К условиям совместности и уравнениям движения в микрополярной линейной теории упругости Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 539.3

К УСЛОВИЯМ СОВМЕСТНОСТИ И УРАВНЕНИЯМ ДВИЖЕНИЯ

В МИКРОПОЛЯРНОЙ ЛИНЕЙНОЙ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ

М. У. Никабадзе1

Приведены условия совместности в трехмерной и двумерной линейной микрополярной теории упругости в отличных от используемых в научной литературе формах и аналог формулы Чезаро. Кроме того, получены формулы для определения антисимметричной части тензора деформаций (напряжений) через симметричные части тензоров деформаций и изгиба-кручения (напряжений и моментных напряжений) и антисимметричной части тензора изгиба-кручения (моментных напряжений) через симметричную часть тензора изгиба-кручения (моментных напряжений), а также интегродифференциальные уравнения движения в микрополярной теории упругости относительно симметричных частей тензоров напряжений и моментных напряжений.

Ключевые слова: микрополярная теория, условия совместности, тензор деформации, тензор изгиба-кручения, тензор напряжений, тензор моментных напряжений.

The compatibility conditions in three-dimensional and two-dimensional linear micropolar elasticity theories in the distinct from forms spread in the scientific literature and analog of the formula of Cesaro are reduced. Besides formulas for definition of an antisymmetric part of strain tensor (stress tensor) through symmetric parts of strain tensor and bend-torsion tensor (stress tensor and couple-stress tensor) and an antisymmetric part of a bend-torsion tensor (couple-stress tensor) through an symmetric part of a bend-torsion tensor (couple-stress tensor) and also the integro-differential equations of motion of the micropolar theory elasticities concerning symmetric parts of stress tensor and couple-stress tensor are received.

Key words: micropolar theory, compatibility conditions, strain tensor, bend-torsion tensor, stress tensor, couple-stress tensor.

1. Условия совместности в трехмерной микрополярной линейной теории упругости. Условия совместности в классической теории упругости выведены в работах [1-5]. В микрополярной теории для односвязной области они, по-видимому, впервые были получены в [6] (см. также в [5, 7, 8]). В декартовой системе координат они имеют вид

diYjk - djYik + KUeijk - Kjieuk = 0, diKjk - djKik = 0 (di = д/(dx1)). (1)

Тензор деформаций y, тензор изгиба-кручения к и их компоненты Yij и Kj представляются в форме [5, 7-9] ~

Y = Vu - Q • ф, к = Щ, Yij = ViUj - Cijkфк, Kij = Vi^j, (2)

где V = ridi, u = Uiri — вектор перемещений, ф = ф%ri — вектор вращения, C — дискриминантный тензор третьего ранга [10], tjk — символ Леви-Чивиты, ri и ri — ковариантные и контравариантные базисные векторы криволинейной системы координат, Vj — оператор ковариантной производной, = ^/gi-ijki

g = det(gij^ gij = r • rj.

Введя обозначение Ф = -C • ф, очевидно, будем иметь

2

ф = -1/2 Q ® Ф, y = Vu + Ф= е - Q + Ф (Q = -Q • ш, ш = 1/2rotu). (3)

2 2 ..k 2 Здесь ® — внутреннее 2-произведение [10-12] (например, C ® Ф = riCijkФjk). Легко2 видеть, что второе равенство (3) можно также представить в виде

Y = Ys + YA, Ys = е = 1/2 (Vu + VuT), yA = Ф - Q = C • (ш - ф). (4)

1 Никабадзе Михаил Ушангиевич — канд. физ.-мат. наук, доцент каф. механики композитов мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: [email protected].

2 Применяются обычные правила тензорного исчисления [2, 10-13]. В частности, по повторяющимся индексам в одночлене происходит суммирование. Прописные и строчные латинские индексы пробегают значения 1, 2 и 1, 2, 3 соответственно. Знак тензорного умножения опускается.

В силу простых преобразований (1) можно переписать в форме [14]

Vxj + Ii(k)E - кТ = 0, VXk = 0, (5)

где E — единичный тензор второго ранга, а верхний индекс "T" означает операцию транспонирования.

Соотношения (5) суть условия совместности в линейной микрополярной теории. Они являются необходимыми и достаточными условиями для интегрирования уравнений (2) относительно u и ф в односвяз-ной области. Их число равно 18. Переходя в (5) к транспонированным выражениям, а затем применяя к полученным соотношениям оператор ротора, в силу определения тензора несовместности [1, 2, 4, 13] получим

Ink Y - C • VIi (к) = 0, Ink к = rot(rot к)т = 0 (Д(к) = к|). (6)

Далее заметим, что различные формы представления условий (6) приведены в [14], поэтому в данной работе на этом останавливаться не будем.

