CC BY
81
Известия Тульского государственного университета Естественные науки. 2013. Вып. 2. Ч.2. С. 212-238
Механика
УДК 539.3
Сложное нагружение оболочек
*
из композиционных материалов *
Б. Е. Победря
Аннотация. Рассмотрены теоретические вопросы криволинейных анизотропных оболочек из композиционных материалов как в упругой области, так и с использованием теории течения. Отдельное внимание уделено методам осреднения и методу СН ЭВМ.
Ключевые слова: композит, метод СН-ЭВМ, криволинейная анизотропия, теория течения, композиционные оболочки, метод осреднения.
1. Концепция метода СН-ЭВМ
Процедура определения напряжённо-деформированного состояния в механике деформируемого твердого тела (МДТТ) заключается в следующем.
Сначала дается постановка задачи МДТТ. Например, квазистатическая задача для изотермических процессов заключается в решении трёх уравнений равновесия
&%3,3 + Хг = 0, (1)
где X — заданный вектор объёмных сил, а о%] — компоненты симметричного
тензора напряжений, которые связаны с тензором малых деформаций е
некоторыми операторными соотношениями [1]
°%з = Рц (£)• (2)
При этом в случае малых деформаций справедливы соотношения Коши, связывающие е с вектором перемещений и:
£ч = 2 (иг>з + из,г).
Если заданы соотношения (2) и описаны эксперименты, с помощью которых могут быть определены материальные функции операторов Р, то
Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект № 11-01-00181).
говорят, что дана модель МДТТ в (2), а результата в (1), получаем три уравнения равновесия относительно трех неизвестных компонент вектора перемещений, которые кратко могут быть записаны в виде
(и) + хі = 0. (3)
К этим уравнениям должны быть добавлены граничные условия, например,
= и0, (и)п- = £°. (4)
Е2
Задача МДТТ в перемещениях (3), (4) может быть решена, например, одним из численных методов с использованием современных ЭВМ [1], [2]. Если оператор Р (2) не описан, то модель МДТТ не создана.
А.А. Ильюшин предложил метод решения задач МДТТ [3], [4] для случая отсутствия задания модели МДТТ, но когда задан некоторый экспериментальный комбайн — СН, на котором по заданному процессу деформации є(і) может быть построен на М-образце [3] соответствующий
процесс напряжения а или обратно.
Этот метод был назван А.А. Ильюшиным методом СН-ЭВМ и его существо заключается в следующем.
Выбирается некая «простая» модель
= /у' (ё)
(например, модель упругого тела), и решается краевая задача для такой модели
Ігз,3 (г0+ Хі = 0, (5)
^21 = ui, Р (г/)п- = Б0. (6)
22
Решение этой задачи объявляется нулевым приближением решения задачи (3), (4)
V = и(0),
определяются деформации е(и(0)) и напряжения (и(0)) = Д/ (и(0)).
После этого на конечном числе М-образцов с помощью комбайна — СН каждому процессу деформации е(и(0)(£)) ставится в соответствие процесс напряжений.
Из сравнения в конечном числе материальных точек процессов (и(0) (£))
и ст(10))(^), например, в некоторой точке N, корректируется задание оператора
}т
«простой» модели и для следующего приближения (задачи (5), (6)) принимается
ац(и(0)) = %з(и(0)).
Этот процесс продолжается до тех пор, пока не станет приемлемой величина «расстояния» р между величинами («(“>(()) и 4“>(()
р(а,,(и<“>(г))), »•’■>(() < £•
Сходимость такого процесса изучалась в [5].
Вместо комбайна СН для изучения сходимости метода СН-ЭВМ использовался численный эксперимент на использование некоторой «пробной» модели МДТТ [6]. В качестве такой «пробной» модели выбирались различные теории пластичности, в том числе и теория пластического течения.
Все описанные выше результаты касались изотропных однородных материалов.
Для применения метода СН-ЭВМ к расчету конструкций из композиционных материалов требовалось:
а) построить метод, позволяющий сводить решение исходной краевой задачи для неоднородной среды к соответствующим задачам для однородной анизотропной среды;
б) создать общую теорию пластичности (по А.А. Ильюшину), пригодную для исследования первоначально анизотропных материалов;
в) разработать элективные численные методы для решения краевых задач по «простой» теории (например, по теории упругости);
г) создать экономичные программы для счета этих задач на ЭВМ;
д) описать методику измерения напряжений и деформаций: в
экспериментах на сложное нагружение;
е) учесть особенности расчета композиционных материалов, в частности, внутренние напряжения, возникающие в изделиях при их изготовлении методом намотки.
По указанным пунктам были проведены исследования, в результате которых:
а) описан метод осреднения, позволяющий свести решение задач теории упругости и вязкоупругости для регулярных и нерегулярных структур к задачам однородной анизотропной теории упругости и вязкоупругости. Описан аналогичный метод для теории малых упругопластических деформаций. Построены аналитические выражения для эффективных характеристик упругих и вязкоупругих слоистых композитов, а такие для упругопластических слоистых композитов;
б) заложены основы общей теории пластичности для первоначально анизотропных материалов. Разработана теория малых упругопластических
деформаций для анизотропных материалов, предложены методы решения краевых задач и исследованы вопросы их сходимости;
в) разработаны эффективные численные методы для решения линейных осесимметричных задач теории упругости для трансверсально-изотропной среды;
г) описаны программы для численного решения этих задач;
д) описаны установочные эксперименты по выбору модели материала и методы измерения напряжений и деформаций в образцах при экспериментах на сложное нагружение;
е) решены некоторые одномерные задачи для растущего тела (цилиндра, получаемого намоткой) и для тела, получаемого намоткой при учете фильтрации, то есть смачивания ленты.
Итак, получены результаты, которые могут служить основой для применения метода СН-ЭВМ к расчету конструкций из композиционных материалов.
Для того чтобы в качестве «пробной» модели можно было использовать теорию пластического течения анизотропных материалов, мы далее рассматриваем эту теорию в пункте 2.
В силу того, что основным объектом исследования являются оболочечные конструкции, в пункте 3 и пункте 4 рассматривается сведение задачи
о равновесии неоднородной (композиционной) оболочки к решению последовательности задач анизотропных однородных оболочек.
2. Теория течения анизотропной среды
Причины отклонения поведения деформируемого твердого тела от идеально упругого весьма различны [7]. В настоящее время для учета этих отклонений описаны достаточно общие определяющие соотношения, связывающие напряжения и деформации [3]. Теории, основанные на существовании таких конечных соотношений, носят название деформационных [8]. Теории, основанные на линейных дифференциальных связях между напряжениями и деформациями, получили название теорий течения [9].
