CC BY
18ы(01) = -
и(10) = -
и{к ~ cos2 а) ~ \ rsul3 sin а Uo
da I ds,
0 , , и sin a cosa — i rsu^ cosa
s Q(s)---da
uo
ds,
Mo =--r
3 2тг
—2 —u sin a + rsu3 sin a , . ,
sz -da ds, uo
u0
-•'u2
— 2uru3s sin a + r2^2s2
Таким образом, в отличие от [1, 2], результирующая сила трения имеет составляющую, перпендикулярную скорости скольжения (^2 = 0), главный момент сил трения имеет горизонтальные составляющие (Ы\ = 0, М2 = 0). Это происходит как за счет сдвига центра давления пятна контакта по направлению скольжения, так и за счет того, что пятно контакта предполагается неплоским. Необходимо отметить, что в случае плоского пятна контакта эффект возникновения силы трения, ортогональной скорости скольжения, был описан в работах [8, 9], где он связан с несимметричным распределением нормальных давлений.
Работа выполнена при финансовой поддержке Совета по грантам Президента РФ (грант МК-698.2010.1).
2
s
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Контенсу П. Связь между трением скольжения и трением верчения и ее учет в теории волчка // Проблемы гироскопии. М.: Мир, 1967. 60-67.
2. Журавлев В.Ф. О модели сухого трения в задаче качения твердых тел // Прикл. матем. и механ. 1998. 62, вып. 5. 762-767.
3. Карапетян А.В. Двухпараметрическая модель трения и ее свойства // Прикл. матем. и механ. 2009. 73, вып. 4. 515-519.
4. Ишханян М.В., Карапетян А.В. Динамика однородного шара на горизонтальной плоскости с учетом трения скольжения, верчения и качения // Изв. РАН. Механ. твердого тела. 2010. № 2. 3-12.
5. Журавлев В.Ф., Климов Д.М. О механизме явления шимми // Докл. РАН. 2009. 428, № 6. 761-564.
6. Горячева И.Г. Механика фрикционного взаимодействия. М.: Наука, 2001.
7. Pacejka H.B. Tyre and Vehicle Dynamics. Oxford: Butterworth-Heinemann, 2002.
8. Самсонов В.А. О трении при скольжении и верчении тела // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 1981. № 2. 76-78.
9. Иванов А.П. Динамически совместная модель контактных напряжений при плоском движении твердого тела // Прикл. матем. и механ. 2009. 73, вып. 2. 189-203.
Поступила в редакцию 26.05.2010
УДК 539.3
О СВЯЗИ ТЕНЗОРОВ НАПРЯЖЕНИЙ И МОМЕНТНЫХ НАПРЯЖЕНИЙ В МИКРОКОНТИНУАЛЬНОЙ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ
М. У. Никабадзе1
Тензор напряжений выражен через произвольное симметричное тензорное поле второго ранга и тензор моментных напряжений. Даны представления для тензоров напряжений и моментных напряжений через произвольные тензорные поля, удовлетворяющие
1 Никабадзе Михаил Ушангиевич — канд. физ.-мат. наук, доцент каф. механики композитов мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail:
nikabadze@mail.ru.
однородным уравнениям равновесия, а также такие выражения этих тензоров, которые удовлетворяют неоднородным уравнениям равновесия микроконтинуальной теории упругости. Введены в рассмотрение тензоры-функции напряжений.
Ключевые слова: микроконтинуальная теория, тензор напряжений, тензор моментных напряжений, тензоры-функции напряжений.
The stress tensor is expressed in terms of an arbitrary symmetric tensor field of second rank and the couple-stress tensor. The stress and couple-stress tensors are represented through arbitrary tensor fields satisfying the homogeneous equilibrium equations. These tensors are also given in the form of expressions satisfying the inhomogeneous equilibrium equations of the microcontinual elasticity theory. The stress tensor functions are introduced.
Key words: microcontinual theory, stress tensor, couple-stress tensor, stress tensor functions.
1. Связь между тензорами напряжений и моментных напряжений. Как известно, уравнения равновесия трехмерной микроконтинуальной среды с учетом объемных нагрузок представляются в виде (см., например, [1-5] и др.)
