CC BY
5ЕВРИСТИКИ У РОЗВ'ЯЗУВАНН1 ЗАДАЧ НА ПРОСТ ТА СКЛАДЕН1 В1ДСОТКИ
С.О.Скворцова, доктор педагог. наук, професор, ДЗ «ПНПУ м. К.Д. Ушинського» м. Одеса, УКРА1НА
Розглянуто динамгчне моделювання при розв 'язуваннг сюжетних математичних задач. Доведено, що моделювання заданно! ситуацп е домтуючою евристикою, яка значно по-легшуе пошук розв 'язування задач1. Автором презентовано методику роботи над задачами на прост1 та складен в1дсотш 1з застосуванням динам1чного моделювання задач1. Етапи виведення формул простых та складених в1дсотк1в протюстроват за допомогою схем.
Ключов1 слова: сюжетна математична задача, задачI на в1дсотков1 розрахунки, формула простих та складених в1дсотк1в.
Постановка проблеми. Новою реда-кщею Державного стандарту повно! зага-льно! i середньо! освГти висунуто мету фо-рмування в учтв предметно! математично! компетентност на рiвнi, достатньому для забезпечення життедГяльносп в сучас-ному свiтi, успiшного оволодiння знання-ми з iнших освiтнiх галузей у процесi шю-льного навчання, забезпечення штелекту-ального розвитку учтв, розвитку !х уваги, пам'ятi, лопки, культури мислення та ш-ту!цГ!.
Формування в учнiв предметно! математично! компетентностi здiйснюeться, в тому чист, й через розв'язування сюжетних математичних задач. Оскшьки сюже-тнi математичнi задачi, особливо практи-ко-зорieнтованi, е iлюстрацieю застосу-вання абстрактно! математично! науки у повсякденному життi людини. Особливо це стосуеться задач на вщсотковГ розрахунки, оскшьки у процес життедiяльностi людини виникають ситуацГ!, пов'язанi iз сплатою комунальних послуг (у разГ не-своечасно! сплати нараховуеться пеня), Гз прийняттям рГшень щодо оформлення кредитГв та !х погашення, Гз накопиченням грошей на банкГвському рахунку тощо. ВсГ цГ життевГ ситуацл вимагають вщ су-часно! людини володшням вГдсотковими розрахунками. Тому, з точки зору формування предметно! математично! компетен-
тносп учтв, як здатносп актуашзовувати, застосовувати математичнГ знання у жит-тевих ситуацГях, надзвичайно важлива роль належить задачами на прост та скла-денГ вГдсотки.
Анал1з актуальних дослщжень. Процес розв'язування задачГ пов'язаний Гз дГяльнГстю вирГшувача з розв'язування ще! задачГ, його спрямовуе група елемен-тарних дГй (за Л.М. Фрщманом) - еврис-тик [8]. У психолого-дидактичнш лГтера-турГ Гснують рГзнГ трактування поняття «евристики». По-перше, евристики як всь лякГ засоби (графГчнГ схеми, друкованГ ш-струкцГ!, уснГ вказГвки викладача, наочн матерГали, вГдомостГ тощо), застосування яких робить можливим Г полегшуе розв'язання задачГ (М.Б.Балк, Г.Д.Балк, Г.О.Балл, К.Г.Юнг та Гн.). По-друге, евристики як прийоми розв'язування певних клаав задач, що не пГддаються читай ал-горитмГзацГ! (В.1.Андреев, О.Б.Стшева,
B.1.Крупич, О.1.Скафа, З.1.Слепкань та Гн.). I, нарештГ, евристики, як специфГчнГ розу-мовГ прийоми, що складають пошуковГ стратег!'! Г тактики (А.К.Артьомов, НХЗшьберберг, Л.Ларсон, Ю.М.Коляпн, Ю.М.КулюткГн, Г.1.Саранцев, О.1.Скафа, Л.М.ФрГдман та Гн.).