В связи с появлением новых композиционных материалов возникла новая ветвь механики деформируемого твердого тела — механика композиционных материалов [2, 10, 11]. В последнее время появился интерес в исследовании таких материалов за пределами упругости [11-13]. В простейшем случае такие материалы можно считать однородными, но анизотропными [11].
Для описания простых (пропорциональных) физических процессов появились деформационные теории пластичности анизотропных материалов [2, 14], частные случаи таких теорий были известны раньше [15-17]. Затем были сформулированы более общие теории [12, 13], основанные на теории процессов А.А. Ильюшина [3]. Ниже формулируется вариант теории течения для анизотропных сред.
Пусть структура рассматриваемого материала обладает некоторой известной симметрией. Тогда согласно принципу Неймана [18] элементы симметрии любых физических свойств материала, в том числе и упругопластических должны включать в себя элементы этой симметрии. В кристаллографии подробно описаны все 32 точечные группы, характеризующие симметрию кристаллов [19].
Если задана подгруппа Р полной группы вращений трехмерного евклидового пространства К, характеризующаяся матрицами
9 (1>,9 (2>,--- (7)
то для каждого ортогонального тензора [20] а, имеющего в некоторой
прямоугольной декартовой системе координат компоненты аг1г2...гм, а в другой прямоугольной декартовой системе координат компоненты N
справедливы соотношения
аг' г' г' = 9(“> ■ 9(“>
г1г2---г' г 1г1
Если при этом оказывается, что
аг'1г'2...г' = аг 1*2...г' , то тензор а называется инвариантным относительно группы (7).
Для каждой подгруппы Р группы К можно построить так называемый полный рациональный тензорный: базис [21], состоящий из тензоров, инвариантных относительно группы Р, с помощью которого можно сконструировать тензор произвольного строения, инвариантный относительно тш,р.
В работах В.В. Лохина [22, 23] найдены тензоры а для всех 32 точечных
кристаллографических групп. Эти тензоры могут иметь первый ранг (векторы), второй, третий, четвертый и шестой, причем их компонентами являются только нули и единицы.
Для исследования определяющих соотношений механики деформируемого твердого тела формально запишем функциональную связь между симметричными тензорами второго ранга а и е в некоторой фиксированной системе координат в виде
(ё,й(1>) 0(2>,...). (8) Например, пусть а — тензор напряжений, е — тензор малых
деформаций, а тензоры а(1>, а(2>,... представляют собой тензорные
параметры, характеризующие рассматриваемый вид анизотропии. Так как произвольный симметричный тензор может быть разложен в трехмерном евклидовом пространстве по некоторому базису, состоящему
9'
(а>
а
•%1%2. .. г' •
из п тензоров п ^ 6, а коэффициенты разложения являются функциями
обозначим через Д, /2,..., то нетрудно доказать, что таких совместных инвариантов будет п (п ^ 6). Особенно просто это доказывается для случая потенциальной зависимости (8), то есть когда существует скалярная функция Ш(/1, /2,..., /^) такая, что
От инвариантов /1, /2,..., /п требуется, чтобы они были функционально
и алгебраически независимыми. В остальном они произвольны, и мы
постараемся их выбрать в каком-то смысле рациональным образом.
Заметим, что если параметрами в (8) являются векторы, то мы можем
рассмотреть их комбинацию в виде тензоров второго ранга, можно также
исключить из числа тензоров-параметров в (8) все тензоры нечетного
ранга. Известно, что каждый симметричный тензор четвертого ранга (с 21
независимой компонентой) можно представить в виде двух симметричных
тензоров второго ранга Ъ(х>, х = 1,2, и нонора — тензора четвертого
ранга, имеющего девять независимых компонент [20]. Назовем такое
представление невырожденным, если тензоры второго ранга ненулевые.
Тогда, используя эти тензоры, можно построить четыре смешанных
(х> (х>
инварианта Ъ^ , егк£kj; X = 1,2, а к ним добавить три инварианта тензора е: егг, егк, егкеjг. (Ещё раз напомним, что независимых
инвариантов будет не более 6.) Поэтому в случае невырожденных представлений тензоры-параметры четвертого и шестого ранга мы заменим их «полномочными представителями» — двумя тензорами второго ранга. Итак, мы оставили в качестве тензоров-параметров только тензоры
(1> (т> ^ о
второго ранга: а-, ..., а- , где т ^ 3.
При этом, используя теорему о разложении единицы [24] и памятуя о том,
что тензоры а(х>, х = 1,..., т состоят из нулей и единиц, представим
где ах, ар — некоторые числа (х, Р = 1,..., т).
Образуем совместные инварианты тензора е, которые назовем линейными:
совместных инвариантов тензора є и тензоров а(1), а(2),..., которые
(9)
Из (9) легко видеть, что
а(х) І = Є" "
и введем тензоры рХ (р-тензоры), соответствующие линейным инвариантам
а(х)
р(х) = І
= ІХ а •
Воспользовавшись снова «разложением единицы», представим тензор деформации в виде суммы попарно ортогональных р-тензоров деформаций:
п т а(х) п р(а) _ р(в)
= Ера) — Ё іх-. + Е р"• Ч . /! = , а в = !,•••«•
а=1 х=1 7=т+1 а в
Таким образом, для любого смешанного инварианта Іа имеем:
Іа = у(10) Можно провести аналогичные рассуждения с тензором напряжений а:
п т „(х) п 7э(а) 7э(в)
а(Х) п р (а) р (.
г. у р(а) = V!"-. + V р(7)• р" " = Л" -1
7" р. — 2^ Ух ах + 2^ р. • Уа -Уз = "’ а,в -1’
а=1 Х=1 7=т+1 н
(Х)
У« = V •Р^(Т),---^Х = (11)
ах
Заметим, что в случае, если п < 6, функциональная связь между напряжениями и деформациями (8) может не быть квазилинейной, ибо кроме инвариантов (10), (11) должны учитываться «кубичные» инварианты и 0^ оду Ст-д, и пренебрежение ими равносильно принятию дополнительной гипотезы о тензорной линейности (квазилинейности) соотношений (8). Так будет, например, в изотропном (п = 2, т = 1) и трансверсально изотропном (п = 4, т = 2) случаях. Однако уже для ортотропной среды (п = 6, т = 3) учитывать «кубичные» инварианты нет необходимости, и соотношения (8) квазилинейны сами по себе без дополнительных предложений.
В случае линейной связи между напряжениями и деформациями (упругая среда) можно воспользоваться взаимообратными тензорами четвертого ранга — модулей упругости Суй и упругих податливостей
0гу = Сг'к1 (12)
или
^ ' Аав> 1а — ^ ' ВавX®I
в=1 в=1
где взаимообратные тензоры А и В определятся следующим образом:
р(а) р(в) р(а) р(в)
Л _ ^ Ру • п _ 7 ру • рк1
Аав — С гу г 1 Вав — "гук Л/- л л •
^а • У« • Ув
Для построения определяющих соотношении теории течения анизотропных сред сформулируем гипотезы, соответствующие принимаемым в теории течения изотропных сред.
