CC BY
25
_МЕЖДУНАРОДНЫЙ НАУЧНЫЙ ЖУРНАЛ «ИННОВАЦИОННАЯ НАУКА» №12-4/2016 ISSN 2410-6070_
2015. Vol. 90. P. 149-158.
4. Гогонин И.И. Теплообмен при испарении и кипении пленки, орошающей пакет горизонтальных труб // Теоретические основы химической технологии. 2014. Т. 48, № 1. С. 103-111.
5. Диев М.Д., Соколова Т.В. Обработка экспериментальных данных по кипению в большом объеме на улучшенных поверхностях кипения в координатах С.С. Кутателадзе // Тр. 16-й Школы-семинара молодых ученых и специалистов под руководством академика РАН А.И. Леонтьева «Проблемы газодинамики и тепломассообмена в энергетических установках». Санкт-Петербург, 21-25 мая 2007 г. Москва: МЭИ, 2007. Т. 1. С. 407-410.
6. Щелчков А.В., Попов И.А., Зубков Н.Н. Кипение жидкости на микроструктурированных поверхностях в условиях свободной конвекции // Инженерно-физический журнал. 2016. Том 89, №5. C. 1160-1169.
7. Webb R.L. Odyssey of the Enhanced Boiling Surface // Journal of Heat Transfer. 2004. Vol. 126. P. 1051-1059.
8. Drach V., Sack N., Fricke J. Transient heat transfer from surfaces of defined roughness into liquid nitrogen // Int. J. Heat Mass Transfer. 1996. Vol. 39, № 9. P. 1953-1961.
9. Christians M., Thome J.R. Falling film evaporation on enhanced tubes, part 1: Experimental results for pool boiling, onset-of-dryout and falling film evaporation // Int. J. of Refrigeration. 2012. Vol. 35, № 2. P. 300-312.
10. Fagerholm N.E., Ghazanfari A.R., Kivioja K., Järvinen E. Boiling heat transfer performance of plain and porous tubes in falling film flow of refrigerant R114 // Wärme- und Stoffübertragung. - 1987, Vol. 21. - P. 343-353.
11. Зубков Н.Н. Получение подповерхностных полостей деформирующим резанием для интенсификации пузырькового кипения // Вестник Машиностроения. 2014. №11. С.75-79.
12. Володин О.А., Печеркин Н.И. Теплообмен и кризисные явления в пленках смесей фреонов, стекающих по структурированной поверхности // Тепловые процессы в технике. 2012. Т. 4, № 2. С. 56-67.
13. Павленко А.Н., Печеркин Н.И., Володин О.А. Теплообмен и кризисные явления при кипении в пленках смесей фреонов, стекающих по оребренной трубе // Теплофизика и аэромеханика. 2012. Т. 19, № 1. С. 143-154.
14. Павленко А.Н., Печеркин Н.И., Володин О.А. Теплообмен и кризисные явления в стекающих пленках жидкости при испарении и кипении. Новосибирск: Изд-во СО РАН. 2016. 196 с.
15. Pecherkin N.I., Pavlenko A.N., Volodin O.A. Heat Transfer and Crisis Phenomena at the Film Flows of Freon Mixture over Vertical Structured Surfaces // Heat Transfer Engineering. 2016. Vol. 37. Iss. 3-4. P. 257-268.
16. Cerza M., Sernas V. Nucleate boiling in thermally developing and fully developed laminar falling water films // J. Heat Transfer. 1988. Vol. 110, № 1. P. 221-228.
17. Thome J.R. Enhanced Boiling Heat Transfer. New York: Hemisphere Publishing, 1990.
18. Webb R.L., Kim N.H. Principles of Enhanced Heat Transfer. 2nd ed. New York: Taylor & Fransis Group, 2005.
© Володин О.А., Павленко А.Н., Печеркин Н.И., Зубков Н.Н., Битюцкая Ю.Л., 2016
УДК 539.3
Димитриенко Ю.И., д.ф.-м.н., профессор Губарева Е.А., к.ф.-м.н., доцент Алешина А.С., магистрант Московский государственный технический университет им.Н.Э.Баумана,
г.Москва, Российская Федерация
ВЫВОД УРАВНЕНИЙ МЕХАНИКИ ТОНКИХ ПЛАСТИН С МЯГКИМ ПОКРЫТЕМ, НА ОСНОВЕ МЕТОДА АСИМПТОТИЧЕСКОГО ОСРЕДНЕНИЯ ТРЕХМЕРНЫХ УРАВНЕНИЙ НЕЛИНЕЙНОЙ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ
Аннотация
Предложена методика построения двумерных уравнений теории тонких нелинейно-упругих пластин с
_МЕЖДУНАРОДНЫЙ НАУЧНЫЙ ЖУРНАЛ «ИННОВАЦИОННАЯ НАУКА» №12-4/2016 ISSN 2410-6070_
мягким покрытием, основанная на применении метода асимптотического осреднения к трехмерным уравнениям нелинейной теории упругости при конечных деформациях. Модель мягкого покрытия построена на основе допущения о том, что соотношения между упругими константами покрытия и жесткого слоя имеют порядок малости одинаковый с геометрическим параметром, представляющим собой отношения толщины к длине пластины. Определяющие соотношения жесткого слоя и мягкого покрытия выбраны в виде универсальных нелинейно-упругих соотношений для изотропных сред с конечными деформациями на основе так называемых моделей А5, предложенных Ю.И. Димитриенко. Постановка задачи нелинейной теории упругости рассмотрена полностью в отсчетной конфигурации. Получены аналитические решения рекуррентной последовательности локальных задач для жесткого слоя и мягкого покрытия.
