Общие решения неэквивалентных классической систем теории упругости в напряжениях Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 539.3

ОБЩИЕ РЕШЕНИЯ НЕЭКВИВАЛЕНТНЫХ КЛАССИЧЕСКОМ СИСТЕМ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ В НАПРЯЖЕНИЯХ

Д. В. Георгиевский1

К 75-летию Бориса Ефимовича Победри

Проанализированы общие решения некоторых ослабленных систем уравнений в напряжениях в изотропной теории упругости. В эти неэквивалентные классической системы помимо уравнений равновесия входят только три из шести уравнений совместности — диагональные либо внедиагональные. Обсуждена эквивалентность постановок квазистатических краевых задач теории упругости в напряжениях, основанных на данных системах уравнений.

Ключевые слова: упругость, задача в напряжениях, уравнения совместности, тензор Кренера, эквивалентность, общее решение, параметризация.

The general solutions of some weakened systems of equations in terms of stresses in isotropic elasticity are analyzed. These systems which are not equivalent to the classic one, involve (besides the equilibrium equations) only three of six compatibility equations, namely either diagonal or off-diagonal ones. An equivalence of the formulations of quasistatic boundary-value problems in elasticity in terms of stresses based on such systems is discussed.

Key words: elasticity, problem in terms of stresses, compatibility equations, Kroner tensor, equivalence, general solution, parametrization.

1. Тензор несовместности Кренера и тождества Сен-Венана. В кинематике n-мерной сплошной среды хорошо известен [1, 2] тензор несовместности Кренера n{2ra-4}(e) — Ink е ранга 2n — 4 с декартовыми компонентами

(е) — epi...p„-2li eqi...qn-2jk eij,lk, (1)

где ipi...pn-2li — n-мерный символ Леви-Чивиты, е(х) — тензор малых деформаций. Суммирование по повторяющимся индексам производится от 1 до n. Из определения (1) видно, что при n ^ 4 тензор П{2п-4} (е) антисимметричен по любой паре как из n — 2 своих первых индексов, так и из n — 2 последних, а при n ^ 3 симметричен (в силу симметрии тензора е) по перестановке наборов из n — 2 первых индексов и n — 2 последних. Он двойствен (дуален) тензору кривизны, или тензору Римана-Кристоффеля ранг которого для любого n равен четырем. Их двойственность означает, что компоненты одного тензора получаются из компонент другого домножением на произведение двух n-мерных символов Леви-Чивиты и суммированием по повторяющимся 2n — 4 индексам. Отсюда, в частности, следует, что число независимых компонент у п{2п-4} (е) и

одинаково и, как известно из дифференциальной геометрии, равно n2(n2 -

1)/12.

Для n — 2 тензор Кренера — скалярная величина, для n — 3 — симметричный тензор второго ранга с шестью независимыми компонентами 2 (см., например, [3, с. 13]):

Vpq(е) — epli ^qjk eij,lk —

$pq $pj $pk $lq $lj $lk &iq $ij &ik

eij,lk — (eij ,ji eii,jj )^pq + epq,ii + eii,pq epi,iq eqi,ipi (2)

1 Георгиевский Дмитрий Владимирович — доктор физ.-мат. наук, проф. каф. механики композитов мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: [email protected].

Далее везде индексы пробегают значения 1, 2, 3; по повторяющимся два раза в одночлене латинским индексам происходит суммирование; по греческим индексам, сколько бы они ни повторялись, суммирования нет; латинские индексы независимы друг от друга, а различным греческим обязательно соответствуют разные числовые значения; запись (а, в, y) означает, что данное соотношение следует размножить на все три четные подстановки индексов а, в и y (при этом оно может быть верно и для трех нечетных подстановок, но последняя тройка соотношений будет зависимой от предыдущей).