Во-первых, предположим, что полные деформации г. представляются в виде суммы упругих г". и пластических г'. Сомнительность этого предположения видна уже при анализе элементарных моделей, составленных из пружинок и «поршеньков» [25] в линейной теории вязкоупругости. Однако в теории пластичности эта гипотеза является традиционной. Будем считать, что упругие деформации связаны с напряжениями законом Гука (12)
гу — 1
так что «упругий потенциал» №;, соответствующий деформациям г —, имеет вид
1 1 1 п 1 п № = 2 гу = 2 = 2 5-/ ^а^а = ^ 5-/ Вав.
а=1 а=1
Во-вторых, мы предположим, что приращение каждого р-тензора пластических деформаций пропорционально соответствующему р-тензору напряжений:
п
Ф"' = А,- р"<“), (13)
а=1
где ^Ла — некоторые дифференциальные коэффициенты пропорциональности. Для выяснения их смысла рассмотрим приращение работы пластических деформаций
п
^А" — о. ^г" — ^ аАа, ^А" — Р^ф' = 1^'. (14)
а=1
Так как согласно (13) ^Аа = ^ЛаРг(.“)Рг(/а) = ^ЛаУс2 и должно выполняться условие ^ ^ 0 [26], то и ^Ла ^ 0 (а = 1,..., п).
Принимая сформулированные гипотезы, соотношения теории течения анизотропных сред могут быть записаны в виде
а=1
или
фЗ = Са^Р^ + (16)
где
\рп
Са — Вав у ‘
в=1 а
Из этих соотношений видно, что ввиду неопределенности величин ^Аа отсутствует однозначная зависимость между деформациями и напряжениями.
Заметим, что в теории течения изотропных материалов принимается дополнительно гипотеза пластической несжимаемости материала. Для анизотропных материалов её обобщением будет гипотеза о анизотропной пластической несжимаемости [14]
/£ — 0 (х = 1,..., т). (17)
Теорию течения, основанную на принятии гипотезы (17), назовем упрощенной. В этом случае во всех предыдущих и последующих соотношениях следует положить
^Ах — 0 (х = 1,..., т). (18)
Если в соотношениях (15) или (16) пренебречь упругими деформациями,
то
фЗ = ^Аа, а = 1,..., п или, вводя обозначения для тензора скоростей деформации,
у . . = ^£3 = у' ^а). ^(а) = у- = ./^Н
1з — ^ = 2-^ ^3 ’ ^3 = ^ , Уа V ^3 ^3 ,
а=1
получим
(а) (а)
V - • Р ■ ч ч
(19)
где а = 1,..., п, а для упрощенной теории а = т + 1,..., п.
Сформулируем некоторые возможные условия пластичности. Например, пусть для каждого р-тензора напряжений справедливо
/«(е) = K«(q))
(20)
где /а — некоторая функция тензора напряжений, то есть его совместных инвариантов У1, ..., УП и, возможно «кубичных» инвариантов тензора напряжений, а Ка — «константа», зависящая от совокупности некоторых параметров д, характеризующих упрочнение материала (а = 1,..., п а для упрощенной теории а = т + 1,..., п). В качестве таких параметров может быть выбрана работа (14) или параметр типа Одквиста [8]
q
Для идеальной пластической среды в (20) величины Ка = const и
г>(«)
пластическому течению отвечают напряжения pj , соответствующие точкам поверхности текучести (20). При условии текучести, соответствующем условию Мизеса
соотношения (19) описывает теорию пластичности Сен-Венана-Мизеса
(а) (а)
3 = 3
Уа Ка ’
а соотношения (16) — теорию Прандтля-Рейсса, причем
_ ^а
&Аа —
К
Если материал обладает упрочнением
Л" = Ф(У1,...,Гга),
то из (16) следует
dpj = cadpja) + (Yi, . . . , Yra)dY«pja),
(21)
где
Уа2 дУа'
Для идеальной пластичности можно поверхность текучести описать также уравнением
/ (Yi,...,Y„)= К.
(22)
1
2
Иногда в рассмотрение вводят пластический потенциал Ф [27, 28], причем
= йА дФ = йА _дФ дУа = йА _дФ 3
йр 3 ^Аа д (а) ЙАадУадР(а) ^ дУа Уа .
гз ^ гз
Работу пластической деформации тогда можно записать в виде
(а) „(а) д Ф ,, дФ
лл// = Р («Ь„//Н = лЛ Р (а) д Ф = лЛ .дФ у у = «ЛаРіі (а) = а дУа Га'
Для упрощенной теории следует кроме условия (18) допустить, что аргументами функций Ф (21), / (22) и Ф являются инварианты Ут+1,---..., Ассоциированный закон течения получается из рассмотренных выше соотношений при условии / = Ф.
3. Криволинейная анизотропия
В работе [29] метод, предложенный в [30], обобщен на случай краевых задач теории упругости неоднородных тел с криволинейной анизотропией в перемещениях. Ниже, используя технику осреднения [2], задача о равновесии неоднородного тела сведена к рекуррентной последовательности задач для однородного тела в напряжениях. Считая рассматриваемое тело оболочкой, для полученного однородного модельного тела вводятся гипотезы Кирхгофа-Лява и осуществляется переход к соответствующей рекуррентной последовательности задач однородных анизотропных оболочек. Следует отметить, что если решена задача для анизотропной оболочки при произвольной нагрузке, то соответствующая задача для неоднородной оболочки решается в квадратурах на каждом приближении. Так, ниже решена в квадратурах задача для неоднородной оболочки вращения при осесимметричной нагрузке. При этом периодическая неоднородность может быть по любой одной из трех координат. После решения однородной задачи можно найти «микронапряжения».
В некоторой криволинейной системе координат уравнения равновесия имеют вид [31]:
<3 + 2г3; 3 + Xг = 0. (23)
Запишем также: уравнения совместности деформаций [32]
€ ш € 3'тпУ*= 0, (24)
определяющие соотношения теории упругости
<гз = сгзтп(ж1 )£тга, (25)
соотношения Коши
^тга — У (гащт) • (26)
Примем следующие граничные условия:
«»|Еі — и0, (27)
— 50. (28)
Здесь Г*г — символы Кристоффеля 2-го рода, ст4 — компоненты тензора напряжений, X%, щ — компоненты векторов объемных сил и вектора перемещений соответственно, и0 — компоненты вектора
перемещений, заданные на части поверхности Еі, 50 — компоненты вектора напряжений, заданные на части поверхности Е2, Пу — компоненты вектора единичной нормали к поверхности Е2, Сгутга — компоненты тензора модулей упругости, Є гЫ — компоненты псевдотензора Леви-Чивиты. По индексам, заключенным в круглые скобки, производятся операция симметрирования [20].
