CC BY
4М1СЦЕ ЕВРИСТИЧНИХ УМ1НЬ В СТРУКТУРНО-ЛОГ1ЧН1Й СХЕМ1 ПРОПЕДЕВТИЧНОГО КУРСУ ФУНКЦЮНАЛЬНОГО АНАЛ1ЗУ
Д.€. Бобилев, викладач,
Kpueopi3bKuU нацюнальний ушверситет, м. Кривий Piz, УКРА1НА, е-mail: dmytrobobyliev@gmail. com
Видтено евристичн умтня, яю можна формувати тд час вивчення елемент!в функцюна-льного анал1зу студентами напряму тдготовки 6.040201 «Математика*» у рамках курсу ма-тематичного анал1зу. Для кожного з видыених ум1нь показано його м1сце в структурно-лог^чнт схем1 курсу. Проыюстрована методика формування деяких з цих умть.
К:иочо<и слова: ееристичт улиння, структурно-логАчна схема курсу, функцюналъний аналгз.
1.......{
Постановка проблеми. В галузевих стандартах тдготовки бакалаврiв напряму 6.040201 «Математика*» передбачено вивчення в кура математичного аналiзу модуля «Елементи функщонального анаш-зу», який можна вважати пропедевтикою курсу «Функщональний анатз». Мета на-вчання даному модулю, як вказуеться в освiтньо-професiйнiй програмi для даного напряму пiдготовки, - формування науко-вого свiтогляду, одним з елеменпв якого е розумшня ролi функцiонально-аналiтичних методiв у математиц i точному природо-знавствi; опанування початками теори фу-нкцiональних просторiв, лiнiйних операто-рiв рiвнянь; розвиток умiння будувати, до-слiджувати методами функщонального анашзу моделi з рiзних областей теоретич-ноi i прикладноi математики; створення необхiдноi математичноi основи для пода-льшого вивчення функщонального анашзу i його застосувань. Але видшет в данш програмi евристичт умiння, якi формують-ся в процеа вивчення модуля «Елементи функщонального анашзу» в недостатнш мiрi охоплюють можливi результати на-вчання i не вiдповiдають мет! Тому е потреба розширити перелiк евристичних умiнь, яю формуються в даному модуш.
Анал1з останн1х дослщжень 1 публь кац1й. Роль евристичних прийомiв розумо-
во1 дiяльностi у процеа формування евристичних умЦнь студенпв дослiджуeться в роботах ОХСкафи, ЗХСлепкань, К.В.Власенко, ЬАГорчаковса, ТВ.Крилово!, Ю.Г.Тимко. ЗХСлепкань зауважуе: «Для пцдвищення рiвня навчально! дiяльностi необидно про-довжувати формувати у студенпв загальнЦ розумовi дц i прийоми розумово! дЦяльнос-тЦ» [2].
Як показують дослiдження психолопв, розвиток мислення студентiв передбачае формування в них прийомцв розумово! дЦя-льностЦ. Якщо йдеться про математичне мислення зокрема, то тут важливим е формування прийомцв, якЦ стимулюють пошук розв'язання нових проблем, вЦдкриття но-вих знань, спрямовують думку на проник-нення в суть змцсту. Таю ознаки притаманнЦ евристичним прийомам.
ПЦд евристичними прийомами ми бу-демо розумцти особливЦ прийоми, що сфо-рмувалися в процеа розв'язання однЦе! або декшькох задач, якЦ бшьш або менш свЦдо-мо переносяться на ЦншЦ задачц Вони дають загальний напрям думки, не гарантуючи отримання необхЦдного результату. Еврис-тичне умцння передбачае оволодшня вЦд-повЦдним евристичним «прийомом» розу-мово! дЦяльностЦ.
