Моделирование нелинейно-упругих характеристик композитов с конечными деформациями методом асимптотического осреднения

Димитриенко Юрий Иванович

УДК 539.3 DOI: 10.18698/0536-1044-2015-11-68-77

Моделирование нелинейно-упругих характеристик композитов с конечными деформациями методом асимптотического осреднения*

Ю.И. Димитриенко

МГТУ им. Н.Э. Баумана, 105005, Москва, Российская Федерация, 2-я Бауманская ул., д. 5, стр. 1

Modelling of Nonlinear-Elastic Properties of Composites with Finite Deformations by Asymptotic Homogenization Method

Y.I. Dimitrienko

BMSTU, 105005, Moscow, Russian Federation, 2nd Baumanskaya St., Bldg. 5, Block 1 e-mail: dimit.bmtstu@gmail.com

Разработан метод расчета нелинейно-упругих характеристик композитов с конечными деформациями на основе асимптотической теории осреднения периодических структур. Использованы универсальные представления определяющих соотношений нелинейно-упругих сред с конечными деформациями, предложенные автором ранее. Получены аналитические решения локальных задач для слоистых композитов с конечными деформациями. Для численной реализации этих решений предложен метод вложенной оптимизации. Представлены примеры численного расчета диаграмм деформирования для слоистых композитов с конечными деформациями.

Ключевые слова: слоистые композиты, нелинейно-упругие свойства, конечные деформации, тензор напряжений Пиолы — Кирхгофа, градиент деформации, универсальные модели определяющих соотношений, метод асимптотического осреднения, локальные задачи, метод вложенной оптимизации, диаграммы деформирования.

A method for calculating non-linear properties of composites with finite deformations is developed. The method is based on asymptotic homogenization of periodical structures. Universal representations of nonlinear-elastic constitutive relations for materials with finite deformations, earlier proposed by the author, are used in the calculations. Analytical solutions to specific problems for layered composite materials with finite deformations are obtained. A method of nested optimization is proposed for numerical realization of these solutions. Examples of numerical calculations for stress-strain diagrams for layered composite materials with finite deformations are presented.

Keywords: laminated composites, non-linear properties, finite deformations, Piola-Kirchhoff stress tensor, deformation gradient, universal representation of constitutive relations, asymptotic homogenization method, local problems, method of nested optimization, stress-strain diagrams.

* Исследование выполнено за счет гранта Российского научного фонда (проект № 14-19-00847).

В различных отраслях промышленности активно применяют композиционные материалы на основе резиноподобных и эластомерных матриц, армированных волокнами, дисперсными частицами или тканевыми наполнителями. Такие композиты, как правило, обладают удачным сочетанием свойств: относительно высокой прочностью, обусловленной прочностью армирующих волокон, и достаточно высокой предельной деформацией разрушения, обусловленной способностью резин и эластомеров деформироваться без разрушения в области больших деформаций. В связи с этим актуальной проблемой является разработка методов расчета эффективных нелинейно-упругих характеристик композитов в области конечных деформаций.

В настоящее время существуют различные приближенные методы расчета характеристик композитов с конечными деформациями [1-4], основанные на системе различных допущений и гипотез. Достаточно хорошо развиты методы расчета эффективных характеристик композитов в области малых деформаций [5]. Наиболее эффективным в настоящее время является, по-видимому, метод асимптотического осреднения [6, 7], который обеспечивает высокую математическую точность расчета и в сочетании с методом конечного элемента [8-15] позволяет прогнозировать широкий спектр различных физико-механических и теплофизических характеристик композитов. Целью настоящего исследования является разработка асимптотической теории осреднения нелинейно-упругих композитов с начальной периодической структурой в области конечных деформаций. Для построения этой теории используются универсальные представления моделей нелинейно-упругих сред с конечными деформациями, предложенные в [16-19].