Уравнения (23) после подстановки в них закона Гука (25) и соотношений Коши (26) примут вид
+ Сутга(Утщ„) + 2г£ + Xі — 0, (29)
где УгЩ- — — Гтщт — ковариантная производная от ковариантных
компонент вектора перемещений. Запятая в выражении ( ■ )^ означает частную производную по Xі. Здесь и ниже латинские индексы принимают значения от 1 до 3, и по повторяющимся индексам происходит суммирование, когда один из них расположен сверху, а другой снизу.
Задача теории упругости неоднородных тел [33] в перемещениях заключается в решении системы уравнений (29) и удовлетворении граничным условиям (27), (28), в которых напряжения надо выразить через перемещения, используя соотношения (25) и (26). Если граничные условия заданы только в напряжениях, то иногда удобно задачу сформулировать в напряжениях. Задача в напряжениях состоит в решении системы уравнений (24), в которых деформации обычно выражают через напряжения при удовлетворении уравнениям равновесия (23) и граничным условиям (28).
Мы рассмотрим композиты, имеющие регулярную структуру такую, что можно ввести некоторую криволинейную систему координат, в которой будет выполняться равенство
Сутга(Х + а^) — С утга(жг), (30)
где а1 — некоторые постоянные, а N — целые числа. Постоянные а1 будем называть периодом структуры, а Сутп, удовлетворяющие (30),
— периодическими функциями координат Xі. Если ввести «быстрые»
координаты £1 = -(X + агЖ), где £1 — малый параметр (геометрически) [30], то Сг3тп можно считать периодическими функциями по £.
Используя разложение для компонент вектора перемещений из [29], можно получить разложение, сокращающее число искомых функций N(^(0), удобное для постановки задачи в напряжениях. Это разложение имеет вид
щт — Ют(х) +Е ^}(в)т (х,^)(У*1 адг),і2...ів , (31)
9=1 в=1
где N(^(0) — локальные функции медленных и быстрых координат, причём N(0)(0) — %К0) — 0 при в > 9, в < 0 и
Д7 1 Д7 дх а 1?
Подставим (31) в (29) и, применяя технику осреднения [2], получим рекуррентную последовательность задач теории упругости для неоднородной среды на ячейке периодичности (задача I) относительно
функций ^)(в).
(С № + С ‘(1)га/„),, — 0,
(с іутп^2))(1)туп),у -гт„(С*"Х),,1,р),( +2Г<;, С»'1*1+
12Г(* СУ)гтга N^*1 _ 2Г(* Ьу)г1*1
+2Г С ^(1)(1)т/п — 21 угЯ(0)(0),
//^«утта дНг1*2 Л і /Г'<*Зт*2 АТ 1*1 _1_/^<іі2тга дтіІ1 і /^<іі21і1 г, **21*1
(С ^(2)(2)т/га)’І +(С ^(1)(1)т)’І ^(1)(1)т/га + С — Я(0)(0)>
(С*Ітга^ 1*1---*в+2 ) і(сі?тгол7- 1*1---*в+2 ) і(С *Ітпи 1*1---*в+2 ) +
(С ^(д+2)(в+2)т/га )’І +(С ^ (д+1)(в+2)т/га),у +(С ^ (д+1)(в+2)т,га) +
і(Сі?тго N 1*1---*в+2 ) _(сутп лг1*1-• • *в+2 ) гР __________ (ГР с*ї'тп N 1*1---*в+2 ) +
+ (С ^(д)(в+2)т,га),І (С ^(д+1)(в+2)р)>у 1 тп (1 тпС ^(д)(в+2)р )’І +
+(с<,<»+3тл;ч_; 1 )^+1)т),у +(С «т<»+2 «^91(в+‘в)+1 )у + (32)
+с«,з+2тп(^Ні'1 ).;в+1) . + ^(в;'^1 -гтпN(н,(в+i'l)+l)+с**в+2т*в+1 ^(в/'9+
^ (д+1)(в+1)т/га (9)(в+1)т,п тп (<?)(в+1)Р ' (<?)(в)т
+2Г(і СУ')гтга(^1і1 • • • *в+2 + дг 1*ь..*/3+2 гР N1і1 • • • *в+2) +
+21 угС (д+1)(в+2)т/га + (д)(в+2)т,га 1 тп^д)^^ ) +
12Г(* с/>*0+2™ N • • *в+1 _ 7 ,,в+21,1- • • *в+1 I 2Г(* ^з)г1^1' ' ' *в+2 + 7 • • *в+2
+21/>С ^(«)(0+1)т = %)(в) + 21.?> %)(в+1) + %)(в+1),/ ’
д > 1, в ^ 1-
Решение задачи I будет единственным, если потребовать выполнения условия (N(^(0)) = 0, где (•) означает осреднение по £ на ячейке периодичности. В (32) величины 7(9)(0) определяются из условия разрешимости задачи I в классе периодических функций N(^(0) по £, которое выражается в том, что
7 ,,(з+21,1-• • */3+1 _ / С**в+2тга( N 1,1---,в+1 I ту-^ь • • *в+1 _ ГР N 1,1---,в+1) +
%)(£) = \С (^(д+1)(в+1)т/п + ^(д)(0+1)т,п Г тп^ (д)(0+1)р ) +
+С**в+2т*в+1 N“5^) , д = 1,2,..., в = 0,1,...,д. (33)
Из (32), (33) следует, что 7(Я)(в) и N(^(0) при д = в не зависят от медленных координат X, а при д > в зависят.
Учитывая разложение (31), определяющие соотношения (25) примут вид
ГО 9
^ а.^ с;я)’с3)т,в+1 (х £)( у,1 Ы,,.. ,„+1,
9=0 в=0
причём (С,^,(в)-,в+1 (Х,£)) = 7Г9К/?)-,в+1.
Поэтому, величины 7(я)(0) в (33) могут рассматриваться как величины, определяющие упругие свойства некоторого модельного тела.