Ключевые слова
Тонкие мягкие покрытия, нелинейная теория упругости, конечные деформации, метод асимптотического осреднения
Тонкие мягкие покрытия на основе эластомеров широко применяют для различных инженерных конструкций. Для расчета напряжений в таких покрытиях обычно применяют приближенные аналитические методы [1,с.34], так как применение прямого конечно-элементного анализа в трехмерной постановке для расчета тонких покрытий мало эффективно [2, с.275]. В настоящей работе представлены результаты вывода уравнений механики тонких мягких покрытий с помощью асимптотического осреднения трехмерных уравнений теории упругости с конечными деформациями. Этот метод эффективно применялся для расчета тонких упругих пластин и оболочек при малых деформациях [2-6].
Исходная задача нелинейной упругости при конечных деформациях
Обозначим эйлеровы (декартовы) координаты материальных точек в отсчетной и актуальной
о
конфигурациях как: х их, а лагранжевы координаты как X' , их будем полагать совпадающими с
. о ' о
декартовыми X ' = х' . Рассмотрим многослойную пластину из N слоев, все слои Vр,/3 = 1...Ж которой в
о
отсчетной конфигурации ортогональны оси Ох , Полагаем, что слои связаны между собой условиями идеального контакта, являются нелинейно-упругими и их деформирование описывается обобщенной моделью Ап , предложенной Ю.И. Димитриенко для сред с конечными деформациями.
Задача нелинейной теории упругости в лагранжевом описании в общей формулировке, предложенной в [7,8], для многослойной имеет вид
о . о
V'Рр = о, X' еV3, (1)
(п) о о
Р{ = F/(), Г еГриЕ/3, (2)
Fkl = 8Ы + 81п Vт икр, X' е Ур иЕр , (3)
о
(р; -р;г) = о, (и ' - и ',) = о, X' е Ерр', (4)
р?=г±=-~Р±ръ; (5)
Р'2 = о, XгеZb,/ = 1....Ж, (6)
икр = и' , X еЕт , 33 = 1...N (7)
Здесь: (1) - уравнения равновесия, (2) - определяющие соотношения нелинейно-упругой среды, (3) -
о
кинематическое соотношение, (4) - условия идеального контакта на поверхностях раздела Е рр ' /' -ой и /
_МЕЖДУНАРОДНЫЙ НАУЧНЫЙ ЖУРНАЛ «ИННОВАЦИОННАЯ НАУКА» №12-4/2016 ISSN 2410-6070_
0 о
-ого слоев пластины, (5) - граничные условия на лицевой и тыльной поверхностях Ii и 2n пластины,
0 3 0 з
которые заданы уравнениями
Ii = {XJ =-h /2}; 2n+i = {Xj = h /2}; (6) -граничное условие на
о
боковой поверхности пластины
I, = {X2 = ±b/2}; (7) - граничное условие на торцевых поверхностях
о i
пластины It = {X1 = 0,L}; h,b, L- толщина, ширина и длина пластины (размеры вдоль координатных
направлений X ,X ,X ).
Введены обозначения для компонент векторов и тензоров, которые отнесены к неподвижному
0
■'k - отсчетной конфигурации K ; p ß
ортонормированному базису - отсчетной конфигурации K; Pi - тензора напряжений Пиолы-
усилий, u'e - вектора заданных перемещений поверхности, V i =-- - набла оператора, F JJ (F^) -
Кирхгофа, Fp - тензора градиента деформаций, и^ - вектора перемещений, - вектора поверхностных
0 $ (п)
дХ1
тензора определяющих соотношений нелинейно-упругих компонент композита, который для моделей Ап упругих сред с конечными деформациями имеет сложный неявно-заданный вид и зависит от компонент
градиента деформаций Fk [7,8]. Для случая квадратичная модель Ап [7,8], то определяющие соотношения
имеют следующий вид:
(п) о (п) (п) (п)
рЦ= Fц) = Рр ^ (^ (I! с тд + 12Р сц злзк) (8)
(п)
где 11р , 4 р Р = 1...^ - константы упругости слоев, Е ^ - компоненты тензора энергетической
( n)
эквивалентности [7,8], зависящие от градиента деформаций Fß , а CT - компоненты симметричного
тензора энергетических деформаций [7,8], которые также являются функциями от Fkl [7,8].
р , " ^р
ГЛ/ГТТ АТ £
Принимаем основное допущение № 1, состоящее в том, что давление Р+ на внешней и внутренней поверхностях пластины имеет порядок малости O(K'i)т.е.
Р±=^Р± (9)
Это допущение, как правило, соответствует реальным условиям нагружения тонких пластин. Допущение № 2: рассмотрим случай тонкой пластины, для которой малым является отношение толщины пластины h к ее длине L, т.е можно ввести малый параметр
к = к /L << 1, (10)
Рассмотрим далее случай 2-х слойной пластины N = 2, один из которых назовем "мягким" (слой с индексом р = 1), а другой -"жестким" (слой с индексом р = 2). Примем допущение № 3: модули упругости
мягкого 1а1 и жесткого 1а2 слоев сильно различаются своими значениями, т.е удовлетворяют следующему соотношению
1-^ = тпаки\ та=0( 1), а = 1,2 (11)
1а2
Введем обозначения: 1а2 = С 2 •> Кл = 1 <2=1,2 . тогда от констант упругости
/ ^ 1 ■> 2 можно перейти к приведенным константам упругости 1а\' ^/2
L\ = KL\ > Li а = \,2 (12)
Подставляя (12) в (8), получаем следующее представление определяющих соотношений для мягкого и жесткого слоев:
P'j = к Р" И = И 1 1 ' 2 2 (13)
(п) (п) (п) (п)
= iuc;p))ssq+i2ß cklsskslq)
р ± р V-1 р / ^ У1\р ч-чч^/? 1 1гр ^р ^хк^и}.
