CC BY
45
Секция «Модели и методы анализа прочности динамики и надежности конструкций КА»
( ~¡2 Л
. Оф . О ^ О ф
1 дх2 2 дх2
2 ~ 2
дУ2
ду2
, д2ф „ д2ф + st—-|-S1—-г +
2 ду2 1 дУ2
+2(1 + S2 Sr д2ф
dxdx.
, , (10)
дxдy 1 дхду 1
Правые части системы уравнений формируются коэффициентами известных на контуре функций 5ф и температурными нагрузками, вычисляемые из первой вариации функционала
SЭк =
E я
„ д 2ф д 2ф E aT (S—2 + S—2.)
dxdx. (12)
дх2 дy2
Функции ф и 8ф на контуре предполагается вычислять с помощью «рамной аналогии» [1; 4]. Дейст-
вующие на пластинку внешние нагрузки должны быть уравновешенными.
Библиографические ссылки
1. Тимошенко С. П., Гудьер Дж. Теория упругости. М. : Наука, 1975. 576 с.
2. Якоби К. Лекции по динамике / пер. с нем. М.-Л. : Гл. ред. общетехнич. лит., 1936. 271 с.
3. Ланцош К. Вариационные принципы механики : пер. с англ. М. : Мир, 1965. 408 с.
4. Васидзу К. Вариационные методы в теории упругости и пластичности : пер. с англ. М. : Мир, 1987. 542 с.
© Болгов В. В., Быков А. В., 2013
УДК 539.3
М. А. Большаков, П. Е. Ерошенко Научный руководитель - Р. А. Сабиров Сибирский государственный аэрокосмический университет имени академика М. Ф. Решетнева, Красноярск
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ОБОБЩЕННОГО ЗАКОНА ГУКА, СОСТАВЛЕННОГО НА ГЛАВНЫХ ПЛОЩАДКАХ, В ЗАКОН ГУКА ДЛЯ ПЛОЩАДОК ПРОИЗВОЛЬНОГО НАПРАВЛЕНИЯ
Три уравнения закона Гука для изотропного материала, записанные для главных площадок преобразуются в шесть уравнений в произвольной системе координат.
В книге по сопротивлению материалов [1] для изотропного материала составляются три уравнения обобщенного закона Гука для растяжения и сжатия на главных площадках. Затем рассматривается состояние чистого сдвига, выражая зависимость между касательным напряжением и относительным сдвигом равенством
У = т/О, (1)
где О - постоянная, зависящая от свойств материала. Эту постоянную определяют из геометрических построений, мысленно сдвигая вырезанный из пластинки элемент конечных размеров в виде квадрата. Вычисляя удлинение и укорочение диагоналей искаженного элемента, учитывая равновесие элемента при чистом сдвиге и соотношения закона Гука при растяжении, определяют искомую константу изотропного материала
О = Е/[2(1 + ц)], (2)
называемую модулем упругости второго рода или модулем сдвига. На наш взгляд эти геометрические выкладки в определенной степени сложны, имеют приближенный характер, потому как рассматриваются малые углы, что предопределяет замену синуса и тангенса углов самими углами. Однако, выражение (2) - точное выражение.
Методы сопротивления материалов должны обеспечивать прочность, жесткость и устойчивость конструируемых деталей и конструкций. Формы представления учебного материала, базируются на физических
экспериментах и моделях деформирования, которые должны быть надежными и опираться на нормативы и опыт. Видимо, поэтому, в сопротивлении материалов и существуют определенные традиции. К примеру, данная методика выписывания формулы (1) и вывода формулы (2) в соответствие с [1] дошла до наших дней. Назовем книги: [2]-[9], рекомендуемые в учебном процессе.
Преобразуем три уравнения закона Гука записанные на главных площадках в систему шести уравнений для произвольной системы координат. В книге [10, с. 77] находим способ преобразования тензора при повороте системы координат
T' T' T'
T' T 21 T' 22 T' 23 —
л T' 32 T' 33 _
й11 й12 й13 ~Tn T12 T13" й11 й21 й31
й21 й22 й23 T21 T22 T23 й12 й22 й32
й31 й32 й33 _ T31 T32 T33 _ _й13 й23 й33
(3)
где тензоры T^ и T' - объекты (деформации или напряжения) в исходной и повернутой системах координат. Тензор йу - объект, связывающий исходную
систему координат и повернутую системы координат; повороте осей вокруг оси z на угол a, коэффициенты приобретают значения:
a,, = = cos a = c, = sin a = s ,
21
41" "22
= - sin a = - s ,
^33
= 1,
12
— Ü23 — — й'
32
— 0.