Для модельного тела также имеют место соотношения (23)—(28), в
которых соответствующие величины следует заменить на осреднённые от
них. Итак, имеем: уравнения равновесия
т/ + 2Г(Г т/)г + X * = 0, (34)
уравнения совместности деформаций
€ ш € /тпУгУт7к„ = 0, (35)
соотношения Коши
О^га = У(й ^п)' (36)
определяющие соотношения
со Я
7(я)(в) v^<;;71il ,*2- • • *в+1 ’
е«яе ст^1 (х)^,1 ,,2-,в+1, (37)
9=0 в=0
граничные условия
^*ІЕ1 — и'
(38)
___ Пі
— °п
(39)
где тг/ = (^г/), 7кп = (£ы) = У(&адп), = (ип). Подставив соотношения (37)
в (34) и учитывая (36), получим уравнения равновесия в перемещениях
К
те 9
(УтИп)„- +2Г(ГК>тпУтИ„ + Е а9 Е
9=1 в=-1
(0)(0)(
+ К!у!!1"’’в+2 + 2Г(і КУ)гіі1 ...ів+2 + К(9)(в+1),У +21УгК
К
іів+21і1 • • • *0+1 (9)(в)
+
(40)
(Ут^п)і,»2. • • *в+1 +Х ' — °-
Решение задачи (40), (38), (39) может быть получено методом малого параметра [34]. Для этого подставим асимптотическое разложение ит —
О© (і)
— Е ак-шті в соотношения (38)-(40), в результате получим
1=0
где
»(0)(
(УтИ-М)„. +2Г((Гк;0™ Ут^<к) + х;,, — 0
и;
(, )
.?>' ('(0)(0)
— И0(к) ьЧтга V И(к)п .
Е — , К(0)(0)УтИга п
^2
(,)
— о;
(,),
(41)
(42)
х(к) —
Xі, если к — 0
к 9
Е Е
9=1в=-1
+2ГУГ К>гі 1 • • • ів+2
Кіів+21і 1...»в+ 1 І Кіу’гі 1...ів+1 І
К(9)(в) + К(9)(в+1) +
И,
(0)(к)
(Уі1 и(к 9)),і2. • • ів+2 при к ^ 1,
и0, если к — 0,
0 при к ^ 1,
т _____
О(к) —
00, если к — 0,
к9
-К
9=1 в=0
іу1і1 • • • ів+1 (у. И(к-9)) . (9)(в) (Уі1 И ) ,г2 • • •
і,3+1 • пУ
Таким образом, решение неоднородной задачи (29), (27), (28) свели к рекуррентной последовательности задач однородной среды (41), (42) с тензором модулей упругости К(0)(0).
Запишем также разложения
к=0
к=0
гтти
и подставим их в соотношения (34), (35), (37), (39) из которых получим
? + 2? ? + Хк> — 0 (43)
Є ,р' € Чт"УрУт7Ік) — 0. (44)
к 9
т? — Кіутп -(к) кЧНь ■ ■ ів+1 ^(к-9) (45)
Т(к) — К(0)(0)/тга + К(9)(в) ■ ■ із+1 ’ (45)
0
— °(к)- (46)
г?
т(к)пу
£2
™ і Xі, если к — 0, ™ Г 50, если к — 0,
где Х(») — | 0 при к > 1, 5М — 1 00 при к > 1.
Выражение (45) можно разрешить относительно деформаций :
к Я
^(к) = т ,.тг/ _ т ..у'у17,/!,1"-*в+1 ^(к-9) (47)
/г/ = Ттп/т(к) Ттп/ / у / у 7(д)(в) '1,1,12-• • *0+1, ( )
9=1 в=0
где Ттп,/ — компоненты тензора эффективных податливостей, являющемуся обратным тензору эффективных модулей 7(0)(0) [34]. На соотношения (45) и (47) можно смотреть как на связь между напряжениями и деформациями в термоупругости, в которых второй член в правой части является известной функцией координат [1].
Задача II в напряжениях будет состоять в решении системы уравнений (44), в которых деформации ^тп выражаются через напряжения Т(тп из соотношений (47), при удовлетворении уравнениям равновесия (43) и граничным условиям (46). Таким образом, задача теории упругости неоднородного тела в (24), (23) в напряжениях, сведена к рекуррентной последовательности задач (44), (43), (46) однородного тела, с тензором эффективных податливостей Ттпг/.
Следует заметить, что эффективные модули 7,/тп совпадают с эффективными модулями для случая прямолинейной анизотропии. Криволинейность в значениях 7(9^) при д > в начинает сказываться д ^ 1, поэтому для ее учета необходимо рассмотреть хотя бы первое приближение.
4. Упругие композиционные оболочки
Уравнения равновесия (43) справедливы в произвольной криволинейной
системе координат. Если рассматриваемое тело является оболочкой, то удобно ввести криволинейную систему координат, связанную со срединной
поверхностью оболочки. Тогда уравнения (43) примут вид [35]
(к)- +т(3к),з+х (к)=°, (48)
У«г“3 + ^0^ + Т(3),з + Х (к) = О,
где V» означает ковариантное дифференцирование в метрике срединной поверхности, тав — контравариантные компоненты тензора напряжений,
„ —ав в —а3 а3
отнесенные к данной системе координат, причем Т(к) = П^ТТ(к), Т(к) = пт(к), т33 = Т(33), Ьад — компоненты тензора кривизны срединной поверхности, Ьа = Ьа7а7в, а7в — контравариантные компоненты метрического тензора
срединной поверхности п = ^/|", где д и а — третьи инварианты пространственного и поверхностного метрических тензоров соответственно,
— ж3Ьв, — тензор Кронекера. Здесь и ниже индексы из греческого
алфавита принимают значения 1 и 2, и по повторяющимся индексам происходит суммирование. Черта сверху означает, что данная величина отнесена к системе координат, связанной со срединной поверхностью. Запишем также выражения ковариантной производной от компонент вектора перемещений и выражение компонент тензора эффективных модулей, определенные в метрике д,/, через соответствующие величины, отнесенные к метрике аад [35]:
V = ^^а^л — ЬаЛ^з), (49)
Vзw7 = ^/Шл.з, V а^3 = Ю3,а + Ь^л), VзWз = №3,3,
*ЙЙ = (^-1)7 7(0к0)7 • (50)
В теории оболочек точные уравнения равновесия (48) заменяются уравнениями равновесия для усилий и моментов, приведенных в срединной поверхности и являющихся результирующими напряжений, действующим по боковым граням бесконечно малого элемента размером [^ж1, ^ж2, (— |, |)], где 7 — толщина оболочки, которую мы будем считать постоянной. Эти уравнения можно получить интегрированием уравнений (48) по толщине [35]:
^п(к)—ьад(к)+рвк)=о, (51)
^д“к) + Ьав п(к) + Рзк) = 0
Vаmаk)— двк) =0
(52)
а Г ра, если к = 0, 3 Гр3, если к = 0, г ав айт
где р(к) = \ 0 при к » 1, р(к) = \ 0 при к » 1 ’ ["(к).™(к)] =
= 1% ч(‘?Т(« [1,ж3]л-3, да.) = й/ ч^аз*3.