2. Условия совместности в двумерной микрополярной теории. В научной литературе, например в [5], при плоском деформированном состоянии рассматривают следующие три условия совместности:

<9i72i - d2Yii = Ki, diY22 - d2Yi2 = к2, diK = д2кь

которые, ввиду того что Yij = diuj - еиф (ejj = еиз) и Kj3 = diф, а остальные компоненты этих тензоров равны нулю, легко получаются из (1). Нетрудно доказать, что из этих трех условий два (например, первые два) являются независимыми, а третье следует из них.

3. Формулы для определения векторов перемещений и вращения в микрополярной теории упругости и антисимметричных частей тензоров деформаций и изгиба-кручения с помощью их симметричных частей. По заданному тензору к и значению фо вектора вращения в некоторой точке Мо с помощью формулы ф = фо + Jm0 dr • к определяется вектор вращения ф. Зная 7 и к, а также значения ио и фо векторов перемещений и вращения в некоторой точке Мо, вектор перемещений u можно найти по формуле

М (s)

u = ио + фо X [r(s) - го]+ У {7т + [r(ff) - r(s)] х кт(ff)} • dr(ff). (7)

M0

Соотношение (7) — аналог формулы Чезаро в линейной микрополярной теории. Нетрудно проверить, что интеграл в (7) в силу (5) не зависит от выбора пути интегрирования. Получим формулы, определяющие антисимметричные части 7A и кА через симметричные части yS и kS тензоров 7 и к. Учитывая последнее равенство (4), а также формулы

MM M

и и и I J dr • (V х е)т, х хи - J dr ■ (V х xs)T, х V х ф, ф фи I j dr ■ х,

M0 M0 M0

из которых первая доказана в [2], а вторая доказывается аналогично первой, после простых выкладок будем иметь

M (s)

кA = -C •к = -C •ко + C • У [Vx KS(ff)] • dr(a),

M0

M(s) (8) YA = C (^о - фо) + Ко [r (s) - го ] - [r (s) - го] Ко + / {C • [V x yS (ff) - KS (ff)] +

Mo

2 a

+ (C(2) - C(3)) ® [r(s) - r(ff)][V x кS(ff)]} • dr(ff), где C(2) и C(3) — изотропные тензоры четвертого ранга [2, 15].

4. Интегродифференциальные уравнения движения микрополярной теории упругости относительно симметричных частей тензоров напряжений и моментных напряжений. Условия совместности в тензорах напряжений и моментных напряжений. Запишем прямые определяющие соотношения для микрополярных упругих тел, обладающих центром симметрии, следующим образом:

P5 = ciIi(Y)E + (c2 + cs)YS, PA = (c2 - es)YA, HS = diIi(k)E + (d2 + ds)KS, ßA = (d2 - d3)xA.

(9)

Тогда обратные определяющие соотношения можно представить в форме

YS = c/1/i(P)E + (c'2 + c3)PS, ya = 1/(C2 - C3)PA,

KS = dlh^E + (d2 + d'3)gS, = 1/(d2 - d3)t±A,

где связь между материальными постоянными имеет вид

I c1 I c2 I c3 IS , 1 f , 4

Cl = ~3(c2 + cs)K' C2 = ^|' Сз = -^Г К = с1 + з(С2 + Сз)'

= 4 = I' 4 = ^ = + +

Учитывая (9), из (8) получим соотношения, выражающие антисимметричные части тензоров напряжений и моментных напряжений через их симметричные части:

PA = (С2 - Сз) { ç • (wo - po) + Ko [r(s) - ro] - [r (s) - ro]ko +

Ai (s)

+ J {(ç(2) - ç(3)) d [c1V/i(P)E + (c2 + c3)VPS] - ç • [d'i/i(^)E + (d2 + d3)^S] +

Mo

2 с , (10)

+ (Ç(2) - ç(3)) d [r(s) - r(a)]V X [d'i/i(/i)E + (d2 + d3)/iS]} • dr(a)},

Ai (s)

dA = (d2 - d3){-ç • Ko + J (ç(2) - ç(3)) d [diVIi(^ + (d2 + d3)V/iS] • dr(a)}.

Mo

В силу (10) из уравнений движения V- P + pF = pd^u, V ^ + ç Cd P + pm = Jd2p будем иметь искомые интегродифференциальные уравнения движения:

[1 + (c2 - c3 )-i(c2 + c3)]V • PS - (c2 - c3)-i(2ci + c2 + c3 )VIi(P ) +

Ai (s)

2

i 2 S i

+ 2(c2 - c3)-1 / Ç d [d'lVIi(ß)'E + (d'2 + 4)V,MS] • dr(ff) - 2(c2 - c3)-1 Ko + pF = pdt2u,

Mo

[i + (d2 - d3)-1(d2 + d3 )] v • ^ - (d2 - d3)-1(2di + d2 + d3 )vii(^) +

M (s)

+ 2(c2 - c3)-1 J {Ç d [clvii(P)E + (c2 + c3)VPs] - [dlIl(M)E + (d2 + d3)^] +

Mo

+ Ç d [r(s) - ro]Ç d [dlVIi(ß)E + (d2 + d'3]} • dr(a) +

+ (c2 - 4) 1{2(Wo - Фо) + Ç d [Ko[r(s) - ro] - [r(s) - ro]Ko]} + pm = Jcify.