Волну над величинами далее будем опускать.
Асимптотические разложения для тонкого мягкого покрытия на жесткой пластине
Введем безразмерные лагранжевы глобальные X' и локальную лагранжеву % координаты: % =
(14)
X3
к
V'-Х'
X = —— ' =1,2,3. Координата % по толщине пластины изменяется в диапазоне —о.5 < % < о.5, мягкому покрытию соответствуют значения
о.5 — \<%< о.5 , а жесткому слою пластины: —о.5 <%< о.5 —
где И = И / И относительная толщина мягкого покрытия.
Решение задачи (1)-(7), (13) относительно вектора перемещений будем искать в виде асимптотических разложений по малому параметру к
икр = ик(о)(X1) + кuкp(1\XI,%) + к2ukp(2\XI,%) + кiukp(3\XI,%) +... (15)
Здесь и далее индексы, обозначенные заглавными буквами 1,3, К, L принимают значения 1,2, а индексы
', У, к, I - значения 1,2,3. Дифференцирование функций (23) осуществляем по формальным правилам дифференцирования сложной функции, тогда с учетом (22) имеем:
^ ик = ик' + -и^ 3, ик К = —=~к ик (^ % ик /3 ик (X1,%) (16)
к ол од
Подставляя (15) в (5) с учетом (16), находим асимптотическое разложение для градиента деформации
Т» = Fkk¡ (о)( X1,%) + (1)( X1,%) + к2 Fkk¡ (2)( X1,%) +..., (17) где
ТкI(о) _ Як1 к (о) ЫЫ к(1) Ы3 Т7к1 (1) _ и к (1) ЫЫ к(2) Ы3
г р = ° +ир ,ы° +ир /3° > гр = ир ,ы° +ир /3° > (18)
Тк1 (2) _ к(2) ЫЫ к(3) Ы3 Тк1 (3) _ к(3) ЫЫ к(4) Ы3
г р = ир ,Ы° + ир /3° ■> г р = ир ,Ы° + ир /3°
Учитывая зависимость Ыр г + (X , %) от аргументов X1,%, 9 компонент каждого градиента
деформаций Т^1 (г) можно разделить на 4 группы, следующим образом
ТКЬ(о) _ ЯКЬ иК(о)яш ТК3(о) _ иК(1) Т33(0) _ л и3(1) Т3Ь(о) _ иЪ(о)яш
гр =° + им ° , гр = и^/3 , Гр = I + ир/3 гр = и,Ы °
ТКЬ(г) _ иК(г)ЯЬЫ ТК3(г) _ иК(г+1) Т33(г) _ и3(г+1) ТЗЬ(г) _ и3(г) яЬЫ
Гр ир,Ы ° 5 Гр ир/3 5 Гр ир/3 Гр иР,Ы°
г=1,2,3,... (19)
Подставляя разложение (17) в (14) и, используя формулу Тейлора, находим асимптотические разложения определяющих соотношений и тензора Пиолы -Кирхгофа
рj = кР1 1] (1) (х1,4) + к2 р tJ (2) (X1,4) + к3 р tJ (3) (X1,4) +... ри = ри (0)( х1,4) + кр (1)( х1,4) + к2 Pi (2)( х1,4) + к3 р* (3)( х1,4) +...
(21)
(22)
_МЕЖДУНАРОДНЫЙ НАУЧНЫЙ ЖУРНАЛ «ИННОВАЦИОННАЯ НАУКА» №12-4/2016 2410-6070
где обозначены члены асимптотического разложения для мягкого слоя
(п) о (п) (я) (я)
/г(1) = аЕ°^(^;/(0)Х/п (ЦСГ(0))Ж? +/21
ру(2) _ л^ рк(1) Р1 (3) — А11 Ры(2) -I- А11 Ры(1) Fmn(1)
^ 1 = кГ 1 ' 1 1 = кГ 1 + кМп^ 1 М
р1 (4) _ ^1/ рк(3^1 л! ((1(1) ртп(2) , рЫ1(2) ртп(1)) А ри (1) ртп(1) РхР(1)
М = кГ 1 + кШп\ 1 "М + ^ 1 М / + Ыттр 1 "М М
Аналогичный вид имеют члены асимптотического разложения для жесткого слоя
(п) о (я; _ (я) __ (я)
^■(0) = = е°^(/>/(0))(/12 (^(с*(0)м? + /22 с2и
ру О) _ лу Ры(1) Р1 (2) — А1 Ры(2) -I- А1 Ры(1) Fmn(1)
2 ^ ЫГ2 ■> 2 ^ кГ2 + ЫптГ2 Г2
р1 (3) = рЫ(3) + А'"' ((^(1) ртп(2) + (2) ртп(1)) + ^^^^^ рк(1)ртп(1)р¿р(1)
2 2 И 2 2 ЫтпУ 2 2 2 2 / 2 кМшр 22 2
где обозначены тензорные производные
Я ^ 1 Я2 ^
# _ ° р~У(ркН0)\ лу _ 1 ° Т7~У(Т7ЩЬ)\
^ри ^рЩО) Р ^ Р '■> рЫтп 2 ^рЩО)^ртп(О) Р ^ Р
1 Я3 ^ >4? =1___/7
^рЫттр ^ ^рк1(0)^ртп(0)^р$р(0) Р ^ Р >
Заметим, что Р1(0) = 0 .