Метою евристичних прийомцв розумо-во! дЦяльностЦ е встановлення загальних
закономiрностей тих процеав, якi мають мiсце пщ час розв'язання будь-яких проблем, незалежно вiд 1'х змiсту. Тобто ц прийоми е важливими у процеа розв'язання професiйних задач майбуттми математиками i вчителями математики.
Метою статт1 е анал1з структурно-лог1чно1 схеми, змюту пропедевтичного курсу функцюнального анал1зу та видтення евристичних ум1нь, як1 можна формувати в цьому кура.
Виклад основного матер1алу. ПГд час розробки методично! системи формування професшно-орГентовано1 евристично! дш-льностГ майбутнiх вчителiв математики при вивчент пропедевтичного курсу функцю-нального аналiзу ми враховували, що еври-стичнi прийоми е важливим компонентом навчально-тзнавально! евристично! дГяль-ностГ студентГв, яка сприяе формуванню евристичних умшь; використання евристи-чно орiентованих систем задач сприяе формуванню евристичних прийомiв та умшь.
Розглянемо евристичт прийоми згщно класифкаци, запропоновано! О.1.Скафою [1], якi подiляються на загальт та спеща-льнi. До загальних евристик вiдносяться прийоми розумово! дiяльностi: загальнi (аналiз, синтез, порiвняння, абстрагування, узагальнення, класифiкацiя, систематиза-цiя, аналогГя та iн.), специфiчнi (пiдведення пщ поняття та виведення наслiдкiв).
У реальнш практичнiй, професiйнiй дГ-яльностГ аналiз та синтез нерозривно пов'язат, тому викладачу важливо умiти видiляти, де це потрiбно, або аналiз, або синтез, пам'ятаючи про те, що аналiз - це шлях до вщкриття, а синтез - це шлях до обгрунтування.
Невщ'емною складовою професiйноi дiяльностi вчителя математики i математика е порiвняння математичних об'ектГв з метою знаходження аналопв шуканому об'екту, перенесення \х властивостей у данi умови, протиставлення рiзних способiв розв'язання математичних проблем та iн. Тому порiвняння лежить у основi формування велико! кГлькостГ евристичних умiнь. Вона виступае як засiб зв'язку нових i вже здобутих знань.
Порiвняння доцiльно використовувати в процеа вивчення об'ектГв, що розгляда-ються в рiзних математичних дисциплшах. При вивченнi теми «Застосування теореми Банаха», на лекци викладач доводить теорему Кошi про юнування та единiсть розв'язку звичайного диференщального рiвняння, а студентам ставиться завдання пiдготувати доведення цiеi ж теореми без застосування теореми Банаха [3]. На практичному занята три студента одночасно доводять по однш iз цих теорем. ПГсля цьо-го, коли три доведення представлен перед студентами, 1'м пропонуеться порiвняти 1'х i зробити висновок щодо загальних рис теорем про юнування i единiсть розв'язку рГв-нянь. Таким чином формуються евристичнi умшня:
• порiвнювати склад i структуру математичних теорш;
• аналiзувати теори на предмет зв'язку з дослщжуваним об'ектом та проблемою;
• аналiзувати чи нерозв'язана дана проблема в iзоморфнiй теори.
Використання прийому систематизавд корисно, наприклад, пщ час вивчення теми: «Метричт простори». Сисгематизацiя тео-ретичних фактГв Гз шкГльного курсу математики та курсу математичного аналГзу про поняття вщстанг приводить до усвГдомлення студентами того, що дане поняття можна перенести Г на довшьну множину. Це сприяе самостгйному вщкриттю майбуттми вчите-лями математики поняття метрики.
«ПГдведення пГд поняття» - розумова дГя спГввщнесення будь-якого об'екту з по-няттям, яке передбачае наявтсть у цього об'екта ознак даного поняття. Застосування прийому «пщведення пщ поняття» дае мо-жливГсть з'ясувати з чим ми маемо справу Г, на цГй основГ, робити висновки, встанов-лювати спГввГдношення, виявляти прихо-вану ГнформацГю, тобто застосовувати прийом «виведення наслщкГв».
