CC BY
10
УДК 539.3+534.11
Моделирование изогонально армированных кольцевых пластин в полярной системе координат
Наталья А. Федорова*
Институт космических и информационных технологий, Сибирский федеральный университет, Киренского, 26, Красноярск, 660074,
Россия
Получена 10.02.2011, окончательный вариант 10.03.2011, принята к печати 24.04.2011 Построена разрешающая система дифференциальных уравнений в перемещениях осесиммет-ричной задачи армированных кольцевых пластин в полярной системе координат. Многообразие структур армирования достигается путем построения изогональных траекторий к данным семействам кривых. В рамках единой схемы решения системы дифференциальных уравнений получаем композитную конструкцию с заранее заданными свойствами.
Ключевые слова: армирование,структурная модель, изогональные траектории.
Введение
В современной аэрокосмической и машиностроительной промышленности широко используются тонкостенные элементы из волокнистых композитных материалов. Волокнистое армирование позволяет использовать новые принципы проектирования и изготовления изделий, основанные на том, что материал и изделие создаются одновременно в рамках единого технологического процесса. В результате получается изделие с новыми уникальными эксплуатационными качествами. До недавнего времени армирование осуществлялось преимущественно прямолинейными волокнами. Такие структуры армирования не могут быть эффективны для конструкций с большими градиентами полей напряжений и деформаций в зоне отверстий и переходных элементов. В этом случае необходимо создавать конструкции со специальными криволинейными структурами армирования. Работы [1-4] и настоящая статья посвящены методам поиска таких структур армирования.
1. Постановка задачи
Напряженно-деформированное состояние армированной пластины в полярной системе координат (р, в) относительно компонент тензоров деформаций £р,£е,£ре и напряжений а р, ад, ард в осесимметрическом случае (искомые функции не будут зависеть от полярного угла в) описывается соотношениями (1)-(5). Уравнения равновесия имеют вид
д^ + аР - ад =о, (1)
др р
дсгрв , 2
+ ~ аре = 0. др р
* [email protected] © Siberian Federal University. All rights reserved
Пусть армирование выполнено m семействами волокон (m = 1, 2, 3), <^>m — углы армирования, £m — деформация в волокне, — интенсивность армирования m-м семейством волокон. Деформации в волокне в полярной системе определим по структурной модели [5]
£р cos2 + Ее sin2 + £рв cos у>1 sin = £m. (2)
Соотношения Коши, связывающие компоненты тензора деформаций и компоненты вектора смещений up , ие, в условиях осесимметричной деформации имеют вид
дир up 1 f 3ue ue \ ,
£P — ; £0 — -; £рв — Ô ---• (3)
дР P ' 2 \ др p J
Пусть m* — некоторое фиксированное число семейств армирующих волокон. Закон Гука для неоднородного армированного материала с числом семейств армирующих волокон m* запишем в виде
E
ар — й--2 (£р + V£q ) + W1ct1 cos2 <fi + cos2 ^2,
1 — v2 E
CTg — -2(£0 + v£р) + Wiai sin2 у>1 + sin2 y>2, (4)
1 — v2
E
ард — S2--£р0 + wiai cos yi sin у + W2ct2 cos у sin ^2,
1 + v
где E, v — соответственно модуль Юнга и коэффициент Пуассона связующего материала,
m*
Q — 1 — wm — удельная интенсивность прослоек связующего между армирующими
m= i
слоями. В соотношения (4) входят напряжения в волокне ат, они удовлетворяют закону Гука. Интенсивность wm определим из условия постоянства сечений волокон в полярной системе координат [1]:
дд
— (p^m cos ^m) + д^ (Wm sin ym) — 0. (5)
Интенсивность армирования m-м семейством волокон найдем из (5), если введены
углы армирования ут при задании конкретных траекторий армирования. Пусть траектории
армирования — семейство спиралей Архимеда p — ав (а — параметр). Угол армирования
, P , P tg У0 в полярной системе координат определяем как tg у i — —, следовательно, tg у i — -.
P' P0
Интегрирование (5) для данной траектории армирования дает выражение
P0 + P2 tg2 У0
wi —-л 2 " • (6)
PV1 +tg2 У0
Для семейств логарифмических спиралей вида P — ae0 (a — параметр) угол армирования —
ш
постоянная величина, интенсивность армирования определяется соотношением = —, где
Р
^0, — заданные угол выхода и интенсивность на внутреннем контуре ро.
