CC BY
65
Секция «Модели и методы анализа прочности динамики и надежности конструкций КА»
Дград.
50, 100, 20 ------ 100. 100, 10 ............ i0. 100,10
Рис. 3. Зависимость угла поворота второго звена от времени. Данная переходная характеристика системы показана при различных коэффициентах регулятора. В подписях данных первый коэффициент - пропорциональный, второй - интегральный, третий - дифференцирующий
На примере замкнутой кинематической цепи реализовано компьютерное моделирование механизмов. Найдены параметры движения (угловое перемещение, скорость, ускорение), а также параметры регулирования (время и тип переходного процесса, величина перерегулирования). Перспективы дальнейшей работы заключаются в усложнении кинематической схемы до устройства параллельной кинематики.
Библиографические ссылки 1. Дьяконов В. П. 81шиИпк 5/6/7 Самоучитель // М. : ДМК Пресс, 2008.
2. Поршнев С. В. Использование пакета Simulink для описания динамики колебательных систем с несколькими степенями свободы // Вестник ОмГПУ. 2006. URL: http://www.omsk.edu/article/vestnik-omgpu-90.pdf (дата обращения: 20.02.2012).
3. Практическое руководство по настройке параметров ПИД-регулятора для контроллера АГАВА 6432 // Сайт конструкторского бюро «АГАВА». URL: http://www.kb-agava.ru/article_pid_agava6432_10_prac-ticals.shtml (дата обращения: 15.01.2012).
© Мирзаев Р. А., Климовский Д. А., Смирнов А. Н., 2012
УДК 539.3
А. В. Оськин, Д. О. Волков, П. А. Григорьев, М. О. Лобков, Г. В. Менделев Научный руководитель - Р. А. Сабиров Сибирский государственный аэрокосмический университет имени академика М. Ф. Решетнева, Красноярск
ФОРМУЛИРОВКА ОБОБЩЕННОГО ЗАКОНА ГУКА КАК ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ТЕНЗОРА ВТОРОГО РАНГА ПРИ ПОВОРОТЕ СИСТЕМЫ КООРДИНАТ
Получены уравнения закона Гука в произвольной системе координат поворотом системы главных координат.
Известны уравнения закона Гука в системе главных осей координат 0123 :
е1 = [ст1 -|(ст2 +ст3)] / Е,
е2 = [ст2 -|(ст3 +а1)]/Е ,
£э =[стэ -|(ст1 +ст2)]/Е . (1)
Здесь Е - модуль упругости, а | - коэффициент Пуассона.
Требуется отыскать уравнения закона Гука в произвольной системе координат 0ху2 . Для этого повернём систему координат 0123 вокруг точки О, ис-
пользуя формулу преобразования тензора четвертого ранга
ТуЫ = ата]пакра1дТтпрд . (2)
Здесь
«11 «12 «13
«21 «22 «23
«31 «32 «33
тензор преобразования системы координат (направляющие косинусы) при пространственном повороте. В качестве тензоров Т' и Т в (2), подразумеваются тензор напряжений Та или тензор деформаций ТЕ,
Актуальные проблемы авиации и космонавтики. Технические науки
соответственно,
Г0 =
ст x x
х ху xz
x СТ x
ху у yz
x x СТ
xz yz z
или TS =
s s S
х ху xz
S S S
ху У Уz
S S S
xz yz z
в повернутой Охух (Т' - со штрихом) и исходной О123 (Т - без штриха) системах координат.
Для изучающих курс сопротивления материалов метод преобразования (2) не предусмотрен программой. Поэтому рассмотрим упрощенное решение проблемы, рассматривая плоскую задачу для которой запишем закон Гука (1) в главных координатах
Sj =(ctj -цст2)/E,
s2 =(2 -М-Ст1)/E.
(4)
(5)
Формулу преобразования тензоров (2), при повороте системы координат вокруг точки О на угол а в плоскости Оху, представим как преобразование тензора второго ранга Ц = аттапТтп. Для преобразования деформаций она будет иметь вид
S S
X ху =
S S
[ ху у _
cos а sin а - sin а cos а
sj 0 0 s2
а для преобразования напряжений
СТ x
х ху =
x „, СТ у
[ ху у _
cos a sin а - sin а cos а
ст1 0 0 ст2
cos а - sin а sin а cos а
(6)
cos а - sin а sin а cos а (7)
Формулы (6) и (7) показывают, что поворот порождает сдвиговую компоненту s тензора деформаций и касательную компоненту тензора напряжений ^.
Перемножив матрицы в правой части (6), обретаем
sj cos2 а+s 2sin2 а (s2 -sj )sin а cos а (s2 — sj )sin а cos а sj sin2 а + s^os2 а
S х S "
х ху =
S S y]
[ ху
(8)
Соответственно, из (7) имеем
СТ х x
х ху =
x СТ y]
[ ху
ctj cos2 а + CT^in2 а (ст2 -ст, )sin а cos а (ст2 -ст1 )sin а cos а ст, sin2 а + i^cos2 а
(9)
Подставив в (8) уравнения закона Гука (4) и (5), получим в развернутом виде:
)],
(10)
sх = —| | ст, cos2 а + ст2 sin2 а) -
J №
s,, = —| |ст2 cos2а + ст, sin2 а)-ц(ст2 sin2а + ст, cos2а
))(ctisi
sin2 а + ст2 cos2 а I
)],
(JJ)
s ху = ""Е^(ст2 )sin а cos а . (J2) Сравнивая (J0) с (9), и (JJ) с (9), получаем
Sх = E( -^СТу ) (J3)
S х = J (СТ х —^СТ у ). (J4)
Сравнивая (J2) с (9), обретаем s = . Уч-
E
тём, что sxy = — уху . Тогда компонента деформации
сдвига равна
Уху G
где появилась новая константа
E
G =-
2(1 + Ц)
(,5)
(,6)
называемая модулем сдвига.
Обобщив формулы (13)-(16) на трёхмерный случай, получим шесть уравнений закона Гука в произвольной системе координат Охух :
8 х =[СТ х у I ) ] 7 Е ,
8 у =[СТ у х +Ст I )] 7 Е , еI =[а,-ц(стх +сту)]/Е,
У VI = т „ 7 о, у х1 =Ххг 7 О ,
¡ yz yz > ' xz xz
у = x / G
I xy ху ' •
(,7)
Таким образом, искомые зависимости (13)-(17) найдены без соответствующих рисунков геометрических схем и уравнений равновесия, применяемых в литературе по сопротивлению материалов при получении уравнений (8) и (9). Особенно сложны геометрические построения и вычисления, связанные с получением константы (16).
В данной методике три уравнения (1) преобразованы в шесть уравнений (17); появились сдвиговые компоненты закона Гука; поворот системы координат породил значение константы (16) для изотропного материала.
В заключение заметим, что закон Гука в трехмерном пространстве описывается как тензор четвертого ранга и получение уравнений (17) из (1) по формуле (2) будут не более сложными.
© Оськин А. В., Волков Д. О., Григорьев П. А., Лобков М. О., Менделев Г. В., 2012