Формулировка локальных задач для жесткого и мягкого слоев
Подставляя разложения (20) в (1), с учетом правила дифференцирования (16), получаем асимптотическое разложение уравнений равновесия для жесткого и мягкого слоев
1Р2Т+(рт+Р33(1))+Р33(2))+^2(р?2)+р33(3))+...=0
К (23)
р;1 (1)+к{р1(1)+р31 (2))+к2(р}2)+р131 (3))+...=0
, , (24)
Подставляя разложения (20) в граничные условия (5) с учетом (13), получаем на лицевой поверхности
0
£1 = {£ = 0.5} мягкого слоя
£ = 0.5: кр31 (1) + К р31 (2) + к'р^1 (3) +... = —К3 р+р131(0)
+
0
(25)
и на тыльной поверхности
£ 2 = {£ = -0.5} жесткого слоя
£ = — 0.5: р31 (0) + кр31 (1) + К2 р231 (2) + К'р^(3) +... = -К3 р_Р231(0) (26)
0 _
Подставляя разложения (20) в условия контакта (4), получаем на поверхности £12 = {£ = 0.5 — к}: раздела мягкого и жесткого слоев
£ = 0.5 —
-р3 (0) + к(р3 (1) — р31 (1)) + к2(рр3^'(2) — р31 (2)) + к3(р31(3) — р31 (3)) +... = 0 (27) к(цЫ(1) — и2к (1)) + к2(ик(2) —и2к(2)) + К3(ик(3) — и2к(3)) +... = 0 (28)
Приравнивая в уравнениях равновесия (23), (24) члены при к 1 к нулю, а при остальных степенях от л- г,'(0) г,»(1) г„К2) ~ ,
К к некоторым величинам к , к , к , не зависящим от £ , (и поэтому совпадающим для жесткого и мягкого слоев), аналогично, приравнивая в граничных условиях (25)-(28) к нулю члены при разных степенях
_МЕЖДУНАРОДНЫЙ НАУЧНЫЙ ЖУРНАЛ «ИННОВАЦИОННАЯ НАУКА» №12-4/2016 ISSN 2410-6070_
параметра к , после сборки соответствующих членов в разных уравнениях, получим рекуррентную последовательность локальных задач для мягкого и жесткого слоев.
Локальная задача нулевого приближения для жесткого слоя имеет вид
P33(0) = 0, (29)
(п)
ру{®) = V
fKL(0) _ ¿KL uK(0) сLM FK3(0^ _ uK(1) F33(0) _ . 3(1) F3L(0) _ 3(0) cLM
F2 = д + UM д , F2 = U2/3 , F2 = 1 + U2/3 , F ß = UM д ,
0
4 = -0.5 : P23j(0) = 0, E12: P23j(0) = 0, < u2k(1) >2 = 0;
Локальная задача Lц первого приближения для мягкого слоя имеет вид
P3j(1) _ h'(0) -M/3 = п '
(п)
pvi 1) =
fKL(0) _ cK^ uK(0) cLM FK3(0) _ uK(1)
F1 =d + U,M д , F1 = U1/3 ,
(30)
33(0) 3(1) 3L(0) 3(0) LM
F1 = 1 + U1/3 F1 = U,M д
0
4 = 0.5: P3j (1) = 0, 212: uk (1) = u
2
Задачи -02 и Ьц связаны друг с другом за счет условия нормировки < и () > = о и решаются совместно.
Локальная задача первого приближения для жесткого слоя имеет вид
12
Р1У(о) , Рзу(1) _ н'(о)
1 2,1 +1 2/3 "
ру(1) _ А Тк10) ^ 2 Л2 Ы1 2 '
ТКЬ(1) _ иК(1)оЬЫ ТК3(1) _ иК(2) т330) - и3(2) Т3Ь(1) - и30)ЛЬЫ
1 2 М 2,Ы ° ' '2 М 2/3 ' ^ 2 М 2/3 ^ 2 М 2,Ы° '
о
% = —о.5: Р23у(1) = о, Е!2: Р23у(1) = р3у(1), < и2к(2) >2 = о;
Локальная задача второго приближения для мягкого слоя имеет вид
р1](1) , Р3У(2) _ И'(!)
г1,1 + Г1/3 = "
р'у (2) = А'у Тк1 (1) 1 1 к1 1 7
(31)
J?KL(1) _ K (1)oLM FK 3(1) K (2)
Г1 =u 1,M д > Л =м:
1/3 '
F133(1) = 1 + u32 F13 L(1) = u13M)dLM,
% = о.5: рр3у(2) = о, Е12: ик(2) = и2к(2).
Локальная задача Ь22 второго приближения для жесткого слоя имеет вид
(32)
pIj(1) , P3 j(2) _ hi(1)
1 2,I + 1 2/3 П
pij (2) __Fkl(2) ij pkl(1) prnn(1)
1 2 = Л2 kr 2 + Л2 klmn 2 ^2
FKL(2) _ SfK^ uK(2) оLM FK3(2) _uK(3) (33)
J2 = д + M2,M д ' J2 = M2/3 '
F33(2) i u3(3) F3L(2) _u3(3^LM
2 = i + W 2/3 J2 =M 2,Md '
0
4 = -0.5: P23j(2) = 0, 212: P23j(2) = рj(2), < u2k(3) >2 = 0;
Локальная задача L31 третьего приближения для мягкого слоя имеет вид
plj(2) р3j(3) _ hi(2)
Г1,1 ^ M/3 = ''
pij(3) _ jj pkl(2) _L AiJ Fkl(1) Fm"(i)
1 = klr 1 T klmn 1 M
FKL(2) _ cK^ uK(2) оLM FK3(2) _uK(3)
F1 = S + U1,M S , F1 = U1/3 ,
33(2) 3(3) 3L(2) 3(2) LM
F1 =1u1/(3) F1 () = uMs ,
0
^ = 0.5: P3J(3) = -pXJ(0), S12: uk(3) = uk(3).