ДокладнГ евристичн рекомендацГ! по-данГ в роботах МБ.Балка, ПГрудьонова,
C.С.Канша, А.Ю.Карлащук, Ю.М.КолягГна,
©
Ю.А.Паланта, 1.Б.Писаренко, Д.Пойя, Г.1.Саранцева, О.1.Скафи, З.1.Слепкань, А.А.Столяра, Л.М.Фрiдмана та шших. 1х цшнють полягае в тому, що вони система-тизують вiдомi прийоми розв'язування будь-яких задач, е узагальненими ^ безу-мовно, корисними. Автори пропонують для цього застосовувати наступнi еврис-тичт прийоми: подання задачi у простер станiв; зведення задачi до системи пщза-дач; переформулювання дано! задачi в ш-шу, бiльш знайому; шдуктивт тркуван-ня; введення допомiжноi змшно!; анало-пю, узагальнення тощо. 1.А.Горчакова до-слiджувала систему математичних задач як засiб формування евристично! дiяльно-стi учнiв основно! школи. Автор вид^е наступнi базовi евристики: залучення до-помiжних моделей; штерпретащя форму-лювання задачi iншою мовою (геометрич-ною, алгебра!чною, фiзичною); переформулювання задачi т1ею ж мовою; розбиття складно! задачi на тдзадачц розглядання окремих (граничних) випадкiв; введення допомiжних елементiв; скорочений пере-бiр; тимчасове вiдкидання частини умови задачу застосування допомiжних побудов; ворушiння окремих параме^в системи; оцiнювання i прикидки; наведення контрприкладу [2]. М1ж тим, виникае питання «Яю евристики доцшьно використовувати у навчаннi учтв розв'язування задач на вiдсотковi розрахунки?».
Метою статг1 е - презентацгя методики навчання учтв розв 'язування задач на прост1 та складет вгдсотки, в якш реал1-зовано динамгчне моделювання, як домг-нуючу евристику.
Виклад основного матер1алу. Для визначення евристик, яю е ефективними для навчання учтв розв'язування задач на вщсота^ розрахунки звернемося до по-ложень психологично! науки щодо сутнос-тi розумово! дiяльностi iз розв'язування задач. Так, Г.П.Щедровицький вважае, що ця дiяльнiсть полягае у замщенш досль джуваних об'екпв iншими об'ектами (ета-лонами або <посередниками») або знаками [10]. Поглиблюючи концепщю розв'язування задачi С.Л.Рубшштейна,
А.М.Сохор розглядае розв'язування задач як «процес «вичерпування» шформаци (...) послщовнють переформулювань умови тзнавально'1 задачу причому кожне но-ве переформулювання пов'язане з надан-ням об'ектсв нових характеристик, а характеристики щ грунтуються на виявленнi прихованих (латентних, як кажуть психологи) - принаймш вiд початкового розгля-ду - зв'язюв дослiджувaного об'екта з ш-шими» [6, с.24].
М1ж тим, автори не вказують за допо-могою яких зaсобiв можливе зaмiщення об'ектiв iншими об'ектами, за допомогою яких зaсобiв суб'ект може ставити об'ект у новi вiдношення, вiдкривaючи тим самим i новi якостi, якими суб'ективними «важе-лями» людина повертае предмет, щоб ма-ти можливiсть «вичерпувати» його якосп? [3, с.222]. Таким специфiчним засобом ди суб'екта з вщкриття ще прихованих якос-тей об'екта (задач^ В.В.Давидов розглядае моделювання. «Переведення деякого об'екта у форму моделi дозволяе вiдкрити у ньому таю властивосп, яю невизначува-нi без безпосереднього оперування з ним» [Там же, с. 223].
У фшософи тд моделлю розумiють таку мислено уявлювану або мaтерiaльно реaлiзовaну систему, яка, вщображуючи або вiдтворюючи об'ект дослщження, зда-тна зaмiщувaти його так, що вивчення та-ко'1 системи дае нам нову шформащю про цей об'ект [9].