Постановка задачи нелинейной упругости при конечных деформациях. Используя обозначения из общей теории конечных деформаций, введем эйлеровы (декартовы) координаты материальной точки сплошной среды в отсчет-о

ной К и актуальной К конфигурациях: хк и

о

хк, а также лагранжевы координаты X', которые будем полагать совпадающими с декарто-

о

выми координатами X 1 = х' в начальный момент времени.

В лагранжевом описании [16] рассмотрим задачу нелинейной теории упругости для неод-

нородных сред с конечными деформациями [17-19]:

о о

V' Р'' = о; X' е V;

(1)

(и) о о

Р') = ^о1) (рк!, хт); X' е Vи 2; (2)

о о о

Рк1 = 8к +Vluk; X' е Vи2; (3)

о о

и [Р'' ] = о; [и' ] = о;, X' еЕ«р; (4)

о о о

и Р'' = н; X' е 21; и' = и'е; X' е 22. (5)

Здесь (1) — уравнения равновесия; (2) — определяющие соотношения нелинейно-упругой среды, которые записаны с использованием универсальных моделей определяющих соотношений — так называемых моделей Ли; (3) — кинематическое соотношение; (4) — условия

идеального контакта на поверхностях раздела

о

2ар а-й и Р-й компонент композита; (5) — гра-

о о

ничные условия на частях 21 и 2 2 внешней

о о о

поверхности композита (21 и 22 = д V). Обо-

о

значим скачок функций на границе раздела 2ар компонент композита как [Р' ]. Все компоненты векторов и тензоров отнесем к неподвижному ортонормированному базису ek отсчет-

о

ной конфигурации К . Введем обозначения для

о

плотности — р и компонент: Р'' — тензора напряжений Пиолы — Кирхгофа; ¥к1 — тензора градиента деформаций; ик — вектора пере-

о

мещений; и ' — вектора нормали к поверхности

о

в отсчетной конфигурации К, £ { — вектора поверхностных усилий; и' — вектора заданных

о д

перемещений поверхности; V' = ^, — набла

(и)

оператора; ./г0') — тензор определяющих соотношений нелинейно-упругих компонент композита, который для моделей Ли упругих сред с конечными деформациями имеет сложный неявно заданный вид [17,18] и зависит от компонент градиента деформаций р!к и ла-гранжевых координат X':

(и) о (и) (и)

^о) (рк;, Xм) = р(Xм)Е' (рк; щ (Сир, Xм);

(и) 13 0 0

с ир=-X С ^ Р;

и - 37=1

(и) 3 0 0 0

(рк ) = X С ^

у,ш=1

(и) Э (и)

(Сир ,Хт) = -игу(Сир ,Хт). (6)

Э сир

(и)

Здесь Сир, Хт) — упругий потенциал, различный для каждого компонента композита и поэтому зависящий явно от лагранжевых коор-

(и)

динат X'; Сир — компоненты симметричного тензора энергетических деформаций [17, 18];

(и)

Е — компоненты тензоров энергетической

эквивалентности [17, 18]; О ^ (Ркг) и С ^ (рк) — матрицы собственных векторов левого и правого тензоров искажений (являются неявными функциями только от Рк1); Е^ш(^) — функции собственных значений тензоров искажений. Собственные значения являются также функциями только от компонент тензора Рк.

Решение задачи (1)—(5) отыскивают относительно поля вектора перемещений ик = ик (X'), после нахождения которого координаты произвольной точки композита вычисляют по

формуле:

хк (X') = хк (X') + ик (X').

периодичности структуры композита его плот-

0

ность р и тензор определяющих соотношений

(и)

(6) можно рассматривать как периодические функции локальных координат:

(и)

^°у (рк , £т ).

Решение задачи (1)—(5) будем искать в виде периодической функции локальных лагранжевых координат ^' и зависящей от глобальных лагранжевых координат X':

ик = ик (X', £]); ик (X', £]) = ик (X', £]+а]), (8)

где а] — произвольный целочисленный вектор.

