вектора вращения мы получили произвол вида (5.5), а вектор перемещения найден однозначно. Поэтому для совместности найденного поля перемещений и вращений необходимо положить произвольную постоянную для компоненты вращения, равной нулю.

6. Пример

Рассмотрим частный случай рассматриваемой задачи о равновесии моментно-упругого прямоугольника:

(м+а)Ди + (л + м-а)У(У- и) + 2аУ х щ = 0, г е Р = {0 < х < а,0 < у <Ъ}, ВДщ+2аУх и-4ащ=0,

(6.1)

і ру

У хх = -у£іп — , ухх = 0, иу

•/хх1х = а у ъ •/хх1х = 0 у|,

= 0, мхА а :

) хгіх=а0

0,

У ууіу=ъ,0 = 0,

и\ = 0, мА = 0.

IУ=Ъ,0 Уг\у = Ъ,0

Физический смысл таких краевых условий следующий: касательные перемещения на границе прямоугольника отсутствуют, т.е. боковые поверхности прямоугольной бесконечной призмы армированы нерастяжимой сеткой, не сопротивляющейся изгибу. Все боковые стороны свободны от усилий, в том числе и моментных, сторона х=а нагружена нормальным усилием.

Для вспомогательной функции/1 = (л + 2м)(У • и) получаем следующую задачу Дирихле:

'д-0 = 0, г е Р ={0 < х < а,0 < у <Ъ}

і

0

= -У£іп р-у,

і0 = 10 = 0.

Іх=0 Іу=Ъ,0

Решение этой задачи имеет вид: т

sh‘

10 =-у-

sh

±£гп —. ш Ъ

~Ь

(6.2)

Для компоненты вектора вращения задача типа Рикье в данном частном случае будет выглядеть так:

4ац

ААо - к Аа = 0,

к2 =

Б(ц + а)

0 г.п = 0,

,х|х=а,0 , у|у=Ъ,0 ’

Аа

2а п щ

----------а — еоэ—,

Б(ц + а) Ъ Ь

(6.3)

Аа I = Аа у

, х1х=0 ,у

У=Ь,0

= 0.

и

х=а

х = а

Согласно Лемме 4.2, решение задачи (6.3) имеет вид щ = щ 1 + щ2, где щх и щ2 - решения следующих двух задач:

Д®1 = 0,

да1

дх х = а

да1

дх х = 0

(Д - к2 >

да2

дх х=а

да2

дх х=0

1

2а

л лу

-----------и—еоБ —,

2 ш-------л и ь

к2 В(р + а) Ь

да

(6.4)

ду

= 0,

у=Ь ,0

1

2а

к2 В(ц + а) Ь

да

л лу

<У— 008 —

Ь

5У (6.5)

ду

= 0.

У=Ь,0

Задачи (6.4) и (6.5) решаются методом Фурье. Окончательное выражение для вращения имеет вид:

2^

Л

Ь л сПвх

ла Ьв иПва Ь

лу „2,2 л2 4ац л2

і—, в2 = к2 +— =-------+ —

Ь Ь В(^ + а) Ь

В Х + и Ь па Х + 3и Ь2 ^ еП ь

---------—а еЛ------- И 1 Ь

2^ Х + 2^п

В ж еЬйг

здесь произвольная постоянная в решении задачи Неймана, согласно замечанию в п. 5, положена равной нулю.

При известных вспомогательной функциии вращении щ для компонент вектора перемещения получаются следующие задачи:

Ь Х + 2^ж2) ш 2^Ьв 8&6а

Ь

и л . лу (67

------81П —,

2^ Ь Ь

Непосредственная проверка показывает, что формулы (6.6) и (6.7) удовлетворяютуравнениям равновесия и исходным краевым условиям (6.1).

На рис. 1-4 приведены результаты расчетов для полученного решения в безразмерных переменных, значения параметров следующие:

а = 2, Ь = 1,ст = 1,Л = 1.5, /и = 1,а = 0.2, В = 0.02.

1

у п 5

Рис. 1. Компонента вектора вращения

Ли = —

2а

(Л + 2ц)(ц + а) ’ /и + а

-ю

а . щ

-------біп—,

Л + 2ц Ь

. = их\ , = 0,

1х=0 Х'У=Ь,0

. Л+ц-а 0

Ли, = —------------ / У +

0 2«

у (Л + 2ц)(ц + а)'/,у /и + а ,х’

-а

и = и = 0.

у, у | у=Ь,° у|х=а ,0

Эти задачи также решаются методом Фурье, и оконча-тельные выражения для компонент перемещений имеют вид:

. лх

Ч X БП----

Л + ц л ь Л + 2ц Ь 8П ™а_

Рис. 2. График разности компонент напряжений - у

2

и

и

х,х х= а

их =

Рис. 3. Компонента моментного напряжения м .

а к 2ц Ь

(

Х + 2ц Ь

7Ш

X + и. Ь , па а от— +

X + 2ц п

- г,2Л0Ь

Я + 3ц Ь

Х + 2цп2

лх

Ь

ла

81П

лу

и =

ус

СТ 7Т

2ц Ь

Я-

х оЬ

ях

Я + 2ц Ь

ш

Я-

, их

и БП------

и. Ь . Я! Ь

И -а о&------------------—

Ь ,ла

8П------

Л

Л + 2ц л

008

лу

На рис. 5 приведен график выражения _у -_у - разности между компонентами тензора напряжений, вычисленных по моментной и классической теориям.

'-■Г;г_гГ 0

Рис. 4. Компонента моментного напряжения м .

Из рис. 2 видна несимметричность тензора напряжений для моментной теории. Рис. 3 и 4 показывают сложный характер распределения моментных напряжений.

