CC BY
44
УДК 539.03
О ЗАДАЧЕ В НАПРЯЖЕНИЯХ В НЕЛИНЕЙНОЙ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ
С.Я. Маковенко
Кафедра теоретической механики и сопротивления материалов Московского государственного вечернего металлургического института 111250, Москва, ул. Лефортовский вал, 26
Известный метод косвенного удовлетворения уравнениям равновесия, разработанный применительно к задаче в напряжениях в механике линейно деформируемого твердого тела [1-КЗ], распространяется на задачу в напряжениях в нелинейной теории упругости. Задача формулируется в смешанных компонентах тензора напряжений Коши в метрике деформированного пространства.
1. При рассмотрении задач нелинейной теории упругости следует различать «отсчетную» конфигурацию тела до деформации - так называемую V -конфигурацию, и «актуальную» конфигурацию тела после деформации - V -конфигурацию. Для описания положения точек обеих конфигураций применяется лагранжева система координат с
переменными, обозначаемыми q‘ (i - 1,2, 3).
Координатный базис (основной и взаимный) в v -конфигурации обозначается соответственно #• и г' (г - радиус-вектор точки v-пространства), rt — dr/dq’,
Г1 = — г2 х г3 и т.д., V = r¡ ■ {г2 х г3) - объем параллелепипеда, построенного на v
базисных векторах, символами «■» и «х» обозначаются соответственно операции скалярного и векторного произведений векторных и тензорных величин.
В V -конфигурации соответственно имеем R¡, R‘ (i= 1, 2, 3) и R .
Компоненты метрических тензоров конфигураций определяются выражениями:
=г,-г, ^=г*-г}
Gv=RrRj, Gij = R' ■ Rj.
(l)
(2)
(3)
и мера деформации Альманзи g
g = gskRRk,
(4)
а также обратные им меры деформации
(5)
(6)
Мера (6) называется также мерой Фигнера [5].
Через меры деформации определяются симметричные тензоры деформации С (Коши-
Грина), А (Альманзи), С , А :
с = j(G-E) = L(G„ -gЛУгк,
a = L2$ -») = j(G*
С =|(E-C-')=^(g'*-G>‘>,r1.
Л =|(F-E) = -G“)S,Я,,
где E = gskrsrk = gskrsrk - GskRsRk = GskRsRk - единичный тензор.
2. Допустим всюду в области v задан тензор меры деформации Коши-Грина G в форме (3). В таком случае известен и обратный ему тензор G ~' в форме (5). Причем между компонентами Gsk и G'J упомянутых тензоров существуют известные зависимости [5]
G- =^e*e™G„Gr, G„
(7)
(8)
где
(7 = 1 = 1 / С5', |, б” - определители соответствующих компонент, символы
едт, екпр равны нулю, если в числе индексов срШ, кпр имеются повторяющиеся,
равны 1 для последовательностей чисел 123, 312, 231 и -1 для последовательностей 213, 321, 132.
Известны также символы Кристоффеля первого и второго родов:
Г =1 slk 2
dGsk + ад* ас.
dq1 dq3 dqk
П = G*Г*.
Тогда можем определить базисный триэдр Rt, R2, R3 из дифференциальных
уравнений
?L
dq‘
= г**,
(9)
Вектор места R (q1, q2, q3) определится из соотношения
dR = Rsdqs =dr-VR,
(10)
откуда
м о
К = Я0+ \dr-VR, (11)
где Я0 - вектор места точки V -пространства, соответствующий фиксированной точке
М0 в V-пространстве, М0М ~ достаточно гладкая кривая, соединяющая точку М0 с
0 9...
точкой М в V-пространстве, V... = г'—- - оператор Гамильтона в метрике V-
дя‘
пространства.
Тензорным условием интегрируемости системы уравнений (9) является обращение в нуль всюду в области V симметричного тензора Риччи [5]
м = (12)
4
где £.ktm = е- символы Леви-Чивита в V -пространстве,
VG
tom
R Л-
ktsr 2
d¿Gtr d¿Gkr + d'Gsk д Gsl
+ Vskq +ГгкГЩ - КОМПОНеНТЫ
dq dqs dq‘dqs dq‘dqr dq 8q тензора кривизны V -пространства, что равносильно выполнению шести условий вида
R-2323 = R2331 = R2312 ~ &3131 = ^3112 = ^1212 = ^ • (13)
Эти условия обеспечивают евклидовость V -пространства, занимаемого телом после деформации, и существование вектора места R .
