Адаптация математического аппарата по прогнозированию ожидаемых напряжений вблизи подземной выработки Текст научной статьи по специальности «Физика»

© В.Ф. Демин, Т.В. Демина, 2013

УДК 622.831

В.Ф. Демин, Т.В. Демина

АДАПТАЦИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АППАРАТА ПО ПРОГНОЗИРОВАНИЮ ОЖИДАЕМЫХ НАПРЯЖЕНИЙ ВБЛИЗИ ПОДЗЕМНОЙ ВЫРАБОТКИ

Проведенные исследования напряженно-деформированного состояния вмещающих пород в зависимости от мощности слоя легкообрушающихся пород при разной длине анкерирования позволили установить характер поведения боковых пород по зонам их расположения.

Ключевые слова: горный массив, анкерное крепление, анкерирование, вмещающие породы.

Наиболее подходящим для прогнозирования ожидаемых напряжений вблизи подземной выработки является реологическая модель, учитывающая долговечность пород.

Под долговечностью породы, понимается длительность сохранения прочности пород, под действием внешних нагрузок меньших мгновенной прочности. Кроме того, реологические модели учитывают свойство ползучести горных пород, их способность деформироваться во времени при постоянных напряжениях. В свою очередь, в вязком элементе напряжения пропорциональны скорости деформирования

о=ц de / dt (1)

где коэффициент динамической вязкости, Па*с.

Величина обратная вязкости, является текучестью. Вязкость характеризуется также коэффициентом кинематической вязкости [1]

v = ^ (2)

Р

где р - плотность.

2 2

Единица измерения коэффициента кинематической вязкости: м /с; см /с. Деформация s складывается из условно-мгновенной деформации е0и деформации, развивающейся во времени s (t). При затухающей ползучести ds /dt —^0, соответственно значение деформации s (t) стремится к некоторому конечному значению sw =const, зависящему от величины нагрузки.

Полная деформация складывается из начальной деформации s0, деформации неустановившейся ползучести s1, деформации установившейся ползучести s2 и деформации прогрессирующего течения [2].

Согласно теории наследственной ползучести деформация зависит не только от величины напряжения, действующего в рассматриваемый момент времени, но и от истории предшествующего деформирования.

Основные реологические уравнения имеют следующий вид [3]:

е = ■

во

1 +1К (í )А

(3)

X = Сп5

к О

1- }ЯЦ )Л

(4)

где К и Я - ядра интегральных уравнений наследственной ползучести

Для описания реологических свойств различных материалов в уравнение состояния записывают в виде связи между деформацией е, напряжением хк и временем t, или в виде связи между скоростью деформирования е, напряжения хк и времени t, или в виде связи между е , хк и е .

Физическое уравнение для объемного напряженного состояния линейно-деформируемого упруго-вязко-пластического массива выглядит следующим образом [3]:

(5)

VIОн + У2Он = У, + X4+ X5Ов ,

где у1 = 1, у2 = t0, У3 = ст*, у4 = 2, у5 = 2в0 • t0 ; to — время релаксации; ст * — имеет размерность напряжения и характеризует предельное напряженное состояние при переходе породного массива из одного физического состояния (Он<ст*) в другое (Он>ст*)); Он и Г)н — соответственно, девиатор напряжений и девиатор скоростей напряжения; и — соответственно, девиатор деформаций и девиатор скоростей деформаций; = в0 / а — длительный или статический модуль сдвига; в0 — мгновенный или динамический модуль сдвига; а — реологический параметр.

Девиатор напряжений представляет собой

Он =

(6)

где стср = 3 (ст х + сту + ст2) - среднее напряжение, МПа.

Максимальное касательное напряжение равно х = —(ст, - ст3)

тах 2 3

(7)

Из тензора напряжений можно три комбинации, так называемые инварианты

11 = стх + ст у + СТ = СТ1 + ст2 + ст3 = 3сто

11 = СТхСТу - СТуСТI - СтгСТх + х2У + Хут + х2х = -(ст1 СТ2 + СТ2СТ3 + СТ3СТ1)

Г , О 2 2 2

= СТСТСТ+ 2ххх -стх -стх -стх = СТ-. ст2 ст3

1 х у z ху ут IX х ут у IX z ху 12 3

X

к

Цилиндрические координаты произвольной точки выражаются через ее декартовы координаты

Г =у1 К - Стср )2 + К - )2 + К - )2 = 7^2 = X,-л/3, ^ >/3

2 = ^(+СТ2 +Стз) = з

Ь ^л/Зстс.