НайбГльш яскраво застосовуються данГ евристичнГ прийоми при вивчент теми «Компактнють». Спочатку вводиться озна-чення компактно! та предкомпактно! мно-жин, доводяться загальнГ критери цих
множин. Шсля цього розглядаеться, най-бшьш важливий в кура, повний метричний проспр неперервних функцш на вщр1зку. Студентам наводиться декшька пщмножин даного простору:
• М - множина неперервних на вщр1-зку [0; 1] функщй х(7), яю задовольняють
умов1 |х(/)|<1 при /€ [0; 1];
• К - множина функщй виду Хц(0 = сов а1 ириг€[0; 1] \ а е [2;3];
• Р - множина функщй виду
у,= £[0; 1] 1 - Е ;з;ю;
1 ставиться завдання визначити щ е вони предкомпактними. В процеа застосу-вання загальних критерив предкомпактнос-т («пщведення пщ поняття») студенти ви-
значають умови предкомпактносп множин в npocropi неперервних на вщр1зку функцш (амейств функщй). Це дозволяе 1м, разом з викладачем, сформулюваги георему Арце-ла («виведення наслщюв»).
Засгосування евристичних прийомiв дозволяе формуваги у сгуденгiв евристичт вмiння, яю сприяють використанню еврис-тичних прийомiв в конкретнiй ситуаци. У зв'язку з цим систематизуемо евристичт умшня, яю доцшьно формувати при ви-вченнi пропедевтичного курсу функщона-льного аналiзу (таблиця 1).
Кожне з наведених у таблиц 1 евристи-чних умiнь найбшьш доречно формувати в якшсь певнш тем функцiонального аналiзу (таблиця 2).
Таблиця 1
Типи д1яльност1, типов! завдання д1яльност1 та евристичн1 ум1ння, як1 можна
Тип дая-льносп Назва типового завдання д1яльносл Змют евристичного умшня Номер умшня
1. Дослщження математичних вщображень )деал1зованих об'екпв Анал1з сучасних математичних теорш Вм1ти пор1внювати склад 1 структуру математичних теорш: поняття, науков1 факти, закони, принципи та зв'язки м1ж ними. 1
Вм1ти анал1зувати теорп на предмет зв'язку з дослщжуваним об'ектом та проблемою. 2
Вм1ти анал1зувати методи теорш на предмет )'х придатност для розв'язування юнуючо) проблеми. 3
Постановка математично! задач1 Вм1ти ращонально 1 повно використовувати закони лопки. 4
Вм1ти анал1зувати математичш факти, законом1рносп 1 теори на предмет логично)' строгост та повноти. 5
Вм1ти бачити лопчш прогалини в обгрунтуванш математичних фа-кпв, побудов1 математичних теорш. 6
Вм1ти будувати приклади 1 контрприклади. 7
Вм1ти формулювати нов1 коректно поставлен! задача 8
Вм1ти оцшювати перспектившсть розв'язування математично)' задач!. 9
Вм1ти дослщжувати коректшсть постановки математично) задач!. 10
Анал1з математично! проблеми (задач!) Вм1ти анал1зувати до яко) галуз! математичних знань належить до-слщжуваний об'ект 1 проблема, з ним пов'язана. 11
Вм1ти анал1зувати чи мае теор1я, якш належить проблема, 1зоморф-ш теорп. 12
Вм1ти анал1зувати чи нерозв'язана дана проблема в 1зоморфнш теорп. 13
Вмiти аналiзyвати взаемозв'язки дослiджyваного матeматичного об'екта з вiдомими об'ектами, а математично'1' пpоблeми - з науко-вими фактами. 14