Локальная задача L32 третьего приближения для жесткого слоя имеет вид
P1J(2) , P3J(3) _ hi(2) J 2,1 ^ J 2/3 = n
piJ(3) = AiJ Fkl(3) + AJ (Fkl(1)Fmn(2) + Fkl(2)Fmn(1)) + AiJ Fkl(1)Fmn(1)Fsp(1)
2 2 kl 2 2 klmn\ 2 2 2 2 /2 klmnsp 222
(34)
(3) _ сК^ иК(3) о 1М рК3(3) _ иК(4)
2 = о + м 2,М о ' 1 2 = м 2/3 '
р233<3) = 1 + и™ Р «3) = , (35)
0
£ = —0.5: р23^(3) = — р_Р231 (0), £12: р23 1 (3) = р31 (3), < и2к(4) >2 = 0;
Локальная задача четвертого приближения для мягкого слоя имеет вид
р1(3) , рз 1 (4)_к(3)
Г\,1 + Г1/3 = п
ру(4) _ АЧ рк!(3) АЧ (рк!(1) ртп(2) рЫ(2) ртп(1))
Г1 = М1 1 + Ытп\ 1 7 1 +7 1 7 1 / +
, АУ рЫ(1) ртп(1) рар(1)
+ Ыттр1 1 1 1 7 1 '
рК1(3) _ ЯК1 иК(3) о 1Ы рк3(3) _ иК(4)
Г1 =а +и 1,м с , = и 1/3 ,
р33(3) _ ^ и3(4) р31(3) _ и3(3) о 1Ы
Г1 =1 + и 1/3 = и 1,м о ,
0
£ = 0.5: р31 (4) = 0, £12: ик(4) = и2к (4). (36)
и т. д. Здесь обозначены операции осреднения по толщине пластины
0.5—к 0.5
< и1(1) >= | и'2с1£+ | и1^)с1£. (37)
—0.5 0.5—к
1 05—к1 1 0.5
и2(1) =< и2(1) >2 = I и(1)С£ и1(1) =< и1(1) >1 = 1 | и1(1)С£
"1 —0.5 "1 0.5—к
Решением локальной задачи нулевого приближения (29) - являются функции и
(1) рк((0),р11 (0) , они
зависят от локальных координат £ и входных данных этой задачи - перемещений и) . Решением задачи (30) являются функции и(J2'>:,рк^,р^(1), а и(1:>,р1 (0) в этой задаче - входные данные. В задаче (31)
1 „,(3) рк (2) Dio(2) „,(2) рк (1) -р)!(1)
функции и , Р , , р - неизвестные, а и , Р г ,р - входные данные и т.д.
Уравнения равновесия (32), (33) после введения функций к(0), к(1), к1 (2 , не зависящих от локальной лагранжевой координаты £, принимают вид
hi(0) +Khm +K1hi{2) + ... = 0. (38)
и совпадают для жесткого и мягкого слоев.
Решение локальной задачи LQ2 нулевого приближения для жесткого слоя
Задача (29) является нелинейной, одномерной, в ней все функции зависят только от %, тогда можно найти формальное решение этой задачи. Интегрируя уравнения равновесия в системе (29), получаем, что
напряжения P2^(0) постоянны по толщине жесткого слоя : P2j0) = C = const, где C2 - постоянные
о
интегрирования. Из граничных условий % = —0.5 : (0) = 0, и £12 : P2 ^( ^ = 0 следует, что C21 = 0. ,
т.е.
р23 У (о) = о (39)
Из 3-го и 6-го уравнений системы (29) следует, что из 9 компонент градиента деформаций (о) от
с 1 грк 3(о) г Т?кЬ (о)
координаты % зависят только 3 компоненты г 2 , а остальные 6 - г 2 не зависят от % и совпадают с
Т7кЬ
компонентами осредненного градиента г
Т3(0) = дк 3 + и, (о) = ТкЬ = ёкЬ + и,Ы0)8ЬЫ, Ь = 1,2, к = 1,2,3 (4о)
Тогда, подставляя (4о) в (39), с учетом 2-го уравнения в (29), получаем систему 3-х нелинейных алгебраических уравнений, которую можно рассматривать относительно 3-х компонент 3(о):
(п) _
. Формальное решение этой системы может быть представлено в виде
(п) _
Т2к 3(о) = G2k (ТкЬ ). (41)
Поскольку ТкЬ - не зависят от %, то из (54) следует, что 3(о) также не зависят от %. Подставляя в формулу (41) выражение (4о), получаем систему 3-х обыкновенных линейных дифференциальных уравнений
- ик(1)
относительно перемещений "2 , которую легко интегрируем
(п) _ _
и2к(1) = (Ок (ТкЬ) — °к3)(% + И1/2) (42)
Плоскость % = — И / 2 является срединной плоскостью жесткого слоя, поэтому выражение (42)
^ к (1) ^ (Л
удовлетворяет условию < «2 >2 = о .
После подстановки выражения (42) в определяющее соотношение системы (29), получаем
(п) (п) _ (п) (п) _ _ (п) _
рп 0) = р~ч (рЩО) ^ = р~ч ^3(0) = р~ч (Ркь) (43)
С учетом того, что компоненты Р2У(о) нулевые (уравнение (39)), в (43) ненулевых только 6 соотношений
(п) _
р1(о) = F 2' (ТкЬ), I = 1,2, у = 1,2,3 (44)
, т^кЬ /лл\ г- И)У (о)
зависящих от 6 компонент г . Ввиду того, что правая часть (44) не зависит от % , то и р не
ЫУ(о) Ш(о) _ ,,
зависит от %, поэтому Р2 — Р2 . В итоге получаем эффективные определяющие соотношения для жесткого слоя- соотношения (44).