Модель визначаеться Л.М.Фрщманом, як деякий об'ект (система), дослщження якоi служить засобом для отримання нових знань про шший об'ект (орипнал або прототип). Моделлю деякого об'екта А (оригиналу) називаеться об'ект В, в яко-мусь вiдношеннi подiбний (аналопчний) оригиналу А, який вибрано або побудовано суб'ектом С принaймнi для однiеi з насту-пних цшей:
1) зaмiнa А в деяюй мисленiй (уявнiй) або реaльнiй ди (процесi), виходячи з того, що модель В буде зручна для цiеi ди в да-них умовах (зaмiщуючa модель, модель-заступник);
2) створення наочного або бiльш шт-
кого уявлення про об' ект А за допомогою моделi В: репрезентативна модель, модель - уявлення (подання);
3) тлумачення (iнтерпретацiя) об'екта А у виглядi моделi В (штерпретацшна модель);
4) дослiдження (вивчення) об'екта А засобом вивчення моделi В (дослщницька модель).
Автор зауважуе, що у бшьшосп випа-дюв модель мае не одну ознаку, що вщпо-вщае однiй iз вказаних щлей, а юлька, тому вона придатна для шших цiлей: замь щуюча модель може бути одночасно й репрезентативною, а остання може бути до-слiдницькою. Якщо задача складна, то iнодi складають не одну, а послвдовшсть рiзних моделей вихiдноi задачь
Л.М.Фрiдман погоджуеться iз В.В.Да-видовим i наголошуе на тому, що в проце-сi розв'язування задач засоби тзнання ви-ступають у формi моделювання, але дина-м1чного моделювання об'ектiв мисленне-во! дiяльностi, що полягае у побудовi потоку зовтшшх i мислених моделей вихщ-ного об'екту i мисленого стввщнесення !х з моделлю цщ дiяльностi. Характеристиками окремих кроюв динамiчного моделювання - лопчними характеристиками тих дiй i операцш, що здiйснюються над моделями е анашз, е синтез, узагальнення i абстрагування (визначенi характеристики мислення тд час розв'язування задач, за С.Л.Рубшштейном) [7].
Зпдно з характеристикою заа^в розв'язування задач за Г.О.Баллом [1], моделювання може виступати «внутршшм» або «зовнiшнiм» таким засобом. Внутрш-тм засобом воно стае в тому випадку, коли учень оволодiв прийомом моделювання, в нього сформовано вщповщне навча-льне вмшня i учень користуеться ним при розв'язуванш задачi. Зовнiшнiм засобом розв'язування задачi моделювання висту-пае тод^ коли учень, не володшчи цим прийомом, використовуе готову модель для розв'язування задачi (в якосп допомi-жного засобу).
Сама побудова i використання моделi у науковому чи навчальному пiзнаннi
складае особливий метод - моделювання. Н.Г.Салмiна виокремлюе у моделюванн як методi наукового тзнання ряд егатв: 1) вибiр моделi або 11 побудова; 2) вивчення модели робота з моделлю; 3) перене-сення знань, отриманих тд час опрацю-вання модели на орипнал [5].
Стосовно сюжетних задач моделювання можна розглядати як особливу дiя-льнiсть з побудови (вибору або конструю-вання) моделей. Розв'язання задач здшс-нюеться за евристичною схемою дiяльнос-■п математичного моделювання, що скла-даеться з послщовносп наступних етапiв:
1) побудова, конструювання моделi;
2) досшдження моделi (експериментальне чи мислене); 3) анашз одержаних результатов i !х перенесення на образ, що вивча-еться; яка, до реч^ повнiстю спiвпадае з етапами, визначеними Н.Г.Салмшою.
Аналогичного тдходу дотримуеться Ю.М.Коляпн, який серед загальних при-йомiв розв'язування задач визначае конструювання проспших математичних моделей дано! задачно! ситуаци (а також графiчнi, схематичнi зображення задачi); ототожнення елеменпв задачi з елемента-ми моделц встановлення iзоморфностi мо-делi i дано! задачно! ситуаци в iстотних для розв'язання задачi властивостях та вь дношеннях [4].