Вмiти встановлювати iзомоpфнiсть матeматичних об'екпв. 1S
Вмiти видiляти матeматичний об'ект i визначати його cy^^i влас-тивоcтi. 16
й « Я ® • я <ц Вмiти обиpати понятшний апаpат, адeкватний матeматичномy об'eктy. 17
« R В а Bmíto встановлювати пpотиpiччя мiж твepджeннями. 1B
Я и СЗ « « н 2 о R Bmíto пpоводити комп'ютepнi eкcпepимeнти з метою вcтановлeння нових закономipноcтeй. 19
SM I а Е © Н Вмiти наводити ^иклади матeматичних об'eктiв, що задовольня-ють умови гiпотeтичного твepджeння. 2G
1 я л а (D m Bmíto фоpмyлювати твepджeння, що e о^емим випадком ппоте-тичного твepджeння, i твepджeння бiльш загальнe, нiж pозглядyва-не гiпотeтичнe. 21
н о L- О я Вмiти вiдбиpати знання, необхщш для доведення або с^о^^ван™ гiпотeтичного твepджeння. 22
я я н <D H О Вмiти аналiзyвати ппотетичне твepджeння i y pазi можливост pоз-кладати його на пpоcтiшi. 2З
я 'Ен Вмiти побудувати логiчнy схему доведення. 24
« Я я л « о о а а ~ о ^ Вм^и викоpиcтовyвати метод вiд су^от^ного пpи довeдeннi ri-потетичного твepджeння. 2S
Вмiти викоpиcтовyвати аналiтичний метод доведення гипотетичного твepджeння. 26
„ Я « Вмiти викоpиcтовyвати синтетичний метод доведення гшотетично-го твepджeння. 27
1 а (D « H Вмiти викоpиcтовyвати аналiтико-cинтeтичний метод доведення ппотетичного твepджeння. 2B
О L- о я Вмiти обрати pацiональнi методи (способи, пpийоми) доведення або cпpоcтyвання гiпотeтичного твepджeння. 29
H (D Вм^и peалiзовyвати побудовану логiчнy схему доведення. З0
О .я 'Ен « (D ч (D « Вм^и будувати контpпpиклади для cпpоcтyвання гiпотeтичного твepджeння. З1
Вмiти пpоводити комп'ютepнe моделювання та чиceльнi e^^p^ менти для пepeвipки гiпотeтичного твepджeння та його о^емих випадкiв. З2
.53 (D Я о 'H Вмiти доб^ати eфeктивнi методи чисельного аналiзy математич-них моделей piзних задач. ЗЗ
& « Я PQ (D о S о я Вм^и iнтepпpeтyвати, аналiзyвати та узагальнювати peзyльтати pозpахyнкiв чисельного eкcпepимeнтy. З4
Й S Вмiти конcтpyювати матeматичнi об'екти iз заданими властивостя-ми. З5
О S <D Я Й S Вмiти аналiзyвати вiдомi методи, способи, ^ийоми, засоби на ïx пpидатнicть до pозв'язyвання пpоблeми. З6
я Й S <D я л 'H Вмiти викоpиcтовyвати iндyкцiю i дeдyкцiю до pозв'язyвання математично'1' пpоблeми. З7
Й <N о Вм^и викоpиcтовyвати аналiтичний, синтетичний, анал^ико-синтетичний методи pозв'язyвання математично'1' пpоблeми. З8
(76)
Вм1ти визначати мету 1 завдання дослщження (бажаний результат 1 шляхи його досягнення) та вибирати засоби. 3 9
3. Прикладш дослiдження в галузi математики Вибiр, використання алгоритмш, методiв, прийомiв та способiв розв'язування математичних задач та оформления отриманих результатiв Вм1ти пщготувати за результатами наукового дослщження з певно'1 теми науковий тв1р (науково'1 доповщ! статп, реферату, зв1ту). 4 0
Вм1ти встановлювати зв'язки м1ж фактами 1 теор1ями. 41
