CC BY
87. Соколов В.В. Новый интегрируемый случай для уравнений Кирхгофа // Теор. и матем. физ. 2001. 129, № 1. 31-37.
8. Хагигатдуст Г., Ошемков А.А. Топология слоения Лиувилля для интегрируемого случая Соколова на алгебре Ли so(4) // Матем. сб. 2009. 200, № 6. 899-921.
9. Новиков Д.В. Топологические особенности интегрируемого случая Соколова на алгебре Ли e(3) // Матем. сб. 2011. 202, № 5. 127-160.
Поступила в редакцию 24.12.2010
УДК 539.3
ФОРМУЛЫ ОБЩЕГО КОМПЛЕКСНОГО ПРЕДСТАВЛЕНИЯ В ПЛОСКОЙ МИКРОПОЛЯРНОЙ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ
М. У. Никабадзе1
Получены формулы общего комплексного представления в плоской микрополярной теории упругости с учетом объемных нагрузок при неизотермических процессах.
Ключевые слова: плоская микрополярная теория, комплексное представление, тензор деформации, тензор изгиба-кручения, тензор напряжений, тензор моментных напряжений.
Several formulas of the genenral complex representation in the micropolar plane elasticity theory are obtained with consideration of volume loads in nonisothermal processes.
Key words: plane micropolar theory, complex representation, strain tensor, bending-torsion tensor, stress tensor, couple-stress tensor.
1. Уравнения равновесия относительно вектора перемещений и угла вращения плоской микрополярной теории упругости. Будем говорить [1], что микрополярное тело находится в плоском деформированном состоянии (ПДС) относительно плоскости Oxix2, если векторы перемещений u и вращения ш зависят только от xi, Х2, т (т — время), но не зависят от Хз и представляются в виде
U = u1 (xi,Х2,т) в/, Ш = ш(Х1,Х2,т) вз, (1)
где вг — базис выбранной координатной системы. При этом считаем, что вз — единичный вектор, перпендикулярный векторам в/, I = 1, 2 (плоскости ОХ1Х2).
Учитывая (1) и исходя из уравнений трехмерной микрополярной теории упругости [1, 2] при неизотермических процессах, в данном случае получим следующие уравнения:
ßAi + (A + ß)di0 - 2adi(ß - ш) - kdit + pFi = 0,
+ (A + ßW - 2ад2(ß - ш) - kd2t + pF2 = 0, (2)
(5 + ß)Аш + 4a(ß - ш)+ pm = 0,
где 2ß = е/jd/uj; k = at(3A + 2ß); A, ß, a, ß, 5 — материальные постоянные; F/ — компоненты массовой силы; m — массовый момент; p — плотность; t = T - To — перепад температуры; в = div u = д/и/, д/ = д/дХ/.
Умножая второе уравнение (2) на мнимую единицу i и складывая с первым, с учетом выражений А = 4dzdz, dz = l/2(9i + id2), dz = 1/2{д\ — id2), z = x 1 + 1x2 будем иметь
dz [4ßdzu + 2(A + ß)Q + 4a i(ß -tu)- 2 kt] = pF (и = щ + iu2, F = Fi + iF2). (3)
1 Никабадзе Михаил Ушангиевич — канд. физ.-мат. наук, доцент каф. механики композитов мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: nikabadze@mail.ru.
2. Комплексное представление вектора перемещений и угла вращения. Следуя Н.И. Му-схелишвили и И. Н. Векуа [3, добавление IV] и интегрируя (3), получим
4рд*и + 2(Л + р)9 + 4аг(§ - и) - 2кг = ау'(г) + р/п / / F(■)/(( - г) ¿£2, (4)
где а = 0 — некоторое введенное для удобства число, ^'(г) — производная от произвольной аналитической функции ^>(г), £ = £1 + ¿6; введено обозначение (■) = (£1,6), которое используется и в дальнейшем.