у/3 2ст2 — ст-. —

СТ

(9)

9 = агСд

V

При задании главных напряжений им присваивают номера следующим образом

ст, >ст2 >ст3. (10)

Объемное напряженно-деформированное состояние можно выразить следующим образом

\Т , ч ( \Т

М = (

ст ст ст X X X

х у г ху уг 2Х

} ;{8} = К 8у8 27ху 7уг 72Х }

Р] =

£

(1 — 2у)(1 + V)

1 —V V V 0 0 0

0 1 —V V 0 0 0

0 0 1 — V 0 0 0

0 0 0 1 — 2v 2 0 0

0 0 0 0 1 — 2v 2 0

0 0 0 0 0 1 — 2v 2

(11)

В свою очередь упругие константы Ёяме X и ц, модуль объемного сжатия К, модуль Юнга Е связаны между собой следующим образом

Е = 2в(1 + V)

2Gv

(12)

1 — 2v' ц = в

к = 2в(1 + V) = Е 3(1 — 2v) 3(1 — 2v)J

Согласно критерию Кулона величина предельного касательного напряжения т на площадке в зависимости от нормального напряжения

х = С + ст^дф (13)

Напряжения т и а на площадках выражаются через главные напряжения с помощью формул поворота осей

ст = ст1 sin a + стЭ cos a;

1 (14)

x = — (ст., - стЭ) sin2a

2 1 Э

где а - угол между площадкой и направлением действующего направления

Согласно теории прочности - максимальных касательных напряжений или критерия Кулона-Треска разрушение тела происходит в момент достижения максимальных касательных напряжений xK max предельной величины xs (x Kp) —

предела текучести (разрушения):

Ы ^ , (15)

x = ст2 - СТЭ ; x = СТЭ -ст1 ; x = ст1 -СТЭ ; (1fi)

LK1 _ 2 ' к2 _ 2 ' КЭ _ 2 ' ^ '

ст1 — СТЭ СТс ...

ст1 > ст2 > стэ; ХКmax = g Э ^ ХКЭ = ~f , (17)

Взаимосвязь между временем релаксации x (долговечности, времени до разрушения), температурой испытываемого тела Т и действующей внешней нагрузкой ст может быть выражена как [Э]

x = x0 exp Uo (18)

где x0 — период тепловых колебаний атомов; Uo - начальный активационный

барьер; k - константа Больцмана; у— структурный параметр.

Максимальное касательное напряжение определяется из выражений (15, 16, 17).

В расчетах применяют следующие корреляционные зависимости [Э] у' = 3,55 • 106ст-^'4,Лж/моль • мм2/кг, (19)

U0 = (2,18 - 0,0085стсж) • 105, Дж/моль, (20)

ст' = 1,40 ст , МПа. (21)

' сж ' 4 '

Рассмотренный математический аппарат положен в основу разработанной компьютерной программы.

Исследуемая область делится на элементарные блоки и полагается, что свойство блока совпадает со свойствами всего массива. На каждом элементарном блоке определяются возникающие напряжения.

Сущность подхода заключается в следующем. Изначально определяется напряженно-деформированное состояние массива, а затем на поле напряжений накладываются физико-механические свойства пород. Опираясь на критерий устойчивости реологической модели, определяются условные зоны неупругих деформаций.

Расчет напряжений производится по вышеприведенным формулам механики деформирования твердого тела в упругой постановке.

Для разделения области расчета на элементарные блоки рекомендуется использовать восьмиузловые гексаэде-ры с линейно аппроксимирующими функциями перемещений. Координаты х, у, 2 внутренних точек элемента через узловые координаты г|, С следующим образом х = х1 + ... + N8 х8 у = N уг + ... + N 8 у 8 2 = N121 + ... + N828

Рис. 1. Трехмерный изопараметриче-ский элемент - гексаэдр

Ni = 1(1 + !& )(1 + )(1 + СС.)

где х1,у1,....,28 - координаты узлов; N1 - N8 - функции формы, определяемые уравнением общего вида

(23)

При нумерации узлов как на рисунке 1 координаты 1-го узла \;, , С i определяются по формуле

Ü. = (-1)', л = (-1)W( С = (-1)W(

где i - int обозначает целую часть.