Л.М.Фрiдман розглядае два види моделей сюжетних задач: репрезентативш (модели засобом яких подаються у наоч-нiй формi результати аналiзу задачi) та розв'язуючi (обчислювальнi формули, рь вняння або системи рiвнянь). На першому еташ роботи над задачею створюються репрезентативш модели серед яких виок-ремлюються схематичнi рисунки, крес-лення. Саме схематичш рисунки доцiльно використовувати як презентащю результатов аналiзу задач на вщсотки.
1з задачами на прост вiдсотки учнi по-знайомилися в кура математики 5-го кла-су, розв'язуючи задачi на знаходження вiдсотку вiд даного числа, на знаходження числа за його вщсотком, на знаходження вщсоткового вiдношення двох чисел. Ц задачi учнi розв'язують протягом чоти-
рьох poKiB, спочатку шляхом складання пропорци, попм шляхом або множення на
Р
др1б
100
(на знаходження в1дсотка в1д
даного числа), або д1лення на др1б-(на
100
знаходження числа за його в1дсотком), або знаходження в1дношення двох даних чисел га подання його у в1дсотках ( на знаходження в1дсоткового в1дношення). Певну групу складаюгь задачу пов'язан1 1з зм1-ною щни на товар. Розглянемо засгосу-вання динам1чного моделювання при розв'язуванн1 задач1 на зм1ну ц1ни товару.
Наприклад: Ц1ну товару знизили на 10%, а пот1м тдвищили на 5%. Як i на скiльки в1дсотюв змiнилася ц1на пiсля цих переоц1нок?
Проiлюсгруeмо на схемi перший етап змiни ц1ни:
Дослiджуeмо модель та визначаемо який в1дсоток становить ц1на 1 в1д поча-
90 9
тково! щни: 100%-10%=90%=-= —.
100 10
Про1люструемо на схем1 другий етап зм1ни ц1ни:
Досл1джуемо модель та визначаемо який в1дсоток становить цша 2 в1д по-передньо! щни 1: 100% + 5 % = 105 %. Отже, задача зводиться до знахо-
9
дження 105% в1д —. Розв'язуемо:
10
9 105 189
Знаходимо р1зницю початково! щни
• „ , 189 11
та ново1 ц1ни 2: 1--=-.
200 200
Тепер задача зводиться до знаходження вщсоткового вщношення р1зни-
ц1 та початково! щни: : 1 • 100%=
200
5,5% - на ст1льки знизилася ц1на в1д початково! ц1ни.
Зазначимо, що цю задачу можна розв'язати й 1ншим способом, який в1д-р1зняеться в1д попереднього лише першими двома кроками що знаходження ц1ни 1 та ц1ни 2:
Спочатку визначаемо ц1ну 1: 1 - -10100
90
9
100 10
9
Дал1 визначаемо ц1на 2 : — +
10
9
5
189
10 100 200
10 100 200
Останнш спос1б розв'язування доц1-льно розглянути з учнями з огляду на те, що на наступному етап1 навчання буде виведено формулу простих 1 скла-дених в1дсотк1в.
Певну частину задач на в1дсотки становлять задач1 на в1дсотков1 обчис-лення, пов'язан1 1з ф1нансовими опера-ц1ями. Ц задач1 м1стять величини: поча-тковий каттал - А0, р% - процентна ставка (такса), t - час обороту (роботи) грошей, Pt- проценты грош1,At- наро-щений кап1тал.
Залежно в1д умов договору банк може виплачувати в1дсотки по вкладу щом1сячно (щор1чно) з початково! суми, тод1 маемо справу 1з простими в1дсот-ками; а може додавати проценты грош1 до початкового катталу - кап1тал1зува-ти 1х, 1 на наступний м1сяць (р1к) нара-ховувати в1дсотки не з початкового ка-п1талу, а з нарощеного кап1талу - тод1 маемо справу 1з складеними в1дсотками.