На основании (6), (9) и уравнений равновесия полученные в [14] условия совместности в тензорах напряжений и моментных напряжений с помощью симметричных дифференциальных тензоров-операторов можно записать следующим образом:

М ® PS + Т^т pEV • F + p(VF + VFT) =V(Vxq)+ fV(Vxq)]-~ 1 — v2

2 1+ S^

N ® ps + --J (2V • q + pv • m)E + 2(Vq + VqT) + p(Vm + VmT

= V(V хт)+ [V(V x т)]T, (11)

VV •q - 2e'q = e'(pm + C), /3'V • т = const, div C = 0 (PA = C • q, »A = C т);

M = EA + —— [EVV + (EVV)T], N = EA + —— [EVV + (EVV)T],

~~ 1 + v ~~ 1 + e

где E = 1/2 (C(2) + C(3)), e = a(1 - 2e)/[S(1 - e)], v = Л/[2(Л + ^)], e = 7/[2(7 + S)], ci = A, C2 = » + a, c3 = ц - a, di = y, d- = S + в, c3 = S - в.

Используя (10), нетрудно вывести статические граничные условия, а также условия совместности для симметричных частей тензоров напряжений и моментных напряжений. Ввиду ограниченности объема статьи мы на этом останавливаться не будем. Отметим лишь, что из первого соотношения (11) при q = 0 (PA = 0) можно получить условия совместности относительно тензора напряжений классической теории упругости с симметричным и самосопряженным дифференциальным оператором. Заметим также, что задача в напряжениях для симметричной теории более подробно изучена в [4, 16], а для несимметричной теории в отличной от (11) форме рассмотрена в [17].

Работа выполнена при поддержке грантов РФФИ № 08-01-00231-а, 08-01-00353-а.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Лурье А.И. Теория упругости. М.: Наука, 1970.

2. Лурье А.И. Нелинейная теория упругости. М.: Наука, 1980.

3. Мусхелишвили Н.И. Некоторые основные задачи математической теории упругости. М.: Наука, 1966.

4. Победря Б.Е. Численные методы в теории упругости и пластичности: Учеб. пособие. 2-е изд. М.: Изд-во МГУ, 1995.

5. Новацкий В. Теория упругости. М.: Мир, 1975.

6. Аэро Э.Л., Кувшинский Е.В. Континуальная теория асимметрической упругости. Учет "внутреннего" вращения// Физ. твердого тела. 1963. 6, вып. 9. 2591-2598.

7. Sandru N. On some problems of the linear theory of the asymmetric elasticity// Int. J. Eng. Sci. 1966. 4, N 1. 81-94.

8. Eringen A.C. Microcontinuum field theories. 1: Foundation and solids. N.Y.: Springer-Verlag, 1999.

9. Купрадзе В.Д., Гегелиа Т.Г., Башелейшвили М.О., Бурчуладзе Т.В. Трехмерные задачи математической теории упругости и термоупругости. М.: Наука, 1976.

10. Векуа И.Н. Основы тензорного анализа и теории ковариантов. М.: Наука, 1978.

11. Никабадзе М.У. О некоторых вопросах тензорного исчисления. I // Тр. Ин-та кибернетики Грузии. Современная математика и ее приложения. Т. 62. М.: ВИНИТИ, 2009. 67-95.

12. Никабадзе М.У. О некоторых вопросах тензорного исчисления. II // Тр. Ин-та кибернетики Грузии. Современная математика и ее приложения. Т. 62. М.: ВИНИТИ, 2009. 96-130.

13. Победря Б.Е. Лекции по тензорному анализу. М.: Изд-во МГУ, 1986.

14. Никабадзе М.У. К условиям совместности в линейной микрополярной теории // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 2010. №5. 48-51.

15. Никабадзе М.У. К построению линейно независимых тензоров // Изв. РАН. Механ. твердого тела. 2009. № 1. 17-36.

16. Победря Б.Е., Шешенин С.В., Холматов Т. Задача в напряжениях. Ташкент: Фан, 1988.

17. Победря Б.Е. Статическая задача несимметричной теории упругости для изотропной среды // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 2005. № 1. 54-59.

Поступила в редакцию 30.06.2010