Решение локальной задачи —ц первого приближения для мягкого слоя
Интегрируя уравнения равновесия в системе (30), получаем, что напряжения P^(1) в мягком слое зависят от координаты Ç : р31 (1) = C + Çh'(0), где Cf - постоянные интегрирования. Из граничных условий £ = 0.5: р31(1) = 0, следует, что С/ = —hh(0)/2 , т.е.
Рр1 (1) = (Ç —0.5)h(0) (45)
Из 3-го и 6-го уравнений системы (30) следуют, что 6 компонент градиента деформаций р^(0)и r3L(0)
Ff не зависят от координаты ç и совпадают с соответствующими компонентами осредненного
градиента деформации Fk , а от Ç зависят только 3 компоненты pk3(0)
3(0) = ôk 3 + Uf, Ff(0) = FkL = ¿kL + и™0ш, L = 1,2, k = 1,2,3 (46)
Тогда, подставляя (46) в (45), c учетом 2-го уравнения в (30), получаем систему 3-х нелинейных алгебраических уравнений, которую можно рассматривать относительно 3-х компонент pk3(0) :
1'\ 3/(7'J/l3("), l''kL ) = /71''"). где обозначена линейная функция от координаты £ : Р =(£-0.5)h' . Формальное решение этой системы может быть представлено в виде
(n) _
Fk 3(0) = Gk (h1jo), FkL ). (47)
Подставляя в формулу (47) выражение (46), получаем систему 3-х обыкновенных линейных
дифференциальных уравнений относительно перемещений Щ ( ), которую легко интегрируем с учетом
0
V . „ k (1) _ „ k (1)
граничного условия ^12 : Щ = Щ
ÎF (n) . —
' G,k (hf, FkL)dÇ + u2k(1) -Sk3(F-0.5 + h) (48)
0.5-h 1 2 I0.5—h ^
k (1)
Подставляя в (48) выражение (42) для Щ , получаем
(n) - 1 — h ci (n) - -
ukm = (G2k (FkL ) — ôk3) —1 + j G1k (h1(0), FkL )dF — ôk3(F — 0.5 + h1)
1 —к+г
2 1 4 1£..... ^ (49)
После подстановки выражения (47) в определяющее соотношение системы (30), получаем
(п) (п) _ (п) (п) _ _
рн 1) =р~У(рк1(0)у = (Ск (50)
С учетом того, что компоненты р3 3 (1) имеют вид (45), то в (50) независимых соотношений только 6
(п) (п) _ _
рцт = р~и (0к5ркь^ркь^
Ввиду того, что правая часть (51) зависит от £ , то и р1(1) зависит от £
Решение локальной задачи р первого приближения для жесткого слоя
Аналогичным образом, решая задачу Ll2, находим компоненты градиента рк3(1) = (A2-1)ko (у) _ ^Р™) (52)
(п) _ _ (п) _ _
рКът = ош G2KKM (Р^)(£ + к / 2), рзь(1) = Оьм G23м (Р^)(£ + к / 2)
и напряжения
pij(1)
МЕЖДУНАРОДНЫЙ НАУЧНЫЙ ЖУРНАЛ «ИННОВАЦИОННАЯ НАУКА» №12-4/2016 2410-6070_
(п) _ (п) _ _
р(1) = 02?м (г™) + С]уКМ С2КЫ (г^))(% + И /2) — 0!^% + о.5) (53)
где обозначены функции
СЫ — ( А' _ ЛУ ( А~1)к а3 )ЯШ С Ы - (А' -А' (А~1)к А31 (54)
Ь23 = (Л2ЪЬ к3(^2 ) 1^2 3Ь)° Ь2К = (^2 КЬ ^2 к3(уЬ) I^2 КЬ)д (54)
0 = АУк з( 4_1)кА
Решение локальных задач £21 ¿22 второго приближения
Решение задачи для мягкого слоя имеет вид
(2) = С^^ + С^™ + 0 (И (1)(% — о.5)+ < ррл(1) >1%) (55)
где обозначены
С -(А' -А' (А_1)к А31 ) С -(А' —А' (А_1)к А31 ) 0> - А' (А_1)к
С13Ь = (Л1 3Ь Л1 к3(Л1 ) 1Л1 3ЬЛ С1КЬ = (Л1 КЬ Л1 к3(Л1 ) 1Л1 КЬ), 011 = Л1 кз(Л1 ) I
(56)
%
< Р5(1) >:%=—! РР5(1) ^%+< Р5(1) >1
о.5—И
т-^ЭЬ (1) 77-КЬ(1) , тт'кЬ £■
а г 2 и г 2 являются функциями от г ,%
^««(Т-,%)=(¿Ы^)ЬА+ЛН ¿ЫНГ.г"мде"'
- 1 (57)
^»(г*,%) = + £ Н ¿Ы«Г,гкЬ,
2 * о.5—и
Выражение для напряжений Р '( ) Р2'( ) 2-го приближения жесткого и мягкого слоев имеет
следующий вид:
_ _ %
рр3У(2) = И2 < Р2У(1) >2 (% — о.5) + Н < Р5(1) >1 (% + о.5) — | P'II(1)(58)
о.5—И
_ _ %
р23'(2) = (И2 < р25(1) >2 +н < р5(1) >1)(% + о.5) — | р^
—о.5
Решение локальных задач ¿32третьего приближения
Для напряжений 3-го приближения из решения локальных задач получаем
_ _ %
рр3У(3) = — (р + Др(% — о.5))г13У(о) + И2 < Р25(2) >2 (% — о.5) + И1 < Р5(2) >1 (% + о.5) — | РЦ(2)
'2 ^ -1 2,I 2
о.5—И1 %
Р3 У (3)_.