Дифференцирование функций ик(X', £') вида (8) осуществляем по формальным правилам дифференцирования сложной функции, тогда с учетом (7) получим

0 1

1к — 11к . -I--11кI. •

(9)

Асимптотическое решение задачи нелинейной упругости для композитов с периодической структурой. Рассмотрим случай, когда неоднородная среда в отсчетной конфигурации

0

К обладает периодической структурой и для нее можно выделить повторяющийся эле-

0

мент — ячейку периодичности (ЯП) V £, состо-

0

ящую из N компонентов Vа£, а = 1,...,N. Такую среду будем называть композитом. Введем малый параметр к = ¡/Ь ■ 1 как отношение характерного размера I ЯП к характерному размеру

Ь всего композита (размеры определены для

0

отсчетной конфигурации К ), а также локаль-

0

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

ные £' лагранжевы координаты в К:

V'' V'

£ ' = ^; X' = —. (7)

к Ь

Полагаем, что локальные координаты в ЯП изменяются в диапазоне -0,5 <£' < 0,5. В силу

У'ик = ик+—ик';

ик' = — ик (X1, £ т); ,' ЭX' *

и\ =—ик (X1, £ т). э£ )

Решение задачи (1)—(5) для композита периодической структуры ищем в виде асимптотических разложений по малому параметру к :

ик (X', £) = ик(0) (X') + кик(1)( X', £) + к2 +... (10)

Подставляя (10) в (3) с учетом (9), находим асимптотическое разложение для тензора градиента деформации:

Рк1 = РкI<0)(X', £) + кРкI(1)(X', £) + к2...; (11)

Ркг(0)(X', £ 1) = бк + ик(0), г + ик(1)| ¡; Рк1 (1) = ик(1), г + ик(2)| г.

(12)

Подставляя разложение (11) в (2) и используя формулу Тейлора, находим асимптотические разложения определяющих соотношений и тензора Пиолы — Кирхгофа

р' = рШ^, £) + кР''(1)(Xk, £) + к2...; (13)

(и)

рУ(0) = ^01] (рк^(0) £т ).

Э (и)

р'](1) = и <р 0(рк (0) £т )рк (1)

Р ЭРкг(0) ^ (Р г , £ .

(14)

После подстановки разложения (13) в (1) с учетом (7) получаем асимптотическое разложе-

вий:

ние уравнений равновесия и граничных усло- д (и)

Ру(1) =дрд^ Ро) (Рк!(0), ^ )рк1(1); (27)

1 о 1

1 Р')(о)|' + (Р)(о)' + Р')(1)|' + р /') + Рк((1) = ик(1) г + ик(2)|г; (28)

к

+ к(Р)(1), + ^^) + к2... = (15) и'[Р')(1)] = о; [ик(1)] = о; X' е 2аР; (ик(2)) = о;

и [Ру(о)] + к и [Р)(1)] + к2...о; [[ик(2) ]] = о; (29)

о

[ик(°)] + к[ик(1)] + к2 = о X' е2ав' (16) решением этой системы являются перемещения

,к(2)

о о о

тРт + к+ к2... = и, X' е 21;

и

о

ик(о) + кик(1) + к2... = и, X' е 22. (17)

Формулировка осредненной задачи нелинейной теории упругости для композита и осред-ненные определяющие соотношения. О средняя систему уравнений (19), (2о), (26) с учетом Формулировка локальных задач. Приравнивая периодичности функций Ру(о) получаем осред-в (15), (16) члены при одинаковых степенях к к ненную задачу нелинейной упругости для ком-нулю, получаем рекуррентную последователь- позита:

ность Ьк локальных задач нелинейной упруго- <Р')(о) > = о- ( зо)

сти. Задача Ьо имеет следующий вид:

(и)

Р')(о)' = (18) < Р)(о) > = < Ро) (Р^, ^) >; (31)

Р')(о) = Роу(рк^^м); (19) FV0)(X1 ) = <Ркг >+ик(1)|;; (32)

РкР (X ' ) = Рк + ик(1)|!; (2о) и ' < Р)(о) > = < >; X ' е 21; ик(о) = < и >;

о о о

т[Ру(о)] = о, [ик(1)] = о, ^'е2ар; (21) X' е22. (33)

Здесь учтено, что осредненный градиент деформации < Рк1 > в силу периодичности |[ик(1)]] = о. (23) функций ик(1) совпадает с Рк. В задаче (3о)-

' (33) предполагается, что перемещение ик(1),

Здесь введена операция осреднения по ЯП V 5: являющееся решением задачи ^о, может быть

представлено как функция локальных коорди-

N о нат и «входных данных задачи» — осредненно-

го градиента.