Паа — 2евт,Тв — £ввгп — 7)> (3)

(а, в, 7). (4)

Остановимся на линейной изотропной сжимаемой упругой среде, в которой напряжения £ и малые деформации связаны обратным законом Гука

ец = ^ {-мкк5ц + (1 + Е > 0, -1 < г/ < 1/2, (5)

где Е — модуль Юнга, V — коэффициент Пуассона. Используя (2)—(4), получим Е 1

Ш)

1 + V 'Рч РЧ>°° р0,0Ч Ч0,0Р 1 РЧ 1 1 + V

Е 1

паа — £аа,гг 2£аг,га + ^гЦ + - (<7«,аа ~ О«,«) =

1, • /аа ~ аа,гг _ ~ ао.оа ■ ^01,10 ■ и ,

+ V 1 + V

= 2ст(}1гф — Сда,77 — ЯУьде + ^ ^ (^кк,/3/3 + Окк^ч) (а> /3, 7)) (7)

Е

'Уа/З &а/3,Н Сга,а/3 Саг,г/3 С/Зг,га —

1 + V 'ав ~ав>" 1 + V

V

= Са/3,77 + С77,а/3 — ^«7,7/3 — 0>у,7а — ^ ^ &кк,аР {ос, /3, 7). (8)

Из (2) и (6) также следуют выражения для следа: 1г п(е) — вц — егг,,],

Е г , \\ 1 — V

^(еОг)) = - ^^ (9)

Если сплошная среда в недеформированном и деформированном состояниях принадлежит евклидову пространству3, для которого все компоненты Кг,к1 нулевые, то выполнены уравнения совместности деформаций, или тождества Сен-Венана [5, 6],

Прч (£) — 0. (10)

Удовлетворение тензора деформаций шести уравнениям (10) является достаточным условием для интегрируемости системы Коши

ир,ч + пя,р — 2ерч ре£ и — в) (11)

относительно трех неизвестных функций — перемещений ир — в трехмерной области, в которой любой принадлежащий ей замкнутый контур непрерывным деформированием (не выходя из области) можно стянуть в точку. Доказательство этого факта следует, например, из формул Чезаро (часто в литературе их также называют формулами Чезаро-Вольтерры [5, 7, 8])

Р

щ(х) — иг0 + иг,о (ж, — ж,о) + J[еги(у) + (ж, — у, )(еги,, — е,и,г)(у)] йуи, (12)

Ро

позволяющих по известным в одной точке Ро с координатами ж,о перемещениям иго и поворотам иг,о явно найти решение системы (11) в любой другой точке Р с координатами жг. Независимость левой части (12) от пути интегрирования в правой и делает необходимым выполнение уравнений совместности (10).

Системы (10) и (11) математически весьма родственны. Это не только упомянутые выше соображения об интегрируемости и совместности, но и тот факт, что выражения (11) служат параметризацией общего решения системы двенадцатого порядка (10). При этом иг (х) можно рассматривать как произвольные трижды дифференцируемые функции координат, не придавая им изначально кинематического смысла.

3 С точки зрения кинематики возможная неевклидовость пространства моделирует [4] присутствие в сплошной среде включений, дислокаций, дисклинаций и других особенностей, влекущее за собой отличие от нуля вектора Бюргерса.

Общее решение системы

Ъя Ш)=0 (13)

с оператором (6) параметризуется следующим образом:

= Л иКк5гз + + и3,г), А = + /х = (14)

где Л и ^ — постоянные Ламе; ^ > 0, ЗА + 2^ > 0.

2. Классическая и неэквивалентные ей (ослабленные) системы уравнений в напряжениях. При постановке квазистатических краевых задач МСС необходимо обращать внимание на выбор уравнений, которые следует задавать в области тела и на его границе (граничные условия). Остановимся на различном выборе систем уравнений в напряжениях в области V трехмерного упругого тела с определяющими соотношениями (5) и на общих решениях таких систем.

2.1. Классическая система и ее общее решение. Классическая система в напряжениях состоит из шести уравнений (13) и трех уравнений равновесия

Бг(а) = (лм + X = 0, х е V, (15)

где Х(х) — заданный вектор объемных сил.