Характерным дифференциальным свойством тензора Риччи (12), независимо от выполнения условий (13), является тождественное равенство нулю его дивергенции в метрике V -пространства [4]:
V • М s 0, (14)
(3
где V = R'~ - оператор Гамильтона в метрике V -пространства. dq1
3. Сформулируем теперь так называемую классическую постановку пространной задачи нелинейной теории упругости в напряжениях.
К условию совместности компонент тензора меры деформации Коши-Грина G в области V вида
М = 0 (15)
следует присоединить уравнение равновесия, выполняемое в области V
V • Т + рк = 0, (16)
где
Т = T'JRlRJ = T/R‘Rj - тензор напряжений Коши (Т‘, Т/ - смешанные компоненты тензора напряжений), р - плотность массовых сил в актуальном пространстве,
к - вектор массовых сил, отнесенный к единице массы, р к - объемная сила, условия симметрии смешанных компонент тензора напряжений вида
(17)
или
Тква* = Т»С* (18)
(при выполнении одного из них, автоматически выполняется и другое - вступает в силу правило подъема и опускания индексов в тензорных соотношениях), уравнения состояния вида [5]
Т = Ц/0Е + + 1|/,£3 (19)
и обратное ему
£ = Ф0Е + ф/Г + ф/Г2, (20)
в которых
Ц)0, \\1 \\12 - функции инвариантов \к^) тензора меры деформации Альманзи
(!/Ы = , ЬЫ = ^ 8*кС*к’ ЬЫ = Фо> Фр Ф2 -функции
инвариантов 1^ (т) тензора напряжений Коши
(1,(т) = т;. 1г(т) = -2 [1;(т) - Т'Т,*], 1,(тл) = т;т,х,
1Дт) = |[1,(т0-1!(т) + л,(т^(т)]).
Е = ОхкЯ!.Як - единичный тензор, граничное условие на контуре тела О, в деформированном состоянии
Т.1Ч|0=Т°, (21)
где N - внешняя нормаль к поверхности О, Т° - заданный по поверхности О вектор напряжений.
Если принять в качестве разрешающих функций смешанные компоненты тензора
напряжений Т*, из уравнения состояния (20) необходимо выразить компоненты Схк и
через 1* .
С этой целью перепишем соотношение (20) в виде
*„ = Ч>.е„ + <р,0„т; + ф,с_т;т' =
<р.о„ + (ф,т; + <рД"т;К
Решая данную линейную относительно искомых функций С52, Сх3 систему
алгебраических уравнений уже можно получить искомый результат. Однако возможен более эффективный способ их определения. Преобразуем равенства (22), умножая левую и
0.т
и суммируя по £ :
= %в-ол + (Фд; + фД,-т; )й*ч. = Ф„8; + (Ф,т; + <рд-т;)>;
(5£ - символ Кронекера).
Ш 1
Еще раз умножая обе части полученного равенства на £ и суммируя по к , получим
G"'gлgl‘ = ф,8;*“ + (фд; + фД"т;)5>*',
откуда
вшК = ш” + (фд; + фД,’т;^‘
или
о" = ш“ + (фд,” + фД,"т»Ь*'- да)
Компоненты (?5(? определяем теперь по формуле (8).
Таким образом, приходим к следующей задаче нелинейной теории упругости в напряжениях: в области V нужно удовлетворить условиям совместности (15) (шесть уравнений), уравнениям равновесия (16) (три уравнения), условиям симметрии (17) или (18) (три уравнения) и статическим граничным условиям (21) (три условия).
Всего в области V нужно удовлетворить двенадцати уравнениям (девяти дифференциальным и трем алгебраическим уравнениям) относительно девяти искомых
функций Т* . Задача оказалась сверхопределенной (количество искомых функций меньше,
чем количество уравнений, которым они должны удовлетворять).