Подставляя это выражение в (31) и (32), получаем осредненные определяющие соотношения композита

(и) _

< РУ(о)> = Ро' (рк); (34)

(ик(1)) = о; (22)

< ик(1)> = X | uk(1)dV5. (24)

а=1 о V а^

Условие (23) означает требование периодичности неизвестных функций на границе ЯП:

ГГик(1) Ц = ик (1)|, - ик(1)1 . = о.

[[ ]] ' ^ =о,5 ^=-°,5 м _ (и) _ _

Задача Ьо рассматривается относительно неиз- Р' (р!к) = <ро''(рк +ик(1)(р!к, )|! >. (35) вестных перемещений ик(1). Осредненный тензор-градиент Преобразование локальной задачи Ьо. Реше-рк = + ик (о) (25) ние задачи (18)-(23) ищем в виде сумм девяти

функций:

рассматривается как «входные данные» локаль- 3

ной задачи Ьо. и = X u(pq) ; (36)

Локальная задача Ь1 имеет вид р,?=1

Р)(о), + Р')(1)|' = о ; (26) икш = (6р -Рр)6р^ + икрч)(Iм), (37)

где и(р9)(£т) — некоторые новые неизвестные функции (псевдоперемещения); по р и q в (36) суммирования нет.

Подставляя (36), (37) в соотношения (20), (22) и (23), получаем, что

Fk (0) _ Sk , У ттк F I _ Ol + у U(pq)|i

3

У

pq_1

3

У

pq _1

— (Як'Бк

[[«k(1) ]] _ У ((SP - Fp)6p [^ ]] + [[U^ ]

(38)

) _

_ (Sk - Fk) + У [[U(kpq) ]

p,q _1

_ 0,

так как [[^ ]] = Щ . Тогда после подстановки

формул (36) и (37) в задачу Ь0 получим серию из шести локальных задач Ьpq относительно

функций Ukpq)(Km):

Рг^(0)|г- _ 0 ,

(n)

pij(0) _ j0ij (Fk^(0) £m ).

Fk (0) _ Sk , У Tjk .

F I _ Ol + y U(pq)|;.

3

У3

p,q _1

(39)

(40)

(41)

(42)

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

и'[Р'](0)] = 0; [и^] = 0; £' е Ъ£ар; =0;

]]' = (Рр - бр )бр1 + (Рqq - бq ^. (43)

В силу нелинейности задачи (39)-(43) все шесть локальных задач Ьpq являются связанными и решаются совместно.

Слоистые композиты с конечными деформациями. Рассмотрим в качестве примера слоистый композит, у которого ЯП представляет собой систему параллельных слоев, ортогональных к направлению 0£ (£3 = £), границы раздела слоев обозначим как £ = £а; а = 1,..., и -1. Тогда локальная задача (39)—(43) принимает вид:

Р3](0)/3 = 0 ; (44)

(и)

Р'](0) = (Ркг(0), £); (45)

Рк/0)( X', £) = Рк + и«1^; (46)

[Р3 ](0)] = 0, [ик(1)] = 0; £ = £; а = 1,..., и-1; (47)

(ик(1)) = 0; (48)

[[ик(1) ]] = 0. (49)

Эта задача является нелинейной, одномерной, в ней все функции зависят только от £, поэтому можно найти формальное решение этой задачи.

Интегрируя уравнения равновесия (48), получаем, что напряжения P3 j(0) постоянны в ЯП:

P3j(0) _ Cj _ const, (50)

где Cj — постоянные интегрирования.