Функции перемещений в пределах элемента имеют вид

u = N1u1 + ... + N8u8

v = N1 v1 +... + N8 v8 w = N1w1 + ... + N8 w8

(24)

ди ди

Относительные деформации в пределах элемента Д х =—, Д =—,

дх ду

дw ди дv дv ди ди ди

Д2 = -т-, 7ху = ^т + т", У у2 = "Т" + Т", Ух + , определяется дифферен-д2 ду дх д2 ду д2 дх

цированием выражения (1.24)

{Д} = [ В]{8}

где

[ß] =

= V1, W1 U2 ' V2 ' . U8' V8 8 5

" N \х 0 0 N'2 x 0 .. x со N 0 0

0 N'1 y 0 0 N' n 2 y . 0 y со N 0

0 0 N \z 0 0 .. . 0 0 N' 8 z

N'1 y N '1 x 0 N' N 2 y N '2x .. y со N x со N 0

0 N \х N'1 y 0 N '2z .. . 0 N' 8 z y CO N

0 N \x 0 N '2z .. N' 8 z 0 x со N

(25)

Производные функции формы по координатам х, у, г связаны с производными прообраза г|, С

(26)

= [Л Г

"'г. С,

у\ 1 N ч ■ 1У 8?

где [Л ] = - х'| у\ • = • N 1| П 2| • • П 81

х'с у'с 1 N 1С 1У 2С ' • 1У 8С

х1 У1 Х2 у 2

Х8 у8

- Матрица

Якоби

Выражение для производных функций форм по координатам прообраза в общем виде можно представить как

= 1 (1 + лл' )(1 + СС')

В нашем случае напряжения связаны с деформациями законом Гука

{ст} = [ 0]{Д} = [ D][ В]{8}

(27)

(28)

Связь узловых сил с узловыми перемещениями определяется путем приравнивания работы узловых сил работе внутренних напряжений, вычисляемых путем интегрирования величины {^Д}Т {8} по объему элемента:

{Р} = [ К ]{8} (29)

+1 +1 +1

где [К] = |[В]Т [0][Б^ = | 11Л [В]Т [D][B]d^d|dС - матрица жесткости.

V —1 —1 —1

Матрицу жесткости можно определить также по квадратуре Гауса-Ёежандра

2 2 2 Т [К] = ТТТаЬ5КкШ №тпк]]Бтпк] (30)

т=1 п=1 к=1

Узловые силы связаны с напряжениями в точках интегрирования соотношением

2 2 2

{Н = 111аЬ5|Лтпк||Втпк|Т {сттпк} (31)

т=1 п=1 к=1

Координаты точек интегрирования С , в которых вычисляются значения матриц \Лтпк\,\Бтпк\ определяются по формулам

^т = (—1)т0,57735 ; |п = (—1)п0,57735 ; Ск = (—1)к0,57735 (32)

Распределенные силы к узловым можно привести по формуле

2 2 2

^ =7 х ЪЪЪЧт.ьаЫЩ (33)

т=1 п=1 к=1

где Nтпк - значение функции формы 1-го узла в очередной точке интегрирования; 7 х - удельная (на единицу объема) массовая сила, действующая вдоль оси х.

У кубического элемента с восемью узлами суммарная распределенная по объему сила делится между узлами поровну.

Представленный подход может быть успешно реализован в алгоритме программы по созданию расчетного каркаса рассчитываемой области напряженно-деформированного состояния во вмещающих породах вокруг горной выработки. гттте

КОРОТКО ОБ АВТОРАХ -

Демин Владимир Федорович — доктор технических наук, профессор, академик Международной академии информационных наук,

Демина Татьяна Владимировна — кандидат технических наук, старший преподаватель, Карагандинский государственный технический университет, [email protected].

ГОРНАЯ КНИГА

Процессы открытых горных работ. Часть 3. Перемещение и складирование горных пород

Репин Н.Я., Репин АН. 2013 г. 224 с.

ISBN: 978-5-98672-349-5 UDK: 622.221

Н Я. РЕПИН Л.Н. РЕГИН

ПЕРЕМЕЩЕНИЕ И СКЛАДИРОВАНИЕ ГОРНЫХ ПОРОД

ПРОЦЕССЫ

ОТКРЫТЫХ

ГОРНЫХ V У

РАБОТ

Изложены сведения об особенностях карьерного транспорта, его современном состоянии и тенденциях развития. дана технологическая характеристика основных видов транспорта и условий их применения. приведены данные о важнейших технологических параметрах подвижного состава, параметрах, устройстве и схемах развития транспортных коммуникаций в

карьерах и на рабочих уступах. дано описание схем и организации транспортного обслуживания выемочно-погрузочных и отвальных машин. приведена методика расчета производительности транспортного оборудования и потребности в подвижном составе. описаны способы отвалооб-разования, приведены данные о параметрах отвалов и методах их расчета.