Вм1ти ощнювати наукову новизну, практичну та теоретичну зна-чущють результату, теорп. 42
Вм1ти ощнювати мюце, роль 1 значення отриманого результату в загальнш систем1 математичних знань. 43
Вм1ти анал1зувати отриманий результат на предмет його зв'язку з шшими науковими проблемами сум1жних галузей науки 1 практики. 44
Вм1ти штерпретувати отриманий результат в термшах 1зоморфних теорш. 45
Вм1ти штерпретувати проблему 1 отриманий результат в термшах практично важливих проблемних ситуацш, реальних подш, проце-с1в, явищ. 46
Таблиця 2
Мкце евристичних умшь в структурно-лопчнш схем1
пропедевтичного курсу функцюнального анал1зу_
Змютов1 модул1, теми Зм1ст, основш задач1 Номер еврис-тичного умш-ня, яке форму-ються (згщно таблиц 1)
МОДУЛЬ „МЕТРИЧН1 ПРОСТОРИ"
Змютовий модуль 1. МЕТРИЧН1 ПРОС-ТОРИ
ТЕМА 1.1. Означення i приклади метричних npocmopie Метрика. Означення метричного простору (МП). Граничш точки, точки дотику, внутр1шш та межов1 точки, 1зо-льоваш точки множини. Вщкрит! замкнет множини, околи. 1-3 6, 7
ТЕМА 1.2. Поет мет-ричш простори Повн МП. Стискуюч1 вщображення. Повш МП. Стискуюч1 вщображення. Граничш точки, точки дотику, внутрь шш та межов1 точки. 1-3 11-16
ТЕМА 1.3. Компакт-тсть Компакти та компактш множини в МП. Метричш компакти. Неперервш вщображення метричних компакпв. Теорема Арцела. 1-3 21-31
Змютовий модуль 2. ПРИНЦИП СТИС-КУЮЧИХ В1ДО-БРАЖЕНЬ ТЕМА 2.1. Теорема Банаха ТЕМА 2.2. Застосу-вання теореми Банаха Теорема Банаха. Рiзнi способи дове-дення. Геометрична штерпретащя. Застосування теореми Банаха до розв'язування СЛАР. Застосування те-ореми Банаха до доведення теореми Кошь 1-3 1-3 17-20; 32 33-39 40-46
МОДУЛ [Ь „ЛГНШШ НОРМОВАН1 ПРОСТОРИ"
Змютовий модуль 3. Л1Н1ЙН1 НОРМО-ВАН1ПРОСТОРИ ТЕМА 3.1. Означення i приклади лШйних но-рмованих просторiв ТЕМА 3.2. Поняття опуклостг в лШйних нормованих просторах Означення i приклади лшшних нормованих просторiв. Простори Банаха. Рiзнi означення опуклосп та його геометрична штерпретащя. Доведення опуклосп сфери. Геометрична штерпретащя сфери в К"з рiзними нормами. 1-3 1-3
Змютовий модуль 4. Л1Н1ЙН1 ФУНКЦ1-ОНАЛИ I ОПЕРА-ТОРИ ТЕМА 4.1. ЛШйш фу-нкщонали ТЕМА 4.3. ЛШйш опе-ратори Означення i приклади лшшних функ-цiоналiв. Неперервшсть та обмеже-шсть лшшного функцiоналу. Теореми Банаха про обернений фунщонал. Означення норми лшшного функщо-налу. Приклади обчислення норм. Означення i приклади лшшних опера-торiв. Неперервнiсть та обмеженють лiнiйного оператору. 1-10 1-10
Висновки. У результат аналiзу структурно-лопчно'1' схеми та змюту пропедевтичного курсу функщонально-го аналiзу видiлено евристичнi вмiння, яю доцiльно формувати в цьому курЫ. Показано, що евристичнi прийоми сприяють розвитку тзнавально'1' актив-ностi та продуктивного мислення сту-дентiв та е основою формування профе-сшно-орiентованоi евристично'1' дiяльно-стi майбутнiх вчителiв математики.