Определяющие соотношения теории оболочек зависят от принимаемых гипотез. Для полученной модельной среды примем гипотезу Кирхгофа-Лява, согласно которой
^л = ^л — ж3 Vлw, ад3 = ад(ж1,ж2), (53)
где ^(ж1, ж2) — тангенциальные перемещения, а ^(ж1, ж2) — прогиб срединной поверхности. Подставим (53) в (49) и, учитывая (50), для усилий и моментов получим следующие выражения:
С ^/2
кй, так)]=п(^-1)аъ-1):г 7а0к0^ +ж3хй))[1, ж3]йж3+[пс'в-1)>тс'в-1)]’
^ (54)
где 2еЙ7 = Vг>7 + V7V: + 2ЬЙ7ад, хг7 = VV7ад, V:ад = ад,: + г>7,
к Я ^
[пав ]= V V ГЛ/2 шЛ/[hа7:vаl•••аP+1 (е(к-9) + ж3х(к-9)) +
[п(к-1), Ш(к-1)] = ^ J-h/2 '/^РТ ['%)(р) (е:л + ж Айл ^аь • • ар+1 +
9=1 р=0 /2
+, а^3^ • •ар+1 х(к-9) + + , • ^рЗ ] м ж3]лж3
+%)(р) айл^з^ • • ар+1 + • • • + %)(р) Айл^ • • ар] ' [1, ж ]аж
Уравнения неразрывности срединной поверхности в геометрически линейной теории линейны относительно компонент тензоров деформации вад
и изменения кривизны %ад. Поэтому, используя выражения в:7 = Е аке^,
к=0 7
^ к (к) (к) (к) ^ ак , получим такие же уравнения для е^ и хй7. Если
к=0 7 11
принимается гипотеза Кирхгофа-Лява, то уравнения неразрывности имеют вид:
€ а: € *[V,V:еОк + хвХ]=0,
“7[Є ^V7хва + Ь? Є “V-,ей — 0. (55)
є“'іє^^хва + ь? є
Чтобы получить задачу теории оболочек в перемещениях, надо уравнения (52) подставить в (51), а затем в них подставить соотношения (54). В результате получим систему трех уравнений относительно трех функций ^?к), ад(к). Еще необходимо добавить граничные условия.
Постановка задачи в усилиях-моментах аналогична постановке задачи в напряжениях. Разрешим соотношения (54) относительно е^ и х^ и подставим в (55). Тогда задача в усилиях и моментах будет состоять в
решении трех уравнений (51), в которые надо подставить (52), и трех уравнений (55) при удовлетворении граничным условиям. При этом вводятся обобщенные силы Т12 = Т21 = п12 — б}ш12 = п21 — Щш2 и момент М12 = = М21 = 1 (ш12 + ш21). Если в определяющих соотношениях (54) пренебречь изменением метрики по толщине, то получим симметричные тензоры усилий и моментов, которые непосредственно определяются из решения задачи.
Иногда возможна смешанная постановка задачи. Следует заметить, что если известно решение для однородной анизотропной оболочки при произвольной нагрузке, то аналогичная задача для соответствующей неоднородной оболочки решается в квадратурах.
Широкое применение находят оболочки вращения, подверженные осесимметричному силовому воздействию. Вопросы расчета таких оболочек из изотропных материалов рассмотрены в [36]. В [37] рассматривались однослойные и многослойные оболочки из анизотропных материалов, для расчета которых применялись теории, основанные на гипотезе Кирхгофа-Лява для всего пакета слоев в целом, и уточненная теория. Для однородной анизотропной оболочки, используя гипотезы Кирхгофа-Лява, при произвольной осесимметричной нагрузке данная задача для неоднородной оболочки, как отмечалось выше, автоматически оказывается решенной в квадратурах на каждом приближении.
Отнесем оболочку к гауссовой системе координат [36] Б1 = Б • х2 = ^, где Б — длина дуги меридиана, ^ — угол, отсчитываемый от плоскости хог (рис. 1).
Рис. 1. Система координат на поверхности оболочки
Армировка также считается осесимметричной, тогда и задача будет осесимметричной, то есть отличными от нуля будут величины: ш12, ш22,
21, ^1, т, вц, в22, Х11, Х22, которые будут функциями только координаты х1. Введем следующие обозначения: ааа = аа, ааавв = аа@, д1 = Q, У1 = и, ааавв3 = аа@з, а вместо ^О^о) будем писать Нар.
Для физических компонент из соотношений (51)—(55) получим: уравнения равновесия
(г ■ n^),! + sin в ■ = — r ■ , (56)
R1
( (k) (k) \
(r ■ Q(k)),i —r M ^ + nt) = —r ■ p(k),
(r ■ m1k)),1 + sinв ■ m2kk — r ■ Q(k) = 0; (57)
определяющие соотношения (пренебрегая изменением метрики по толщине)
(k) и h (k) I (k-1)
Па = h ■ haeев + na ,
ma) = ^ h«e Xek) + mifc-1); ( )
кинематические соотношения
(k) (k) W(k) (k) u(k) sin в — w(k) cos в
e1 = U,1 + e2 =-------------R----------->
(k) R2 • /3 (59)
»(*) = w<k) — £, x1k) = —w?, x2k) = —««;
,1 R1 1 >1 2 r
уравнения неразрывности срединной поверхности
ne2k1 — (e2k) — e1k)) sin в — w(k) cos в = 0, (60)
где
(k) = J p1, если k = 0, (k) = J p, если k = 0,
P1 = \ 0 при k ^ 1, p = \ 0 при k ^ 1,
■ 3 k g
m(fc-1) = ^ V h"в"2-• '"p+1 x(k-g)
« 12 / -/ / -/ (g)(p) Хв,«2•••«p+i’
g=1 p=0
nOk-1’ = h E E [h^1).'”-1 е^^+
g=1 p=0
I h«e3«3' • • «p+1 x(k-g) I I h«e«2"'«p3x(k-g) ]
+h(g)(p) Ae^-ap+i + ••• + h(g)(p) • • «p] •
Здесь и ниже все линейные размеры отнесены к характерному радиусу кривизны R°, а na = na/R°, ma = mo,/(R°)2.
Уравнения (56) удобно записать в проекциях на ось z и радиальное направление r [36]:
r ■ (—n1 ) sin в I Q(k) cos в) r ■ (n1k) cos в I Q(k) sin в)
,1 -n2k) I r ■ E^k) =О, (k)
,1 Ir ■ Er = О,
(бі)
где Ek) = p(k) cos в — p1k) sin в, E^k) = p(k) sin в + p1k) cos в осевая составляющие поверхностной нагрузки, причем
E(k) = / Р cos в — p1 sin в, если k = 0,
r 0 при k ^ 1,
E(k) = J p sin в + p1 cos в, если k = 0,
z 0 при k ^ 1.
радиальная и
Выражения для осевого и радиального перемещений имеют вид
rS
^1 cos в + w ' ' sin в)ds, ' — i ■ e2
^zk) = uzk) I [ (e1k) cos в I w(k) sin 6)^s, urk) = r ■ e2k)
JSo
(k)
u°! , если k = О, 0 nr,
z uz0 — перемещение точки при S = S0.