Из (9) и (13) получаем связь двух скаляров:

- 1+г/

аИ,33 ~ л ,, агЗ,Зг-1 — V

Поэтому система (13), (15) эквивалентна любой из двух следующих систем девяти уравнений в V:

1

1, ~ VV.UU ~ UV.VU I ~ UV.VU I -i

+ V 4 1 — V

Ypq(a) = -XPig - XgtP - --div X öpq, Si(a) = 0. (16)

1 — V

Напомним, что системы уравнений мы называем эквивалентными, если их общие решения совпадают. Выполнение в области V девяти уравнений (16) с дифференциальным тензор-оператором Бельтрами

Y = А Н--Grad grad tr

1 + v

лежит в основе классической постановки задачи теории упругости в напряжениях.

Таким образом, общее решение системы (16) параметризуется в виде (14) тремя функциями щ e C3(V), которые теперь должны удовлетворять трем вытекающим из (15) соотношениям

Li(u) = (А + ß)ujji + ßuiyjj = —Xi, x e V,

где L = (А + grad div + ^Д — векторный оператор Ламе.

2.2. Система, основанная на диагональной тройке уравнений совместности. Ослабим систему (13) в V, оставив лишь диагональные уравнения Паа (¿(й)) = 0, куда следует подставить (7). В терминах деформаций это соответствует тому, что в (10) следует оставить три тождества Сен-Венана паа (¿) = 0, куда затем подставить (3). Последовательным интегрированием нетрудно показать, что общее решение системы этих трех тождеств имеет более общий, чем (11), вид:

£аа = И«,£12 = ^ («1,2 + «2,l) + <fl2(Xi,X3) + фп(Х2, Ж3),

£23 = ^ («2,3 +^3,2) + f23(x2,Xi) + ^2з(ж3, Xi), £31 = ^ («3,1 + «1,з) + <£>31^3, Ж2) + ^31 (Xl, Ж2), или в компактной записи

1 -►

£аа = Иа,а, £aß = ^ (U»,ß +«/?,«)+ <Paß (а, 7) + 4>aß (ß, l) (®,ß, 7), (17)

где каждая из шести произвольных функций (aß, фaß зависит от своей пары переменных (а именно (aß и фв^ не зависят от xß). Для удобства определим еще функции (pßa = (aß, фра = фав и (аа = фаа = 0. Другая параметризация, связанная с (17) заменой

Ua

Ua + 2 j фав dxß - 2Xa(x7), (aß (xa,x7)= (aß — j ФвЪа dx~( + Xß(xa) (a,ß,j), (18)

где Ха(х-у) — произвольные функции одной переменной, позволяет уменьшить на три число параметризующих величин:

1

£aa=Üaia, €aß = - (Üa>ß + Üß>a) + <paß(a, j) (a,ß, 7). (19)

Помимо (18), естественно, существуют и другие замены, достигающие этой же цели, но, как и (18), делающие соотношения (19) внешне несимметричными по индексам а, ß и 7. Опустим далее в (19) тильды над буквами или, другими словами, будем считать, что фав = 0 в (17).

Возвращаясь к уравнениям в напряжениях, т.е. к системе паа (д(£)) = 0, Si(a) = 0 либо к эквивалентной ей ослабленной системе (16)

Yaa(z) = - 2Xa;a--^divX, &(<7) = 0, xgV, (20)

1 — v

можно утверждать, что их общее решение в V параметризуется следующим образом:

Uij = \Uk,köij + ß(uij + Uj,i) + 2ß(ij, (21)

где ui(x) и (aß(xa,xY) таковы, что

Li(u) + 2ß(ijj = —Xi, x e V. (22)

Верно и обратное, а именно любое решение Ui e C3(V), (aß e C2(V) уравнений (22) формирует, согласно (21), поле напряжений, удовлетворяющее системе (20). Докажем это.