Из уравнения (46) следует, что среди девяти компонент градиента деформаций Fk/0) от координаты £ зависят только три компоненты Fk3(0), а остальные шесть совпадают с компонентами осредненного градиента:

Fk3(0) _Fk + uk(1)|3; FkL(-° _ Ft, L _ 1,2. (51)

Подставляя (51) в (50), получаем систему трех нелинейных алгебраических уравнений, которую можно рассматривать относительно трех компонент Fk3(0) :

(n) _

Cj _ J03j (Fk3(0),Fk , £). (52)

Формальное решение этой системы может быть представлено в виде

Fk3(0) _ <?k (Cj, FL, £). (53)

Подставляя в формулу (53) выражение (51), получаем систему трех обыкновенных линейных дифференциальных уравнений относительно перемещений uk(1), которую легко интегрируем с учетом условия нормировки (48):

£ (n) _ _

uk(1) _ J (Cj, Ft , £)d£-Fk£-

-0,5 £

(n)

-< J (Cj,Ft ,£)d£>.

(54)

-0,5

После подстановки выражения (54) в условие периодичности (49) получаем следующее уравнение:

(n) _ _

< gk (Cj,Fkt Дт) >_ F3k,

(55)

которое можно рассматривать как нелинейное алгебраическое уравнение относительно констант С]. Запишем формальное решение этого уравнения в виде

(и) _ _

С] = Я] (Рк, РЬ). (56)

Из (46), (54) и (56) находим соотношение между градиентом Ркг(0) и осредненным градиентом

Рк:

_ (и) (и) _ _ _ _

РШ) = Рк + (^с (Рк, РЬ), РЬ, £) -Рк)бг3. (57)

Подставляя выражение (57) в (45) и интегрируя его по ЯП, получаем эффективные определяющие соотношения для слоистого композита: _ М _

Pij = ^0ij (Fkm). (58)

Здесь обозначены средние напряжения и осредненная функция определяющих соотношений:

рЧ =< P ij(0) > ;

(n) _ (n) _

ч (Fm)=< ^0 Ч (Fk+

(n) (n) _ _ _ _ + (Sj (Fk, Ft), Fk, £) - Fk) 8l3, £) > . (59)

Для численной реализации определяющих соотношений необходимо решить системы нелинейных алгебраических уравнений (52) и (55). С этой целью был применен метод многомерной оптимизации, основанный на процедуре покоординатного спуска.

В качестве примера был рассмотрен случай, когда все слои композита соответствуют квадратичной модели Av [17, 18] (полулинейная модель Джона). При этом определяющие соотношения (6) всех слоев принимают вид (V) (V)

^0ij = (Z1I1S" + 2l2 C is )Fjs, (60) где l1(^), l2© — константы модели, различные

(V).

для каждого слоя композита; I1 = I1( Cis) — первый инвариант тензора деформаций Ко-

(V) .

ши — Грина C k, для которого выполняются соотношения [18]

(V) 1

C is = -(Fm,Flk8miSijSsk - Sis). 2

(61)

Для модели материала Av были проведены численные расчеты согласно разработанному методу. С помощью описанного выше алгоритма для отдельных слоев композита с двумя раз-

личными наборами упругих констант: слои 1 и 3:

h = 100 МПа; l2 = 50МПа; слой 2:

li = 20 МПа; l2 = 10 МПа

при соотношение слоев h1 = h3 = 0,3; h2 = 1 - 2h1.

Построены графики функций (58) для компоненты осредненного тензора напряжений Пиолы — Кирхгофа P33 в зависимости от компоненты F33 осредненного градиента деформаций (рис. 1, а). Остальные компоненты осредненного градиента задавали в соответствии с условиями одноосного деформирования: F11 = F22 = 1; Fij = 0, i Ф j. По боковым поверхностям (x1 = x2 = const) композит скользит без изменения линейных размеров.

Расчеты проводили для трех значений соотношения слоев: 1) h1 = h3 = 0,3; 2) h1 = 0; 3) h1 = 0,5. Случаи h1 = 0 и h1 = 0,5 отвечают гомогенным материалам с характеристиками первого или второго слоя соответственно.

