CC BY
17УДК 539.3
К УСЛОВИЯМ СОВМЕСТНОСТИ В ЛИНЕЙНОЙ МИКРОПОЛЯРНОЙ ТЕОРИИ
М. У. Никабадзе1
Получены различные формы представления условий совместности (сплошности) в тензорах деформаций и изгиба-кручения, а также в тензорах напряжений и моментных напряжений.
Ключевые слова: микрополярная теория, условия совместности, тензор деформаций, тензор изгиба-кручения, тензор несовместности, тензор напряжений, тензор моментных напряжений.
Various forms for the representation of compatibility (continuity) conditions are given in strain and bending-torsion tensors and in stress and couple-stress tensors.
Key words: micropolar theory, compatibility conditions, strain tensor, bending-torsion tensor, incompatibility tensor, stress tensor, couple-stress tensor.
Различные представления условий совместности в тензорах деформаций и изгиба-кручения. Зная векторы перемещений u и вращения (, тензоры деформаций и изгиба-кручения в линейной микрополярной теории можно определить соотношениями [1-4]
Y = Vu - C ■ ( (Yij = ViUj - Cijk(k), к = V( (Kij = ), (1)
где V — оператор Гамильтона, а C — дискриминантный тензор третьего ранга. Обратно, чтобы найти векторы перемещений u и вращения ( по заданным тензорам деформаций y и изгиба-кручения к, необходимо решить систему 18 дифференциальных уравнений (1) относительно 6 неизвестных Ui и (i. Необходимыми и достаточными условиями разрешимости этой системы уравнений являются условия совместности (сплошности). Эти условия для односвязной области, состоящие из 18 уравнений, были получены Н. Сандру в [1] (см. также [2, 4]). Они имеют вид
diYjk - djYik + кцeijk - Xjieuk = 0, diKjk - djЩк = 0, (2)
где di — частная производная по координате xi. С помощью очевидных равенств
diYjk - djYik = íijsíSmnдmYnk, Kil4jk - Kjl4ik = £ijs£SmndmYnkKmlЧnk,
diKjk - djKik = iijs(-smndmKnk,
где €ijs и esmn — символы Леви-Чивиты, после простых преобразований (2) можно представить в не зависящей от системы координат форме
Vx y + /i(x)E - kt = 0, Vx x = 0. (3)
Применяя вначале операцию транспонирования, а затем оператор ротора к (3) и учитывая определение тензора несовместности [5-9] П = Ink Q = Vx(Vx Q) и равенства
Vx [/i(*)E] = -C -V/i(*), Vx к = 0,
где Q — произвольный тензор второго ранга, Д (к) — первый инвариант к, E — единичный тензор второго ранга, получим условия совместности в виде
Ink y - C •V/1(x) = 0, Ink к = 0. (4)
1 Никабадзе Михаил Ушангиевич — канд. физ.-мат. наук, доцент каф. механики композитов мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: nikabadze@mail.ru.
Нетрудно заметить, что тензор несовместности выражается следующим образом:
n(Q) = Ink Q = a(Q) + nE, n = h{v), (5)
где дифференциальный тензор-оператор a(Q) имеет вид
a(Q) = -V2Q - VVIi (Q) + VV ■ Q + (W ■ QT)T. (6)
Так же как это делается в [6, 7] для симметричного тензора, введем в рассмотрение и обобщенный тензор несовместности для несимметричного тензора в виде
H = H(Q) = INK Q = a(Q) + = a(Q) + n[, (7)
где £ — произвольный симметричный тензор-константа второго ранга, такой, что £ = Ii(£) = 2. Тогда легко доказать, что имеет место
Теорема. Равенство нулю одного из тензоров-операторов (5)-(7) влечет за собой равенство нулю остальных при условии £ = 2.
На основании этой теоремы условия (4) можно заменить на следующие эквивалентные условия (полагаем, что £ = 2):
INK 7 - C ■ V11 (К = 0, INK к = 0 (8)
или ( ) ( ) ( )
а(т) - C ■ v/i(К = о, a(К = о. (9)
Далее, представляя 7 и к в виде суммы симметричных и антисимметричных частей:
7 Is I 7 1S = \ (7 + 7Т)> 1А = \ (7"7Т),
\ 2 1 (10) X Xs I хЛ, Xs -[х I хт), х 1 - (х - х1),
соотношения (4), (8) и (9) можно записать для симметричных и антисимметричных частей раздельно. Например, (8) можно представить в виде
INK 7s = 0, INK xS = 0, INK ya - C ■ V/1(*) = 0, INK xA = 0. (11)
Условия совместности (уравнения) в тензорах напряжений и моментных напряжений.