где uzo = 1 О при k > І
Введем функцию Мейснера V = Е ®к V(к) такую, что
к=0 (к) тЛк)
П = V!
Подставим (62) в (53), после интегрирования которых найдем
(б2)
n1k) = - sintf V(k) + 1 , F(k), Q(k) = V(k) I і ■ F(k),
1 r r 1 r r
r(k)
где =
rS / p(0) rS \
sin в / rE^dsI cos в ■ —------ / rEzo)d^ ,
J So I 2n J So У
(k)
если k = О,
cos в
2n
F(k) =
S
— cos в rErdsIsin в
S
p
(0)
z
2n
^E(0)ds
если k = О,
S
sin в
p
(k)
^0
2n
p
(k)
^0
проекция на ось г главного вектора внешних сил, приложенных к
граничному кругу при 5 = 50.
Таким образом, удовлетворяя уравнениям равновесия (61) или (56), все усилия выразил через одну функцию V(к). Используя соотношения (58), выразим деформации через функцию V(к):
S
,(к)
Є =
(к)
1
ло
1
ЛО
-^22 (к) - ^12^1к) + 1 (^22^(к) - ^12^2(к))^
^11^1к) + Ьі2 (к) + 1 (^11^(к) - ^12^1(к))) ,
(63)
ГЛ 1 1 т,2 т-,(к) р(к) (к-1) „(к) Г если к = °,
где 0 = ^11^22 — ^22, ^ ;= ^ ;— гп1 \ ^ ; = ^ (к-1)
12 1 1 1 2 I —г • п2 при к ^ 1.
Как видно из (58) и (59), изгибающие моменты ш!к) также выражаются через одну функцию Ш(к). Подставляя (63) в (60), а (58) с учетом (59) в (57) и проделывая выкладки аналогичные [37], получим два дифференциальных уравнения относительно двух функции V(к) и Ш(к):
V(к) —
^(к) -
8ІП в
Г
ЭШ в
Р"(к) +
^(к) -
^12 1 ^22 V(к) = 2. Ж (к) + ф(к)
л л Ли г2 / ЛО Е2 1 ’
Л-12 ___1
Лц ^1^2 й12 1 Лц ^1 ^2
+
Л-22 ЙІП2 в Л
11
Г2 )
12 1
Л3Л11 ^2
— V(к) - ф2к),
где
Ф
(к)
(к) Л22 ^(кЛ 1 / й12 ^(к) й22
Ф
(к)
12 1
Л3Л11 г V
= -( р21 - Л11 р»'1 г И л11 рГ - йЦ р1
— гт
(к-1)
— т.
(к-1)
2
8Ш в
8Ш в
Эти уравнения могут быть приведены к одному разрешающему уравнению
(Ук)^ + а(к) = ф(к)
^2 Й22 ЙІП2 в
(64)
Ь(-) = (-),11 - — (•),! -^^, а(к) = Ж(к) -^/ V(к),
где
л/ї20
г
а2 = , Ф(к) = -Ф2к) - Цф1к)-
й11й
й11 г2
й2/ О"1
й2 V о
Параметр а2, определенный с точностью д-, является большим. Поэтому для интегрирования уравнения (64) можно применить асимптотический метод [38].
Решение уравнения (64) будем искать с точностью исходных гипотез. Так частное решение неоднородного уравнения (64) с точностью порядка ^То
может быть получено по безмоментной теории [39], [40]. Это решение имеет вид
2
г
1
2
г
2
1
1
V (к) = ^к)
0 008 в ’
Решение однородного уравнения (64) путем асимптотического интегрирования подробно описано в [37]. Ограничиваясь нулевым приближением асимптотического интегрирования, порядок точности
которого, как показано в [39], равен ^^/д2, будем иметь
V(к) = Лг Ик)с(в) — +^2к)с(в7) — в(к)^(в7)) + ^(к), (65) ш (к) = 4к)$(в)+Б(к)с (в) + 4кЧв7)+Б(к)с (в7),
где
$(в) = (008 в)в-в, ((в) = (81П в)в-в,
5 5-5
а а [ ^ д7 а [ ^ ^ (66)
в = 72У 7Ж; в = 72У ТЖУ 7Ж;
где Б1 — координата противоположного от Б0 края. Как видно из (66), при Б = Б1 аргумент в имеет наибольшее значение, а в7 = 0, при Б = Б0 аргумент в7 имеет наибольшее значение, а в = 0. Для определения деформаций и изменения кривизн необходимо знать производные функций V(к) и Ш(к):
^1к) = ад1|7д- (4к)да+в(к)ф(в) — 4к)^(в7) — в2к)ф(в7)) + ^(к), Ш(к) = 7^ (А1к)ф(в) — в1к)^(в) — А2к)ф(в7) + в2к)^(в7)) , (67)
где
ф(в) = ОД + С (в), ^(в) = 0(в) — с (в),
V(к) = К0,1 = '
^2 Р —
1
Р
(0)
Е1 оо82 в \ 2п
— / гЕ0^
если к = 0,
1
Р
(к)
£о
Е1 оо82 в 2п
5о
при к ^ 1.
Функции в (65) и (67) убывают с ростом своих аргументов и, как показано в [36], при в = в7 = п их порядок равен 0,04. Исходя из этого, можно найти длину меридиана, при которой взаимным влиянием краев можно пренебречь. Эта длина Б * находится из условия [37]:
S*
I' ds ^ 2n
J VR ^ a ,
S
так что, если длина меридиана S ^ S*, то постоянные B(k) могут быть
(k) (k) 1 1
определены независимо от A2 , B2 .
Чтобы полностью определить напряженно-деформированное состояние оболочки необходимо найти шесть постоянных A(k), B(k), A2k), B2k), Р^,
ui^. Они находятся из удовлетворения краевым условиям, выражающим степень подвижности краев оболочки. Могут иметь место следующие краевые условия: шарнирное закрепление
m(k) = 0, = 0;
жесткое защемление
W(k) = 0, u<k) = 0;
свободный край
m(k) = 0, — nk) sin в + Q(k) cos в = 0.
Кроме того, в каждом из этих случаев один из краев может:
а) свободно перемещаться в осевом направлении. При этом постоянная Р^ задается, причем Р^ =0 при k ^ 1, a u°0 принимается равной нулю;
б) оба края неподвижны в осевом направлении. Тогда u°0 принимается
равной нулю, а Р^ определяется из равенства нулю uZk) при S = S1 после его определения.