На рис. 1, б показаны графики функций (59) для компоненты осредненного тензора напряжений Пиолы — Кирхгофа P13 в зависимости от компоненты F13 осредненного градиента деформаций, которая изменялась в диапазоне от 0 до 0,5. Для остальных компонент осред-ненного градиента принимали начальные значения: F11 = F22 = F33 = 1; Fij = 0, i Ф j. Такие значения соответствуют условиям чистого сдвига [18, 19] слоистого композита в плоскости Ox1x3.

Графики функций (59) для двух нормальных компонент осредненного тензора напряжений Пиолы — Кирхгофа P33 и P11 в зависимости от компоненты F33 при одноосном деформировании показаны на рис. 2. На рис. 3 представлены графики изменения компонент напряжений осредненного тензора напряжений Пиолы —

Р33, МПа

40 32 24 16 8

hx = 0,5 ^

^/¡1=0,3

- hi = 0

1,05 1,10 1,15

Р13, МПа

20 16 12

hx = 0,5

Aj = 0,3

Aj = 0

F33 0 0,08 0,16 0,24 0,32 0,40 Fn

б

Рис. 1. Диаграммы деформирования P33(F33) (а) и P13(F 13) (б) для трехслойного композита при различных

относительных толщинах первого слоя

Рп, МПа

18 15 12 9 6 3

р,.

■ГЗЗ

' Рп

1,05

1,10

1,15

зз

Рис. 2.Диаграммы деформирования P33(F33) и P13(F 33) для трехслойного композита

Рп, МПа

12 9 6 3

0

^31 р 13

Р33

0,08

0,16 0,24 0,32

0,40

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

13

Рис. 3. Изменение компонент напряжений осредненноготензора напряжений Пиолы^ Кирхгофа Р13№3), Pз1(Flз), P33(F13) и P11(F13) при чистом сдвиге слоистого композита с ЯП из трех слоев

Кирхгофа Р^з), Р^з), Рзз(^з) и Рц^з) при чистом сдвиге слоистого композита с ЯП из трех слоев. Эффект наличия ненулевых нормальных напряжений Рзз^ 1з) и 1з) при чистом сдвиге упругих сред с конечными деформациями хорошо известен [19]. До определенного значения Р1з = 0,18 напряжение Р11 меньше напряжения Рзз, а при F13 >0,18 соотношение между ними изменяется. При возрастании сдвиговой компоненты Р1з возрастает

различие несимметрии компонент тензора напряжений Пиолы — Кирхгофа Р1з и Рз1.

Выводы

1. Для нелинейно-упругих композитов с конечными деформациями и периодической структурой разработан метод асимптотического осреднения по малому геометрическому параметру. Определяющие соотношения отдельных фаз композита выбраны в виде универсальных моделей А„ нелинейно-упругих сред. Эти модели включают широкий класс различных определяющих соотношений для сред с конечными деформациями, в том числе многие соотношения для многих классических моделей. Сформулированы локальные и осреднен-ная задача нелинейной упругости, а также разработан алгоритм нахождения эффективных определяющих соотношений для композиционного материала в целом.

2. Для слоистых композиционных материалов с конечными деформациями предложен численный алгоритм решения задачи на ячейке периодичности, основанный на процедуре вложенной оптимизации, которая применяется для решения систем нелинейных алгебраических уравнений.

Показано, что разработанный алгоритм позволяет рассчитывать эффективные диаграммы деформирования слоистых композитов с конечными деформациями, связывающие компоненты осредненных тензоров напряжений Пиолы — Кирхгофа и градиента деформаций.

Литература

[1] Yang Q., Xu F. Numerical Modeling of Nonlinear Deformation of Polymer Composites

Based on Hyperelastic Constitutive Law. Frontiers of Mechanical Engineering in China, 2009, vol. 4, is. 3, pp. 284-288.

[2] Aboudi J. Finite Strain Micromechanical Modeling of Multiphase Composites. International

Journal for Multiscale Computational Engineering, 2008, vol. 6, is. 5, pp. 411-434.