Эти уравнения получим для однородного изотропного микрополярного тела, обладающего центром симметрии. В этом случае прямые и обратные определяющие соотношения представляются в виде
2 2 2 2 p = с ® y, & = D ® к, Y = C' ® P, к = D ®& (12)
2
где P — тензор напряжений, & — тензор моментных напряжений, ® — знак внутреннего 2-произведе-ния [10-12], а тензоры модулей упругости и упругих податливостей имеют следующие выражения:
C = AC(1) + (& + a)C(2) + (& - а)C(3), D = 7C(i) + (5 + в)С(2) + (5 - в)С(3), (13)
С' = A[CC(i) + (&' + a[)C(2) + (&' - а')C(3), D' = 7'C(i) + (5' + в'Ю(2) + (5[ - в')C(3)• ( )
Здесь C(i), C(2), C(3) — изотропные тензоры четвертого ранга, материальные постоянные связаны между собой соотношениями
w A ' 1 ' 1^.2 A
А =--77 j ol = —, К = АН— а, v = —---,
6 ¡¿К' Р 4/х' 4а 2(А+ //,)'
7 11 2 7 ( )
Представляя тензоры напряжений Р и моментных напряжений М аналогично (10) и обозначая сопутствующие кососимметричным частям РА и МА векторы через q и т соответственно (РА = С ■ q, МА = С ■ т),
уравнения равновесия [2, 3, 13] в микрополярной теории запишем следующим образом:
V- Р6 -Ух q + рЕ = 0, V- М6 -Ух т + 2q + рт = 0. (15)
Далее, найдя первые инварианты, например, от (4), будем иметь
(т) = УУ с! 7, V2/: (к) = УУ с! к. (16)
На основании обратных законов Гука, получаемых с помощью соответствующих соотношений (12) и (13), находим
My) = (3Д/ + 2^')/i(P), VVc! Y = A'V2/i(P) + 2u'VVc| P, /i (к) = (3Y + 25')/i (и), VV c| к = y'V2/i (и) + 25'VV c| u,
(17)
а в силу уравнений равновесия (15) имеем
VVc| P = VV c| PS = -pV- F, VV c|и = VV c| uS = -(2V ■ q + pV ■ m). (18)
С помощью (14), (17) и (18) из (16) получаем
V2ii (Р) + pV • F = 0, V2/i (ju) + 7-^— (2V • q + pV • m) = 0. (19)
1 - v ~ 1 - £
Учитывая (15) и (19), из (9) на основании несложных преобразований искомые уравнения выразим в форме
V2p s + VWi (р) + pv • FE + p(VF + VFT) = V(V x q) + [V(V xqf, (20) 1 + v 1 — v
1 £
VVs + --w/i (g) + --(2V • q + pV • m)E + 2(Vq + VqT) + p(Vm + VmT) =
1 + £ 1 — £
= V(V x т) + [V(Vxt)]T, (21)
VV- q - 2£'q = £(pm + C), e'V ■ т = const, div C = 0, (22)
где введено обозначение £ = a(1 - 2£)/ [5(1 - £)]. Общие решения уравнений (22) относительно q и т легко найти. Далее, считая известными q и т, общие выражения кососимметричных частей тензоров напряжений и моментных напряжений представим с помощью формул PA = C ■ q, y,A = C ■ т. После
отыскания q и т, очевидно, первое соотношение (15) и уравнение (20) и второе соотношение (15) и уравнение (21) будут составлять расщепленные системы уравнений для нахождения симметричных частей PS и uS соответственно тензоров напряжений P и моментных напряжений ¿и.
Применяя оператор дивергенции к (20) и (21) и учитывая (19), после простых преобразований получим
V2( V ■ PS -Vx q + pF) =0, V2( V ■ US -Vx т + 2q + pm) = 0. (23)
На основании (23) заключаем, что функции V ■ PS -Vx q + pF и V ■ US -Vx т + 2q + pm являются гармоническими функциями в занимаемой телом области V. Следовательно, если эти функции на границе S области V принимают нулевые значения, то в силу свойств гармонических функций они будут принимать нулевые значения во всех точках внутри области V. Ввиду вышесказанного можно сформулировать следующую теорему.