Однако этой ситуации можно избежать, если воспользоваться методом косвенного удовлетворения уравнениям равновесия, успешно примененного при решении задач в напряжениях линейно деформируемого твердого тела [НЗ].
Вводим, как и в упомянутых работах, вектор Ь :
Ь = V • Т + рл (24)
Далее вводим в рассмотрение симметричный оператор над этим вектором вида:
в(б) - VЬ + (чь)1 - ЕУ • Ь (25)
Разрешающее уравнение задачи в напряжениях представляем в виде:
М + аВ(б) = 0 (в области V), (26)
где а - произвольная константа (а Ф 0).
Граничное условие (21) дополняем новым граничным условием (на поверхности О деформированного пространства)
Ь\о =0. (27)
Эквивалентность сформулированной задачи (17), (26), (21), (27) классической задаче немедленно следует из свойства (14). Действительно, если выполнены условия (26), (27), то справедливо тождество:
V • М + осУ • В(й) = сЯ2Ь + V • ¿V - УУ ■ Ь = аЧ2Ь,
то есть (при а Ф 0) вектор Ь - гармонический, на контуре О принимает нулевое
значение и по свойству гармонических функций и всюду в области V принимает нулевое
значение. В таком случае из (26) следует, что и М = 0. Эквивалентность «новой постановки» и классической доказана. «Новая» постановка отличается от классической отсутствием свойства «сверхопределенности»: количество искомых функций и количество разрешающих уравнений в ней соответствуют друг другу.
В заключение следует отметить, что предлагаемая схема постановки задач нелинейной теории упругости в мерах деформаций или напряжениях по-прежнему остается весьма сложной задачей в смысле ее практического осуществления, хотя бы по той простой причине, что заведомо V -конфигурация и контур О тела неизвестны и к ним, по всей видимости, придется приближаться шаговым методом. Тем не менее преодолена принципиальная трудность теоретического плана - снята проблема сверхопределенности пространственных задач нелинейной теории упругости в мерах деформации (деформациях) или в напряжениях, что может послужить лишним стимулом для более углубленного изучения проблемы поиска решений краевых задач названной теории.
ЛИТЕРАТУРА
1. Победря Б.Е. О задаче в напряжеииях//Докл. АН СССР.- 1978, т. 240, № 3 - С. 564-567.
2. Победря Б.Е. Квазистатическая задача механики деформируемого твердого тела в напряжениях//ПММ.- 1981,45, № 2,- С. 205-214.
3. Победря Б.Е. Механика композиционных материалов- М.: изд-во Моск. Ун-та, 1984,-336 с.
4. Маковенко С.Я. Об одном дифференциальном свойстве тензора несовместности, определенном в трехмерном римановом пространстве//Строит. механика инж. констр. и сооружений, Межвуз. сб. научн. тр-ов- М.: изд-во Ассоц. строит, вузов, 2001, в. 10 - С. 68-72.
5. Лурье А.И. Нелинейная теория упругости-М.: Наука, 1980.-512 с.
ON THE TASK IN THE STRESS IN THE NON-LINEARITY THEORY OF ELASTICITY
S.Y. Makovenko
Department of Theoretic Mechanic and Strength Materials The Moscow State Evening Metallurgical Institute Lefortovsky Valst., 26, 111250 Moscow, Russia
In the article the known method of the indirect satisfaction of the equilibrium equations the task in the stress in the theory of linearity rigid body is disseminated on the task non-linearity theory of elasticity. The task is formulated in the mixed components of the Cauchy.
Сергей Яковлевич Маковенко родился в 1937 г., окончил в 1960 г. Одесский инженерно-строительный институт. Доктор техн. наук, профессор, зав. кафедрой Теоретической механики и Сопротивления материалов МГВМИ. Автор 100 научных трудов.
S.Y. Makovenko (b. 1937) graduated from Odessa’s Institute of Civil Building Engineers in 1960, DSc (Eng), Professor, manager of Theoretic Mechanics and Strength Materials Department of MSEMI. He is the author of 100 publications, including 2 books.