При предельном переходе б ^ 0 получим решение классической задачи теории упругости без учета моментных эффектов. При этом и ^ р/Ь, щ ^ 0, а компоненты перемещения принимают вид:

Рис. 5. Разница между моментной и классической теориями Литература

1. Новацкий В. Теория упругости. М.: Мир, 1975. 367 с.

2. Купрадзе В.Д., Гегелиа Т.Г., Башелейшеили М.О., Бурчу-ладзе Т.В. Трехмерные задачи математической теории упругости и термоупругости. М.: Наука, 1976. 664 с.

3. КулешМ.А., МатвеенкоВ.П., ШардакоеИ.Н. Дисперсия и поляризация поверхностных волн Рэлея для среды Коссера // Изв. РАН. Механика твердого тела. 2007. № 4. С. 100-113.

4. Гринченко В.Т., Улитко А.Ф. Пространственные задачи теории упругости и пластичности. Т. 3. Равновесие упругих тел канонической формы. Киев: Наук. думка, 1985. 280 с.

5. Хомасуридзе Н.Г. О решении трехмерных граничных задач безмоментной и моментной теорий упругости // Исследование некоторых уравнений математической физики. Тбилиси: Изд-во Тбил. гос. ун-та, 1972. Вып. 1. С. 123-147.

6. Григорьев Ю.М. Аналитическое решение некоторых основных задач классической и моментной теорий упругости для

Ь

Ь

Ь

Ь

Ихс =

Ь

прямоугольного параллелепипеда // Моделирование в механи- 7. БицадзеА.В. Основы теории аналитических функций комке. 1992. Т.6 (23). № 4. С. 21-26. плексного переменного. М.: Наука, 1984. 320 с.

Работа поддержана конкурсом РФФИ-Далъний Восток, проект № 06-01-96016.

Yu.M. Grigoriev

Analytical decision of a problem on rectangle balance in bending theory of elasticity

The author develops a method of analytical decision of problems on balance of a rectangle in the framework of momental theory of elasticity (Kosser environment). The flat problem about balance of a momental elastic rectangle with the mixed boundary value conditions is solved: normal components of tension, tangential components of displacement and momental tension are set on a border. The set boundary value problem in assumption of sufficient smoothness of required exsecants leads to consecutive solution of boundary value problems within the rectangle for equations of Poisson and Helmholtz. The method is based on boundary conditions that allow to receive the Dirichlet problem for auxiliary function that is proportional to divergence of vector of displacement. The method can be generalized in case of other boundary conditions, for spatial problem about a rectangular parallelepiped and for problems about simple harmonic motions.

-----###-------------

УДК 537.591.15

А.Д. Красильников

АНИЗОТРОПИЯ КОСМИЧЕСКИХ ЛУЧЕЙ СВЕРХВЫСОКИХ ЭНЕРГИЙ

По результатам анализа направлений прихода широких атмосферных ливней получены указания о преимущественном потоке частиц от отдельного участка небесной сферы. Это позволяет утверждать существование реальной крупномасштабной анизотропии космических лучей при сверхвысоких энергиях. Область избыточного потока частиц космического излучения с энергией выше 1018 эВ близка по направлению к сейфертовской галактике Персей А (N00 1275), и, вероятно, что наблюдаемая анизотропия вызвана потоком частиц от активного ядра, находящегося в скоплении Персея.

Введение

Исследование анизотропии космических лучей тесно связано с главной проблемой астрофизики - проблемой их происхождения, поиском вероятных источников частиц сверхвысоких энергий (СВЭ).

Направления прихода космических частиц, регистрируемых наземными установками широких атмосферных ливней (ШАЛ), показывают их достаточно изотропное распределение в пространстве [1, 2, 3]. Но при сверхвысоких энергиях (выше 1018 эВ), когда галактические магнитные поля не могут удержать заряженные высокоэнергичные частицы в своих пределах, частицы СВЭ распространяются в межзвездном пространстве почти прямолинейно. И тогда, измеряя направления их прихода, можно найти местоположение источника их генерации. Однако, несмотря на ясность цели, эта задача довольно сложна и трудна, т.к. направление прихода заряженных частиц (протонов и ядер) зависит не только от местоположения самого источника, а в сильной степени обусловлено величиной и структурой магнитных полей межзвездной среды, где распространяются эти частицы. Дело усугубляется тем, что спектр кос-

мических лучей СВЭ имеет круто падающий с ростом энергии вид, и поэтому статистика в этой области по ливневым событиям бедна и требует длительного наблюдения. Ещё неясна сама природа частиц таких энергий, неизвестно, какие объекты ответственны за генерацию космических лучей сверхвысоких энергий. Физики столкнулись с ситуацией, когда неизвестно что изучать, какой объект исследовать? До сих пор не знаем: существует ли реально анизотропия в космических лучах при сверхвысоких энергиях или это проявление всяческих искажающих физическое явление эффектов.

Согласно результатам пионерских работ Браунли и Белла [2, 3], в космических лучах с энергией от 1017 до 1019эВ нет никаких отклонений от изотропии с точностью 1% и 10% соответственно. В 1974 году на 4-м Европейском симпозиуме по космическим лучам в г. Лодзи Д.Д. Красильников впервые заявил о проявлении анизотропии в космических лучах при энергии выше 1019 эВ [4]. С этого момента начались целенаправленные поиски анизотропии в космических лучах при сверхвысоких энергиях [5, 6, 7, 8, 9, 10]. В то время исследователи больших установок ШАЛ надея-лись обнаружить анизотропию в космическом излучении