Припустимо, що вкладник поклав у банк грош1 у сум1 - А0 п1д р% р1чних (без кап1тал1зац11 в1дсотк1в). Через р1к в1н отримае сво! грош1 плюс процентн1
© Skvortsova S.
гpошi (Pt), що cтановить наpощeний ка-пiтал ( At). Пpоiлюcтpyeмо цe на cxeмi:
Доcлiджyючи модeль cкладаeмо фоp-мулу, за якою можна обчиcлити наpощe-ний капiтал чepeз piк обоpотy гpошeй:
Al= A + Äg"
р =Äo(l +-р- )
1GG 100
Пpипycтимо, що вкладник нe забpав гpошi з банку i банк пpодовжye наpаxовy-вати p% в1д початкового капiталy. Чepeз два pоки cyма на його вклад! cтановитимe:
A2= AG + AG
р
1GG
+ Ao<
р = ÄG(1
1GG
+— + ) = äg( 1 ).
1GG 100 100
Як тpeба змшити cxeмy, щоб показати наpощeний каттал чepeз тpи pоки? Як зм^ит^я фоpмyла для обчиcлeння наpо-щeного капiталy чepeз тpи pоки? Чepeз чотиpи pоки? Чepeз t pокiв?
A3 = ÄG( 1 ^
A=А( 1 A=A»( 1 ^
У такий cпоciб можна вивecти фоpмy-лу пpоcтиx вiдcоткiв. За щею фоpмyлою пpоводять обчиcлeння з наpаxyвання пeнi, амоpтизацiï мexанiзмiв тощо. Таким чином, якщо вщшткова татеа наpаxовyeтьcя з однieï й rie! cамоï cyми за кожний пpо-м1жок чаcy ( мюяць, piк тощо), то викоpи-стовують фоpмyлy пpоcтиx вiдcоткiв. Якщо вдооткова такcа наpаxовyeтьcя за кожний ^ом1жок чаcy 1з piзниx cyм, з ypа-xyванням пpоцeнтниx гpошeй, то маемо cпpавy 1З cкладeними вiдcотками.
Пpоiлюcтpyeмо пpоцec динамiчного
модeлювання пpи вивод1 фоpмyли cкладe-ниx вiдcоткiв.
Пpипycтимо, що вкладник поклав у банк гpошi у cyмi - Ao п1д p% щомicяця. Умовами договоpy пepeдбачeно катталь зацiя вiдcоткiв - цe означае, якщо вкладник чepeз мюяць да забepe вiдcотковi гро-ш1, то наpаxyвання вiдcоткiв на наетупний мicяць бyдe вecтиcь нe з початкового кат-талу, а з наpощeного капталу чepeз м1-cяць. Таким чином, чepeз мicяць на його рахунку буде:
На наетупний мюяць вдаоток бyдe нараховуватись з суми Ai.
Ai= Ао( I + ) 100
A2= Al+ Al • = Al (1 + ) 2 1 1 100 1V 100
Ä2= Al (1 + ) = 100
= Ao(1 ) (1 + ) = Ac (1 + )2. 100 100 100
Якщо вкладник да забepe пpоцeнтнi
гpошi, то на тpeтiй мicяць вiдcотки будуть
наpаxовyватиcя з cyми Ä2. Як тpeба змши-
ти cxeмy? За якою фоpмyлою обчиcлимо
наpощeний капiтал чepeз тpи мicяцi? Чepeз
t мюящв?
Аз= Ä2 (1 + ) = 3 ^ 100
= Al (1 + ) (1 + ) = 100 100
=Ao(1 ) (1 + ) (1 + ) = 100 100 100
= Ac (1 + )3. 100
Чepeз t мicяцiв наpощeний каттал
р
cтановитимe: At= Ao ( 1 +-).
100
Таким чином, ми вивши фоpмyлy cкла-дeниx вiдcоткiв, iлюcтpyючи x^ мipкyвання
засобом динамiчного моделювання.