Теорема. Если уравнения равновесия (15) (уравнения движения (15) с учетом инерционных членов) выполняются только на границе S, т.е. имеют место соотношения
(V ■ PS - V X q + pF) =0, (V ■ - V x T + + Pm)
(V ■ PS - V X q + pF - pdt2u
0,
(V ■ ßS - V X T + 2q + pm - JdtV) s = o) ,
то из уравнений (20) и (21) (аналогичных уравнений, получаемых с учетом инерционных членов) следует,, что они имеют место во всей области V.
Эта теорема позволяет дать новую постановку задачи в тензорах напряжений и моментных напряжений. Следует отметить, что исходя из условий (11) в аналогичной (20)—(22) форме можно получить обобщенные уравнения, а затем дать новые постановки задач как на основании уравнений (20) и (21), так и на основании получаемых из (11) обобщенных уравнений в тензорах напряжений и моментных напряжений. На новых постановках задач в данной работе останавливаться не будем, однако заметим, что для классической теории новая постановка задачи (постановка Б.Е. Победри) подробно изложена в [6, 7].
Работа выполнена при финансовой поддержке грантов РФФИ № 08-01-00231-а и 08-01-00353-а.
S
S
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Sandru N. On some problems of the linear theory of the asimmetric elastisity // Int. J. Eng. Sci. 1966. 4, N 1. 81-94.
2. Новацкий В. Теория упругости. М.: Мир, 1975.
3. Купрадзе В.Д., Гегелиа Т.Г., Башелейшвили М.О., Бурчуладзе Т.В. Трехмерные задачи математической теории упругости и термоупругости. М.: Наука, 1976.
4. Eringen A.C. Microcontinuum Field Theories. 1. Foundation and Solids. N.Y.: Springer-Verlag, 1999.
5. Лурье А.И. Нелинейная теория упругости. М.: Наука, 1980.
6. Победря Б.Е. Численные методы в теории упругости и пластичности: Учеб. пособие. 2-е изд. М.: Изд-во МГУ, 1995.
7. Победря Б.Е., Шешенин С.В., Холматов Т. Задача в напряжениях. Ташкент: Фан, 1988.
8. Победря Б.Е. Лекции по тензорному анализу. М.: Изд-во МГУ, 1986.
9. Никабадзе М.У., Мардалейшвили Н.В. Тензор несовместимости и его обобщение // Научные труды. № 4. Кутаиси: Кутаис. техн. ун-т, 1997. 25-28.
10. Векуа И.Н. Основы тензорного анализа и теории ковариантов. М.: Наука, 1978.
11. Никабадзе М. У. О некоторых вопросах тензорного исчисления. I // Тр. Ин-та кибернетики Грузии. Современная математика и ее приложения. Т. 62. М.: ВИНИТИ, 2009. 67-95.
12. Никабадзе М.У. О некоторых вопросах тензорного исчисления. II // Тр. Ин-та кибернетики Грузии. Современная математика и ее приложения. Т. 62. М.: ВИНИТИ, 2009. 96-130.
13. Никабадзе М.У. Применение систем полиномов Лежандра и Чебышева при моделировании упругих тонких тел с одним малым размером. Деп. в ВИНИТИ РАН 21.08.08. № 720 - B2008. М., 2008.
Поступила в редакцию 24.09.2009
УДК 532.5.013.4
ГИДРОДИНАМИЧЕСКАЯ НЕУСТОЙЧИВОСТЬ ОТРЫВНОГО ОБТЕКАНИЯ КРУГОВОГО ЦИЛИНДРА ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТЬЮ
А.И. Алексюк1, В. П. Шкадова2, В. Я. Шкадов3
Проведены численные исследования обтекания круговых цилиндров однородным потоком вязкой жидкости в диапазоне чисел Рейнольдса 0 < Re ^ 500. Показано, что существование и основные свойства автоколебательных режимов определяются развитием их
1 Алексюк Андрей Игоревич — асп. каф. аэромеханики и газовой динамики мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: aleksandrey@mail.com.
2 Шкадова Валентина, Петровна — канд. физ.-мат. наук, вед. науч. сотр. НИИ механики МГУ, e-mail: shkadov@mech. math. msu. su.
3 Шкадов Виктор Яковлевич — доктор физ.-мат. наук, проф. каф. аэромеханики и газовой динамики мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: shkadov@mech.math.msu.su.