2
VP + pF = 0, Vy, + Ç ® P + Pm = 0, (1)
а при отсутствии объемных нагрузок — в виде
2
V ■ P = 0, V-v + Ç ® P = 0, (2)
где V = rzdi — оператор Гамильтона; гг — векторы контравариантного базиса; дг = д/дхг, хг — криволинейные координаты; P — тензор напряжений; ц — тензор моментных напряжений; p — плотность мате-
~ 2
риала; F и m — массовые силы и моменты соответственно; ® — символ внутреннего 2-произведения [6-8]; точка между символами обозначает скалярное произведение; Ç — дискриминантный тензор (тензор Леви-Чивиты) третьего ранга [6, 9, 10].
Возникает вопрос: есть какая-нибудь связь между тензорами напряжений и моментных напряжений? Оказывается, положительный ответ на этот вопрос можно легко найти. В самом деле, умножая второе уравнение (2) слева скалярно на Ç и учитывая равенство Ç ■ Ç = Ç(2) — Ç(3), где Ç(2) и Ç(3) — изотропные тензоры четвертого ранга [8, 11], получим
= = (3)
Ввиду (3) легко доказать, что имеет место соотношение
V • Рл = V • [(V • g) • Ç] = \ V • (V х (¿Т)Т■ (4)
Учитывая (4), из первого уравнения (2) будем иметь
(V • Р = 0) (V • Ps + V • Рл = 0) (v • Ps + ^(Vx (мТ)Т
= 0 О
Ps + ^Vx/iT + i(Vx т)т
(V
Достаточно общим решением (5) является представление [11, 12]
(5)
0 .
Ps = InkW -i[(Vx/)|(Vx/)T] VW = WT (inkW = V х (V х W)T)
Таким образом,
Р^ = InkW — i [(V x fj?) + (V x (¿Г)Т], P A = -^(V-l±)-Ç. (6)
В силу (6) искомую связь можно представить в виде
P = Ps + PA = Ink W - i [Ç • (V • ft) + (V x (мт) + (V x (MT)T]. (7)
С помощью простых преобразований легко доказать, что (7) можно записать и в форме
2
P = Ink W - C !
V/f-^УАЫЕ
2 ml
inkw-gcg)V/iT--g-v/i(/i). (8)
2. Функции напряжений. Непосредственной подстановкой убеждаемся, что уравнениям (2) удовлетворяют следующие выражения для тензоров напряжений и моментных напряжений:
2
P = Ink U + V x Ф = Ink U + C ® Vф,
2 2 i = Ink v + (—vua + 2EV • UA) ® C + Eji® - Фт + C ®V$,
где U, Ф, V и Ф — произвольные2 тензоры-функции второго ранга, а UA = 1/2(U — UT)• В частности, U, Ф, V и Ф могут быть тензорами специального вида. Кроме того, Фи Ф, конечно, можно положить равными нулю, а U и V, называемые тензорами-функциями напряжений, можно заменить на U + def a и V + def b соответственно, где a и b — произвольные векторные поля, например def a = 1/2(a + aT). Также легко показать, что выражения для тензоров напряжений и моментных напряжений
2
P = Ink U + C ^Ф — р (f E — C • g),
i = Ink V + (—VUA + 2EV • UA) ! C + ЕЛ(Ф) — Фт + C V® — р (hE — C •1 + 2gr)
удовлетворяют уравнениям равновесия (1) при условии, что
F = grad f + rotg, div g = 0; m = grad h + rot1, div 1 = 0. Согласно (8), для любого симметричного тензора U и любого тензора V
2 т 1
р = inku-gcg)VY^r--g-v/i(Y), ц = У
удовлетворяют уравнениям равновесия (2) при отсутствии объемных сил и моментов, а
21
р = ink и - g eg) vy - - g • v/i (Y) - р (/е - g • g), (m = y - р (hE - д i + 2gr)
удовлетворяют неоднородной системе уравнений равновесия (1).
Следует заметить, что в приведенных выше соотношениях в качестве U и V можно рассматривать частные виды этих тензоров, как это делается в классической теории (см., например, [11, 13-17]).
Работа выполнена при финансовой поддержке грантов РФФИ № 08-01-00231-a, 08-01-00353-а.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Аэро Э.Л., Кувшинский Е.В. Основные уравнения теории упругости сред с вращательным взаимодействием частиц // Физика твердого тела. 1960. 2, вып. 7. 1399-1409.
2. Аэро Э.Л., Кувшинский Е.В. Континуальная теория асимметрической упругости. Учет "внутреннего" вращения // Физика твердого тела. 1963. 6, вып. 9. 2591-2598.
3. Пальмов В.А. Основные уравнения теории несимметричной упругости // Прикл. матем. и механ. 1964. 28, вып. 3. 401-408.
4. Новацкий В. Теория упругости. М.: Мир, 1975.