Складывая (4) с соотношением, получаемым2 из (4) переходом к сопряженным значениям, и имея в виду, что в = 81111 = дхи + д^й, после простых вычислений находим
в = -^ + ,х 1 Ые Л + 2р 2(Х + 2(1)
Учитывая последнюю формулу, а также равенство к = (Л + 3р)/(Л + р) = 3 — 4и, где V — коэффициент Пуассона, и считая а = 4(Л + 2р)/(Л + р), из (4) после элементарных вычислений получим
2 ¡и - к^(г)+ гр'(г)+ X = -2аг(§ - и)+к(к - 1)/(1 + к)г(х1,х2), (5)
где введено обозначение
X = Х\ + 1X2 = —^ — //^(е [[ =^^(6,6)^6-
1 + Х7Г77 2(1 + К) 7Г ]] С,—г
^ в
Найдя 2а(§ - и) из последнего уравнения (2) и подставив в (5), будем иметь
дх [2ри - х<р(г) + гр'(г) - 2г(а + ¡3)сЬи + X] = г/2 рт + к{я - 1)/(1 + яЩх1,х2). (6)
Отсюда видно, что, зная и и г, несложно получить комплексное представление для перемещений и = и1 + Ш2. Для простоты предположим, что рассматривается несвязанная задача. Тогда функцию г(х1,х2) можно определить из температурной задачи и считать ее известной функцией. Остается определить и. Получим уравнение для и. Определяя § из последнего уравнения (2) и подставляя в уравнение, которое получится, если продифференцировать первое равенство (2) по Х2, второе по Х1, а затем из последнего соотношения вычесть почленно первое, после простых выкладок найдем
дгд.
. 4ар 1 Аш - ----т--г- и) + --- рт
(р + а)(5 + в) 5 + в
а
рС, (7)
(р + а)(5 + в)
где С = д!^2 - д2 Fl.
Интегрируя (7) относительно выражения в квадратных скобках, будем иметь
4 ар, 1 4 ар
+
Аш - Ь + а)(6 + 1» " + ТТр <"" = (р + аха + ,9) Г» +
где коэффициент 4ар/[(р + а)(5 + в)] в правой части (8) введен для удобства, а w(z) — произвольная аналитическая функция. Очевидно, уравнение (8) можно записать в виде
АР (Х1,Х2) + (щ)2 Р (х1,Х2) = Б(Х1,Х2). (9)
2 Применяются правила тензорного исчисления [4, 5], в частности по повторяющимся индексам происходит суммирование, прописные латинские индексы пробегают значения 1, 2.
Здесь введены обозначения:
Р(Х1,Х2) = и + у, 6,(Ж1,Ж2) = р[ у- о - ] пт\ V2 =
4р 6 + в /' ' (р + а)(6 + в)'
р 1 гг . . . . (Ю)
п
у{х 1,х2) = ь)(г) +ь)(г) + ^ ^ JJ С(6, 6) 1п |С - ¿1 ¿6-
Обозначим общее решение соответствующего (9) однородного уравнения через Н, а частное решение неоднородного уравнения (9) через Но. Тогда общее решение неоднородного уравнения Гельмгольца будет иметь вид Р(х\,х2) = Н(х\,х2)+ Но(х\,х2). Отсюда, учитывая первую формулу (10), а также выражение для у, получим
и(хг,х2) = Н(хг,х2) + Но(х\,х2) -ъи(г) - и)(г) - ^ ^ JJ С(6, 6) Ь |( - ¿1 ¿6 ¿6- (И)
Интегрируя (6), на основании (11) найдем искомое представление для вектора перемещений
2р(т + ги2) = жр(г) - гр'(г) - ф(г) + 2г(а + (3)9? Н(х\, х2) - и)(г) +г(х\,х2), (12)
где
г = 2г(а + ру^Но--п
(5+Р)Ргил , 1 М
(«2 к{я - 1) 1 Г Г 2 _ х
( - г 1 + >с 7гУУ ( - г
я я
Имея формулы (11), (12), нетрудно получить комплексное представление для компонент тензоров напряжений и моментных напряжений, но мы на этом останавливаться не будем. Из (12) видно, что в случае микрополярной среды перемещение выражается с помощью трех произвольных аналитических функций и общего решения уравнения Гельмгольца.
3. Комплексное представление формул при ПДС микрополярной среды с помощью трех аналитических функций. В данном случае обратный закон Гука для компонент тензоров моментных напряжений и изгиба-кручения имеет вид
к/ = д/ и = 1/(6 + в)р/, (13)
где к/ = к/з — компоненты тензора изгиба-кручения, а р/ = р/3 — компоненты тензора моментных напряжений.