: -(р— + Др(% + о.5))р3У(о) + (И < Р$2) >2 + Н < Р5(2) >1)(% + о.5) — |
—о5 (59)
Др = р+ — р—
где + - перепад давлений.
Осредненные уравнения равновесия
Осредненные уравнения равновесия (38), с учетом решения локальных задач, при значениях индекса У = 3 = 1,2 имеют вид
И2 <>2 +к<Р(1) > +к2(<Р(2) > —Дрг33(о)) +... = о Н2 <P2I3(0) >2 +к<Р\3(1) > +к2(<Р\3(2) > —Дрг33(0)) +... = о
(60)
Домножим теперь уравнения равновесия (23) и (24) на + / 2) □ и проинтегрируем их по толщине, а затем сложим, тогда получим следующее вспомогательное уравнение:
h < «Pj(0) >2 +
+ k(( < >2 + h < (0) >1 +Ä2 < ^ >2 + h < ^(1) >l) +
+K2( < ^1} >2 +h < tfj(1) >i + h < ^(2) >2 +h < ïPiï(2) >i ) + (62)
+r3(h2 < >2 + h < «TP*(2) >i + h < «Pj(3) >2 + h < TP33(3) >1)+... = 0
Преобразуя интегралы в этом уравнении с учетом граничных условий из локальных задач (29)-(33) на поверхности раздела жесткого и мягкого слоев и условия на внешних поверхностях « = ±0.5 в этих же задачах, получаем
K(< «Pf(0) > - < P3J(1) >) + K2(< TP,(1) > - < P3J(2) >) +
+ K3(<TP"(2) >-<P3J(3) >-pF3J(0)) +... = 0 (63)
где обозначено среднее давление на пластину p = 0.5(p+ + p_ ).
Введем обозначения для усилий PJ , моментов M,j и левых QJ и правых Q * перерезывающих сил в пластине:
PlJ = h2 <P2*J(0) >2 +k<PlJ(1) >+k <Pu(2) >+... MlJ =k<P(0) >+K <ÇP,J(1) >+...
(64)
Ql = k <P3l(1) >+k <P3l(2) >+..., Qtl = h2 <P2l3(0) >2 +k<Pl3(1) >+k <Pl3(2) >+... тогда система осредненных уравнений (62)-(64) для пластины может быть записана в следующем виде
PJ - ApF3J(0) = 0, Q*1, - ApF33(0) = 0, MlJl - QJ - pF3J(0) = 0 (65)
где Ap = К Ap и p = K2p . Это искомые осредненные уравнения равновесия многослойной пластины в отсчетной конфигурации.
Соотношение между левыми и правыми перерезывающими силами
Установим соотношение между правыми и левыми перерезывающими силами Q Ф Q . Используя соотношение между тензорами напряжений Коши T и Пиолы-Кирхгофа [7] P = (det F)F 1 -T , в силу симметрии тензора Коши, получаем, что всегда должно выполняться соотношение для тензоров P и F :
F - P = Pr - FT D о
В этом уравнении имеется только 3 независимых соотношения, которые имеют вид:
FlJPklô = FljPklô Pl 3 P3
jk jk . Для выражения напряжений через достаточно рассмотреть только 2
уравнения этой системы
F*KPK 3 + Fl 3p33 = F 33P3, + F 3KPK-1
(66)
Отсюда находим искомое соотношение
PK 3 = (F-X)K (-Fl 3P33 + F33 P3 + F 3JPJl ) (67)
Подставим в это соотношение асимптотические разложения (17) и (20) для жесткого и мягкого слоя,
К
тогда, с точностью до членов порядка получаем
PK 3 + KPK 3°) = ( F ~1(0))Kl (-Fl 3(°)( P33(0) + KP33(1)) +
+F 33(0)(P3*(0) + KP3*(1)) + F 3J (0)( PJ1 (0) + KPM (1))) (68)
Осредняя (62) по всей толщине пластины с помощью операции (37) и принимая во внимание, что согласно (40) и (46), компоненты градиентов F31(0), а F^1 (0) для жесткого и мягкого слоев не зависят от
< PK3 > < PK3(1) >= (F-1(0))KI(- < F13(0)(P33<°) + ^P33«) > +
£ , получаем
+F33(0)(< P31 (0) >+^< P31 (1) >) + F3J(0)(< PJI(0) >+^< PJI(1) >))
и < F33(0)(P3(0) + ^P3J(1)) > следующим
Используя теорему о среднем значении, представим интеграл v '
образом
< F33(0) (P3J(0) + j^P&J(1) ) >— F(0)33 < P3J(0) + KP3 J(!) > (70)
Z7(0)3^ _ 77(0)33/гг*\ e
где F* — F (£ ), ад* - некоторое значение координаты £
Подставляя (70) в (69) и используя обозначение (64) для усилий и перерезывающих сил получаем
, между правыми и левыми перерезывающими силами
искомую формулу
Q*K — (F-^f7 ( F *33(0)QI + F3J (0)PJI - P1 ) (71)
где обозначены поперечные усилия
PI —K< FI 3(0) P 33(1) > (72)
Осредненные определяющие соотношения
Подставляя в (64) выражения (44), (51) и (55) для Pj(0) и PI(1), P^ , получаем
_ _ (n _ _ (n) (n) _ _
P1J — hF/(FkL) + <F(Gk(Äff,FkL),FkL) >1 +
_ (n) _ (n) _ _
+Kh2 < CjM GM (FkN)+C2kM G2KM (FkN))(b+hi /2) - 02PT(b+0.5) >2 (73)
_ n _ _ _ (n) (n) _ _
M IJ — F;3{FkL)Kh2 < £ >2 +к\ <£F 1 (G1k (hf, FkL), FkL) >1 +
_ (n) _ (n) _ _
+к% < £(C|M G-2,m (FkN) + C2kM G2KM (FkNm + h1 /2) - Ф^ (£ + 0.5)) >2 осредненные определяющие соотношения для пластины. Замкнутая осредненная система уравнений для всей пластины Система уравнений (65), (71), (73) вместе с кинематическими соотношениями
FKL(0) _ <?KL UK(0) оLM F3L(0) _ U 3(0) oLM
2 О +11M О , Г ß и M О ,
к(0) 3(0) s^I тт-1 „
является замкнутой относительно 5 неизвестных: U U Q , зависящих от координат X . Это
и есть искомая система уравнений механики нелинейно-упругих тонких пластин с мягким покрытием, которая обобщает уравнения теории тонких пластин типа Кирхгофа-Лява на случай конечных деформаций. Выводы
С помощью метода асимптотического осреднения, примененного к уравнениям трехмерной нелинейной теории упругости с конечными деформациями, для двухслойной пластины, состоящей из жесткого слоя и мягкого покрытия, путем введения допущения о малости упругих характеристик покрытия по сравнению с характеристиками несущего жесткого слоя пластины, получены осредненные двумерные уравнения, обобщающие уравнения теории тонких пластин типа Кирхгофа-Лява.