5. Купрадзе В.Д., Гегелиа Т.Г., Башелейшвили М.О., Бурчуладзе Т.В. Трехмерные задачи математической теории упругости и термоупругости. М.: Наука, 1976.
6. Векуа И.Н. Основы тензорного анализа и теории ковариантов. М.: Наука, 1978.
7. Никабадзе М.У. О некоторых вопросах тензорного исчисления. I // Тр. Ин-та кибернетики Грузии. Современная математика и ее приложения. Т. 62. М.: ВИНИТИ, 2009. 67-95.
2 Применяются обычные правила тензорного исчисления [6-10]. В основном сохранены обозначения и соглашения, используемые в ранее опубликованных работах.
8. Никабадзе М.У. О некоторых вопросах тензорного исчисления. II // Тр. Ин-та кибернетики Грузии. Современная математика и ее приложения. Т. 62. М.: ВИНИТИ, 2009. 96-130.
9. Лурье А.И. Нелинейная теория упругости. М.: Наука, 1980.
10. Победря Б.Е. Лекции по тензорному анализу. М.: Изд-во МГУ, 1986.
11. Лурье А.И. Теория упругости. М.: Наука, 1970.
12. Победря Б.Е. Численные методы в теории упругости и пластичности: Учеб. пособие. 2-е изд. М.: Изд-во МГУ, 1995.
13. Крутков Ю.А. Тензор функций напряжений и общие решения в статике теории упругости. М.: Изв. АН СССР, 1949.
14. Филоненко-Бородич М.М. Теория упругости. М.: Физматгиз, 1959.
15. Блох В.И. Теория упругости. Харьков: Изд-во Харьков. ун-та, 1964.
16. Кренер Э. Общая континуальная теория дислокаций и собственных напряжений. М.: Мир, 1965.
17. Остросаблин Н.И. Условия совместности малых деформаций и функции напряжения // Прикл. механ. и техн. физ. 1997. 38, № 5. 136-146.
Поступила в редакцию 29.06.2010
УДК 539.3
МЕТОД ЛЯПУНОВА-МОВЧАНА В ОДНОЙ ЗАДАЧЕ УСТОЙЧИВОСТИ КОЛЕБАНИЙ ПЛАСТИНЫ
К. В. Квачев
При помощи метода Ляпунова-Мовчана исследуется задача об устойчивости колебаний упругой пластины, обтекаемой сверхзвуковым потоком газа. Найдена критическая скорость.
Ключевые слова: аэроупругость, пластина, устойчивость, метод Ляпунова-Мовчана.
The stability problem for elastic plate vibrations in a supersonic gas flow is studied using the Lyapunov-Movchan method. The critical velocity is found.
Key words: aeroelasticity, plate, stability, Lyapunov-Movchan method.
1. Постановка задачи. Рассматривается пластина из однородного изотропного материала, подчиняющегося закону Гука. Предполагается, что две параллельные стороны пластины имеют шарнирное защемление, а из оставшихся одна — жесткое защемление, а другая свободна. Пластина обтекается сверхзвуковым потоком газа. Скорость газа предполагается направленной параллельно сторонам, имеющим шарнирное защемление, от стороны, имеющей жесткое защемление, к стороне, свободной от нагрузок. Вводится прямоугольная система координат ОХУ таким образом, что одна из сторон шарнирного закрепления совпадает с осью ОХ, а сторона жесткого защемления совпадает с осью ОУ. Воздействие на пластину со стороны набегающего потока газа определяется в соответствии с "поршневой" теории. Сразу заметим, что эта модель используется как первое приближение в задачах аэроупругости, поскольку имеет самое простое формульное выражение [1]. Существуют более точные модели взаимодействия упругого тела с обтекающим его потоком [2].
Уравнения движения и граничные условия имеют вид
E
( д2и d2v \ 1-+ +
E
1 — v2 \ дх2
E ( д2 u
( д2u d2v I — + —г
дхду ) d2v
(д2и
+
2(1 + v) v ду2 E (c)2v
d2v \ дхду )
2(1 + V )\ дхду дх2
Eh3 íd4w _ _
~ 12(1- г/2) V9Í4 + дх2ду2 + ~ду4 )
1 — V2
+ 1
д2и
ду2 дхдуJ
д2и
\ cj2v I = р —
Copo
дг2
д'ш\
^ dw _ .. дх дt )
c)2w
1 Квачев Кирилл Вадимович — асп. каф. механики композитов мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: kvachevkirill@yandex.ru.