Висновки. Отже, динамiчне моделювання е потужним засобом розв'язування задач на прост та складенi вiдсaтки, але не е единою евристикою, що доцiльно вико-ристовувати у навчанш розв'язування задач на просп та складеш вiдсотки. Вщпо-вщно пiдходу О.1.Скафи, яка розглядае еврисшко-дидактичш конструкци як сис-теми задач i навчальних програм, що за-лежно вiд змiсгу i напряму запроектовано! в них дiяльносгi можуть використовувати-ся як елементи управлшня евристичною дiяльнiсгю учнiв при розв'язуванш мате-матичних задач. [475], вважаемо доцшь-ним у подальшому дослщженш розгляну-ти створення таких конструкцш, як лан-цюжка взаемопов'язаних задач, засобом яких учнi послщовно опановують умiння розв'язувати задачi на просп та складеш вщсотки через опанування ди динамiчного моделювання.
1. Балл Г.А. Теория учебных задач: Психолого-педагогический аспект / ГА.Балл. - М.: Педагогика, 1990. -184 с.
2. Горчакова I.A. Система математич-них задач як зааб формування евристичног д1ялъност1 учтв основног школи: Автореф. дис... канд. пед. наук: 13.00.02 /
Нацюнальнийпедагог1чний ун-т iM. М.П.Драгоманова / 1.А.Горчакова. — К., 2002. — 19с.
3. Давыдов В.В. Виды обобщения в обучении: Логико-психологические проблемы построения учебных предметов / В.В.Давыдов. -М.: Педагогика, 1972. - 424 с.
4. Колягин Ю.М. Задачи в обучении математике. Ч. I. Математические задачи как средство обучения и развития учащихся./ Ю.М.Колягин -М. : Просвещение, 1977. -148 с.
5. Салмина Н.Г. Виды и функции материализации в обучении/Н.Г.Салмина. -М.: Изд-во МГУ, 1981. -135 с.
6. Сохор А.М. Объяснение в процессе обучения: Элементы дидактической концепции/ А.М.Сохор. -М.: Педагогика, 1988. -124 с.
7. Фридман Л.М. Логико-психологический анализ школьных учебных задач/Л.М. Фридман. -М.: Педагогика, 1977. - 208 с.
8. Фридман Л.М. Основы проблемологии. Серия «Проблемология» /Л.М.Фридман. - М.: СИНТЕГ, 2001. - 228 с.
9. Штофф В.А. Моделирование и философия/В.А.Штофф. -М.-Л.: Наука, 1966. - 301 с.
10. Щедровицкий Г.П. К анализу процессов решения задач / Г.П.Щедровицкий// Доклады АПН РСФСР, 1960. - №5. - С.25-28.
Резюме. Скворцова С. А. ЭВРИСТИКИ В РЕШЕНИИ ЗАДАЧ НА ПРОСТЫЕ И СОСТАВНЫЕ ПРОЦЕНТЫРассмотрено динамическое моделирование при решении сюжетных математических задач. Доказано, что моделирование задачной ситуации является доминирующей эвристикой, которая значительно облегчает поиск решения задачи. Автором презентовано методику работы над задачами на простые и составные проценты с использованием динамического моделирования задачи. Этапы вывода формул простых и составных процентов проиллюстрированы при помощи схем.
Ключевые слова: сюжетная математическая задача, задачи на процентные расчеты, формулы простых и составных процентов.
Abstract. Skvortsova S. HEURISTICS IN THE PROCESS OF SOLVING SIMPLE AND COMPOUND PERCENTS PROBLEMS. Considers the dynamic simulation in solving plot mathematical problems. It is proved that the simulation of a problem situation is a dominant heuristic that facilitates greatly the search for a solution of the problem. The Author presents the methodology of solving simple and compound percents problems with the use of a problem's dynamic simulation. The stages of derivation of the simple and compound percents'formulas are illustrated with schemes.
Key words: a plot mathematical problem, percent calculation problems, simple and compound percents formulas.
Стаття надшшла доредакци 13.01.2013р.