Пусть Ui(x), (aß(xa,x<y) — некоторое решение расширенных уравнений Ламе4 (22), по которому построен тензор (21). Тогда уравнения равновесия Si(a) = 0, входящие в (20), очевидно удовлетворятся. Далее, из (22) имеем

(А + ß)Uj,aaj + ßUa,jja + 2ß(aj,ja = —Xa,a, (23)

(А + 2ß)Uj,iij + 2ß(ijj = —div X. (24)

Умножая (23) на 2, (24) на v/(1 — v), складывая эти соотношения и учитывая, что (ijji = 0, (aj,ja = 0 для любого а, (А + 2ß)v/(1 — v) = А и то, что на основании (21)

AUj,iij + 2ßUaj 2(A + ß) j,aaj — \ 1/ 0101'

придем к первым трем соотношениям (20), что и требовалось доказать.

Итак, общие решения (14) и (21) при произвольных рав (хах7) не совпадают, что говорит о неэквивалентности систем (16) и (20) в области V. Но в особом случае, когда функции рав имеют вид

Рав (X (Ха) + Ьа(Ха) + а1 (х1) (а,@,ч), (25)

где аа(ха) и Ьа(ха) — шесть произвольных функций одной переменной, замена параметризации

йа — + ^ ,1х., - 2х7ав(хв) (а,,},;)

позволяет убрать последнее слагаемое в правой части (21): а^ — \йк,к5ц + + и^), т.е. свести общее

решение к стандартной в теории упругости форме (14). Заметим, что функции (25) представляют собой не

Их, действительно, можно назвать уравнениями Ламе, принимая слагаемое за дополнительные фиктивные объ-

емные силы.

что иное, как общее решение трех недостающих (внедиагональных) уравнений совместности пав (в) = 0, и с учетом (19) они записываются просто:

(^ава - <Р-уа,в),7 = 0 (а, в, 7)• (26)

2.3. Система, основанная на внедиагональной тройке уравнений совместности. Оставим теперь в системе (13) внедиагональные уравнения па@ (в(й)) =0 с компонентами па@ из (8), что соответствует удержанию в (10) трех тождеств Сен-Венана Пав(вв) = 0.

Выразим вав через три функции «¿(х): вав = («а,в + «в,а)/2, где

Па = у вав АХв + у в1а А,Х1 - у J ¿в1,а ¿Xв А,Х1 (а, в, 7)•

Тогда диагональные компоненты тензора деформаций, входящие в (4), после двукратного интегрирования выразятся через внедиагональные, а следовательно, и через «¿:

ваа — «а,а + Фаа(Ха,Хв) + Фаа(Ха,Х7) (а, в, 7), (27)

где каждая из шести произвольных функций Фаа и Фаа зависит от своей пары переменных (Фаа и Фвв не зависят от Х7). Для удобства будем считать, что величины Фав и Фав с любыми различными индексами равны нулю.

Система в напряжениях пав (в(й)) = 0, Бг(й) = 0, как и эквивалентная ей ослабленная система (16)

Уав(£) = -Ха,в - Хва, Бг(£) = 0, х е V, (28)

имеет общее решение

йаа = А(«гг + Фгг + Ф гг) + 2^(«а,а + Фаа + Фаа), йав = М«а,в + «в,а) (29)

с параметризующими функциями, которые удовлетворяют расширенным уравнениям Ламе

¿¿(и) + А(Ф,-,- + Ф,-Дг + 2^(Фг] + Фг] ),,■ = -Хг • (30)

Докажем, что любое решение «г(х) е С3(У"), Фаа(Ха,Хв) е С2(У), Фаа(Ха,Х7) е С2(У") уравнений (30) образует, согласно (29), тензорное поле напряжений, удовлетворяющее ослабленной системе (28).

Пусть «г, Фаа, Фаа — некоторое такое решение, по которому построен тензор (29). Тогда равенства Бг(й) = 0, входящие в (28), очевидно, превратятся в тождества. Из (30) следует, что

(А + + V■Uа,jjв + HФjj + Фц),ав + 2Ц.(Фаj + Фа^' )^в = -Ха,в •

Сложим последнее соотношение с таким же соотношением, но в котором индексы а и в переставлены; учтем, что

(Ф33 + Ф33),ав = (Фаа + Фвв),ав, (Фа," + Фа," ),3в + (Фвj + Фвj) ,1а — \^аа + Фвв),ав,

и получим

2(А + ^Х«^- + Фаа + Фвв),ав + aав,jj = -Ха,в - Хв,а- (31)

Так как 2(А + = (3А + 2^)/(1 + V), то первое слагаемое в левой части (31) в силу (29) равно йгг,ав/(1+ V), что сразу приводит к первым трем соотношениям (28) и к концу доказательства.