[3] Zhang B., Yu X., Gu B. Micromechanical Modeling of Large Deformation in Sepiolite Rein-

forced Rubber Sealing Composites under Transverse Tension. Polymer Composites, 2015, doi: 10.1002/pc.23596.

[4] Ge Q., Luo X., Iversen C.B., Nejad H.B., Mather P.T., Dunn M.L., Jerry Qi H. A Finite De-

formation Thermomechanical Constitutive Model for Triple Shape Polymeric Composites Based on Dual Thermal Transitions. International Journal of Solids and Structures, 2014, vol. 51, pp. 2777-2790.

[5] Christensen R.M. Mechanics of composite materials. New York, John Wiley&Sons, 1979.

324 p.

[6] Бахвалов Н.С., Панасенко Г.П. Осреднение процессов в периодических средах. Матема-

тические задачи механики композиционных материалов. Москва, Наука, 1984. 356 с.

[7] Победря Б.Е. Механика композиционных материалов. Москва, Изд-во МГУ, 1984. 324 с.

[8] Димитриенко Ю.И., Соколов А.П. Многомасштабное моделирование упругих компо-

зиционных материалов. Математическое моделирование, 2012, т. 24, № 5, с. 3-20.

[9] Димитриенко Ю.И., Соколов А.П. Численное моделирование композиционных мате-

риалов с многоуровневой структурой. Известия Российской академии наук. Серия физическая, 2011, т. 75, № 11, с. 1549-1554.

[10] Димитриенко Ю.И., Сборщиков С.В., Соколов А.П. Численное моделирование микроразрушения и прочностных характеристик пространственно-армированных композитов. Механика композиционных материалов и конструкций, 2013, т. 19, № 3, с. 365-383.

[11] Димитриенко Ю.И., Сборщиков С.В., Соколов А.П., Садовничий Д.Н., Гафаров Б.Р. Численнное и экспериментальное моделирование прочностных характеристик сфе-ропластиков. Композиты и наноструктуры, 2013, № 3, с. 35-51.

[12] Димитриенко Ю.И., Губарева Е.А., Сборщиков С.В. Асимптотическая теория кон-структивно-ортотропных пластин с двухпериодической структурой. Математическое моделирование и численные методы, 2014, № 1. с. 36-57.

[13] Димитриенко Ю.И., Яковлев Д.О. Асимптотическая теория термоупругости многослойных композитных пластин. Механика композиционных материалов и конструкций, 2014, т. 20, № 2, с. 260-282.

[14] Димитриенко Ю.И., Яковлев Н.О., Ерасов В.С., Федонюк Н.Н., Сборщиков С.В., Губарева Е.А., Крылов В.Д., Григорьев М.М., Прозоровский А.А. Разработка многослойного полимерного композиционного материала с дискретным конструктивно-ортотропным заполнителем. Композиты и наноструктуры, 2014, т. 6, № 1. с. 32-48.

[15] Димитриенко Ю.И., Федонюк Н.Н., Губарева Е.А., Сборщиков С.В., Прозоровский А.А. Многомасштабное конечно-элементное моделирование трехслойных сотовых композитных конструкций. Наука и образование. МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2014, № 7, с. 243-265. URL: http://technomag.bmstu.ru/en/doc/717805.html. Doi: 10.7463/ 0714.0717805.

[16] Димитриенко Ю.И., Даштиев И.З. Модели вязкоупругого поведения эластомеров при конечных деформациях. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. Естественные науки, 2001, №1, с. 21-41.

[17] Dimitrienko Yu.I. Nonlinear Continuum Mechanics and Large Inelastic Deformations. Springer, 2010. 722 p.

[18] Димитриенко Ю.И. Механика сплошной среды. Т. 2: Универсальные законы механики и электродинамики сплошной среды. Москва, Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2011. 560 с.

[19] Димитриенко Ю.И. Механика сплошной среды. Т. 4: Основы механики твердого тела. Москва, Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2013. 624 с.

References