Из (13) видно, что если удастся определить р/, то интегрированием (13) можно найти и. Выведем уравнение относительно р = р/в^. С этой целью, учитывая выражения тензоров напряжений и моментных напряжений при ПДС, получаемые из трехмерного закона Гука [1, 2] в силу (1), из условий совместности (уравнений) трехмерной теории в тензорах напряжений и моментных напряжений [6] относительно р найдем уравнение
6Ар + в graddivр — (6 + в^^С(х1,х2) = 0, (14)
где С(х1,х2) — произвольная функция, 2д = Р12 — Р21 = — [рт + С(х1,х2)].
Видно, что уравнение (14) аналогично уравнению при ПДС классической теории упругости. Поэтому его можно решать методами плоской теории [3]. В частности, поступая так же, как и выше, будем иметь
р = шф) - ^ // ^гт^
1
и)
2(6 + в)
1
"я
(15)
где р = р1 + гр2, 'ш(г) — произвольная аналитическая функция, а выражение для и найдено интегрированием (13). Интегрируя (6), с помощью последнего соотношения (15) получим
к{к- 1) 1 /У ¿(6,6)
2р{щ + ги2) = я<р(г) - г<р>{г) - ф(г) - и)'(г)--—--/ / -=—— (¿6 ¿6 -
1 + я и]] ( — г
я
^ // 6) + С(6,6)] - X. (16)
Нетрудно заметить, что закон Гука в случае ПДС при неизотермических процессах [1] в данном случае можно записать в форме
Ри + Р22 = 2(А + ц)(дги + д*а) - 2Ы, 2д = Р12 - Р2\ = 2т(дги - д*и), Р22 ~ Ри + ЯР12 + Р21) = -4цдгй.
С учетом (16) из вышеприведенных равенств для компонент тензора напряжений получим следующие формулы комплексного представления:
^wh-rJJW^
S
P11 + P22 = 4(1 + K)Re Р22 - Pll + ¿(Pi2 + Р21) = 2 \zip'\z) + tP'(z) + w"(z)] - ~ v I I dCl db -
+ 4kt(x\,x2), 2к(к — 1) П tfab)
(1 + к)п J J (Z - z)2 - _ S (17)
1 + к n J J Z — z 1 + к n J J (Z — z)2 n J J (Z — z)
S S S
P21 ~ P12 = pm + C(x\,x2) = 2а(х + 1) jm
p + a
к + 1 n J J Z — z
S
Заметим, что в рассматриваемом случае Р33 = V(Рц + Р22), рз1 = (5 — в)/(5 + в)р1.
В силу последней формулы (17) из (15), (16) и второй формулы (17) можно исключить С(х\,х2) и получить искомый вид этих формул.
В заключение отметим, что формулы общего комплексного представления в случае отсутствия объемных нагрузок при изотермических процессах для псевдоконтинуума Коссера в декартовой системе координат впервые, по-видимому, были получены Р. Д. Миндлином в [7]. Имеющиеся в [7] опечатки были замечены А. И. Каландия, который в своей книге [8] без вывода выписывает эти формулы, а также формулы в полярной системе координат.
Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ, гранты № 08-01-00231-а, 08-01-00353-а.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Новацкий В. Теория упругости. М.: Мир, 1975.
2. Купрадзе В.Д., Гегелиа Т.Г., Башелейшвили М.О., Бурчуладзе Т.В. Трехмерные задачи математической теории упругости и термоупругости. М.: Наука, 1976.
3. Мусхелишвили Н.И. Некоторые основные задачи математической теории упругости. М.: Наука, 1966.
4. Победря Б.Е. Лекции по тензорному анализу. М.: Изд-во МГУ, 1986.
5. Векуа И.Н. Основы тензорного анализа и теории ковариантов. М.: Наука, 1978.
6. Никабадзе М.У. К условиям совместности в линейной микрополярной теории // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 2010. № 5. 48-51.
7. Mindlin R.D. Complex representation of displacements and stresses in plane strain with couple-stresses // Приложения теории функций в механике сплошной среды: Тр. Междунар. симпозиума. Тбилиси, 17-23 сентября 1963 г. М.: Наука, 1965. 256-259.
8. Каландия А.И. Математические методы двумерной упругости. М.: Наука, 1973.
Поступила в редакцию 23.06.2010