2. Разрешающая система уравнений
Сформулируем задачу об осесимметричной деформации армированной пластины в перемещениях пр,ид. Для этого соотношения (4) подставим в уравнения равновесия (1), предварительно напряжения ат в волокнах найдем по формуле
m
Em ( (£р COS2 ^m + £в Sin2 уm + £p0 COS у m sin ym ) • (7)
(7
m
Е Е
Введем вспомогательные обозначения Ш1 = П-^, ш-2 = П- , заметим, что если
1 — V2 1 + V
интенсивности зависят от р, то и ш\,ш2 — функции р. Напряжения ар,ад,ард с учетом структурных характеристик примут вид
m
<р = mi(£p + V£g ) + Em^m(£p cos2 ^m + £в sin2 <£>m + £рв sin <£>m COS <£>m) COS2 <£>m, = 1
m
<в = mi(£p + V£e) + ^ Em^m(£p COS2 <£>m + £в sin2 <£>m + £рв sin <£>m COS <£>m) sin2 <£>m, (8)
m=1
- *
m
<рв = т-2£рв + ^ Em^m(£p COs2 ^m + £в sin2 ^m + £рв sin ^m COs <£>m) sin ^m COs <£>m • m=1
Введем коэффициенты
m* m*
ail = mi + Em^m cos4 ^m, ai2 = vmi + ^ EmWm cos2 ^m sin2 y>m,
m=1 m=1
m* m*
ai3 = Em^m COs3 ^m sin ^m, «22 = mi + ^ EmU m sin ^mi
m=1 m=1
m* m*
Я23 = EmWm COs ^m sin3 <£>m, «33 = m2 + ^ Em^m COs2 ^m sin2 <^m-
m=1 m=1
Тогда напряжения <р,<в, <рв запишем в виде
<р = аи£р + ai2 £в + ai3 £рв,
<в = «12£р + в22£в + «23£ рв, (9)
<рв = «i3 £р + Я23£в + в3!3 £рв •
После подстановки (9) в уравнения равновесия (1) с учетом (3) получим относительно компонент перемещений следующую систему дифференциальных уравнений:
¿2мр ai3 d2ug A ai2 dan 1 \ ¿мр
+ "Ги? + {т + + Р(aii - ai2V "dP"+
/ ai3 1 / dai3 \ \ dug +--+ - —j--+ (ai3 - a23 —+
VP P V dP // dP
ai2 , dai2 i 1, \\u^t( ai3 1 f dai3 i 1 ^ .ДД ug
+ ^ ^(ai2 - «22^ ^ + - — -II ^ ^(ai3 - a23) - = 0, (10)
2 P dP 2 P / P VP 2 V dP P // P
du„ «33 dug f a 2 3 dai3 | 2 \ du^ f «33 i 1 da33 i «3^ due
i3 dP2 + 2 dP2 + V P + dP + p iV dP + V P + 2 dP + p у dp +
«23 , d«33 i 2 \ u^ «33 1 d«33 «3^ ug
+ ^^ + + "а2Н — — — — — — =0.
V Р ^ р / р V 2р 2 dр р/р
Эта система (10) является системой обыкновенных дифференциальных уравнений четвертого порядка относительно компонент перемещений мр,мд. К системе (10) присоединим четыре граничных условия на внешнем и внутреннем контурах кольцевой пластины. Пусть на внутреннем контуре при р = р^ заданы перемещения:
а) ир = С*, ие = С* (при С* =0, С2* =0 — жестко закрепленный вал, при С* =0, С* = 0 возможно скручивание вала);
б) на внешнем контуре р = р2 заданы радиальное и касательное усилия рп, рт. С учетом соотношений (9) и (3) условия на внешнем контуре примут вид
¿ир
«13
«11^- + «12--+ —
ар р 2
¿ир
азз
а13^~ + «23--+ "тг"
ар р 2
¿ид ¿р
¿ид ¿р
ид
р
= Рп,
= Рт.
(11)
Возможны следующие комбинации в граничных условиях: на внутреннем контуре задано одно из усилий и одно из перемещений, на внешнем — оставшиеся усилие и перемещение. Система (10) и граничные условия а), б) представляют собой обобщенную двухточечную краевую задачу для системы обыкновенных дифференциальных уравнений. В граничные условия а), б) для общего случая армирования входят как обе неизвестные функции ир, ид, так и их производные. Коэффициенты в (10) содержат полный набор структурных характеристик материала: число ш* семейств армирующих волокон, механические характеристики материалов связующего и волокна, интенсивность шт и тригонометрические функции углов армирования ут.