Исследование выполнено за счет гранта Российского научного фонда (проект №14-19-00847). Список использованной литературы:
1. Александров В.М., Мхитарян С.М. Контактные задачи для тел с тонкими покрытиями и прослойками. М.: Наука. 1983. 488 с.
2. Димитриенко Ю.И., Яковлев Д.О. Асимптотическая теория термоупругости многослойных композитных пластин// Механика композиционных материалов и конструкций. 2014. Т.20, № 2. С.260-282.
3. Димитриенко Ю.И., Губарева Е.А., Сборщиков С.В. Асимптотическая теория конструктивно-ортотропных пластин с двухпериодической структурой//Математическое моделирование и численные методы. 2014. № 1. C.36-57.
4. Yu.I. Dimitrienko, I.D. Dimitrienko Asymptotic Theory for Vibrations of Composite Plates// Applied
_МЕЖДУНАРОДНЫЙ НАУЧНЫЙ ЖУРНАЛ «ИННОВАЦИОННАЯ НАУКА» №12-4/2016 ISSN 2410-6070_
Mathematical Sciences, 2016, № . Vol. 10, no. 60, pp. 2993-3002 HIKARI Ltd, www.m-hikari.com https://doi.org/10.12988/ams.2016.68231
5. Димитриенко Ю.И. Моделирование нелинейно-упругих характеристик композитов с конечными деформациями методом асимптотического осреднения//Известия ВУЗов. Машиностроение. 2015. № 11. с.68-77.
6. Ю.И. Димитриенко, Е.А. Губарева, Д.Ю. Кольжанова Моделирование слоистых композитов с конечными деформациями методом асимптотической гомогенизации// Инженерный журнал: наука и инновации, 2015, вып. 5(29). URL: (http://engjournal.ru/catalog/msm/pmcm/1405.html DOI: 10.18698/2308-6033-2015-5-1405
7. Dimitrienko Yu.I. Nonlinear Continuum Mechanics and Large Inelastic Deformations. Springer. 2010. 722 p.
8. Димитриенко Ю.И. Универсальные законы механики и электродинамики сплошной среды /Механика сплошной среды.Т.2. Изд-во МГТУ им.Н.Э.Баумана. 2011. 560 с.
©Димитриенко Ю.И., Губарева Е.А., Алешина А.С., 2016
УДК 539.3
Димитриенко Ю.И., д.ф.-м.н., профессор Губарева Е.А., к.ф.-м.н., доцент Шурпо А.А., магистрант Московский государственный технический университет им.Н.Э.Баумана,
г.Москва, Российская Федерация
ЯВНЫЕ АНАЛИТИЧЕСКИЕ СООТНОШЕНИЯ ДЛЯ ВСЕХ КОМПОНЕНТ ТЕНЗОРА НАПРЯЖЕНИЙ В ТОНКИХ ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ОБОЛОЧКАХ, ПОЛУЧЕННЫЕ НА ОСНОВЕ
МЕТОДА АСИМПТОТИЧЕСКОГО ОСРЕДНЕНИЯ
Аннотация
Представлены соотношения в явной аналитической форме для всех шести компонент тензора напряжений в тонкой многослойной упругой цилиндрической оболочке, в виде зависимости от деформаций, искривлений срединной поверхности оболочки, а также их производных по продольным координатам. Полученные формулы позволяют рассчитывать все распределения компонент тензора напряжений по толщине в цилиндрической оболочке после того, как найдено решения двумерной задачи теории оболочек Кирхгофа-Лява. Формулы для напряжений являются асимптотически точными, поскольку получены из трехмерных уравнений теории упругости без каких либо допущений о характере распределения перемещений и напряжений по толщине оболочки.
Ключевые слова
Метод асимптотической гомогенизации, многослойные цилиндрические оболочки, тензор напряжений, оболочки Кирхгофа-Лява, касательные напряжения, поперечные напряжения
Dimitrienko Yu.I.,
Doctor of Science ( Phys@Math), professor,
Gubareva Е.А., Ph.D (Phys@Math), associate professor, Shurpo А.А., Post-graduator,
Bauman Moscow State Technical University
EXPLICITE FORMULAE FOR SIX STRESS TENSOR COMPONENTS IN THIN CYLINDRICAL SELLS ON THE BASE OF HOMOGENIZATION METHOD
Abstract
Ratios presented in a compact closed form for all six components of the stress tensor in a thin multilayer elastic