Коль скоро будут найдены постоянные интегрирования, «микронапряжения» могут быть найдены из соотношений
^(k) = C'(0)(0) (eek) + х3+
+ E E [СГ,вГр2)"“Р+1 (e?-g) + x3X.ek-g)) + (68)
g=1 p=0 .«^••a^1
+ Caв3aз•••ap+lfk-g) . . • • «p3 fk-g) ]
+ (g)(p) Xe^—ap+l + ••• + (g)(p) Хв,«2 •■•«p] •
Соотношения (68) отражают тот факт, что в оболочке со слоями, несимметрично расположенными относительно срединной поверхности, нейтральная поверхность не совпадает со срединной. Это следует из того, что на срединной поверхности отличны от нуля изгибные напряжения.
Список литературы
1. Победря Б.Е. Численные методы в теории упругости и пластичности. М.: Изд-во МГУ, 1995. 336 с.
2. Победря Б.Е. Механика композиционных материалов. М.: Изд-во МГУ, 1984. 336 с.
3. Ильюшин А.А. Пластичность. (Основы общей математической теории). М.: Изд-во АН СССР, 1963. 271 с.
4. Ильюшин А.А. Об одной модели, поясняющей аппроксимационный метод СН-ЭВМ в теории пластичности / Упругость и неупругость. 1971. Вып. 1. С. 52-58.
5. Победря Б.Е. Математическая теория нелинейной вязкоупругости / Упругость и неупругость. М.: Изд-во МГУ, 1973. Вып. 3. С. 95-173.
6. Давранов Ю. Численные эксперименты в методе СН-ЭВМ: дис....канд. физ.-мат. наук, М.: МГУ, 1983. 176 с.
7. Фрейденталь А., Гейрингер X. Математические теории неупругой сплошной среды. М.: Физматгиз, 1962. 432 с.
8. Ильюшин А.А. Пластичность. М.: ГИТТЛ, 1948. 376 с.
9. Хилл Р. Математическая теория пластичности. М.: Гостехиздат, 1956. 408 с.
10. Кристенсен Р. Введение в механику композитов. М.: Мир, 1982. 334 с.
11. Сендецки Дж. (ред.) Механика композиционных материалов. М.: Мир, 1978. 565 с.
12. Победря Б.Е. Особенности теории процессов для композитов // Механика композиционных материалов. 1984. № 3.
13. Победря Б.Е. Теория пластичности анизотропных материалов // Прикладные проблемы прочности и пластичности. 1984. Вып. 10.
14. Победря Б.Е. Деформационная теория пластичности анизотропных сред // ПММ. 1984. Т. 48. Вып. 1. С. 29-37.
15. Геогджаев В.О. Некоторые вопросы теории упругопластической деформации анизотропных материалов. М.: Оборонгиз, 1958. 156 с.
16. Ломакин В.А. О теории нелинейной упругости и пластичности анизотропных сред // Изв. АН СССР. ОТН, механика и машиностроение. 1960. № 4.
17. Мансуров P.M. Об упругопластическом поведении анизотропных сред /
Упругость и неупругость. М.: Изд-во МГУ, 1971. Вып. 1. С. 163-171.
18. Най Дж. Физические свойства кристаллов. М.: Мир, 1967. 387 с.
19. Сиротин Ю.И., Шаскольская М.П. Основы кристаллофизики. М.: Наука, 1975. 680 с.
20. Победря Б.Е. Лекции по тензорному анализу. М.: Изд-во МГУ, 1986. 263 с.
21. Спенсер Э. Теория инвариантов. М.: Мир, 1974. 156 с.
22. Лохин В.В. Нелинейные тензорные функции в пространстве Минковского / Научные труды. Институт механики МГУ, 1974. № 31.
23. Лохин В.В., Седов Л.И. Нелинейные тензорные функции от нескольких тензорных аргументов // ПММ, 1963. Т. 27. Вып. 3.
24. Ван дер Варден Б.Л. Алгебра. М.: Наука, 1976. 648 с.
25. Ильюшин А.А., Победря Б.Е. Основы математической теории термовязкоупругости. М.: Наука, 1970. 280 с.
26. Ивлев Д.Д., Быковцев Г.И. Теория упрочняющегося пластического тела. М.: Наука, 1971. 232 с.
27. Клюшников В.Д. Математическая теория пластичности. М.: Изд-во МГУ, 1979. 207 с.
28. Малмейстер А.К., Тамуж В.П., Тетерс Г.А. Сопротивление полимерных и композитных материалов. Рига: Зинатне, 1980. 572 с.
29. Победря Б.Е. О численном решении задач механики деформируемого твердого неоднородного тела // Вестник МГУ. Сер. 1. Математика. Механика. 1983. № 4. С. 98-110.
30. Бахвалов Н.С. Осреднение дифференциальных уравнений с частными производными с быстро осциллирующими коэффициентами // ДАН СССР, 1975. Т. 221. № 3. С. 516-519.
31. Победря Б.Е., Георгиевский Д.В. Основы механики сплошной среды. М.: Физматлит, 2006. 272 с.
32. Победря Б.Е., Георгиевский Д.В. Лекции по теории упругости. М.: Эдиоториал УРСС, 1999. 208 с.
33. Ломакин В.А. Теория упругости неоднородных тел. M.: Изд-во МГУ, 1976. 367 с.
34. Победря Б.Е., Горбачев В.И. О статических задачах упругих композитов // Вестник МГУ. Сер. 1. Математика. Механика. 1977. № 5. С. 101-110.
35. Рикардс Р.Б., Тетерс Г.А. Устойчивость оболочек из композитных материалов. Рига: Зинатне, 1974. 310 с.
36. Лурье А.И. Статика тонкостенных упругих оболочек. М.-Л.: Гостехиздат, 1947. 252 с.
37. Амбарцумян С.А. Общая теория анизотропных оболочек. М.: Наука, 1974. 348 с.
38. Гольденвейзер А.Л. Теория упругих тонких оболочек. М.: Наука, 1976. 512 с.
39. Новожилов В.В. Теория тонких оболочек. Л.: Судпромгиз, 1962. 431 с.
40. Черных К.Ф. Линейная теория оболочек. Л.: Изд-во ЛГУ. Ч. 1. 1962. 274 с.
Победря Борис Ефимович ([email protected], http://www.math.msu.su/ department/composite/pobe.htm), д.ф.-м.н., профессор, зав. кафедрой, кафедра механики композитов, МГУ им. М.В.Ломоносова.
Complex loading of shells of composite materials
B. E. Pobedria
Abstract. Questions of curvilinear anisotropic shells made of composite materials both in an elastic area and with use of the yield theory are theoretically
considered. Separate attention is given to averaging methods and the SN-EVM method.
Keywords: composite, SN-EVM method, curvilinear anisotropy, yield theory, composite shells, averaging method.
Pobedria Boris ([email protected], http://www.math.msu.su/department/ composite/pobe.htm), doctor of physical and mathematical sciences, professor, head of department, department of composite mechanics, Lomonosov Moscow State University.
Поступила 27.03.2013