Итак, система (28), основанная только на внедиагональных уравнениях совместности, не эквивалентна классической системе в напряжениях (16). Но, как и в п. 2.2, в случае, когда Фаа(Ха,Хв) и Фаа(Ха,Х7) не произвольны, а связаны тремя равенствами

Фаа,вв + Фвв,аа = 0 (а, в, 7), (32)

замена параметризации

«а = «а + / / Ф77,а ¿Х7 Ах7 + / / Фвв,а ^ АХв (а, в, 7)

позволяет свести общее решение (29) рассматриваемой ослабленной системы к общему решению (14). Связи (32) и есть три недостающих уравнения совместности паа(¿) — 0, получающиеся с учетом формул (27).

3. Эквивалентность постановок краевых задач в напряжениях. Перейдем от систем уравнений в напряжениях в области упругого тела V к постановкам краевых задач в V. Для этого зададим нагрузки Р°(х) на всей границе дV с определенной в каждой точке единичной нормалью п(х):

вг(а) = (Гцпц - Р°° — 0, х е дV. (33)

Как известно [9], в классической постановке задачи теории упругости в напряжениях в V задается девять уравнений (16) и на границе г^ три условия (33).

3.1. Постановка Победри. Кажущееся несоответствие количества неизвестных (шесть компонент симметричного тензора второго ранга г) , уравнений в области и граничных условий устраняет эквивалентная классической новая постановка задачи в напряжениях в механике деформируемого твердого тела, предложенная в конце 1970-х гг. Б.Е. Победрей [10]. Она заключается в решении в области тела шести обобщенных уравнений совместности при выполнении на границе шести равенств Бг(а) — 0 и вг(а) — 0. Постановка Победри лучше приспособлена для применения численных методов. Классический вариационный принцип Кастильяно трудно использовать для построения разностных схем того или иного уровня, так как в нем идет речь об условном экстремуме кастильяниана. Поэтому был сформулирован новый вариационный принцип. За три десятилетия данная постановка получила широкую мировую известность [11-13]. С ее помощью численно-аналитически были исследованы двух- и трехмерные квазистатические краевые задачи теории упругости, пластичности, вязкоупругости, контактные задачи, задачи тепловыделения, задачи вычислительной механики композитов.

Эквивалентны ли классической постановке задачи теории упругости в напряжениях, основанные на ослабленных системах уравнений совместности (20) и (28) (см. обстоятельный обзор этого вопроса в [14])?

3.2. Постановка, основанная на диагональной тройке уравнений совместности. Данная постановка заключается в задании в области V системы шести уравнений (20), общее решение которой приведено в п. 2.2, при выполнении на с^ шести граничных условий

Пав (<£(£)) — 0, 8г(а) — 0, х е дV. (34)

Решение задачи в напряжениях в классической постановке в силу непрерывности трех тождественно нулевых функций пав (д(г)) вплоть до границы дV является решением в рассматриваемой постановке. Их эквивалентность будет иметь место, если только из выполнения равенств (20) при х е V и (34) при х е сЖ следует, что пав (¿(г)) = 0, х е V .С учетом рассуждений п. 2.2 этот вопрос равносилен правомерности перехода

(Рав,1 — Р^а,в),1 \хедУ — 0 —^ (Рав,1 — Р^а,в),Т \хеУ — 0 (а,в,1) (35)

для любых трех функций рав(ха,х7). Обозначая дв(ха,х7) — рав,-у, запишем (35) в виде

(9в - да),!\х<гдУ — 0 —^ (дв — да),7\х€У — 0 (а,в,1 )• (36)

Пользуясь тем, что функции (25) — общее решение системы трех уравнений (26), можно заключить,

что _

дв(ха,х1) — а'а(ха) + а\(х7) = Аа(ха) + А1 (х7) (а, в, 7)

есть общее решение системы (дв — да),-у — 0, х е V. Таким образом, переход (36) для любой тройки функций дв(ха,х7) равносилен следующему переходу:

-^

(дв — да)п\хедУ — 0 —^ дв\хеУ — Аа(ха)+ А7(х7) (а, в, 7), (37)

где А1, А2 и А3 — произвольные функции одной переменной.