Актуальные проблемы авиации и космонавтики. Технические науки
Преобразуем главные деформации е1, е2, е3 ориентированные в осях 0123, в компоненты тензора деформаций е
в осях Охух :
еу, ех, еху , еу2, ^ , расположенньге
е х е ху ехх с 5 0" е1 0 0" с -5 0"
е ху у е = -5 С 0 0 е2 0 5 с 0
е хх е ух е х _ 0 0 1 0 0 е3 _ 0 0 1
е1с2 +е252 (е2 -е1 )с 0 (е2 -е1 )с е152 +е2с2 0 0 0 1
(4)
Подставим сюда три уравнения Гука записанные в системе главных осей координат О123 :
81 = [<СТ -^(ст2 +стз)] / Е ,
82 =[СТ2 -^(Стз +ст1)] / Е , (5) е3 = [ст3 -Ц(ст1 +ст2)]/Е ,
где Е - модуль упругости, а ц - коэффициент Пуассона. Тогда из (4) имеем
[ 2 2 2 2 ~I
ст1с +ст25 -ц(ст15 + ст2с ) -цст3 I / Е,
[ 2 2 2 2 ~I
ст2с +ст15 -ц(ст2 5 +ст1с ) -цст3 I / Е , (6)
еху = (1 +ц) (СТ2 -СТ1 )5С / Е ,
е х =е3 = [СТ3 -Ц(СТ1 +СТ2)] / Е , е хх = 0, е ух =
Повернем площадки, на которые действуют главные напряжения на угол а
"с -5 0 5 С 0 0 0 1
СТх Тху тхх с 5 0" СТ1 0 0 "
Тху Ст у Т ух = -5 с 0 0 СТ2 0
тхх т ух СТх _ 0 0 1 0 0 СТ3 _
СТ1с2 +СТ 2 5 2 ( СТ2 - Ст1 ) 5с 0
где
(ст2 -СТ1) 5С СТ152 +СТ2С2 0 0 0 1
СТх = СТ,С2 + СТ252 , СТу = СТ2С2 +СТ,52 , СТ. = СТ3
Тху =(СТ2 -СТ1 )5С , Тхх = ^ Тух = 0. (7)
Подставив правые части из (7) в уравнения (6), получаем искомые шесть уравнений в произвольной системе координат, повернутой вокруг оси х :
е х =[СТ х -Ц(ст у +СТ х ) ] / Е ,
е у =[СТ у -Ц(СТ х +Стх )] / Е ,
е х =[СТ х -Ц(СТХ +СТ у )] / Е ,
еху = (1 +ц)Тху / Е ,
ехх = 0, е ух = 0.
(8)
(9)
Учет зависимости е^ = уху /2 в пятом соотношении уравнений (9), дает формулу уху = тху / О , в котором значение постоянной материала равно О = Е / [ 2(1 + ц)]. Выполняя поворот системы координат вокруг оси х, получим уух = тух / О ; поворот вокруг оси у - обеспечивает ухх = тхх / О .
Таким образом, искомые зависимости (8) и (9) найдены без геометрических схем, применяемых в основной литературе по сопротивлению материалов.
Библиографические ссылки
1. Тимошенко С. П. Сопротивление материалов. Т. 1. Элементарная теория и задачи. М.; Л.: ОГИЗ : Гостехиздат, 1945. 320 с.
2. Беляев Н. М. Сопротивление материалов. М. : Гостехиздат, 1956. 856 с.
3. Феодосьев В. И. Сопротивление материалов. М. : Наука, 1974. 560 с.
4. Писаренко Г. С., Агарев В. А., Квитка А. Л., Попков В. Г., Уманский Э. С. Сопротивление материалов. Киев : Вища школа, 1986. 776 с.
5. Писаренко Г. С., Яковлев А. П., Матвеев В. В. Справочник по сопротивлению материалов. Киев : Наук. думка, 1988. 736 с.
6. Александров А. В., Потапов В. Д., Державин Б. П. Сопротивление материалов. М. : Высш. шк., 1995. 560 с.
7. Биргер И. А., Мавлютов Р. Р. Сопротивление материалов. М. : Наука, 1986. 560 с.
8. Работнов Ю. Н. Сопротивление материалов. М. : Физматгиз. 1962. 456 с.
9. Горшков А. Г., Трошин В. Н., Шалашилин В. И. Сопротивление материалов. М. : Физматлит, 2002. 544 с.
10. Мейз Дж. Теория и задачи механики сплошных сред. М. : Мир. 1974. 319 с.
© Большаков М. А., Ерошенко П. Е., 2013