1. Скафа Е. И. Эвристическое обучение математике: теория, методика, технология. Монография / Е.И.Скафа. - Донецк: Изд-во ДонНУ, 2004. - 439 с.
2. Слепкань З.1. Методика навчання математики / З.1. Слепкань. - К.: Вища школа, 2006. - 582с.
3. Степанов В.В. Курс дифференциальных уравнений / В.В.Степанов. - 8 изд. -М.: Физматлит, 1959. - 473 с.
4. Тымко Ю. Г. Методическая система формирования профессионально ориенти-
рованной эвристической деятельности бу- Черкассы, 2012. - 244 с.
дущего учителя математики: дис. ... •
канд. пед. наук: 13.00.02 /Ю. Г. Тымко. -
Резюме. Бобылев Д.Е. ЭВРИСТИЧЕСКИЕ УМЕНИЯ В СТРУКТУРНО-ЛОГИЧЕСКОЙ СХЕМЕ КУРСА ПРОПЕДЕВТИКИ ФУНКЦИОНАЛЬНОГО АНАЛИЗА. В статье выделены эвристические умения, которые можно формировать при изучении элементов функционального анализа студентами направления подготовки 6.040201 «Математика*» в рамках курса математического анализа. Для каждого из выделенных умений показано его место в структурно-логической схеме курса. Проиллюстрирована методика формирования некоторых из этих умений.
Ключевые слова: эвристические умения, структурно-логическая схема курса, функциональный анализ.
Abstract. Bobyliev Dm. HEURISTIC SKILLS IN STRUCTURAL-LOGICAL SCHEME OF COURSE PROPAEDEUTICS OF FUNCTIONAL ANALYSIS. The article highlights the heuristic skills, which can be formed in the study of the elements offunctional analysis students of direction 6.040201 «Mathematics*» in the course of mathematical analysis. For each of the selected skills shown his place in the structural-logical scheme of the course. Illustrated method of formation of some of these skills. Under the heuristic techniques we understand the special techniques that have emerged in the process of solving one or more tasks that are more or less consciously transferred to other tasks. They give a general line of thought does not guarantee the desired results. Heuristic skill involves mastering appropriate heuristic «expedient» mental activity.
The aim of heuristic techniques of mental activity is to establish general laws of the processes that take place in dealing with any problems, regardless of their content. That is, these methods are important in addressing the challenges of the future professional mathematicians and mathematics teachers. In developing methodical system of professionally - oriented heuristic of future mathematics teachers in the study course propaedeutics functional analysis we considered that heuristic techniques are an important component of learning and cognitive heuristic activity of students, which contributes to a heuristic skills, the use of heuristic task oriented systems contributes to the formation of heuristic techniques and abilities. It is shown that the heuristic techniques contribute to the development of cognitive activity andproductive thinking of students and is the basis of professionally - oriented heuristic of future mathematics teachers. Application of heuristic techniques allows students to form heuristic skills, promoting the use of heuristic techniques in a particular situation. In this regard, systematized heuristic skills that expedient to form the study course propaedeuticsfunctional analysis.
Key worils: heuristic skills, structural-logical scheme, fimctional analysis.
§.......&
References
1. Skafa E.I. Heuristic teaching of mathematics: theory, methodology, technology. Monograph. - Donechk : Izd-vo DonNU, 2004. -439p.
2. Slepkan Z.I. Methods of Teaching Mathematics. - K. : Visha shkola, 2006. - 582p.
3. Stepanov V.V. The course of differential equations. -М. : Fizmatlit, 1959. - 473p.
4. Tymko Yu. G. Methodical system of forming professionally oriented heuristic activity of future teacher of mathematics: thesis ... candidate of pedagogical sciences, specialty 13.00.02 / Yu.G.Tymko. - Cherkassy, 2012. - 244p.
Стаття представлена професором O.I. Скафою.
Надйшла доредакци 26.10.2013р.