Справедливость этого перехода заведомо зависит от выбора трехмерной области V. Пусть V — ^(12) х (—Нз,Нз), где Х(12) — некоторая ограниченная область в плоскости (х1х2). Рассмотрим на плоской части хз — —Нз границы дV одно из уравнений (37): дзд(х2,х1) — д2,1 (х1, —Нз). Оно полностью определяет функцию дз,1 во всей области V так, что дзд не зависит от х2, т.е. дз(х2,х1) имеет нужный вид (37).

Если в дополнение к предыдущему область V представима как Х(2з) х (—Н1, Н1) (а следовательно, из геометрических соображений и как Х(з1) х (—Н2, Н2)), то аналогично устанавливается справедливость двух других равенств (37) при х е V. Среди ограниченных областей наложенным условиям, очевидно,

удовлетворяет обобщенный параллелепипед Vpar = {x £ R3, -hi < Xi < Hi} (любые из шести размеров hi, Hi могут быть равны бесконечности), для которого переходы (35)—(37) имеют место.

Работа выполнена при поддержке РФФИ (проекты № 12-01-00020а, 11-01-00181а, 12-01-00789а).

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Георгиевский Д.В., Победря Б.Е. О числе независимых уравнений совместности в механике деформируемого твердого тела // Прикл. матем. и механ. 2004. 68, № 6. 1043-1048.

2. Pobedrya B.E., Georgievskii D. V. Equivalence of formulations for problems in elasticity theory in terms of stresses // Russ. J. Math. Phys. 2006. 13, N 2. 203-209.

3. Победря Б.Е. Численные методы в теории упругости и пластичности. М.: Изд-во МГУ, 1995.

4. Markenscoff X. A note of strain jump conditions and Cesaro integrals for bonded and slipping inclusions // J. Elasticity. 1996. 45, N 1. 45-51.

5. Volterra V. Sur l'equilibre des corps elastiques multipliment connexes // Ann. l'Ecole Norm. Sup. 1907. 24. 401-517.

6. Kroner E. Kontinuumstheorie der Versetzungen und Eigenspannungen. Berlin: Springer, 1958.

7. Cesaro E. Sulle formole del Volterra, fondamentali nella teoria delle distorsioni elastiche // Rend. Acad. R. di Napoli. 1906. 12, N 1. 311-321.

8. Ciarlet P.G., Gratie L., Mardare C. A generalization of the classical Cesaro-Volterra path integral formula // C. r. Acad. sci. Paris. Ser. I. 2009. 347. 577-582.

9. Филоненко-Бородич М.М. Теория упругости. М.: Физматгиз, 1959.

10. Победря Б.Е. Новая постановка задачи механики деформируемого твердого тела в напряжениях // Докл. АН СССР. 1980. 253, № 2. 295-297.

11. Победря Б.Е. О статической задаче в напряжениях // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 2003. № 3. 61-67.

12. Kucher V.A., Markenscoff X., Paukshto M. V. Some properties of the boundary value problem of linear elasticity in terms of stresses //J. Elasticity. 2004. 74, N 2. 135-145.

13. Li Shaofan, Gupta A., Markenscoff X. Conservation laws of linear elasticity in stress formulations // Proc. Roy. Soc. London. Ser. A. Math. Phys. and Eng. Sci. 2005. 461, N 2053. 99-116.

14. Бородачев Н.М. Решения пространственной задачи теории упругости в напряжениях // Прикл. механ. 2006. 42, № 8. 3-35.

Поступила в редакцию 15.02.2012