Для численного решения система (10) сводилась к системе 4-х дифференциальных уравнений первого порядка, затем строилась разностная схема, аппроксимирующая систему дифференциальных уравнений и краевые условия со вторым порядком точности. Полученная при этом система линейных уравнений с трехдиагональной матрицей коэффициентов решалась методом ортогональной прогонки [6]. Постановка задачи свелась к реализации единой схемы, которая учитывает ее разнообразные механические формулировки.
и
Р=Р 2
и
Р=Р 2
3. Изогональное армирование
Наряду с криволинейными структурами армирования по спиралям, рассматриваемыми в кольцевых пластинах [1,3], строим изогональные траектории армирования (т.е. линии, пересекающие кривые данного однопараметрического семейства под одним и тем же заданным углом а = агс^ к [7]). Процедура нахождения изогональных траекторий к данным координатным линиям криволинейной ортогональной системы координат описана в монографии [1].
Для семейства логарифмических спиралей семейство изогональных траекторий к ним
(-1 + к)9
описывается уравнением вида р = С1е (1+к) (С — произвольная константа, к = tgа). Иллюстрации армирования концентрического кольца по логарифмическим спиралям и изогональным им траекториям для значений к = 3, к = 0, 7 приведены на рис. 1, 2, где параметр семейств траекторий принимает три значения, изогональные траектории изображены пунктирными линиями.
Для семейств спиралей Архимеда уравнение изогональных траекторий имеет вид
р = С2(е-кд (в + к)к2 в + е-кд (в + к)к2 к), (12)
где С2 — произвольная константа. Армирование по спиралям и изогональным им траекториям в кольцевой пластине для значений к = 0, 7, к = 1,4 приведены на рис. 3, 4.
Коэффициенты системы (10) учитывают способы армирования семействами волокон в направлении любых изогональных траекторий, что дает широкое разнообразие структур армирования и позволяет в рамках единой схемы решения (10) получать композиционную конструкцию с заранее заданными свойствами.
Рис. 1. Армирование концентрического кольца по логарифмическим спиралям и изогональным им траекториям для значения к = 3
Рис. 2. Армирование концентрического кольца по логарифмическим спиралям и изогональным им траекториям для значения к = 0, 7
Рис. 3. Армирование по спиралям и изогональным им траекториям в кольцевой пластине для значений к = 0, 7
Рис. 4. Армирование по спиралям и изогональным им траекториям в кольцевой пластине для значений к = 1,4
Список литературы
[1] Ю.В.Немировский, Н.А.Федорова, Математическое моделирование плоских конструкций из армированных волокнистых материалов, Красноярск, СФУ, 2010.
[2] Ю.В.Немировский, Н.А.Федорова, Армирование плоских конструкций по криволинейным ортогональным траекториям, Вести. Сам. гос. техн. ун-та, Сер. физ.-мат. наук, Самара, 2010, 96-104.
[3] А.П.Янковский, Равнонапряженное армирование кольцевых изгибаемых металлоком-позитных пластин, работающих в условиях установившейся ползучести, Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. наук., Самара, 2010, 42-55.
[4] И.Т.Вохмянин, Ю.В.Немировский, Особенности продольно-поперечного изгиба трехслойных кольцевых пластин с несимметричными структурами армирования, Краевые задачи и математические модели, Труды 8-й Всероссийской конференции, Новокузнецк, 1(2006), 25-31.
[5] Yu.V.Nemirovsky, On the elastic behavior of the rein-forced layer, Int. J. Mech. Sci., 12(1970), 898-903.
[6] Дж.Ортега, У.Пул, Введение в численные методы решения дифференциальных уравнений, М., Наука, 1986.
[7] В.В.Степанов, Курс дифференциальных уравнений, М., ГИТ-ТЛ, 1953.
Modeling for Reinforced with Isogonal Trajectories Ring-Shaped Lamels in Polar Coordinate System
Natalia A. Feodorova
The resolving differential equations system formulated in terms of movements for axially symmetric reinforced ring-shaped lamels problem is obtained in case of polar coordinate system. A variety of reinforcement structures is reached by isogonal trajectories building for given curves classes. In context of the consistent approach for differential equations system solving the composite construction with a priory specified properties is achieved.
Keywords: reinforcement, structural model, isogonal trajectories.
